3-4 状态方程的时域解

e −2 t + te −2 t = −2t te − te −2 t e −2t − te − 2 t
§3-4 状态方程的时域解
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
一阶微分方程的求解
dx + ax = bv dt
ɺ x = −ax+ bv
ɺ eat x = e at (−ax + bv)
d ( x e at ) = e at bv dt
ɺ eat x + eat ax = eatbv
xe
t t0 aτ t t0
s −1 At −1 −1 −1 ( s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) e = L (s1 − A) = L s+3 2 (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) 1 2 1 1 − + − + − e−t + 2e−2t (s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2) = = L−1 −t 2 2 2 1 2e − 2e−2t − − (s + 1) (s + 2) (s + 1) (s + 2)
− e −t + 2e −2t = −t −2t 2e − 2e − e −t + e −2t 2e −t − e −2t
eAt
的求解方法
有重根的情况 λ 设矩阵A的特征根中有一二重根 的特征根中有一二重根， 设矩阵 的特征根中有一二重根， λ2 =，1则此时确定系数的 n个方程为： 个方程为： 个方程为
1
2 n = K 0 + K 1 λ 3 + K 2 λ 3 + ⋯ + K n −1 λ 3 −1
⋮
⋮
= K 0 + K 1 λ n + K 2 λ 2 + ⋯ + K n −1 λ n1n −1 n
eAt
的求解方法
重根时： 有m重根时： 重根时
2 n e λ1 t = K 0 + K 1 λ1 + K 2 λ1 + ⋯ + K n −1 λ1 −1 de λ1 t λ1 t n t e = = K 1 + 2 K 2 λ1 + ⋯ + ( n − 1) K n −1 λ1 − 2 dλ λ =λ 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 d m −1 e λ1 t m −1 λ1 t t e = ( m − 1)! d λ m −1 λ = λ 1 λ m +1 t 2 = K 0 + K 1 λ m +1 + K 2 λ m +1 + ⋯ + K n −1 λ n −+11 e m ⋮ ⋮ ⋮ λt e n = K 0 + K 1 λ n + K 2 λ 2 + ⋯ + K n −1 λ n1n −1 n
λ λ 其特征根为 λ1 ， 2 ，…，n 。 ，
根据凯莱－哈密顿定理可知 根据凯莱－
P ( A ) = A n + C n −1 A n −1 + C n − 2 A n − 2 + ⋯ + C 1 A + C 0 1 = 0
A n = − (C n −1 A n −1 + C n − 2 A n − 2 + ⋯ + C1 A + C 0 1)
一阶微分方程组的求解
ɺ x = Ax + Bv
x (t ) = x (t 0 )e A(t −t0 ) +
x (t ) = x (0)e At +
∫t
t
0
e A(t −τ ) Bv (τ )dτ
Bv (τ )dτ
e
零 零 输 状 入 态 响 响 应 应 At 称为状态转移矩阵 状态转移矩阵( 称为状态转移矩阵(φ (t ))
e λ1 t t e λ1 t λ3 t e ⋮ λn t e
2 n = K 0 + K 1 λ1 + K 2 λ1 + ⋯ + K n −1 λ1 −1 de λ1 t n = = K 1 + 2 K 2 λ1 + ⋯ + ( n − 1) K n −1 λ1 − 2 dλ λ =λ
eAt
例3－6 求
的求解方法
的 e At 。 得：
1 = λ2 + 4λ + 4 = (λ + 2) 2 = 0 λ +3
−1 −1 A= 1 −3
解 由 P (λ ) = λ 1 − A
P(λ ) = λ 1 − A =
=0
λ +1
−1
解得 λ1 = λ2 = −2 是一二重根 所以
− e−t + e−2t −t −2t 2e − e
eAt
状态方程
的求解方法
2 有限级数法
ɺ x = Ax + Bv 对应的齐次方程的特征方程为： 对应的齐次方程的特征方程为：
P(λ ) = λ 1 − A = 0
对于n 阶方程则有： 对于 阶方程则有：
P ( λ ) = λ n + C n −1 λ n −1 + C n − 2 λ n − 2 + ⋯ + C1 λ + C 0 = 0
e
At
e −2 t = K 0 − 2 K 1 −2t te = K 1
解得
K 0 = e −2 t + 2Biblioteka Baidue −2 t K 1 = te −2 t
1 0 − 1 − 1 = (e − 2t + 2te − 2t ) + te − 2 t = K 0 1 + K1A 0 1 1 − 3
矩阵A的特征值 的特征值， 设λ为矩阵 的特征值，则
f (λ ) = K 0 + K1λ + K 2 λ2 + ⋯ + K n−1λn−1
λ λ 当 λ1 ， 2 ，…， n为A的n 个不同特征值时，有 ， 的 个不同特征值时，
2 n e λ1 t = K 0 + K 1 λ1 + K 2 λ1 + ⋯ + K n −1 λ1 −1 λ2 t 2 n −1 e = K 0 + K 1 λ 2 + K 2 λ 2 + ⋯ + K n −1 λ 2 ⋮ ⋮ ⋮ e λn t = K 0 + K 1 λ n + K 2 λ 2 + ⋯ + K n −1 λ n1n −1 n
∫0 e
t
A( t −τ )
eAt
状态方程
的求解方法
1 拉氏变换法
ɺ x = Ax + Bv 对应的齐次方程的拉氏变换式为： 对应的齐次方程的拉氏变换式为：
s1x(s) − x(0) − Ax(s) = 0
x(s) = (s1 − A) −1 x(0) x(t) = L−1 (s1 − A) −1 x(0) ——方程的通解（零输入响应） 方程的通解（ 方程的通解 零输入响应）
x (t ) = x (0)e
At
+
∫0
t
e A(t −τ ) Bv(τ )dτ
e At = L−1(s1 − A)−1
eAt
例3－4 解 求
的求解方法
e At 。
− 3 −1 A= 的 2 0
s 0 − 3 −1 s + 3 1 (s1 − A) = − 2 0 = − 2 s 0 s
可以用矩阵A的 1)阶多项式来表示。 1)阶多项式来表示 矩阵 A n可以用矩阵 的(n-1)阶多项式来表示。
eAt
所以有
A n + 1 = AA
的求解方法
n
= − C n −1 A n − C n − 2 A n −1 − ⋯ − C 1 A 2 − C 0 A
= C n −1 ( C n −1 A n −1 + C n − 2 A n − 2 + ⋯ + C 1 A + C 0 1 ) − C n − 2 A n −1 − ⋯ − C 1 A 2 − C 0 A = ( C n −1 C n −1 − C n − 2 ) A n −1 + ( C n −1 C n − 2 − C n − 3 ) A n − 2 + ⋯ + ( C n −1 C 2 − C 1 ) A 2 + ( C n −1 C 1 − C 0 ) A + C n −1 C 0 1
进而有
e At = K 0 1 + K1 A + K 2 A2 + ⋯ + K n−1 An−1
K 系数 K 0， 1 ，…， n−1是时间 的函数。 ，K 是时间t 的函数。
eAt
的求解方法
系数 Ki 的确定 矩阵A满足如下矩阵方程 矩阵 满足如下矩阵方程
f ( A) = K 0 1 + K1 A + K 2 A2 + ⋯ + K n−1 An−1
Ki 解上述方程求出 ，进而求出
At e。
eAt
例3－5 求
的求解方法
e At 。
=0
− 3 −1 A= 的 2 0
解 由 P (λ ) = λ 1 − A
P (λ ) = λ 1 − A =
得：
λ +3 1 = λ2 + 3λ + 2 = (λ + 1)(λ + 2) = 0 −2 λ
s −1 s −1 2 −1 s + 3s + 2 s2 + s + 2 = (s + 2)(s +1) (s + 2)(s +1) (s1 − A) = 2 s +3 2 s +3 s2 + 3s + 2 s2 + 3s + 2 (s + 2)(s +1) (s + 2)(s +1)
= ∫ e aτ bv(τ )dτ
t0
t
x(t )e − x(t 0 )e
at
at0
= ∫ e aτ bv(τ )dτ
x(t) = x(t0 )e
−a(t −t0 )
+ ∫ e−a(t−τ )bv(τ )dτ
t0
t
——一阶微分方程解的一般表达式 一阶微分方程解的一般表达式
零 输 入 响 应
零 状 态 响 应
，
解得 所以
At
λ1 = −1
λ2 = −2
e −t = K 0 − K1 −2t e = K 0 − 2 K 1
−t
解得
−2t
K0 = 2e −t − e −2t
K1 = e−t − e−2t
1 0 −t −2t − 3 −1 + (e − e ) e = K0 1 + K1 A = (2e − e ) 0 1 2 0