19、十九天 图形的计算与证明(例)(解析版)

二讲题型——题型解析
(一)有关角平分线、垂直平分线的性质综合问题
例 1：(2019·铁岭)如图，△ABC 中， AB AC ，DE 垂直平分 AB，交线段 BC 于点 E(点 E 与点 C 不重合)， 点 F 为 AC 上一点，点 G 为 AB 上一点(点 G 与点 A 不重合)，且 GEF BAC 180 ．
的性质得到 AE BE ，求得 BAE B 30 ，根据相似三角形的性质得到 AG AE ，解直角三角形 CF CE
即可得到 AG 1 CF ； 2
(3)①当 G 在 DA 上时，如图 3，连接 AE，根据线段垂直平分线的性质得到 AD BD 3 ， AE BE ，由
三角函数的定义得到
BE
BD cos B
3 3 4
4
，根据相似三角形的性质得到
CF AG
CE AE
，过
A
作
AH
BC
于
点 H 由三角函数的定义即可得到结论．②当点 G 在 BD 上，如图 4，方法同(1)．
【详解】
解：(1)相等，理由：如图 1，连接 AE，
∵DE 垂直平分 AB，
AE BE ，
BAE B 45 ，
【解析】(1)如图 1，连接 AE，根据线段垂直平分线的性质得到 AE BE ，根据等腰直角三角形的性质得 到 BAE B 45 ， BE EC AE ， BAE EAC C 45 ，根据全等三角形的性质即可得
到结论；
(2)如图 2，连接 AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到 BAC 120 ，根据线段垂直平分线
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 2、圆心角、弧、弦和弦心距之间的关系 (1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧或两条两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 其余的各组量也都分别相等. 3.圆周角定理及其推论 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角度数的一半，这些可以作 为证明角相等和角度计算的依据. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.应用时，常常需要添加辅助线，构 成直径所对的圆周角. (五)与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系： (1)点与圆的位置关系有 3 种．设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有： ①点 P 在圆外⇔d＞r ②点 P 在圆上⇔d=r ①点 P 在圆内⇔d＜r (2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定 该点与圆的位置关系． 2.直线和圆的位置关系： (1)直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共 点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． (2)判断直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d． ①直线 l 和⊙O 相交⇔d＜r ②直线 l 和⊙O 相切⇔d=r ③直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r． 3.切线的性质及判定： (1)切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． (2)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(1)如果弧长为 l，圆心角为 n°，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为 l n R 180
(2)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为 n°，所在圆的半
径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S n R2 1 lR 360 2
2、圆柱和圆锥 (1)圆柱的侧面积圆柱的侧面展开图为一矩形，矩形的宽为圆柱的高，矩形的长为圆柱的底面圆的周长.
(1)如图 1，当 B 45 时，线段 AG 和 CF 的数量关系是
．
(2)如图 2，当 B 30 时，猜想线段 AG 和 CF 的数量关系，并加以证明．
(3)若 AB 6 ， DG 1， cos B 3 ，请直接写出 CF 的长． 4
【答案】(1) AG CF ；(2) AG 1 CF ，理由见解析；(3)2.5 或 5 2
AG AE ， CF CE
在 RtACE 中，C 30 ，
AE sin C 1 ，
CE
2
AG 1 ， CF 2
AG 1 CF ； 2
(3)①当 G 在 DA 上时，如图 3，连接 AE，
∵DE 垂直平分 AB，
AD BD 3， AE BE ，
cos B BD ， BE
BE
(2)相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的 比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
5.等腰三角形与等边三角形 (1)等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 特别的，三条边都相等的三角形叫做等边三角形. (2)等腰三角形的 性质 ①等腰三角形的两个底角相等. ②等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. ③等腰三角形是轴对称图形. (3)等腰、等边三角形的判定 ①等角对等边. ②三个内角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 6.角平分线与线段的垂直平分线 (1)角平分线 ①角平分线的性质：角平分线上的点到该角两边的距离相等. ②角平分线的判定：到角两边距离相等的点在该角的平分线上. (2)线段的垂直平分线 ①概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线. ②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上. (二)平行四边形 1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质： ①平行四边形具有四边形的所有性质. ②平行四边形的两组对边分别相等且平行. ③平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补. ④平行四边形的对角线互相平分. ⑤平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 3.平行四边形的判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
BD cos B
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3 3
4
，
4
AE BE 4 ，
BAE B ， AB AC ，
B C ，
C BAE ， GEF BAC 180 ，
AGE AFE 360 180 180 ， AFE CFE 180，
CFE AGE ， CFE∽AGE ，
CF CE ， AG AE
十九天 图形的计算与证明(例)
一讲考点——考点梳理
(一)三角形 1.三角形中的特殊线段 (1)三角形的角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形的内 部，且交于一点，交点叫三角形的内心， 内心到三角形各边的距离相等. (2)三角形的中线：三角形的三条中线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫三角形的中心，重心把 中线分为 1：2 两部分(到顶点的距离占 2 份). (3)三角形的高线：三角形的三条高或高的延长线交于一点，交点叫做三角形的垂心.锐角三角形垂心在 三角形的内部，直角三角形的垂心即直角三角形的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. (4)三角形的中位线：三角形的三条中位线都在三角形的内 部，三角形的中位线平行于第三边，且等于 第三边的一半. 2.三角形的性质 (1)三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(判断三条线段是否能组成三角形时，只需 要判断较短的两条线段长之和是否大于第三边即可.) (2)三角形的角 ①三角形的三个内角之和为 180°. ②三角形的外角：三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不 相邻的任何一个内角. ③三角形的外角和为 360°. 3.全等三角形的判定条件 (1)边角边(SAS)：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. (2)角边角(ASA)：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. (3)角角边(AAS)：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. (4)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等. (5)斜边、直角边(HL)(适用于直角三角形)：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.相似三角形的判定条件及性质 (1)相似三角形的判定 ①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等或两角对应相等的两个三角形相似； ③两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
2
理由：如图 2，连接 AE，
AB AC ，
B C 30 ，
BAC 120 ，
∵DE 垂直平分 AB，
AE BE ，
BAE B 30 ，
CAE 90 ， BAE C ， GEF BAC 180 ，
AGE AFE 180 ， CFE AFE 180，
AGE CFE ， AGE∽CFE ，
(3)有关切线常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 4.切线长及切线长定理： (1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． (2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切 线的夹角． (六)弧长、扇形的面积及圆柱、圆锥 1．弧长、扇形的面积
AE BC ，
AB AC ， BE EC AE ， BAE EAC C 45 ， GEF BAC 180 ， AGE AFE 360 180 180 ， AFE CFE 180， AGE CFE ， GAE C 45 ，
AEG≌CEF AAS ，
AG CF ； 故答案为： AG CF ； (2) AG 1 CF ，
即：圆柱的侧面积：若圆柱的高为 h，底面半径为 r，则 S侧 =2πrh.
(2)圆锥的侧面积、全面积的计算 ①圆锥的侧面展开图是以圆锥母线为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形.
②圆锥的侧面积：圆锥的侧面积是指圆锥侧面展开图的面积， S侧 =πrl. ③圆锥的全面积： S全 ＝ S侧 + S底 =πr(l+r)
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤一组对边平分且相等的四边形是平行四边形. (三)矩形、菱形、正方形 1.矩形 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2)矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的一切性质. ②矩形的四个角都是直角. ③矩形的对角线相等. (3)矩形的判定 ①有三个角是直角的四边形是矩形. ②对角线相等的平行四边形是矩形. ③有一个角是直角的平行四边形是矩形. ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 2.菱形 (1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的性质： ①四条边都相等； ②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. (3)菱形的判定 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ③四边相等的四边形是菱形 3.正方形 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰 直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． (四)圆的基本性质 1.垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论 1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心角，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.