19、十九天图形的计算与证明(例)(解析版)

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专题10 图形的计算与证明(解析版)

专题10图形的计算与证明一、选择题1、若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A. 45︒B. 60︒C. 72︒D. 90︒答案：C分析：根据多边形的内角和公式()2180n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．解答：Q正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，Q多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．选C．2、下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③答案：A分析：利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．解答：解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；选A.3、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°答案：B分析：根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．解答：在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，选B．4、木匠有32米的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是（）A. B.C. D.答案：A分析：根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．解答：A、∵垂线段最短，∴平行四边形的另一边一定大于6m，∵2（10+6）＝32m ，∴周长一定大于32m ；B 、周长＝2（10+6）＝32m ；C 、周长＝2（10+6）＝32m ；D 、周长＝2（10+6）＝32m ；选A ．5、如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，且CB BF =添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，下面四个条件中可选择的是（）A. AB DC =B. AD BF =C. A C ∠=∠D. F ADF ∠=∠答案：D分析：把A 、B 、C 、D 四个选项中的条件分别代入验证，发现D 为正确选项，添加F ADF∠=∠时，可先证明△AED ≌△BEF ，得到AD ＝BF ＝CB ，结合AD ∥FC 可得四边形ABCD 是平行四边形．解答：解：A .添加AB DC =时，无法证明AB ∥CD 或AD ＝BC ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；B .添加AD BF =时，无法证明AD ∥BC 或AB ＝CD ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；C .添加A C ∠=∠时，无法证明∠ABC ＝∠ADC ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；D .∵F ADF ∠=∠，∴AD ∥FC ，在△AED 和△BEF 中，F ADF FEB DEA EB EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△BEF （AAS ），∴AD ＝BF ，∵CB BF =，∴AD ＝CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；选D ．6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是¶CD上一点，且¶¶DF BC =，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC. 若∠ABC =105°，∠BAC =25°，则∠E 的度数为（）A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°答案：B分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．解答：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =105°，∴∠ADC =180°-∠ABC =180°-105°=75°．∵»»DFBC =，∠BAC =25°， ∴∠DCE =∠BAC =25°，∴∠E =∠ADC -∠DCE =75°-25°=50°．7、如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是AD 的中点，BE 与CF 相交于点P ，设AB a =.得到以下结论：①BE CF ⊥；②AP a =；③CP =则上述结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③答案：D分析：由正方形的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质进行推理即可得出结论．解答：解：如图，（1）//,//EF BC DE AC所以①成立（2）如图延长CF 交BA 延长线于点M ，则：D FAM DF AFCFD MFA CFD AFM ∠=∠⎧⎪=⇒∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩CD MA AB a BP CF∴===⊥Q 又 ∴AP 为直角三角形MPB 斜边BM 上的中线，是斜边的一半，即11222AP BM a a ==⨯= 所以②成立（3）∵CP BE ⊥ ∴212CP BE CE BC a ⨯=⨯=∵2BE a ===∴215a CE BC CP a BE ⨯==== 所以③成立选D ．8、如图，AB 是半圆O 的直径，5cm AB =，4cm AC =.D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE AD ⊥于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是（）A. 925BE ≤≤B. 23BE ≤<C. 935BE ≤<D. 935BE ≤< 答案：B分析：由∠AEC =90°知E 在以AC 为直径以M 为圆心的圆的»CN 上（不含点C 、可含点N ），从而得BE 最短时，即为连接BM 与圆的交点（图中'E 点），作MF ⊥AB 于F ，证△AMF ∽△ABC 得MF AM BC AB =，即可知MF =65，利用勾股定理求出AF =85，BF =175，BM，从而得BE 长度的最小值B 'E =BM -M 'E；由BE 最长时即E 与C 重合，根据BC =3且点E 与点C 不重合，得BE ＜3，从而得出答案．解答：由题意知，∠AEC =90︒，∴E 在以AC 为直径以M 为圆心的圆的»CN 上（不含点C ，可含点N ），∴BE 最短时，即为连接BM 与圆的交点（图中'E 点），∵AB =5，AC =4，∴BC =3，作MF ⊥AB 于F ，∴∠AFM =∠ACB =90︒，∠F AM =∠CAB ，∴△AMF ∽△ABC ， ∴MF AM BC AB =，即235MF = ∴65MF =∴AF 85=则BF =AB −AF =175∴BM =∴BE 长度的最小值B 'E =BM −M 'EBE 最长时，即E 与C 重合，∵BC =3，且点E 与点C 不重合，∴BE ＜3，BE ＜3选B ．9、如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B分析：设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解．解答：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB ︒∠=，∴OP AC P∵点O 是AB 的三等分点， ∴210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==， ∴83OP =， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ⊥，∴OD BC ∥， ∴13OD OA BC AB ==， ∴1OD =， ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=， 513+=633， ∴MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ．10、如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且:1:2AF FB =，CE DF ⊥，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使12BG BC =，连接CM ．有如下结论：①DE AF =；②4AN AB =；③ADF GMF ∠=∠；④:1:8ANF CNFB S S ∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④答案：C分析：①正确．证明()ADF DCE ASA ∆≅∆，即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，通过计算证明MH CH =即可解决问题．④错误．设ANF ∆的面积为m ，由//AF CD ，推出13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆:，推出ADN ∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，推出ADC ∆的面积ABC =∆的面积12m =，由此即可判断．解答：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB CD BC ∴===，90CDE DAF ∠=∠=︒，∵CE DF ⊥，90DCE CDF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE ∴∠=∠，在ADF ∆与DCE ∆中，90DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF DCE ASA ∴∆≅∆，DE AF ∴=；故①正确；∵//AB CD ，AF AN CD CN∴=， ∵:1:2AF FB =，::1:3AF AB AF CD ∴==，13AN CN ∴=， 14AN AC ∴=，∵AC =，14=，AN AB ∴=；故②正确；作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，由CMD CDE ∆∆:，可得CM =，由GHC CDE ∆∆:，可得CH =， 12CH MH CM ∴==， ∵GH CM ⊥，GM GC ∴=，GMH GCH ∴∠=∠，∵90FMG GMH ∠+∠=︒，90DCE GCM ∠+∠=︒，FEG DCE ∴∠=∠，∵ADF DCE ∠=∠，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ，∵//AF CD ，13AF FN CD DN ∴==，~AFN CDN ∆∆， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，选C ．11、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′．设点Q 运动的时间为t 秒，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为（）A. B. 2 C. D. 3答案：B分析：首先连接PP ′交BC 于O ，根据菱形的性质可得PP ′⊥CQ ，可证出PO ∥AC ，根据平行线分线段成比例可得AP CO AB CB=，再表示出AP 、AB 、CO 的长，代入比例式可以算出t 的值．解答：解：连接PP ′交BC 于O ，∵若四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ =90°，∵∠ACB =90°，∴PO ∥AC ， ∴AP CO AB CB= ∵设点Q 运动的时间为t 秒，∴APt ，QB =t ，∴QC =6-t ，∴CO =3-2t ， ∵AC =CB =6，∠ACB =90°，∴AB，326t -=解得：t =2，选B ．12、如图，在平行四边形ABCD 中，90BAC ∠=o ，AB AC =，过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点E ，点F 是垂足，连接BE 、DF ，DF 交AC 于点O ．则下列结论：①四边形ABEC 是正方形；②:1:3CO BE =；③DE =；④AOD OCEF S S ∆=四边形，正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D分析：①先证明△ABF ≌△ECF ，得AB =EC ，再得四边形ABEC 为平行四边形，进而由∠BAC =90°，得四边形ABCD 是正方形，便可判断正误；②由△OCF ∽△OAD ，得OC ：OA =1：2，进而得OC ：BE 的值，便可判断正误；③根据BC AB ，DE =2AB 进行推理说明便可；④由△OCF 与△OAD 的面积关系和△OCF 与△AOF 的面积关系，便可得四边形OCEF 的面积与△AOD 的面积关系．解答：①90BAC ∠=o Q ，AB AC =，BF CF ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AB DE ∴，BAF CEF ∴∠=∠，AFB CFE ∠=∠Q ，()ABF ECF AAS ∴∆≅∆=，AB CE ∴=，∴四边形ABEC 是平行四边形，90BAC ∠=o Q ，AB AC =，∴四边形ABEC 是正方形，故此题结论正确；②//OC AD Q ，~OCF OAD ∴∆∆，:::1:2OC OA CF AD CF BC ∴===，:1:3OC AC ∴=，AC BE =Q ，:1:3OC BE ∴=，故此小题结论正确；③∵AB ＝CD ＝EC AB CD EC ==Q ，2DE AB ∴=，AB AC =Q ，90BAC ∠=o ，AB ∴=，22DE BC ∴=⨯=，故此小题结论正确； ④~OCF OAD ∆∆Q ，211()24OCF OAD S S ∆∆∴==∴， 14OCF OAD S S ∆∆∴=∴， :1:3OC AC =Q ，3DCF ACF ACF CEF S S S S ∆∆∆∆∴==Q ，334CEF OCF OAD S S S ∆∆∆∴==， 13()44OCF CEF OAD OAD OCEF S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+=四边形，故此小题结论正确．选D ．二、填空题13、如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB =OD ，请你添加一个适当的条件______，使ABCD 成为菱形（只需添加一个即可）．答案：OA =OC （答案不唯一）．分析：本题考查了菱形的判定．解答：对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故可以添加OA =OC ．14、如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l //，则12∠-∠=______．答案：72分析：延长AB 交2l 于点F ，根据12//l l 得到∠2=∠3，根据五边形ABCDE 是正五边形得到∠FBC =72°，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出．解答：延长AB 交2l 于点F ，∵12//l l ，∴∠2=∠3，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =108°，∴∠FBC =72°，∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC =72°故答案为：72°．15、如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝，∠DP A ＝45°．则图中阴影部分的面积为______．答案：π-2分析：根据垂径定理得CE 的长，再根据已知DE 平分AO 得CO =12AO =12OE ，解直角三角形求解．在求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可解答：连接OF ．∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ． ∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE ．又∵∠OCE ＝90°， ∴sin ∠CEO ＝CO EO ＝12， ∴∠CEO ＝30°．在Rt △COE 中，OE ＝cos30CE ＝2． ∴⊙O 的半径为2．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°，∴∠D ＝90°-45°＝45°．∴∠EOF ＝2∠D ＝90°．∴S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π． ∵∠EOF ＝2∠D ＝90°，OE ＝OF ＝2，∴S Rt △OEF ＝12×OE ×OF ＝2． ∴S 阴影＝S 扇形OEF -S Rt △OEF ＝π-2．故答案为：π-2．16、定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF ＝FB +BC ．如图2，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝8，BC ＝6，D 是AB 上一点，BD ＝1，作DE ⊥AB 交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC ＝______°．答案：60分析：连接OA 、OC 、OE ，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E 为弧ABC 的中点，即»»AE CE=，进而推得∠AOE ＝∠COE ，已知∠ABC ＝60°，则∠AOC ＝2∠ABC ＝2×60°＝120°，可知∠AOE ＝∠COE ＝120°，故∠CAE ＝12∠COE ＝60°．解答：解：如图2，连接OA 、OC 、OE ，∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝1，∴AD ＝7，BD +BC ＝7，∴AD ＝BD +BC ，而ED ⊥AB ，∴点E 为弧ABC 的中点，即»»AE CE=， ∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2×60°＝120°，∴∠AOE ＝∠COE ＝120°，∴∠CAE ＝12∠COE ＝60°．故答案为60°．17、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O e 的面积S ，设O e 的半径为1，则1S S -=______．答案：π-3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案．解答：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵O e 的半径为1，∴O e 的面积S π=，OA =OB =1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB =3603012︒=︒， ∴AC =12OB =12， ∴S △AOB =12OB •AC =14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则13S S π-=-，故答案为：3π-．18、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于______；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）______．答案：2；（Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．分析：（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB 的长（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF =090取格点E 、F 并连接可得EF 为直径，与AC 相交即可确定圆心的位置，先在BO 上取点P ，设点P 满足条件，再根据点D 为AB 的中点，根据垂径定理得出OD ⊥ AB ，再结合已知条件ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=得出20PAC PBC PCB ∠=∠=∠=o ，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，根据ASA 可得OPQ OPA ≅∆∆，可得OA =OQ ，从而确定点Q 在圆上，所以连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP 即可找到点P解答：（Ⅰ）解：AB ==（Ⅱ）取圆与网格线的交点E F ，，连接EF ，与AC 相交于点O ，∵∠EAF =090，∴EF 为直径，∵圆心在边AC 上∴点O 即为圆心∵AB 与网格线的交点D 是AB 中点，连接OD 则OD ⊥AB ，连接OB ，∵BAC 30∠︒=，OA =OB∴∠OAB =∠OBA =030，∠DOA =∠DOB =060，在BO 上取点P ，并设点P 满足条件，∵ABC 50∠︒=∵20PAC PBC PCB ∠=∠=∠=o ，∴∠APO =∠CPO =040，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，则∠DOA =∠DOB =∠POC =∠QOC =060∴∠AOP =∠QOP =0120，∵OP =OP ，∴OPQ OPA ≅∆∆∴OA =OQ ，∴点Q 在圆上，∴连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 即为所求19、如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于______．答案：203分析：根据折叠可得ABNM 是正方形，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=o ，ED EF =，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF ∆中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC ∆∽PGF ∆，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG HN =，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．解答：过点P 作PG FN ⊥，PH BN ⊥，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，5AB BN NM MA ====，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=o ，ED EF =，∴853NC MD ==-=，在Rt FNC ∆中，4FN ==，∴541MF =-=，在Rt MEF ∆中，设EF x =，则3ME x =-，由勾股定理得，2221(3)x x +-=，解得：53x =， ∵90CFN PFG ∠+∠=o ，90PFG FPG ∠+∠=o ，∴FNC ∆∽PGF ∆，∴::::3:4:5FG PG PF NC FN FC ==，设3FG m =，则4PG m =，5PF m =，∴43GN PH BH m ===-，5(43)134HN m m PG m =--=+==，解得：1m =，∴55PF m ==， ∴520533PE PF FE =+=+=，故答案为：203． 20、如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ∆；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ∆；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ∆……记12AA A ∆、123A A A ∆、231A A A ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S =______．答案：20172分析：首先求出S 1、S 2、S 3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解答：Q 四边形11OAA B 是正方形，1111OA AA A B ∴===，1111122S ∴=⨯⨯=， 190OAA ∠=o Q ，211111AO ∴=+∴，2232OA A A ∴==，212112S ∴=⨯⨯=，同理可求：312222S =⨯⨯=，44S =…， 22n n S -∴=，201720192S ∴=，故答案为：20172．21、如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆，连接A C '，A D '，则当A DC '∆是以A D '为腰的等腰三角形时，FD 的长是______．答案：2或分析：题干仅告知了A DC '∆是以A D '为腰的等腰三角形，存在两种情况，一种是=DC A D '，连接ED ，利用勾股定理求ED 的长，可判断点E 、A '、D 三点共线，最后在Rt △F A 'D 中可求得；另一种情况是=C A D A ''，证四边形AE A 'F 是正方形，可求得．解答：情况一：当=DC A D '时，如下图，连接ED∵点E 是AB 的中点，AB =4，BC =ABCD 是矩形∴AD =A =90°∴在Rt △ADE 中，ED =6∵将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆∴A E '=AE =2∵=DC A D '=AB =4∴ED =A E '+A D '∴点E 、A '、D 三点共线∵∠A =90°∴∠F A 'E =∠F A 'D =90°设AF =x ，则A 'F =x ，FD =x∴在Rt △F A 'D 中，()2224x x+=，解得：x∴FD情况二：当=C A D A ''时，如下图∵=C A D A ''∴点A '在线段CD 的垂直平分线上∴点A '在线段AB 的垂直平分线上∵点E 是AB 的中点∴E A '是AB 的垂直平分线∴∠AE A '=90°∵将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆，四边形ABCD 是矩形∴∠A =∠E A 'F =90°，AF =F A '∴四边形AE A 'F 是正方形∴AF =AE =2∴FD =2故答案为：2或三、解答题22、如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED ＝∠C ．（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC ＝8，cos ∠BED ＝45，求AD 的长．答案：（1）AC 与⊙O 相切，证明见解答；（2）485．分析：（1）由于OC ⊥AD ，那么∠OAD +∠AOC =90°，又∠BED =∠BAD ，且∠BED =∠C ，于是∠OAD =∠C ，从而有∠C +∠AOC =90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC =90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，AB 是直径，那么∠ADB =90°，在Rt △AOC 中，由于AC =8，∠C =∠BED ，cos ∠BED =45，利用三角函数值，可求OA =6，即AB =12，在Rt △ABD 中，由于AB =12，∠OAD =∠BED ，cos ∠BED =45，同样利用三角函数值，可求AD ．解答：解：（1）AC 与⊙O 相切．∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD=∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）连接BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△AOC中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=45，∴AO=6，∴AB=12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=45，∴AD=AB•cos∠OAD=12×448=55．23、已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．答案：（1）证明见解答；（2）分析：（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．解答：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM，∴AE=2AM．24、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．答案：分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC∴矩形ABCD的面积=AB•BC．25、如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝AC＝4，求扇形OAC的面积．答案：（1）见解答；（2）S扇形OAC＝83 ．分析：（1）连接OE，由条件知∠D＝∠OED，证出∠OED＝∠G，可得OE∥AG，证明∠OEF ＝180°−∠AFE＝90°，即OE⊥EF，则EF与⊙O相切．（2）连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，求出CH，OH的长，再求出OC的长，得出△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，可求出扇形OAC的面积．解答：（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°-∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH＝1AC2 2=，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH EF==，在Rt△OHC中，OC＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝2604360π⋅＝83π．26、如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系______；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．答案：（1）AF AE；（2）AF，证明详见解答；（3）结论不变，AF AE，理由详见解答．分析：（1）如图①中，结论：AF AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF AE，连接EF，延长FD交AC 于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．解答：解：（1）如图①中，结论：AF AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AFAE ．（2）如图②中，结论：AFAE ．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE =∠ABC =45°，∴EKF =180°-∠DKE =135°，∵∠ADE =180°-∠EDC =180°-45°=135°，∴∠EKF =∠ADE ，∵∠DKC =∠C ，∴DK =DC ，∵DF =AB =AC ，∴KF =AD ，在△EKF 和△EDA 中，EK DK EKF ADE KF AD =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△EKF ≌△EDA ，∴EF =EA ，∠KEF =∠AED ，∴∠FEA =∠BED =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AFAE ．（3）如图③中，结论不变，AFAE ．理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ．∵∠EDF =180°-∠KDC -∠EDC =135°-∠KDC ，∠ACE =（90°-∠KDC ）+∠DCE =135°-∠KDC ，∴∠EDF =∠ACE ，∵DF =AB ，AB =AC ，∴DF =AC在△EDF 和△ECA 中，DF AC EDF ACE DE CE =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△EDF ≌△ECA ，∴EF =EA ，∠FED =∠AEC ，∴∠FEA =∠DEC =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AFAE ．27、如图，AB 是O e 的直径，BM 切O e 于点B ，点P 是O e 上的一个动点（点P 不与A ，B 两点重合），连接AP ，过点O 作//OQ AP 交BM 于点Q ，过点P 作PE AB ⊥于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接PQ ，OP ，AE ．（1）求证：直线PQ 为O e 的切线；（2）若直径AB 的长为4．①当PE =______时，四边形BOPQ 为正方形；②当PE =______时，四边形AEOP 为菱形．答案：（1）见解答；（2）①2；②分析：（1）证BOQ POQ ∆∆≌，得出∠OPQ =∠OBQ =90°得证；（2）①根据四边形OBQP 是正方形，可得点E 与点O 重合，故而求得EP 的长；②利用菱形的性质，对角线垂直且相互平分，可在Rt △CPO 中求得CP 的长，进而得出EP 的长．解答：（1）证明：∵BM 切O e 于点B ，∴OB BQ ⊥，∴90OBQ ∠=︒，∵//PA OQ ，∴OPA POQ ∠=∠，OAP BOQ ∠=∠，而OA OP =，∴OPA OAP ∠=∠，∴POQ BOQ ∠=∠，在BOQ ∆和POQ ∆中OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOQ POQ ∆∆≌．∴90OPQ OBQ ∠=∠=︒．∴直线PQ 为O e 切线；（2）①如下图所示∵四边形OBQP 是正方形∴OP ⊥AB∴点O 与点E 重合∴EP =OP∵直径AB =4∴OP=EP=2②如下图∵四边形AEOP是菱形∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP∵直径AB=4∴OP=2，CO=1∴在Rt△PCO中，CP∴EP=28、如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是______；②直线DG与直线BE之间的位置关系是______；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．答案：（1）①BE ＝DG ，②BE ⊥DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．理由见解答；（3）BG 2+DE 2＝25．分析：（1）先判断出△ABE ≌△DAG ，进而得出BE =DG ，∠ABE =∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE ∽△DAG ，得出∠ABE =∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET =x ，AT =y ．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．解答：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB +∠ABE ＝90°，∴∠ATB +∠ADG ＝90°，∵∠ATB ＝∠DTH ，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠DAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD＝AEAG＝12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG＝12，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵∠GAH +∠DAG =90°，∠BAE +∠DAG =90°，∴∠GAH =∠BAE ，又∵∠GHA =∠ATE =90°，∴△AHG ∽△ATE ， ∴GH AH AG ET AT AE==＝2， ∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4-y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．29、已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -．（1）如图1，已知P e 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P e 的直径长；（2）如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，①当点Q 与点C 重合时，求证：直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点，连结,QM QN .问：是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）P e 的直径长为（2）①见解答；②存在这样的点1(3Q -和2(3Q +，使得QMN ∆是等腰直角三角形．分析：（1）连接BC ，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC =AB ，即可求解；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，证明CE =AC sin45°=4×2=圆的半径，即可求解；（3）假设存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，分点Q 在线段CF 上时和点Q 在线段CF 的延长线上两种情况，分别求解即可．解答：（1）如图3，连接BC ，∵∠BOC =90°，∴点P 在BC 上，∵⊙P 与直线l 1相切于点B ，∴∠ABC =90°，而OA =OB ，∴△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC =AB （2）如图4过点C 作CE AB ⊥于点E ，图4将0y =代入33y x =-，得1x =，∴点C 的坐标为()1,0．∴4AC =，∵45CAE ∠=︒，∴2CE AC == ∵点Q 与点C 重合，又Q e 的半径为∴直线1l 与Q e 相切．②假设存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，∵直线1l 经过点()()3,0,0,3A B -，∴l 的函数解析式为3y x =+．记直线2l 与1l 的交点为F ，情况一：如图5，当点Q 在线段CF 上时，由题意，得45MNQ ∠=︒．如图，延长NQ 交x 轴于点G ，图5∵45BAO ∠=︒，∴180454590NGA ∠=︒-︒-︒=︒，即NG x ⊥轴，∴点Q 与N 有相同的横坐标，设(),33Q m m -，则(),3N m m +，∴()333QN m m =+--．∵Q e 的半径为∴3(33)m m +--=解得3m =∴336m -=-∴Q 的坐标为(3-．情况二：当点Q 在线段CF 的延长线上时，同理可得3m =，Q 的坐标为(3+．∴存在这样的点1(3Q -和2(3Q +，使得QMN ∆是等腰直角三角形．30、如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．（1）如图1，当PB =4时，若点B ’恰好在AC 边上，则AB ’的长度为______；（2）如图2，当PB =5时，若直线l //AC ，则BB ’的长度为______；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB ’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．答案：（1）4；（2）（3）面积不变，S△ACB’=（4）分析：（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，设直线l交BC于点E，连接BB′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；（3）如图3中，结论：面积不变，证明BB′//AC即可；（4）如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题．解答：（1）如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=P A=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；（2）如图2，设直线l交BC于点E，连接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE =∠A =60°，∠BEP =∠C =60°，∴△PEB 是等边三角形，∵PB =5，B 、B ′关于PE 对称，∴BB ′⊥PE ，BB ′=2OB ，∴OB =PB ，∴BB ，故答案为（3）如图3，结论：面积不变．过点B 作BE ⊥AC 于E ，则有BE =AB ·sin60°=82⨯=∴S △ABC =11822AC BE =⨯⨯g ， ∵B 、B ′关于直线l 对称，∴BB ′⊥直线l ，∵直线l ⊥AC ，∴AC //BB ′，∴S △ACB ’=S △ABC（4）如图4，当B ′P ⊥AC 时，△ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt △APE 中，P A =2，∠P AE =60°，∴PE =P A∴B ′E =B ′P +PE∴S △ACB 最大值=12×（。

沪教版数学八年级上第十九章几何证明19.2证明举例练习一和参考答案

沪教版数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例练习⼀和参考答案数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例（1）⼀、选择题1．如图，AC=AD，CE=ED，则图中全等三⾓形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对第1题第3题2．⼀个⾓的两边与另⼀个⾓的两边分别平⾏，则这两个⾓的位置关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补; D．互余3．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列⼀个条件后，仍然⽆法判断△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC4．等腰三⾓形的⼀个⾓是80°，那么另外两个⾓分别是（）A．80°、20° B．50°、50° C．80°、80° D．80°、20°或50°、50°5．下列图形中，两个三⾓形全等的是（）A. 边长为15cm的两个等边三⾓形B.含60°⾓的两个锐⾓三⾓形C. 腰长对应相等的两个等腰三⾓形D. 有⼀个钝⾓对应相等的两个等腰三⾓形6. 在下列命题中，为假命题的是（）A. 两边及其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等B. 两⾓及其夹边对应相等的两个三⾓形全等C. 两边及⼀边的对⾓对应相等的两个三⾓形全等D. 三边对应相等的两个三⾓形全等⼆、填空题7. 过⼀点有且直线与已知直线垂直。

8. 等腰三⾓形顶⾓的、底边上的、互相重合。

9. 在⼏何证明过程中，为了化繁为简，常常要利⽤来实现。

10. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=38°，则∠ACD= 。

11. 若等腰三⾓形⼀个内⾓为70°，则它⼀腰上的⾼与底边所夹的⾓等于。

12. 如图，BC=AD，只需添加⼀个条件，则△ABC≌△CDA。

第12题第13题第14题第15题13. 如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC，要证CB=CD，需添置辅助线是。

安徽省2019年中考二轮复习题型六：几何图形的证明及计算(含答案)

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF 的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC ＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1. 如图①，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC边上的两点，EF交CD于H.(1)若∠EFC＝∠A，求证：CE·CD＝CH·BC；(2)如图②，若BH平分∠ABC，CE＝CF，BF＝3，AE＝2，求EF的长；(3)如图③，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE 交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2. 如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 、P 分别为AC 、AB 的中点，连接BD 、CP ，CP 交BD 于点E ，点F 在AB 上且∠ACF ＝∠CB D.(1)求证：CF ＝BE ；(2)如图②，过点A 作AG ⊥AB 交BD 的延长线于点G . ①若CF ＝6，求DG 的长； ②设CF 交BD 于点H ，求HECH的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ；②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．第4题图5. 如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，顶点C 恰好在直线l 上，过A 、B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E 在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．图①图②图③第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴∠CAM ＋∠ACM ＝90°，∵AC ⊥BD ，∴∠MBE ＋∠ACM ＝90°，∴∠BAN ＝∠CAM ＝∠MBE ，∵MB ＝MN ，∴∠MNB ＝∠MBN ，∵∠MNB ＝∠ABN ＋∠BAN ，∠MBN ＝∠MBE ＋∠NBE ，∴∠ABN ＋∠BAN ＝∠MBE ＋∠NBE ，∴∠ABN ＝∠NBE ，即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ，∴MB ＝MN ＝12BC ， ∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BN ＝CD ，BN ∥CD ，∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ，∴∠ABN ＝∠BDC ，∵AB ＝BD ＝1，∴△ABN ≌△BDC ，∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∵AE ＝AD ，参考答案∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∵∠ABF ＝2∠EDC ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM . 证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴CA ＝CB又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠BAH ＝∠BCM ，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴AC ＝GM ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM，∴△BAH ≌△BCM (SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°，∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)，∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ，∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，∴△ACG ≌△BCG (SAS )，∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°，∴∠PCG ＝∠PGC ，∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ，∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ，∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33，由(2)得：△ACG ≌△BCG ，∴BG ＝AG ＝6，∴ 12×6×EM ＝33，解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °，∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °，∵∠ACH ＝45°，∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23，AM ＝（23）2－（3）2＝3，∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°，∴CE ＝12BE ＝3＋3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3. 第3题解图4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点，∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°，∴∠AMC ＝90°，∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ，∴BC ＝AC ＝2 2 ，∵CE ＝1，∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ，∵点F 是BD 中点，∴CF ＝DF ＝12BD ＝32，同理：EG ＝12AE ＝32，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点，∴FH ＝12CD ＝12， ∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14，由(2)知，AE ⊥CF ，∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13， ∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76， ∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，第4题解图⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO，∴△BCO ≌△DCO (SAS)，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC，∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN ∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，∴△MCN 是等腰直角三角形，∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC .在△AQP 与△ABC 中，∵∠AQP ＝∠ABC ，∠QAP ＝∠BAC ，∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5.①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴P A AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝BP 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53； ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ，∵∠DAC ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ECA .∴AD ∥CE ；(3)解：∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，又∵∠DF A ＝∠EFC ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF， ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AF CF， ∴CF AF ＝710， ∴AF ＋CF AF ＝1＋CF AF ＝1710，即AC AF ＝1710. 3. (1)证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠B ＋∠BDE ＋∠DEB ＝180°，∠BDE ＋∠EDF ＋∠FDC ＝180°，∠EDF ＝∠B ， ∴∠FDC ＝∠DEB ，∴△CFD ∽△BDE ，∴DE DF ＝BE CD，即DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)①证明：由(1)证得△BDE ∽△CFD ，∴BE CD ＝DE DF， ∵D 为BC 中点，∴BD ＝CD ，∴BE BD ＝DE DF， ∵∠B ＝∠EDF ，∴△BDE ∽△DFE ，∴∠BED ＝∠DEF ，∴ED 平分∠BEF ；②解：∵四边形AEDF 为菱形，∴∠AEF ＝∠DEF ，由(2)知，∠BED ＝∠DEF ，∵∠AEF ＋∠DEF ＋∠BED ＝180°，∴∠AEF ＝60°，∵AE ＝AF ，∴∠BAC ＝60°.∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，又∵∠BED ＝∠AEF ＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ， ∴AE AB ＝12. 4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA，① ∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF，② 由①②可得CD AC ＝BE BF， ∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ， ∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12AC ， ∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ，∵DP＝CP＝BC，CP＝CE，∴BC＝CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF＝2AC＝4AB＝8，∴PE＝EF－FP＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC＋∠FEC＋∠ECF＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，又∵∠EFC＝∠A，∠ECF＝∠ACB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECH＝∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴ECBC＝CHCD，∴CE·CD＝CH·BC；(2)解：如解图①，连接AH.∵BH、CH分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AH是∠BAC的平分线，∴∠BHC＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠BAC)＝90°＋12∠BAC＝90°＋∠HAE，∵CE＝CF，∠HCE＝∠HCF，∴CH⊥EF，HF＝HE，∴∠CHF＝90°，∵∠BHC＝∠BHF＋∠CHF＝∠BHF＋90°，∴∠HAE＝∠BHF，∵CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF，∴∠AEH＝∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AEHF＝EHFB，∴FH·EH＝6，∴HE＝HF＝6，∴EF＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52， CM ＝CN ＝532， ∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ， ∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43，又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，解得y ＝5314或332， ∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314， ∴CF ＝2037， ∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CF AC ， ∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF， ∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32； (2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ， ∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ， ∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13. 3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°，∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ， ∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ， ∴OF ＝255k ，EF ＝455k ， ∴AD EF ＝54，又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54，即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ，∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM ＝∠AIN ＝90°，又∵AI ＝AI ，∴△AMI ≌△ANI (ASA)，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴∠BMI ＝∠CNI ，设∠BAI ＝∠CAI ＝α，∠ACI ＝∠BCI ＝β，∴∠NIC ＝90°－α－β，∵∠ABC ＝180°－2α－2β，∴∠MBI ＝90°－α－β，∴∠MBI ＝∠NIC ，∴△BMI ∽△INC ， ∴BM NI ＝MI NC， ∴NI ·MI ＝BM ·CN ，∴MI 2＝BM ·CN ；②解：如解图③，过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G . ∵NG ∥AD ，∴∠ANG ＝∠DAN ，∠AGN ＝∠BAD ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAN ＝30°，∴∠ANG ＝∠AGN ＝30°，∴AN ＝AG ，NG ＝3AN ，∵AI ∥NG ，∴∠MIA ＝∠MNG ，∠MAI ＝∠MGN ，∴△AMI ∽△GMN ，∴AM MG ＝AI NG， ∴AM AM ＋AN ＝43AN ， ∴AM ＋AN AM ＝3AN 4， ∴ 1AM ＋1AN ＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1kAD . 证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC＝k ， ∴DC ＝kBE ，CE ＝1kAD ， ∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1kAD ； (3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4，设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12，解得x ＝87，即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°，∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ， ∴(12AB )2＝CE ·CF ， ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ，由①得AB 2＝4CE ·CF ，∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2 ∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN又∵∠ENC ＝∠DNG∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2，又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ， ∴CG ＝BG ＝2，∴NG ＝13CG ＝23，在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

中考数学复习方案题型突破(03)三角形、四边形的有关计算与证明课件

图Z3-3
解:(3)证明:(方法一)如图②,延长BM交CF于点D,连接BE,DE.
∵∠BCE=45°,∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=45°+45°=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠ABC=∠BCF,
∴AB∥CF,∴∠1=∠2,∠ABM=∠FDM.
又∵AM=FM,∴△ABM≌△FDM,
∴AB=DF,∴BC=DF.
∵F 为 BC 的中点,DB=DC,∴DF 垂直平分线段 BC,∴BG=CG.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB.
∠ = ∠,
在△ABE 和△CBE 中, = ,
∠ = ∠,
∴△ABE≌△CBE,∴EC=EA.
在 Rt△CGE 中,由勾股定理,得 CG2-GE2=EC2.
(3)若 AG=6,EG=2 5,求 BE 的长.
图Z3-6
解:(1)证明:由折叠知,
∠EFA=∠DFA,EG=GD,EF=DF.
∵EG∥DC,∴∠DFA=∠EGF,
∴∠EFA=∠EGF,
∴EF=EG,∴EF=EG=FD=GD.
∴四边形EFDG是菱形.
3.如图 Z3-6,将矩形 ABCD 沿 AF 折叠,使点 D 落在 BC 边上的点 E 处,过点 E 作
∴AM=10 10.
1.[2019·绍兴]如图Z3-1①是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是
底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,
AD=30,DM=10.
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,
连接D1D2,如图Z3-1②,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.

(基础题)沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接，若，，则的度数为( )A. B. C. D.3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE ＝4，则AD等于( )A.10B.12C.24D.484、如图，在中，，，，扇形AOC 的圆心角为，点D为上一动点，P为BD的中点，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A.1B.C.D.5、如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）A.3B.C.D.6、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A. B. C. D.7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4 ，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（）A.4B.6  C.2＋2D.88、如图，锐角中，，若想找一点P，使得与互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和的平分线，两线交于P点，则P即为所求. 对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.三人皆正确B.甲、丙正确，乙错误C.甲正确，乙、丙错误 D.甲错误，乙、丙正确9、如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 M 是边 BC 上的点，DE⊥AM 于点 E，BF∥DE，交 AM 于点 F.若E 是 AF 的中点，则 DE 的长为（）A. B.2 C.4 D.10、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）A.3 ：4B.5 ：8C.9 ：16D.1 ：211、如图，的直径的长为，弦长为，的平分线交于，则长为（）A.7B.7C.8D.912、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A.3个B.4个C.5个D.6个13、下列各组数为边长的三角形中，能够形成直角三角形的是（）A.2，3，4B.5，12，13C. ，，D. ，，14、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4B.6C.16D.5515、如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点A，与交于点E，连接，若，则的长为（）A. B. C.4 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是________寸．17、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=________cm．18、如图，在正方形中，点分别是边的中点，连接过点E作垂足为的延长线交于点G.过点作分别交于正方形的边长为，下列四个结论:① ② ；③ ；④若点是上一点，则周长的最小值为，其中正确的结论有________.19、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC相交于点D，则图中阴影部分的面积为________．20、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM＝4，AN＝3，且∠MAN＝60°，则AB的长是________.21、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= ，则斜边AB边上的高CD的长为________.22、如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝________．23、如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则________．24、如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连结OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S的最小值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是________；（只填序△OMN号）25、如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为________海里。

小学奥数构造与论证.解析版

构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那a b么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

高考数学2019真题汇编-立体几何(解析版)

专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=，又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>；在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴3112312cm 3O EFGHV -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m （如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α也对）【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，是不正确的，有可能m 在平面α内；但是已知了直线在平面外，故正确。

押新高考第19题立体几何(新高考)(解析版)

立体几何对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上．1．用向量法求异面直线所成的角（1）建立空间直角坐标系；（2）求出两条直线的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为||cos ||||AC BD AC BD β⋅=.2．用向量法求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 3．用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．平面,αβ所成的二面角为θ，则0πθ≤≤，如图①，AB ，C D 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝,〈〉AB CD ．如图②③，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝1212n n n n ，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．1．（2021·湖南·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：平面ACE ；（2）设，，直线PB 与平面ABCD 所成的角为，求四棱锥的体积.【详解】（1）连接交于点，连接. 在中，因为，所以，因为平面，平面，则平面.（2）因为平面ABCD ，所以就是直线PB 与平面ABCD 所成的角，所以，又，，所以，所以四棱锥的体积，所以四棱锥的体积为.2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD 的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,,,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，所以,,,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（II）由（1）得，，设直线与平面所成角为，则；（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.3．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．4．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.5．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故. 而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.1．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AB ⊥，PC CD ⊥，BC AD ∥，23πBAD ∠=， 2PA AB BC ===，4=AD .(1)证明：PA ⊥平面ABCD .(2)若M 为PD 的中点，求二面角M AC D --的大小. 【解析】 (1)证明：由题可知ABC 为等边三角形，所以2AC =，3π∠=CAD .在ACD △中，由余弦定理得2224224cos 233CD π=+-⨯⨯=，所以222AC CD AD +=，所以CD AC ⊥. 因为CD PC ⊥，且ACPC C =，所以CD ⊥平面PAC .因为PA ⊂平面PAC ，所以CD PA ⊥. 因为PA AB ⊥，且,AB CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . (2)以A 为坐标原点，以AD ，AP 的方向分别为y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -则()3,1,0C，()0,2,1M .设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则30,20,n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，得()1,3,23n =-. 取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，则233cos ,142⋅<>===⨯m n m n m n. 由图可知二面角M AC D --为锐角，所以二面角M AC D --的大小为6π.2．（2022·湖南永州·三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112AB AA AC BC ====.(1)求证：11A B B C ⊥；(2)若2AC =，160ABB ∠=，点M 满足132AM MC =，求二面角11A A B M --的余弦值. 【解析】 (1)连接11,A B AB 交于点O ，连接OC ，四边形11ABB A 为菱形，11A B AB ∴⊥，O 为1A B 中点，又1CA CB =，1A B OC ∴⊥， 1AB OC O =，1,AB CO ⊂平面1ACB ，1A B ∴⊥平面1ACB ，又1B C ⊂平面1ACB ，11A B B C ∴⊥. (2)160ABB ∠=，12AB AA ==，3OB ∴=，1OA =，在Rt OBC 中，222OC BC OB =-，1OC ∴=，在OAC 中，有222OA OC AC +=，OC OA ∴⊥，又OA OB O =，,OA OB ⊂平面11ABB A ，OC ∴⊥平面11ABB A ，则以O 为坐标原点，,,OA OB OC 为,,x y z 轴可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()10,3,0A -，()11,0,0B -，()0,0,1C ，()11,3,1C --，()12,3,1AC ∴=--，设(),,M x y z ，则()1,,AM x y z =-，()11,3,1MC x y z =---，132AM MC =，()()()()3121323321x x y y z z ⎧-=--⎪⎪∴=-⎨⎪=-⎪⎩，解得：152325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，1232,55M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，1133255A M ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，()113,0A B =-，设平面11MA B 的法向量(),,n a b c =，1111332055530A M n a c A B n a b ⎧⋅=++=⎪∴⎨⎪⋅=-+=⎩，令1b =，解得：3a =3c =-(3,1,23n ∴=-；又OC ⊥平面11ABB A ，则平面11AA B 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos ,2m n m n m n⋅∴<>==⋅，又二面角11A A B M --为锐二面角，∴二面角11A A B M --的余弦值为32. 3．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==．D 为1CC 中点，E 为1B D 上一点．(1)求四棱锥11A BB C C -的体积；(2)若1B E CE CD +=，求三棱锥1D AEC -的体积．【解析】 (1)解：取BC 的中点为O ，因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形，四边形11BB C C 为矩形，且1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AO ⊥，AO BC ⊥，又1BC CC C =，所以AO ⊥平面11BB C C ，即为四棱锥11A BB C C -的高，又122AA AB ==，所以32AO =，所以四棱锥11A BB C C -的体积11111133123323A BBC C BB C C V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=；(2)解：因为1B E CE CD +=，即1B E CD CE ED =-=，所以E 为1B D 的中点，所以11111111111111133112223232224E ADC B ADC A B C D D AEC B C DV V V V SAO ----====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 4．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-，易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--，可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下：取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ，由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ，所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ，又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线，即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.5．（2022·福建·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.【解析】 (1) 设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥，因为PB PD =，所以BD PO ⊥，又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ； (2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP ==，1OB =，因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则326,0,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()3,1,0AD =--，()3,1,0AB =-，2326,0,33AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111302326033x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取11z =，则12x =，16y =，所以()2,6,1m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222302326033x y x z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 取21z =，则22x =，26y =-，所以()2,6,1n =-，设二面角B PA D --为θ，则2611cos 3261261m n m nθ⋅-+===++⋅++⋅，又[]0,πθ∈，则222sin 1cos 3θθ=-=.（限时：30分钟）1．如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①7AD =．②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．（1）判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A MN B --的正弦值．【详解】（1）若选①：7AD =在Rt BCD 中，2BC =，1CD =，3BD =，2AB =，可得222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，又由AB BC ⊥，且BCBD B =,,BC BD ⊂平面CBD ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=,,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径，则90ADC ∠=︒，可得CD AD ⊥，又由CD BD ⊥，且ADBD D =,,AD BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，因为AB BC ⊥，且AB平面ABC ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，且BD CD D ⋂=,,BD CD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，可得//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．（2）以D 为原点，射线OB 为y 轴建立如图直角坐标系，则()3,2A ，()3,0B ，()1,0,0C -，13,,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭可得1,0,02MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30,1AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,BN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面AMN 的法向量为()111,,m x y z =，则111102302m MN x m AN y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩，取13y =1130,2x z ==-，所以30,3,2m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面BMN 的法向量为()222,,n x y z =，则222102302n MN x n BN y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩, 取23y =，可得30,3,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以9314cos ,9734m n m n m n -⋅===⋅+，故二面角A MN B --的正弦值437.2．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是边长为3的等边三角形，CD CB =，CD ⊥平面ABC ，点M 、N 分别为AC 、CD 的中点，点P 为线段BD 上一点，且//BM 平面APN .（1）求证：BM AN ⊥；（2）求平面APN 与平面ABC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为CD ⊥面ABC ，BM ⊂面ABC ，所以CD BM ⊥.又∵正ABC 中，AM MC BM AC =⇒⊥，∴BM CDBM AC BM CD AC C ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面ACD ， ∴BM AN ⊥.（2）解：连接MD 交AN 于G 点，连接PG ，因为//BM平面APN ，所以//BM PG ，由重心性质知P 为靠近B 点的三等分点.∴()0,0,0C ，3330,,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0B ，()1,2,0P ，3,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，设面APN 的法向量为(),,n x y z =，0AP n ⋅=，0AN n ⋅=，∴13302233330222x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，令4x =，则1,3y z == ∴()4,1,3n =，平面ABC 的法向量为()1,0,0u =，425cos ,51613u v ==++， ∴平面APN 与平面ABC 所成角的正弦值为55.3．如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①7AD =．②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．（1）判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥A MNB -的体积．【详解】（1）若选①：7AD =Rt BCD 中，2BC =，1CD =，可得3BD =，又由2AB =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，因为AB BC ⊥，且BC BD B =，,BC BC ⊂平面CBD ，所以AB ⊥平面CBD ，又因为CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，又由CD BD ⊥，AB BD B =且,AB BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，所以//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径，则90ADC ∠=︒，CD AD ⊥，因为CD BD ⊥，可证得CD ⊥平面ABD ，又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC平面BCD BC =，因为AB BC ⊥，且AB 平面ABC ，所以AB ⊥平面CBD ，又由CD ⊂平面CBD ，所以AB CD ⊥，因为CD BD ⊥，AB BD B =且,AB BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ，所以MN ⊥平面ABD ．（2）由（1）知MN ⊥平面ABD ，其中ABD △为直角三角形，可得3122ANB ADB S S ==△△，1122MN CD ==，故三棱锥A MNB -的体积为131332A MNB M ABN V V --===．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB ⊥平面PAD ，24PA AD DC AB ====，27PD =，M 是PC 的中点.（1）证明：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥M PAB -的体积.【详解】（1）取PD 中点N ，连接MN ，AN ，因为PA AD =，所以AN PD ⊥，由AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥，又由AN AB A =，且,AN AB ⊂平面ABN ，所以PD ⊥平面ABN ，因为MN 是PCD ∆中位线，所以////AB CD MN ，四边形ABMN 是平行四边形，于是PD ⊥平而ABM ，PD ⊂平面PCD ，所以平面ABM ⊥平面PCD .（2）由（1）可得//MN AB ，且AB平面PAB ，所以//MN 平面PAB ，所以AB M P N PAB B NAP V V V ---==，因为AB ⊥平面PAD ，可得13B NAP NAP V S AB -∆=⨯，又由4AP =，7=PN ，AN PD ⊥，所以2473AN -=，137732NAP S ∆== 所以137273B NAP V -==5．如图，三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB ==，2BC =，E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，点F 在棱11A B 上，且12B F =.（1）证明：1//A P 平面EFC ；（2）若1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，求二面角P CF E --的余弦值.【详解】（1）证明：如图，连接1PB 交CE 于点D ，连接DF ，EP ，1CB .因为E ，P 分别是11B C 和1CC 的中点，故11//2EP CB ，故112PD DB =. 又12B F =，113A B =，故1112A F FB =，故1//FD A P . 又FD ⊂平面EFC ，所以1//A P 平面EFC . （2）由题意知AB ，BC ，1BB 两两垂直，以B 为坐标原点，以1BB 的方向为z 轴正方向，分别以BA ，BC 为x 轴和y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -.则()0,2,0C ，()10,0,3B ，()2,0,3F ，()0,1,3E ，30,2,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设()111,,n x y z =为平面EFC 的法向量，则00n EF n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112030x y y z -=⎧⎨-=⎩，可取3,3,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()222,,m x y z =为平面PFC 的法向量，则00m PF m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222232202302x y z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可取()1,1,0m =.所以233922cos ,14391112n m n m n m +⋅===⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭. 由题意知二面角P CF E --为锐角，所以二面角P CF E --的余弦值为214.。

中考数学几何证明题--(专题练习答案详解)

几何证明题专题1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H 在边BF 上，且∠HDF=∠E ，连接CH ，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC ．（1）解：连接BD ，由∠ABC=90°，AD ∥BC 得∠GAD=90°，又∵BF ⊥CD ，∴∠DFE=90°又∵DG=DE ，∠GDA=∠EDF ，∴△GAD ≌△EFD ，∴DA=DF ，又∵BD=BD ，∴Rt △BAD ≌Rt △BFD （HL ），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6，∴BC=，又∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠BDF=∠CBD ，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠E=∠CBF ，∵∠HDF=∠E ，∴∠HDF=∠CBF ，由（1）得，∠ADB=∠CBD ，∴∠HDB=∠HBD ，∴HD=HB ，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE（SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．=（﹣2+4）×=3﹣5．∴S△DPF10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E 是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C=3×2+6+3﹣3=9+3，梯形ABCD答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C=DF+FE+DE=6，△DFE∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．=（AD+BC）•DG∴S梯形ABCD=（2+5）×430、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，=．∴OB=OD，∴S梯形ABCD又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案

沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，若想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；丙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求．对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（）A.甲、丙正确，乙错误B.甲正确，乙、丙错误C.三人皆正确 D.甲错误，乙、丙正确2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中有（）A.①②③B.①②③④C.①②D.①3、如图，⊙的直径为10，弦的长为8，且，垂足为，则的长为( )A.1B.2C.3D.44、如图，点A在双曲线上，且OA=4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA 的垂直平分线交OC于B,则△ABC的周长为（）A.4B.5C.D.5、如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形ABCD，∠ACB=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点，若AB= 6 cm，点D′到BC的距离是（）A. B. C. D.6、如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（）A. πB. πC. πD. π7、如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )A. B. C. D.8、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于A. B. C. D.9、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，我国对勾股定理得证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为“赵爽弦图”.在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A. B. C. D.10、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离均为1，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，∠C=90°，求AB的长是（）A.3B.C.D.11、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（）A. B. C. D.12、如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A. B.4 C. D.813、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC 的延长线于F，若∠F=30°，BE=4，则AD的长是（）A.1B.2C.6D.214、▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为( )A.60 cm 2B.30 cm 2C.20 cm 2D.16 cm 215、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是________17、若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是________ 度．18、如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．19、如图，矩形中，点，分别在，上，且，连接，，，且平分，，连接交于点，则线段的长为________.20、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .21、如图，在平行四边形ABCD中，，,将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________.22、如图，已知点P是角平分线上的一点，, 于点D,M 是OP的中点，，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为________cm.23、如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=8cm，BC=7cm，则DE=________cm．24、如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE= BE，则长AD与宽AB的比值是________．25、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x 轴的负半轴上，，顶点C的坐标为，x反比例函数的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当轴时，k的值是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB= ，求AB的值．27、如图,直线AE、CE分别被直线EF、AC所截,已知∠1=∠2,AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整.证明：因为∠1=∠2,所以________//________(________),所以∠EAC=∠ACG(________),因为AB平分∠EAC,CD平分∠ACG,所以________= ,________= ,所以________=________,所以AB//CD( ________).28、一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？29、如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AC=5，AD=3，BC=CD．求点C到AB的距离．30、如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，EF＝5，试求CF的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、C5、C6、C7、D8、A9、B10、B11、D12、C13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析1.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（）A．邻边不等的平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形【答案】D【解析】如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，所以△AEH≌△DGH，因此根据全等三角形的性质可得EH=HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，因此可得EH=HG=GF=EF，所以四边形EFGH为菱形．故选A【考点】菱形的判定2.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。

（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。

（，结果精确到0.1m）【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．【解析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．试题解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m.（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝D．AF＝EF【答案】D．【解析】∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．【考点】翻折变换（折叠问题）．4.（7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【解析】（1）利用“ASA”即可得证；①当四边形CEDF是矩形时，则有EG=DG=1．5cm，又由已知可得∠ADC＝60°，从而得△EGD为等边三角形，从而得DE=1．5cm，从而得AE=3．5cm；②．当四边形CEDF是菱形时，则有EF⊥CD，由已知可知∠ADC=60°，从而可得∠DEG＝30°，从而得DE＝2DG＝3，从而得AE＝2．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．菱形的判定．5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．【答案】60°．【解析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．试题解析：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B="∠AOC，"∵∠AOC="2∠ADC，"∴∠B="2∠ADC，"∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC="180°，"∴3∠ADC="180°，"∴∠ADC="60°，"∴∠B="∠AOC=120°，"∵∠1="∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，"∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）-（∠ADO+∠CDO）=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°．【考点】1．圆周角定理；2．平行四边形的性质．6.下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形【答案】C【解析】因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A错误；因为对角线垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是等腰梯形，所以B错误；因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C正确；因为四边都相等的四边形是菱形，所以D错误；故选：C．【考点】特殊的平行四边形的判定．7.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。

初一几何图形的周长计算

初一几何图形的周长计算几何图形是初中数学中重要的一个部分，它涉及到图形的性质和计算，其中包括了周长的计算。

在初一阶段，学生需要掌握各种常见图形的周长计算方法，这不仅需要对图形的属性有一个清晰的了解，还需要灵活运用相关的计算公式。

本文将为大家详细介绍初一几何图形的周长计算方法，并提供实例进行说明。

一、正方形的周长计算正方形是初中几何中最简单的图形之一，它的四条边相等且垂直，可以用一个公式计算其周长。

设正方形的边长为a，则它的周长L可用公式表示为：L = 4a。

这个公式的意思是正方形的周长等于边长乘以4。

例如，如果一个正方形的边长为5cm，则它的周长为4 × 5 = 20cm。

二、矩形的周长计算矩形也是常见的几何图形之一，它有两条对边相等且垂直，可以用一个公式计算其周长。

设矩形的长为a，宽为b，则它的周长L可以用公式表示为：L = 2a + 2b。

这个公式的意思是矩形的周长等于长乘以2加上宽乘以2。

例如，如果一个矩形的长为4cm，宽为6cm，则它的周长为2 × 4 + 2 × 6 = 20cm。

三、三角形的周长计算三角形是初中几何中较为复杂的图形，它有三条边，其周长计算需要根据三角形的类型来确定计算方法。

1. 等边三角形：等边三角形的三条边相等，可以用一个公式计算其周长。

设等边三角形的边长为a，则它的周长L可以用公式表示为：L= 3a。

这个公式的意思是等边三角形的周长等于边长乘以3。

2. 等腰三角形：等腰三角形的两边相等，可以用一个公式计算其周长。

设等腰三角形的底边长为a，两个等边长为b，则它的周长L可以用公式表示为：L = a + 2b。

这个公式的意思是等腰三角形的周长等于底边长加上两个等边长。

3. 普通三角形：普通三角形的三边各不相等，无固定的计算公式。

我们需要根据给定的边长使用边长之和来计算周长。

例如，如果一个普通三角形的三边长分别为a、b、c，则它的周长L可以用公式表示为：L = a + b + c。

小学数学基础知识图形计算

小学数学根底知识图形计算导语：图形是指在一个二维空间中可以用轮廓划分出假设干的空间形状，以下是为大家精心的小学数学根底知识：图形计算，欢送大家参考！1 正方形C周长S面积a边长周长=边长×4 C=4a面积=边长×边长S=a×a2 正方体V:体积a:棱长外表积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3 长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高外表积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)体积=长×宽×高V=abh5 三角形s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6 平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah7 梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28 圆形S面积C周长∏ d=直径r=半径周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r面积=半径×半径×∏9 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长侧面积=底面周长×高外表积=侧面积+底面积×2体积=底面积×高体积=侧面积÷2×半径10 圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3。

举一反三六年级第19周--面积计算

举一反三六年级第19周--面积计算第十九周面积计算（二）专题简析：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

例题1。

求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】如图19－1所示的特点，阴影部分的面积可以拼成14 圆的面积。

62×3.14×14＝28.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。

练习1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

66 19－119－219－319－4 例题2。

求图19－5中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图19－6所示），从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。

3.14×42×14 －4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。

练习2计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

例题3。

如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方形ABO 1O 的面积。

【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。

又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。

所以19－54 19－719－8 19－6 19－919－103.14×12×14×2＝1.57（平方厘米）答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。

练习31、如图19－11所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形2、如图19－12所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。

3、如图19－13所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。

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