幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数

【2013年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．

3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】

本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合

思想的综合应用．

基础梳理

1．幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．

2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1

2，y ＝x －1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质

y ＝x

y ＝x 2 y ＝x 3

y ＝x 12

y ＝x －1

定义域 R R R [0，＋∞)

{x |x ∈R 且x ≠0} 值 域 R [0，＋∞)

R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性

奇

偶 奇

非奇非偶

奇

单调性 增

x ∈[0，＋∞)

时，增 x ∈(－∞，0]时，减

增 增

x ∈(0，＋∞)时，

减

x ∈(－∞，0)时，

减 定点

(0,0)，(1,1)

(1,1)

4.二次函数的图象和性质 解析式

f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域

⎣⎢⎡⎭

⎪⎫4ac －b 2

4a ，＋∞ ⎝

⎛

⎦⎥⎤－∞，4ac －b 2

4a

单调性

在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递增

在x ∈⎝ ⎛

⎦

⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增

在x ∈⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减

在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

－b 2a ，＋∞上单调递减

奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－b 2a

，4ac －b 2

4a

对称性 图象关于直线x ＝－b

2a 成轴对称图形

5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)

五个代表

函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1

2，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2对称．

(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

双基自测

1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A

2.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象

限的图象．已知n 取±2，±

12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．

A ．－2，－12，1

2，2 B ．2，12，－1

2，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－1

2

答案 B

3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x ，x ≤0，

x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2

解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧

α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B

4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

由已知条件⎩⎨⎧

f (1)＝1，

f (b )＝b ，

b >1，

即⎩

⎨⎧

b 2

－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C

5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2

由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，

则⎩⎨⎧

a ≠0，

b ＝－2，2a 2＝4.

因此f (x )＝－2x 2＋4.

答案 －2x 2＋4

考向一 二次函数的图象

【例1】►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．