《理论力学》第七章点的合成运动习题解
理论力学B-第七章运动合成-速度luo
vr , ar
ve , ae
相对•牵连•绝对运动
两点重要的结论
运动的相对性 —— 物体对于不同的参考系，
运动各不相同。
绝对运动与相对运动都是指点的运动；
牵连运动则是刚体的运动。
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成－合成运动。
相对•牵连•绝对运动——牵连点
坐标变换——例 1
如图，点M相对于动系Ox’y’沿半径为r 的圆周以速度 v 作匀速圆 周运动(圆心为O1) ，动系Ox’y’ 相对于定系Oxy以匀角速度 绕 点O作定轴转动。初始时Ox’y’与Oxy重合，点M与O重合。
求：点M的绝
对运动方程。
坐标变换——例 1
由题意可知：
=t， |t =0=0， =vt/r
例7-5
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕 O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸 轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
解： 1. 动点：AB杆上A
动系：凸轮
2.绝对运动：直线运动（AB） 相对运动：圆周运动（半径R） 牵连运动：定轴运动（轴O） 3. 大小
x ' x cos t y ' x sin t
O
x
将绝对运动方程代入，得：
1 x ' b sin t cos t b sin 2t 12 y ' b sin t b 1 cos 2t 2 2 2 b b 2 消去时间得： x ' y ' 2 4
相对运动轨迹
§7-2 点的速度合成定理
点的速度合成
动点—小环；动系—钢丝
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的合成运动(圣才出品)
图 7-4 解：以 M 为动点，水轮为动系，牵连运动轨迹为定轴转动，速度分析如图 7-5 所示。
图 7-5 由 va = ve + vr 在 x、y 两个方向上的分量得
va sin 60o = ve + vr sin va cos 60o = vr cos
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图 7-1
图 7-2
7-2 图 7-2 中的速度平行四边形有无错误？错在哪里？
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答：都有错误，改正见图 7-3。
图 7-3 7-3 如下计算对不对？错在哪里？
图 7-4 （a）图 7-4（a）中取动点为滑块 A，动参考系为杆 OC，则 ve=ω·OA，va=cosφ （b）图 7-4（b）中 vBC=ve=vacos60°va=ωr 因为 ω=常量,所以，VBC=常量， （c）图 7-4（c）中为了求 aa 的大小，取加速度在 η 轴上的投影式：aacosφ-ac=0 所以 答：（a）不对，va 的速度平行四边形画法不正确，正确图见图 7-5。 （b）加速度的计算不正确。vBC 和 ω 为此瞬时的大小，不是任意时刻的速度和角速度 故不能对时间求导。
其中 ρ 和 φ 是用极坐标表示的点的运动方程，aρ 和 aψ 是点的加速度沿极径和其垂直 方向的投影。
答：如图 7-7 建立直角坐标系．xOy 与极坐标系 ρOφ。 取动点 Q，动系 OA
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加速度合成（图 7-8）
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aa=aen+aet+ar+ac
大小：？
方向：Hale Waihona Puke √ √ √ √图 7-7
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0cos sin ='+'=t y t x y ωω 解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t bt b t x y ωωω4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v =船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
最新理论力学第七章点的合成运动(哈工大第七版版)
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
理论力学(7.4)--点的合成运动作业解答
第七章作业答案1、解 由点M 的相对运动方程可改写为
由题得点M 的坐标变换关系式
点M 的绝对轨迹方程
2、解 （a）套筒A 为动点，动系固结于杆O1 A
由图a1
（b）套筒A 为动点，动系固结于杆O2 A，速度分析如图b1 所示。
3、解 ① 活动销子M 为动点，动系固结于轮O
② 活动销子M 为动点，动系固结于杆OA
速度分析如图b 所示
4、解 速度分析，如图b所示
加速度分析，如图c所示
5、解 点A 为动点，动系固结于小车，加速度分析如图b 所示。
由题意得t = 1 s时，各量为
分别向轴x ， y 方向投影得
6、解 小环M 为动点，动系固结于曲杆OBC，速度分析如图b 所示。
加速度分析如图c 所示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学课后习题答案
第7章 点的合成运动一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。
( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。
( × )3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。
( √ )4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。
( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。
( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。
( √ ) 7．在图中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。
( √ )二、填空题1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。
2．在图中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图(a)中直杆的角速度=1ωθθωcos sin 2，图(b)中直杆的角速度=1ω2ω。
图 图3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。
4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。
牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。
5．如图所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。
则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ϕ= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。
图6．当点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹都是曲线时，牵连运动是直线平动时的加速度合成定理表达式是a e r =+a a a ；牵连运动是曲线平动时的加速度合成定理表达式是 a e r =+a a a ；牵连运动是转动时的加速度合成定理表达式是a e r k =++a a a a 。
第7章点的合成运动习题
第7章 点的合成运动习题1.是非题（对画√，错画×）7-1.绝对运动是动点相对于定系的运动。
（ ） 7-2.相对运动是动点相对于动系的运动。
（ ） 7-3.牵连运动是动点相对于动系的运动。
（ ）7-4.动点的绝对运动看成动点的相对运动和牵连运动的合成。
（ ） 7-5.动点相对速度对时间的导数等于动点的相对加速度。
（ ） 7-6.在一般情况下，某瞬时动点的绝对加速度等于动点的相对加速度和牵连加速度矢量和。
（ ）2.填空题（把正确的答案写在横线上）7-7.在研究点的合成运动中，应确定 、 、 。
7-8.图示机构设A 滑块为动点，BC 为动系，则A 滑块的绝对运动为 ；A 滑块的相对运动为 ；A 滑块的牵连运动为 ；科氏加速度的方向 。
7-9.上题中若AD=l ，AD 以ω作匀角速度转动，且三角形ABD 构成等边直角三角形，则A 滑块的绝对速度a v = ；相对速度r v = ；牵连速度e v = ；绝对加速度τaa = 、n r a = ；相对加速度r a = ；牵连速度τe a = 、nea = ；科氏加速度c a = 。
C3.简答题7-10.定系一定是不动的吗？动系是动的吗？7-11.牵连速度的导数等于牵连加速度吗？相对速度的导数等于相对加速度吗？为什么？7-12.为什么动点和动系不能选择在同一物体上？7-13.如何正确理解牵连点的概念？在不同瞬时牵连运动表示动系上同一点的运动吗？7-14.科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？ 7-15.速度合成定理对牵连运动为平移或转动都成立，但加速度合成定理r e a a a a +=对牵连运动为转动却不成立？为什么？7-16.如图所示曲柄滑块机构，若取B 为动点，动系固结于曲柄OA 上，动点B 的牵连速度如何？如何画出速度的平行四边形？7-17.如图所示的四连杆机构，曲柄OA 与BC 平行AB=BC=r ，问销钉B 相对于曲柄OA 的速度为多少？4.计算题7-18.如图所示，点M 在平面y x O''中运动，运动方程为)t cos (x -='140 t sin y 40='t 以s 计，x '、y '以mm 计，平面y x O ''绕O 轴转动，其转动方程为t =ϕ（rad ），试求点M 的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。
理论力学@7点的合成运动-A(牵连平动)a
vr
10
第二篇 运动学 第7章 点的合成运动
解：选AB上A点为动点，凸轮为动系，画速度图。由条件易知： = 30
ve OA0 2e0
由速度图，
va
ve
tan
2e0
3
即AB杆速度。
va
vr
注1：在能清楚表达的前提下，可在原图上
画运动图。
ve
注2：在能清楚表达的前提下，一般不用画
一、定义
静系中
动系中
绝对导数
dA
ΔA
dx
dy
dz
lim i j k
dt t0 Δ t dt dt dt
x
A O
O
x
y
相对导数
~dA
Δ~A ~dx' ~dy' ~dz' dx' dy' dz'
lim i ' j' k ' i ' j' k '
例3：例7-4(老书例8-4)（求加速度）
平行四连杆机构（双曲柄机构）。 AB = CD = r，BC = AD= l，，，
a
B
。求小环M的加速度。
分析：（易分析，略）
ae
a Bn
aen
aa
ar
14
第二篇 运动学 第7章 点的合成运动
解：动点小环M，动系BC杆，画加速度图。 牵连加速度与B点相同：
例2 汽车轮子上点的运动。
4
第二篇 运动学 第7章 点的合成运动
旋轮线运动OM 复杂运动
直线运动OM1 ＋ 圆周运动M1M 简单运动 ＋ 简单运动
理论力学(7.5)--点的合成运动
第七章作业1、已知：如图所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，运动方程为：x' =40(1-cos t)mm , y' =40sin t mm，式中t 以 s 计，x ' 和 y ' 以 mm 计。
平面Ox ' y ' 又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为 φ=t rad ，式中角 φ 为动坐标系的 x '轴与定坐标系的 x 轴间的交角。
试求：点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。
2、已知：在图 a 和 b 所示的两种机构中，己知= a =200mm ， =3rad/s 。
试求：图示位置时杆 A 的角速度。
3、已知：绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M ，如图所示， b =0.lm 。
设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为=9rad/s 和=3rad/s 。
试求：此瞬时销子 M 的速度。
4、已知：图示偏心轮摇杆机构中，摇杆 A 借助弹簧压在半径为 R 的偏心轮C 上。
偏心轮C 绕轴 O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴 摆动。
设 OC ⊥O时，轮 C 的角速度为ω，角加速度为零，θ =。
试求：此时摇杆 A 的角速度和角加速度 。
5、已知：小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 。
在小车上有一轮绕 O 轴转动，轮的半径 r =0.2m ，转动的规律为 。
试求：当 t =1s 时，轮缘上点 A 绝对加速度。
6、已知：图示直角曲杆OBC 以匀角速度ω=0.5rad/s 绕 O 轴转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动， OB =0.1m ， OB 与BC 垂直。
试求：当 φ =时，小环 M 的速度和加速度。
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'=0cos sin ='+'=t y t x y ωω解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t b t b t x y ωωω 4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v = 船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a 22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v 7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
理论力学答案(第七章后)
第七章 点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（ × ） 7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e av v v +=都成立。
（ ∨ ） 7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（ × ） 7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（ ∨ ） 7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（ × ） 7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a a r e =都成立。
（× ） 7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（ × ） 7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确：（1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（ × ） （2）若e ω为常量，则必有e a =0.（ × ）（3）若e r ωv //则必有0=C a 。
（ ∨ ） 7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
( × ) 7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（ × ）二、 填空题7.2.1 牵连点是某瞬时 动系 上与 动点 重合的那一点。
7.2.2e a v v =大小为，在一般情况下，若已知v e 、v r ，应按a 的大小。
三、选择题：7.3.1 动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（ A ）。
A 、 定参考系B 、 动参考系C 、 任意参考系 7.3.2 在图示机构中，已知t b a s ωsin +=， 且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（ B ）。
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
07 点的合成运动题解
vB
B
ve
va
M
vr
A (c)
C
相对运动：动点 M 沿 BC 杆做直线运动； 牵连运动：动系随 BC 杆做曲线平动。
D
7.3 物体对地面的速度为 u，沿下列轨道运动至图示位置时，试求出科氏加速度的大小 和方向，设地球的自转角速度为。 （1） 赤道 A 点； （2） 北纬 30°B 点； （3） 沿经线 C 点； （4） 沿经线 D 点； （5） 沿经线 E 点。 解： (1) 赤道 A 点；
将上式分别向 x 和 y 投影得：
； a ax ae a r sin 30o a rn cos 30o 0.1 cm/s 2 ；
a ay a r cos 30 o a rn sin 30 o 74.64 cm/s 2
∴
2 2 a a ax a ay 74.64cm / s 2
(2)
n aa a a ae a r
n 式中 aa 2 OC 2 e ， a a OC e
向垂直方向投影得：
n aa cos a a sin ae ， ae e cos e 2 sin ，即顶杆的加速度。
O
vr
( a)
(b) 选动点：杆 O1M 上的 M 点，动系：固结于偏心轮，
ve
M
O1
va
O
vr
绝对运动：动点以 O1 为圆心 O1M 为半径的圆周运动； 相对运动：动点 M 沿偏心轮轮廓的曲线运动； 牵连运动：动系随偏心轮的定轴转动。
( b) E (c) 选动点：杆 EM 上的 M 点，动系：固结于 BC 杆， 绝对运动：动点 M 沿铅垂方向做直线运动；
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
《理论力学》第七章点的合成运动习题解
2v v e =1v v =ABr v v =045045v r =N第七章 点的合成运动习题解析[习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。
求在B 车上观察到的Ａ车的速度。
解： 动点：A 车。
动系：固连于B 车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A 相对于地面的运动。
相对运动：动点A 相对于B 车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。
2v v e =。
由速度合成定理得：→→→+=r e v v v 。
用作图法求得：h km v v AB r /40== （↑）故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。
[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１）动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的v 。
相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。
牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。
vr 1=N1v sm v e /1=由速度合成定理得：→→→+=r e v v v)/(118.115.02222s m v v v r e =+=+=0435.635.01arctan arctan===e r v v θ )(50021000tan 1000m AC ===θ，即，船将在北岸下流５００m 处靠岸。
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第七章点的合成运动习题解析［习题7-1］汽车A以V i 40km/h沿直线道路行驶，汽车B以V2 4O.._2km/h沿另一叉道行驶。
求在B车上观察到的A车的速度。
解：动点：A车。
动系：固连于B车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A相对于地面的运动。
相对运动：动点A相对于B车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当A、E两车相遇时，即它们之间的距离趋近于0时，A、E相重合，E车相对于地面的速度就是牵连速度。
V e V2。
由速度合成定理得：V V e V r。
用作图法求得：v r V AB 40km/ h （f）故，E车上的人观察到A车的速度为V r V AB［习题7-2］由西向东流的河，相对于水流的划速为1m/s。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？解：（1）动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的V。
相对速度：V r1m/s，方向如图所示。
牵连速度：V e 0.5m/s，方向如图所示。
由速度合成定理得：V V e V r 40km/h，方向如图所示。
宽1000m,流速为0.5m/s ,小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船V rv .. V V -： 0.52 121.118(m/s)arcta n 土V e1 arcta n —— 0.5AC10001000500( m),即，船将在北岸下流5 0 0tan 2n 处靠岸。
如图所示，A 为出渡河所花的时间：t 11000m1000(s) 16 分 40 秒1m/ s发点，E 为靠岸点。
(2)• V e . 0.5 arcs in arcs inv r 1 v . v ； v ； 12 0.52即船头对准方向为北偏西 300 渡河所花的时间： t 2 1000 m 1155( s) 19 分 15秒0.866m/ s 300 0.866(m/s) ［习题7-3］播种机以匀速率 w 1m/s 直线前进。
种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度 v ； 2m/s 。
求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间 水平距离。
解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。
相对速度：v r v 2 2m/ s 牵连速度：v e v 1 1m/s v v e 5 v 1222 2 1 2cos120° 2.65(m/s)63.435°2.65sin (60°) si n120°60° arcsin ——19.07°2.6540.930即v 与V i 之间的夹角为 40.930。
种子走过的水平距离为：s v x t vcos tvsin t 0.252.65sin40.930t 0.5 9.8t 24.9t 2 1.736t 0.25: 21.736 pi.7364 4.9 ( 0.25) 2 4.9s 2.65 cos 40.930 0.110.22(m)［习题7-4］砂石料从传送带A 落到另一传送带E 的绝对速度为 v 1 4m/ s ，其方向与铅直线成300角。
设传送带E 与水平面成 150角，其速度为V 2 2m/s ，求此时砂石料对于传送带E 的相对速度。
又当传送带E 的速度多大时，砂石料的相对速度才能与 B 带垂直。
解: 动点：砂石料。
动系：固连于传送带E 的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，v v 1 4m/s 。
相对速度：砂石料相对于传送带E 的速度，待求。
牵连速度：传送带E 相对于地面的速度：v e v 2 2m/s v a v e v rv r 22 42 2 2 4cos750 3.98(m/s)V y t 2gt1.7362.8139.80.11(s) 0.464(s)(不合舍去)当v r V B时，传送带E的速度为：v B v a sin15°4sin15° 1.04(m/s)［习题7-5］三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成置在斜面上，另一端E在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度角。
杆AE的A端搁V向右运动，求活塞E的速度。
解：动点：A。
动系：固连于凸轮上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A相对于地面的速度，待求。
相对速度：A相对于凸轮的速度。
牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
V a V e V rv A vta n因为杆AE作上下平动，故活塞E的速度为:V a V AV e Vv B V A vta n［习题7-6］图示一曲柄滑道机构，长OA r的曲柄，以匀角速度绕O轴转动。
装在水平杆CE上的滑槽DE与水平线成600角。
求当曲柄与水平线的夹角分别为00、300、600时, 杆EC的速度。
解：动点：A。
动系：固连于CEDE 上的坐标系。
动系平动， V A V CBDE V BC静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度。
相对速度：A 相对于DE 的速度。
牵连速度：CEDE 相对于地面的速度。
V a V e V r V a rVBC r sin( 300)sin 1200sin(0 30 ) sin 1200负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
解： 动点：Co动系：固连于OC 杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
V BCsin (180°1200 90°)sin 120°V BCsin( 300) sin 1200..3 r3V BC 1 300sin (300 300)sin 1200 此时往复运动改变方向。
V BC | 60°sin (600 300) 0sin 12023 r[习题7-7] 摇杆OC 带动齿条AE 上下移动, 齿条又带动直径为10 0 mm 的齿轮绕O 1轴摆动。
在图所示瞬时，OC 之角速度3 0 = 0 . 5 ad/s ，求这时齿轮的角速度。
V BC 1绝对速度：C 相对于地面的速度。
相对速度：C 相对于OC 杆的速度。
牵连速度：OC 杆相对于地面的速度。
即齿轮的角速度为 1 5.33rad / s［习题7-8 ］摇杆滑道机构的曲柄OA 长 I , OAXOO - AB 2I ，求该瞬时EC 杆的速度。
解： 动点：A 。
动系：固连于O 1D 杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度， v a I 0。
相对速度：A 相对于 O i D 杆的速度。
V e OC 0.40.5 0.231(m/s)cos30V a V e V rV a V e0.2 0.267(m/s)cos30°2c c°cos 30V a V AB r 10.2/0.750.267/r 10.2/0.75 5.33(rad / s)1 0.05以匀角速度3。
绕O 轴转动。
已知在图所示位置牵连速度：OQ 杆相对于地面的速度。
V a V e VV eV a sin 300 丄I 02V e O 1A O] D2 02lO 1D10O 1D1 04动点: Bo动系：固连于O j D杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：E相对于地面的速度。
相对速度：E相对于O1D杆的速度。
牵连速度：O j D杆相对于地面的速度。
V a V e V rV-O1B O i D411 l1 0 4V a V e l 0 1.1551 0cos3000.866BC乍平动，故v BC v a 1.15510[习题7-9] —外形为半圆弧的凸轮A,半径r = 3 0 0 mm，沿水平方向向右作匀加速运动，2其加速度a A= 8 0 0 mm/s 。
凸轮推动直杆EC沿铅直导槽上下运动。
设在图所示瞬时,V A=6 0 0mm/s，求杆EC的速度及加速度。
解：动点：E。
动系：固连于凸轮A上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：E相对于地面的速度。
相对速度：E相对于凸轮的速度。
牵连速度：E相对于凸轮的速度。
V a V e V r凸轮在水平面上作平动，EC在铅垂方向上作平动。
V e V ABV BC V B V a V e COt30°V A cot30°600 3 1039.23(mm/s)V r - 0 2V e 2 600 1200(mm/s)sin 30nx a a a e a r a e a r a r上式在x轴上的投影为:a a cos60°a e cos300n ar2a r3a e2 V ra a 1.732r2(1200)800 2 -30028214.4(mm/s )，负号表示方向向下。
[习题7-10]铰接四边形机构中的O 1A = O 2E=100mm,O 1O2 = AE，杆O 1A以等角速度w=2r ad/s绕O i轴转动。
AE杆上有一套筒C, 此筒与CD杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。
求当0 = 60 °时0。
杆的速度和加速度。
解：动点：c。
动系：固连于AE杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度: C相对于地面的速度。
相对速度: C相对于AE杆的速度。
牵连速度: AE杆相对于地面的速度。
V a V e V rV e v A O1A 100 2 200(mm/s)V a 0v e cos60 200 0.5 100(mm/s) ea a a e a ra e a Aa e100(mm / s)a e na e2VO1AO1A 2100 22400(mm/s2)a a 0a e sin 60 400 0.866 346.4(mm/s2)a CD a C a a 346.4(mm/s)［习题7-11］具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道CD获得间歇往复运动。
若已知曲柄OA 作匀速转动，其转速为w = 4nrad/s ，又R = OA=100mm ，求当曲柄与水平 轴成角0 = 30°时滑道CD 的速度及加速度。
解: 动点：A 。
动系：固连于滑道CD 上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度。
相对速度：A 相对于滑道CD 的速度。
牵连速度：滑道CD 相对于地面的速度。
V a V e V r加速度在 方向的投影：a a cos60° a e cos30° a ；15.775 0.5 a e 0.866 15.775 2a e 27.32(m/s )2a CD a e 27.32(m/s )［习题7-12］销钉M 可同时在槽AB,CD 内滑动。