学习全等三角形四注意

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全等三角形教学建议

全等三角形教学建议在全等三角形的教学中，我们可以采用一些有效的教学建议来提高学生的理解和应用能力。

本文将从几个方面探讨如何在教学过程中传递全等三角形的相关概念和性质，并提供一些具体的教学策略。

一、引入全等三角形的概念为了引发学生对全等三角形的兴趣，我们可以通过一个生动的实例来说明全等三角形的概念。

例如，可以选择一对相似的实物并将它们放在教室中展示给学生，然后询问学生它们是否相等。

通过这样的引导，我们可以让学生逐渐理解全等三角形的概念，并引发他们对全等三角形的思考。

二、重点讲解全等三角形的性质在教学中，全等三角形的性质是核心内容，我们需要以简单明了的方式向学生解释这些性质。

例如，我们可以用图形和文字相结合的方式，逐步展示全等三角形的定义、判定条件和性质。

通过这样的教学方式，学生可以更好地理解全等三角形的相关概念，并学会运用这些性质解决问题。

三、示范解题和实际应用为了巩固学生对全等三角形的理解，教师可以通过示范解题来引导学生运用全等三角形的性质解决实际问题。

例如，给学生提供一些有关全等三角形的实际场景问题，然后逐步引导他们分析问题、寻找解决方法，并运用全等三角形的性质来解答。

通过这样的教学方式，学生可以将所学的知识应用于实际生活中，提高解决问题的能力。

四、小组合作学习在教学中，我们可以鼓励学生进行小组合作学习，通过互动和合作来提高学生对全等三角形的理解和应用能力。

例如，可以将学生分成小组，在教师的指导下，让他们一起讨论和解决与全等三角形相关的问题。

通过小组合作学习，学生可以相互交流和分享自己的思考，不仅加深了对知识的理解，还培养了他们的合作意识和团队精神。

五、举一反三，拓展思维为了培养学生的综合应用能力，我们可以在教学中引导学生进行举一反三的思考。

例如，可以给学生提供一些扩展题目，让他们从不同的角度思考全等三角形的性质和应用。

通过这样的教学方式，能够激发学生的思维，提高他们的灵活应用能力，并培养他们解决问题的思维方式。

全等三角形解题方法与技巧

全等三角形解题方法与技巧精心编写，铸就精品全等三角形解题方法与技巧学习数学要多做习题，边做边思索。

先知其然，然后知其所以然。

——苏步青目录1 概述 (1)2 全等三角形知识归纳 (2)2.1 全等形 (2)2.2 全等三角形的定义 (2)2.3 全等三角形的性质 (2)2.4 全等三角形的判定方法 (2)2.5 全等三角形的书写规范 (4)2.6 全等三角形模型 (5)2.6.1 几何变换型全等模型 (5)2.6.2 三垂直模型 (6)2.6.3 手拉手模型 (6)2.6.3.1 定义 (6)2.6.3.2 任意等腰三角形下的手拉手模型 (7)2.6.3.3 等边三角形下的手拉手模型 (9)2.6.3.4 等腰直角三角形下的手拉手模型 (10)2.6.4 半角模型 (11)2.6.4.1 定义 (11)2.6.4.2 半角模型解题思路 (13)2.6.4.3 半角模型1（等边三角形内含半角）解题方法 (13)2.6.4.4 半角模型2（等腰直角三角形内含半角）解题方法 (15)2.6.4.5 半角模型3（正方形内含半角）解题方法 (16)3 全等三角形题型中常用到的知识点 (18)3.1 “8”字模型找角相等 (18)3.2 角平分线 (18)3.2.1 角平分线的性质定理 (18)3.2.2 角平分线的判定定理 (18)3.3 等腰三角形 (18)3.3.1 等腰三角形的定义 (18)3.3.2 等腰三角形的性质 (18)3.3.3 等腰三角形的判定 (19)3.4 等边三角形 (19)3.4.1 等边三角形的定义 (19)3.4.2 等边三角形的性质 (19)3.4.3 等边三角形的判定 (19)3.5 直角三角形 (19)3.5.1 直角三角形的性质 (19)3.6 等腰直角三角形 (20)3.6.1 等腰直角三角形的性质 (20)3.6.2 等腰直角三角形的判定 (20)4 全等三角形解题方法与技巧 (21)4.1 灵活选择全等三角形的判定方法 (21)4.2 找全等三角形条件的方法 (21)4.2.1 找边相等的方法 (21)4.2.2 找角相等的方法 (21)4.2.3 善于发现和利用隐藏条件找三角形全等的条件 (22)4.3 二次全等证明思路 (22)5 常见的构造全等三角形解题方法 (24)5.1 构造全等三角形的思路 (24)5.2 题目中出现角平分线 (24)5.2.1 辅助线作法 (24)5.2.2 例题 (25)5.3 题目中出现中点或者中线 (25)5.3.1 辅助线作法1：倍长中线 (25)5.3.2 辅助线作法2：类倍长中线 (26)5.3.3 例题 (27)5.4 题目中出现等腰或者等边三角形 (27)5.4.1 辅助线作法1：倍长中线法 (27)5.4.2 辅助线作法2：作三线之一（中线、高线、角平分线） (27)5.4.3 辅助线作法3：过某已知点作一条边的平行线 (28)5.4.4 例题 (28)6 典型考题解题方法 (31)6.1 证明边或角相等 (31)6.1.1 解题方法 (31)6.1.2 例题 (31)6.2 证明线段和差问题（形如：AB+BC=CD，AB=AD-CD) (32)6.2.1 解题方法 (32)6.2.2 例题 (33)6.3 证明线段倍分问题（2倍或1/2关系，如AB=2CE，MN=1/2BN) (34)6.3.1 解题方法 (34)6.3.2 例题 (34)6.4 证明二倍角关系 (35)6.4.1 解题方法 (35)6.4.2 例题 (35)6.5 手拉手模型题型 (36)6.5.1 解题方法 (36)6.5.2 例题 (36)6.6 半角模型题型 (38)6.6.1 解题方法 (38)6.6.2 例题 (38)6.7 全等三角形中的动点问题题型 (38)6.7.1 解题方法 (38)6.7.2 例题 (39)7 全等三角形题型的书写方法 (41)7.1 书写方法 (41)7.2 常见子模块几何语言 (42)7.2.1 三角形全等 (42)7.2.2 角的平分 (42)7.2.3 角平分线性质定理 (42)7.2.4 角平分线判定定理 (43)7.2.5 轴对称 (43)7.2.6 等腰三角形“三线合一”的书写 (43)7.2.7 各模型 (44)7.3 实例讲解 (44)8 致谢 (46)1概述精心编写，铸就精品1 概述全等三角形是初中数学的重点和难点，同学们学习时往往感到比较困难，主要表现为两点：（1）不会思考：看见题时不知应该从何处思考，经常是东想一想、西想一下，思考很混乱，这种思考方式导致只能解答简单题型；（2）不会书写：没有掌握全等三角形几何题型的书写方法，导致书写顺序混乱、因果关系错误，涂涂改改，卷面潦草。

全等三角形复习资料(搜集整理版)

特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。

第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。

轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。

2023八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案(新版)沪科版

学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解全等三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习全等三角形内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确全等三角形教学目标和全等三角形重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保全等三角形教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习全等三角形的积极性。
2. 掌握全等三角形的性质：学习全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 学会使用全等三角形解决几何问题：通过实际例题，引导学生运用全等三角形的性质解决几何问题，提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作学习和探究能力：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作学习，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法，培养学生的合作学习和探究能力。
5. 教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容，并与学生进行互动。
6. 学习任务单：设计一份学习任务单，列出本节课的学习目标、任务和要求。学生可以通过完成学习任务单，巩固所学内容并进行自我评估。
7. 课堂练习题：准备一份课堂练习题，包括一些与全等三角形相关的实际问题。这些练习题应能够帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
3. 数学建模：培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
4. 数学交流：在小组合作学习和探究过程中，培养学生运用数学语言表达全等三角形的性质和判定方法，提高学生的数学交流能力。
5. 数学思维：通过解决几何问题，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角分别相等，那么这两个三角形全等；

1-4 全等三角形概念及性质讲义 2021-2022学年浙教版八年级数学上册

1.4全等三角形概念及性质知识点梳理1、全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．2、全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．题型梳理题型一全等图形辨析及性质1．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等②全等三角形的对应边相等、对应角相等③面积相等的两个三角形全等④全等三角形的周长相等其中正确的说法为（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．43．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形4．下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是．8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．题型二全等三角形对应角相等1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝．11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为．12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝度．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝度．14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝度．15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝．16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为．18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为．19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．题型三全等三角形对应边相等1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．52．已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或323．如图，△ABC ≌△DEF ，BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长为（）A ．2B ．3C ．5D ．74．如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB ＝7，AC ＝3，则BE 的值为．5．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y ＝．6．已知△ABC 三边长分别为3，5，7，△DEF 三边长分别为3，3x ﹣2，2x ﹣1，若这两个三角形全等，则x 为．7．一个三角形的三边为3、5、x ，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝．8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．题型五全等三角形性质综合运用1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED ＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数．8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．答案与解析题型一全等图形辨析及性质1．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等②全等三角形的对应边相等、对应角相等③面积相等的两个三角形全等④全等三角形的周长相等其中正确的说法为（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【分析】根据全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形可得答案．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；③面积相等的两个三角形全等，说法错误；④全等三角形的周长相等，说法正确；故选：D．2．小明学习了全等三角形后总结了以下结论：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等图形；④全等三角形的周长相等．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用全等三角形的性质分别分析得出答案．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③面积相等的两个三角形是全等图形，错误；④全等三角形的周长相等，正确．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积相等D．所有等边三角形是全等三角形【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．做题时严格按定义逐个验证．全等形的面积和周长相等．【解答】解：A、全等三角形不仅仅形状相同而且大小相同，错；B、全等三角形不仅仅面积相等而且要边、角完全相同，错；C、全等则重合，重合则周长与面积分别相等，则C正确．D、完全相同的等边三角形才是全等三角形，错．故选：C．4．下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．5．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④【分析】根据全等形和全等三角形的概念知进行做题，对选项逐一进行验证，符合性质的是正确的，与性质、定义相矛盾的是错误的．【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．故选：D．6．下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、两个图形能够完全重合，故本选项正确．B、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；故选：A．7．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是乙、丙．【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．【解答】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．故答案为：乙、丙．8．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′（1）其中，符合要求的条件是 ①②④ ．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A ′B ′C ′D ′．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）连接AC 、A ′C ′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）符合要求的条件是①②④，故答案为：①②④；（2）选④，证明：连接AC 、A ′C ′，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，{AB =A′B′∠B =∠B′BC =B′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SAS ），∴AC ＝A ′C ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′，∵∠BCD ＝∠B ′C ′D ′，∴∠BCD ﹣∠ACB ＝∠B ′C ′D ′﹣∠A ′C ′B ′，∴∠ACD ＝∠A ′C ′D ′，在△ACD 和△A ′C ′D 中，{AC =A′C′∠ACD =∠A′C′D′CD =C′D′，∴△ACD ≌△A ′C ′D ′（SAS ），∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，即∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．题型二全等三角形对应角相等1．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形是性质得到∠1＝∠2＝58°．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵图中的两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故选：D．2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【分析】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．【解答】解：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B，故选：A．3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′＝30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠A′CB′，根据角的和差计算得到答案．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，即∠BCB′＝∠ACA′，又∠ACA′＝30°，∴∠BCB′＝30°，故选：B．4．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．5．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO ＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+12（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′＝∠B′CB，又∠B′CB＝30°∴∠ACA′＝30°．故选：B．7．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．40°C．70°D．90°【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故选：C．8．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，故选：A．9．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．50°B．58°C．60°D．72°【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴α＝50°．故选：A．10．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，故答案为：120°．11．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为70°．【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠EAC＝40°，∴∠BAD＝40°，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB=12（180°﹣∠BAD）＝70°，故答案为：70°．12．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝120度．【分析】结合已知运用两三角形全等及一个角的外角等于另外两个内角的和，就可以得到∠CAE，然后又可以得到∠AEB．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D＝∠C＝25°，∴∠CAE＝∠O+∠D＝95°，∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝25°+95°＝120°．故填12013．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝30度．【分析】因为三个三角形为全等三角形，则对应边相等，从而得到∠C＝∠CBD＝∠DBA，再利用这三角之和为90°，求得∠C的度数．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ADB＝∠EDB＝∠EDC，∠DEC＝∠DEB∠＝A，又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC＝180°，∠DEB+∠DEC＝180°∴∠EDC＝60°，∠DEC＝90°，在△DEC中，∠EDC＝60°，∠DEC＝90°∴∠C＝30°．故答案为：30．14．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝95度．【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案为：95．15．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝1：4．【分析】根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠ABC、∠ACB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，∵△MNC≌△ABC，∴∠N＝∠ABC＝50°，∠M＝∠A＝30°，∴∠MCA＝∠M+∠N＝80°，∴∠BCM＝20°，∠BCN＝80°，∴∠BCM：∠BCN＝1：4，故答案为：1：4．16．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于58度．【分析】利用三角形的内角和等于180°求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．【解答】解：如图，∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故答案为：58．17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为25°．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．18．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为100°．【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B＝40°，∴∠BED＝∠A+∠D＝60°+40°＝100°，故答案为：100°．19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．20．如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数．【分析】利用全等三角形的性质可得AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，然后分别计算出∠ACD 和∠ADC的度数，进而可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，∴∠A＝∠ADC，∵∠A＝75°，∴∠ADC＝75°，∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠ACB ＝30°， ∵AB ∥CE ，∴∠DCE ＝∠ADC ＝75°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠DCB ＝75°﹣30°＝45°．题型三全等三角形对应边相等1．如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【分析】根据全等三角形性质求出AC ，即可求出答案．【解答】解：∵△ABE ≌△ACF ，AB ＝5， ∴AC ＝AB ＝5， ∵AE ＝2，∴EC ＝AC ﹣AE ＝5﹣2＝3，故选：C ．2．已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或32【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，解得：x＝2，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（）A．2B．3C．5D．7【分析】利用全等三角形的性质可得EF＝BC＝7，再解即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝7，∵EC＝4，∴CF＝3，故选：B．4．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为4．【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵AB＝7，AC＝3，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．故答案为：4．5．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y＝11．【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．【解答】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y＝5∴x+y＝11．故答案为：11．6．已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为3．【分析】直接利用全等三角形的性质周长相等，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，这两个三角形全等，∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，解得：x＝3．故答案为：3．7．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝1．【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．【解答】解：∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1，故答案为：1．8．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．【分析】直接利用全等三角形的性质得出AC＝AD，进而得出答案．【解答】解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，∴DF＝12﹣5＝7．题型五全等三角形性质综合运用1．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．2．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠F AC．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠F AC，正确的是①③④，故选：B．4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BE＝CD，B成立，不符合题意；∠ADB＝∠AEC，∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；∠BAD＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，故选：A．6．如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E【分析】因为AB∥ED，所以∠B＝∠D，又因为CD＝BF，则添加AB＝DE后可根据SAS 判定△ABC≌△DEF．【解答】解：∵AB∥ED，∵∠B＝∠D，∵CD＝BF，CF＝FC，∴BC＝DF．在△ABC和△DEF中BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF．故选：C．7．如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED ＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数30°．【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．又∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠CAB＝25°．又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．故答案为：30°8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为3；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案；（2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，（1）求DE的长．（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，然后根据DE＝BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC＝180°，所以∠ABD＝∠EBC＝90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝6cm，BE＝AB＝3cm，∴DE＝BD﹣BE＝3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC＝180°，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴DB⊥AC．10．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．（1）求线段AE的长．（2）求∠DBC的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，∴AE＝AB﹣BE＝6；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．。

全等三角形判定知识讲解

全等三角形判定一（SSS,ASA ，AAS ）（基础）【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．举一反三：【变式】（2015•武汉模拟）如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．类型二、全等三角形的判定2——“角边角”2、如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是．（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？（2）你添加的条件是，请用你添加的条件完成证明．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”3、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【巩固练习】一、选择题1. 能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E2．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A． SSS B． SAS C．ASA D． AAS3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．（2016•黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A ．AB=DEB ．AC=DFC ．∠A=∠D D ．BF=EC5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A ．△ADC ≌△BCDB ．△ABD ≌△BAC C ．△ABO ≌△CDOD ．△AOD ≌△BOC二、填空题7.（2014秋•石林县校级月考）如图，AC=AD ，BC=BD ，则△ABC≌△ ；应用的判定方法是（简写）．8. 在△ABC 和△'''A B C 中，∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠'C ＝69°，∠'B ＝44°，且AC ＝ ''B C ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，AF ＝DE ，且BE ＝2，BC ＝10，则EF ＝________.10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE ＝OF ，图中全等三角形共有______对.11.（2016•通州区一模）在学习“用直尺和圆规作射线OC ，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于D ，交OB 于E ；（2）分别以D ，E 为圆心，以大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ．则OC 就是所求作的射线．小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC 就是∠AOB 的平分线．小华的思路是连接DC 、EC ，可证△ODC ≌△OEC ，就能得到∠AOC=∠BOC ．其中证明△ODC ≌△OEC 的理由是．12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.15. 已知：如图, AB ∥CD, OA ＝ OD, BC 过O 点, 点E 、F 在直线AOD 上, 且∠E ＝∠F. 求证：EB=CF.全等三角形判定二（SAS ）（基础）要点一、全等三角形判定4——“边角边”1. 全等三角形判定4——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、判定方法的选择已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS要点三、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点四、全等三角形证明方法1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.类型一、全等三角形的判定4——“边角边”1、在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．举一反三：【变式】（2014•雁塔区校级模拟）如图，由∠1=∠2，BC=DC、AC=EC，最后推出△ABC≌△EDC 的根据是（）A．SAS B． ASA C． AAS D． SSS类型二、全等三角形的性质和判定综合3、（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A.甲乙B．丙C．乙丙D．乙举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【巩固练习】一、选择题1．在△ABC 中，∠B＝∠C，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B 或∠C2.（2015•莆田）如图，AE ∥DF ，AE=DF ，要使△EAC ≌△FDB ，需要添加下列选项中的（）A ．AB=CDB ． EC=BFC ． ∠A=∠D D ． AB=BC3．（2016•东城区一模）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD=CA ，连接BC 并延长至E ，使CE=CB ，连接ED ．若量出DE=58米，则A ，B 间的距离为（）A ．29米B ．58米C ．60米D ．116米4．如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5．如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6．如图，已知AB⊥BD 于B ，ED⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8．（2016春•灵石县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第块去配，其依据是根据定理（可以用字母简写）9.（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13.（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．14.（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【课后作业】1．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm2.（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.（2020•永州）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA4.（2020秋•滦南县期末）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.（2020秋•天河区期末）如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF6.（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）7.（2020秋•花都区期末）如图，D、C、F、B四点在同一条直线上，BC＝DF，AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，如果要添加一个条件，使△ABC≌△EDF，你添加的条件是（注：只需写出一个条件即可）．8.（2020•无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．9.（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DCE．。

学习全等三角形三注意

学习全等三角形三注意
一、注意“对边（角）”与“对应边（角）”的区别
初学全等三角形时，很容易将“对应边”、“对应角”与“对边”、“对角”的概念相混淆.对应边、对应角是针对不同三角形中边和边、角和角之间的对应关系，主要反映“数量”方面的关系；而对边、对角是针对同一三角形中边、角的相对关系，主要体现“位置”方面的关系.
二、注意全等三角形的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”，其中“∽”表示形状相同(即相似)，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同、大小相等，即“全等”.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.这样可以利用字母的顺序确定对应元素.
如△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
三、注意对应边、对应角的确定方法
1. 有公共边的，公共边一定是对应边.
如图1，△ADB和△DAC全等，则AD和AD一定是两个三角形的对应边．
2. 有公共角的，公共角一定是对应角.
如图2，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角．
3. 有对顶角的，对顶角一定是对应角.
如图3，△ABE和△CDE全等，∠1和∠2是对应角．
4. 对应角的对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
5. 两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．。

人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(四)(HL)教学设计

5.总结反思题：请学生撰写一篇关于本节课学习心得的短文，内容包括对“HL”判定全等三角形定理的理解、学习过程中的困惑与收获、对几何学习的感悟等。通过反思，促使学生深入思考，提高自主学习能力。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.对于基础巩固题和提高拓展题，要求学生在规定时间内独立完成，注重解题过程的逻辑性和完整性。
4.培养学生运用几何画板、实物模型等工具辅助解题的能力，提高学生的实践操作能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生严谨、认真的学习态度，养成善于观察、思考、总结的学习习惯。
2.培养学生的团队合作意识，学会倾听、表达、沟通，提高解决问题的能力。
3.增强学生对数学美的感悟，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定（四）（HL）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角形全等的定义，掌握全等三角形的性质。
2.学习并掌握“HL”（斜边和直角边）判定全等的方法，能够准确识别和运用HL判定全等三角形。
3.能够运用三角形全等的判定方法解决实际问题，如求三角形的边长、角度等。
4.培养学生勇于探索、积极进取的精神风貌，提高学生的自信心和自尊心。
二、学情分析
八年级学生已具备一定的几何基础，掌握了三角形的基本概念和相关性质，对全等三角形有了初步的认识。在此基础上，学生对“HL”判定全等三角形的定理学习具备了一定的接受能力。然而，学生在实际应用中，可能对判定方法的运用和证明过程存在一定的困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
3.实践应用题：结合生活实际，让学生收集身边的直角三角形图形，如墙角、桌面等，并运用“HL”判定全等三角形的方法，求出其中未知边长或角度。通过实际操作，培养学生的几何应用能力。

全等三角形知识点总结

全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。

全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。

本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。

一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。

用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。

全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。

2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。

也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。

3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。

二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。

1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。

2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。

判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。

3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

全等三角形知识点总结(精选18篇)

全等三角形知识点总结(精选18篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角形全等的判定教案

三角形全等的判定教案教学目标1。

通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2。

比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3。

初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4。

掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程设计一、实例演示，发现公理1．教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2．在此过程当中应启发学生注意以下几点：（1）可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。

如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm，可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。

因此△BAD可与△CAE重合，说明△BAD≌△CAE。

（2）每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3）由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3。

画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、提出公理1。

板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．2．强调以下两点：（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中，（指明范围）三、应用举例、变式练习1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，例1已知：如图3-51，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．分析：△ABD≌△CBD因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．（3）可将此题做条种变式练习：练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD。

全等三角形判定四种方法学习总结

三角形全等一．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”（SSS ）图2－1 图2－2 图2－3 1．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知∴______≌______（）． ∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．2．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______．证明：∵BE ＝CF （）， ∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．3．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ，求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______，即______＝______．在△ABC 和△BAD 中，＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （）．练习4．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .如图2－45．“三月三，放风筝”．图2－5是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．图2－5二．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”(SAS)图3－1 图3－21．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．2．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （）， ∴ ∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （）． ∴ ∠______＝∠______ （）． ∴ ______∥______（）．练习4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：∠B ＝∠C ．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－57．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图3－6三．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”(ASA)，判定方法4——“角角边”(AAS)图4－12．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证P A ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （）． ∴P A ＝______ （）． ∵PM ＝PN （），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______．证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______．在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC∴______≌______ （）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （）．图4－2练习4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是（） A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是（）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（） A ．DE ＝DF B ．AE ＝AF C ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，图4－4⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．图4－59．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.图4－610．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE ＝4．求BM、CF的长．11．填空题（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．图4－7 图4－812．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？图4－913．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11。

全等三角形垂直模型解题思路

全等三角形垂直模型解题思路全等三角形垂直模型解题思路在初中数学学习中，全等三角形是一个重要的概念，学生们常常需要掌握全等三角形的性质和解题方法。

其中，全等三角形垂直模型是解题时常用到的一种模型，通过掌握全等三角形垂直模型的解题思路，可以帮助学生更深入地理解全等三角形的性质和运用。

一、全等三角形的定义和性质1. 全等三角形的定义全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等，记作△ABC≌△DEF。

在全等三角形中，对应边相等即AB=DE、BC=EF、AC=DF；对应角相等即∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。

2. 全等三角形的性质（1）全等三角形的基本性质：对应边和对应角相等。

（2）全等三角形的性质1：全等的三角形的面积相等。

（3）全等三角形的性质2：全等的三角形的对边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

掌握了全等三角形的定义和性质，我们就可以通过全等三角形垂直模型来解题。

二、全等三角形垂直模型的基本思路全等三角形垂直模型主要用于解决与角所在直线垂直的问题，解题的基本思路是通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质解题。

三、全等三角形垂直模型解题步骤1. 找准垂直关系。

在问题中识别出哪些角所在的直线是垂直的，确定垂直关系。

2. 构造全等三角形。

根据已知条件构造全等三角形，通常是通过画辅助线或者做辅助角来构造全等三角形。

3. 利用全等三角形的性质。

根据已构造的全等三角形，利用全等三角形的性质，解决问题中的未知量或角度。

4. 进行总结回顾。

在解题过程中，及时总结回顾所使用的方法和性质，加深对全等三角形垂直模型的理解。

四、个人观点和理解全等三角形垂直模型是解决垂直关系的重要工具，通过构造全等三角形，不仅可以简化解题过程，还可以加深对全等三角形性质的理解和运用。

在解题过程中，我发现通过构造全等三角形，可以更清晰地理解角所在直线的垂直关系，提高解题的准确性和速度。

全等三角形垂直模型是数学学习中的重要工具，通过掌握全等三角形的性质和垂直模型的解题思路，可以帮助我们更深入地理解数学知识，提高解题的方法和效率。

“三角形全等的条件”学习要点及注意事项

“三角形全等的条件”学习要点及注意事项 2014.5.9一、三角形全等的条件：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”，或SSS ；2、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”，或ASA ；3、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”，或AAS ；4、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”，或SAS ；注意：（1）条件中的边、角一定是三角形中的边、角！（2）条件中只有对应相等的边、对应相等的角；（3）“边边角”不能保证两个三角形全等！！二、过程的书写要求：先交待所要证的两个三角形，其次用单边大括号把三个条件写在一起，得出两个三角形全等，并在后面注明理由；例：如图，AB=AC , ∠CDA =∠BEA, △ACD 与△ABE 全等吗？为什么?解：在△ACD 和△ABE 中，∠CDA =∠BEA （已知）∵ ∠ A = ∠A （公共角） AB= AC （已知）∴ △ACD ≌△ABE （AAS ）注意事项：（1）按判定条件的顺序书写，例如上例中，利用的是“AAS ”，书写时先写两个角的条件，再写边的条件；（2）如果所需的条件不是题中直接给出，则先证明，再按上面要求书写；例：如图，O 是AB 的中点，∠A =∠B ， △AOC 与△BOD 全等吗？为什么？解： △AOC ≌△BOD 理由：∵ O 是AB 的中点，∴ AO=BO在 △AOC 与△BOD 中，∠A =∠ B （已知） ∵ AO=BO （已证） ∠AOC= ∠BOD （对顶角相等）∴ △AOC ≌△BOD （ASA ）说明：（1）条件中一定是相等的边、角，所以要把“中点”的条件转化为相等的边；（2）对顶角相等是能直接得到的结论，不需要先证明；（3）除对顶角相等可以直接写在条件中外，公共边、公共角也能直接作为条件写；A OD C B AE C DB。

全等三角形知识点总结复习

全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

.2.基本性质：理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；通关精选1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC＝() A．3 B．4 C．7 D．8,第1题图)2．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB 等于()A．120°B．125°C．130°D．135°,第2题图)3．如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B，F，C，D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是()A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BF＝DC,第3题图)4．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为()A．60°B．62°C．64°D．66°,第4题图)5．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个,第5题图)常考例题精选1.(2015·绥化中考)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD.2.(2015·临沂中考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm.3.(2015·武汉中考)如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.4.(2015·昆明中考)已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD.求证：AB=CD.5.(2015·大理中考)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE(只能添加一个).(1)你添加的条件是.(2)添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由.6.(2015·河源中考)如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD 的中点，连接OE.(1)求证：△AOB≌△DOC.(2)求∠AEO的度数.7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F 在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.8．如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF.求证：(1)∠1＝∠2；(2)CM＝BN.9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点，点P在线段上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD 与△CQP全等时，求点P运动的时间．。

全等三角形教案：如何让学生轻松理解“全等”的概念？

全等三角形教案：如何让学生轻松理解“全等”的概念？在初中数学学科当中，几何学是学习重点之一。

学生需要通过学习几何基本概念和几何定理等，来培养自己的空间想象力、分析解决问题的能力，培养对数学的兴趣。

全等三角形是几何学习中非常重要的内容之一。

如何让学生能够轻松地理解全等的念呢？本文将探讨一些有效的教学方法，帮助学生更好地理解全等三角形。

一、引入初中学生在学习全等三角形之前，需要先了解一些基本概念，如角、线段、三角形等，通过学习和掌握这些基本概念，为学习全等三角形奠定基础。

可以通过引入一个例子来吸引学生的注意力。

比如，引入一个游戏：将三角形的顶点 A、B、C 分别标注在一张纸上，要求每个人画出一张和你的三角形相等的三角形。

这样的游戏可以让学生对全等的概念有一个直观的理解。

二、讲解全等三角形的定义、特征在学习全等三角形的前提下，需要先讲解全等的概念，即两个或两个以上的图形在空间中的形状、大小、方向、位置等完全相同。

可以引导学生理解全等三角形和配合三角形的定义与特征：全等三角形定义为当两个三角形的三个对应角相等，而且这两个三角形的对应边长度也相等，这两个三角形就是全等三角形。

学生可以通过自己对全等三角形的定义理解，来体会两个三角形什么情况下可以称为全等三角形，并且可以自己画图帮助巩固。

三、展示全等三角形的判定方法展示全等三角形的判定方法，可通过比较边长、角度、边角关系等方式进行。

具体可以通过讲解以下几种判定方法让学生掌握如何判断两个三角形是全等三角形。

1. SSS 判定法：两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形相等。

2. SAS 判定法：两个三角形两边相等且夹角相等，则这两个三角形相等。

3. ASA 判定法：两个三角形一边及其夹角大小和另一边，夹角相等，则这两个三角形相等。

4. RHS 判定法：两个直角三角形的一条直角边和另一条直角边上的某一个尖角相等，则这两个三角形相等。

通过以上判定法，学生可以更准确地判断两个三角形是否相等。

全等三角形复习资料及方法分析

E B全等三角形复习资料及方法分析一、三角形全等四注意1、注意判定方法：一般三角形有四种判定全等的方法：SSS 、ASA 、AAS 、SASRt 则有五种判定全等的方法：SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 。

2、注意判定思路：①已知两边.SAS .HL SAS .SSS a b c ì®ïï®íï®ïî找夹角找直角或找另一边 ②已知两角.ASA .AAS a b ì®ïí®ïî找两角的夹边找除夹边外任意一边 ③已知一边一角.AAS ASA b.AAS SAS a ì ïïì®ïïíï ïíïï®ïïîî边为角的对边找任一角找这条边上的另一角边就是角的一边找这条边的对角找该角的另一边 3、注意两个特例：①三个角对应相等的两个三角形不一定全等②两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

4、注意判定三角形全等时的步骤：①根据已知条件与结论认真分析图形②准确无误地确定每个三角形的六个元素③根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边④对照判定方法，看看还需要什么条件可使两个三角形全等⑤想办法找出所需的条件来。

二、全等口诀：证明全等三条件，三角相等不能办。

至少一边才能判，边边角也要忌惮。

两角一边能过关，角边角或角角边。

如果三边都给全，边边边判很投缘。

两角夹边能找到，边角边断也有效。

直角三角形全等，斜直相等先相邀。

三、“三法”教你挖掘隐含条件 1、寻找公共边 2、寻找公共角 3四、练习安排1、如图，ΔABC 的两条高BD 、CE 相交于点P ，且求证：AC=AB2、如图，在ΔABC 中，∠ACB=90 ，AC=BC ，BD 是中线，CE ^BD 于点E ，交AB 于点F 。