北师大版九年级数学上册平行线分线段成比例导学案
4.4平行线分线段成比例定理学案
4.2 平行线分线段成比例一、知识点梳理1、平行线分线段成比例定理2、推论二、题型训练一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14第1题第2题第3题2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若=，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6 D．103．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4第4题第5题第6题5．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题7．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．第7题 第8题 第9题8．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，=，DE=6，则EF= ．9．如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ． 三、解答题10、P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA MB=OB NA ∙∙11、如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，求BF 的长？2016年北师大新版九年级数学上册同步测试：4.2 平行线分线段成比例参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若=，DE=4，则EF的长是（）A．B．C．6 D．10【考点】平行线分线段成比例．【专题】压轴题．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF=6．故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A ．B ．2C ．D ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据AH=2，HB=1求出AB 的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．【解答】解：∵AH=2，HB=1， ∴AB=3， ∵l 1∥l 2∥l 3，∴==，故选：D ．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案．【解答】解：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故选：D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AD∥BE∥CF可得=，代入可求得EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，∵AB=1，BC=3，DE=2，∴=，解得EF=6，故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．8．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，根据已知即可求出答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，，∴===，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．9．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．【解答】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】几何图形问题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．11．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．12．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形．【专题】计算题．【分析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC 求解．【解答】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解．二、填空题（共4小题）13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．【解答】解：∵DE∥AC，∴，即，解得：EC=．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键．14．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，=，DE=6，则EF=9．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后根据比例性质求EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，∴EF=9．故答案为9．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．15．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=12cm．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴，即，∴BC=12cm．故答案为：12．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出=，由GH∥CD，得出=，将两个式子相加，即可求出GH的长．【解答】解：∵AB∥GH，∴=，即=①，∵GH∥CD，∴=，即=②，①+②，得+=+==1，∴+=1，解得GH=．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．。
导学案：平行线分线段成比例定理
2. 平行线分线段成比例定理学习目标：通过自学课本，弄清楚平行线分线段成比例定理地由来，能运用该定理解答相关问题 学习重难点：平行线分线段成比例定理 学习过程： 【问题导思】：1.平行线等分线段定理：定理内容：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的 2.平行线等分线段定理的推论：（1（或两边的延长线），（2）符号语言表示：如图，若a ∥b ∥c 3.三角形内角平分线定理：（1）定理内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个 对应成比例（2）符号语言表示：如图，AD 为∠A 的平分线 ，则 你还有什么未解决问题？【自学检测】1. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AC 边的三等分点， BE 交AD 于点F ，则AF ﹕FD 为_______b cAC BDAF D E C BA ．2﹕1B ．3﹕1C ．4﹕1D ．5﹕12．已知：如右图，DE ∥BC ，S △ADE =3，S △BEC =18，则S △BDE =____________3.如右图，BD ︰DC=5︰3，E 为AD 的中点，求BE ：EF 的值.4.如右图，AC ∥BD ，AD 、BC 相交 于E ，EF ∥BD ， （1）求证：EFBD AC 111=+； （2）若AC=80，BD=20，求EF 的值【当堂训练】：1.如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ︰BC= a ︰b ，中位线HG=m ,则图中EF=_____b a b a m A -+)(. ba ab m B +-)(. )(2)(.b a b a m C +- b a a b m D +-)(.2.如图2, 已知 ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，与相交于，则EF AFFC FD+的值为___ A. B.1 C.A DEC BAC BDEFEDCBA图1 图2 图33.如图3，CD 是ACB 的角平分线， DE ∥BC ，BC=a , AC=b ,用含有a , b 的代数式表示DE=_____4. 如图，ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则1112D E a =；若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；……若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，求证：CN AN 21=6.如图，在ABC ∆中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点. （1）当1A 2AE C =时，求的值；（2）当31=AC AE 和41=AC AE 时，求的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时的值，并证明你的猜想. E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBAE D CBAO。
北师大版九年级数学上册 4.2平行线分线段成比例 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.2平行线分线段成比例 导学案1、预习目标1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EFDF.2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．如图2，∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝ECAC .【补充】如图3，∵DE ∥BC ，∴AD AC ＝AEAB .2、课堂精讲精练【例1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，两条直线AC 和DF 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.则下列比例式不正确的是(D)A.AB BC ＝DEEFB.AB AC ＝DEDFC.AC AB ＝DFDED.EF ED ＝BC AC【跟踪训练1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EFDE＝2．【例2】如图，直线l 1，l 2，l 3分别交直线l 4于点A ，B ，C ，交直线l 5于点D ，E ，F ，且l 1∥l 2∥l 3，直线l 4，l 5相交于点O ，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求AB 的长；(2)当DE ＝3，OE ＝1时，求OBOC的值．解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3， ∴EF ∶DF ＝BC ∶AC ＝5∶8， ∴BC ＝15. ∴AB ＝AC －BC ＝9. (2)OB OC ＝14. 【跟踪训练2】如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCBE 的值等于38．【例3】如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是(C)A.AD AB ＝AEECB.AG GF ＝AEBDC.BD AD ＝CEAED.AG AF ＝AC EC【跟踪训练3】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于(C)A ．3∶8B ．3∶5C ．5∶8D ．2∶5【例4】如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，射线CF 交AB 于E 点，且AE EB ＝16，求AFFD的值．解：取CE 的中点G ，连接DG. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴DG 是△BCE 的中位线． ∴DG ∥BE ，DG ＝12BE.∵AE EB ＝16， ∴AE DG ＝13. ∴AF FD ＝AE DG ＝13.【跟踪训练4】如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC ＝1∶2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，则BE ∶EC ＝(B)A ．1∶2B ．1∶3C．1∶4D．2∶33、课堂巩固训练1．如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF＝2∶5，那么下列结论正确的是(A)A．AC∶EC＝2∶5 B．AB∶CD＝2∶5C．CD∶EF＝2∶5 D．AC∶AE＝2∶52．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是(A)A．6 B．5 C．4 D．23．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，DF∥AC，则下列各式中不一定成立的是(D)A.ABAD＝ACAEB.ADBD＝AEECC.BCFC＝BADAD.BDDA＝FCBF4．如图，AB∥CD∥EF.若AD∶AF＝3∶5，BC＝6，则CE的长为4．5．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F，AF∶FC为1∶6．6．如图，直线PQ 经过菱形ABCD 的顶点C ，分别交边AB 和AD 的延长线于点P 和Q ，BP ＝12AB ，求证：DQ ＝2AB.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ∥AD ，CD ∥AB ，AB ＝DA. ∴BP AB ＝CP QC ＝DA DQ. 又∵AB ＝AD ，BP AB ＝12，∴AB DQ ＝12.∴DQ ＝2AB. 4、课堂总结求线段的比，通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然后进行转化得到所求两条线段的比；遇到不能直接转化线段的比时，要借助辅助线(作平行线)构造A 字型基本图形．。
平行线分线段成比例导学案
平行线分线段成比例学习目标1．知道平行线分线段成比例定理及其推论；2．会用平行线分线段成比例定理进行证明和计算。
【学习环节一：自学质疑】如图，在边长为1的正方形网格中，AB=_______，BC=__________，DE=-_________，EN=__________，则AB BC =__________, DE EN =__________，PBBN=__________由图可得AD ∥EB ∥CF ，可以发现___________归纳：两条直线被一组平行线所截。
所得的______________成比例（简称：平行线分线段成比例）【学习环节二：讨论领悟】如图1 如图2 如图31．如图1 “A ”字形：∵BC ∥DE ，∴,AB AC AB BC ACBD CE AD DE AE ===2．如图2 “X ” 字形：∵DC ∥AB ，∴,AE BE AE BE ABCE DE CE DE DC===3．如图3 “公腰A-X ”字形：∵AB ∥HG ∥DC ，∴1GH GHAB CD+=推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的_________成比例； 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形的三边__________成比例。
注：证明比例前后项共线的比例式有困难时，常作平行线，构造“A ”字形或“X ” 字形。
4.三角形内角平分线定理：三角形内角平分线内分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例。
【学习环节三：展示分享】知识点一：平行线分线段成比例定理例1、 如图，1l ∥2l ∥3l ，直线a 与1l 、2l 、3l 分别交于A 、B 、C 三点，直线b 与1l 、2l 、3l 分别交于D 、E 、F 三点。
若AC=12，DE=5，EF=7，求BC 的长。
变式练习：1、如图，已知1l ∥2l ∥3l ，若AB=1，BC=2，DE=1.5，则EF 的长为______________2、如图，已知AB ∥CD∥EF，下列结论中，正确的是（ ） A .CD AC EF AE = B. BD AC DF AE = C. CF AC DF BD = D. DF ACCE BD=第1题图 第2题图 知识点二：平行线分线段成比例定理推论例2、如图，点F 为平行四边形ABCD 的边AD 上一点，CF 交BA 的延长线于点E 。
《平行线分线段成比例定理》教案 2022年北师大版九年级数学上
4.2平行线分线段成比例定理【教学目标】知识与技能1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理. 过程与方法通过应用，培养识图能力和推理论证能力. 情感、态度与价值观通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想. 【教学重难点】教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用． 【导学过程】【创设情景，引入新课】 1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？【自主探究】三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?？那么32若==EF DE ，,BC AB ？那么43若==EF DE ,，BC AB 你能否利用所学过的相关知识进行说明？【课堂探究】由上面例题我们可以得到： 1.平行线分线段成比例定理 ：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 说明：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。
（2）写出其它的对应线段成比例的情况。
对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等。
（3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 定理的基本图形和结论：3.例例：如图：在△ABC 中E,F 分别是AB 和CD 上的两点且EF//BC, （1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF 的长是多少？ （2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么BE 的长是多少？【当堂训练】（1）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PD ：PQ=4：1； （2）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PQ ：DQ=4：11.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质【学习目标】A 型基本图形X 型基本图形（1） （4）（2） （3）1．理解菱形的概念，掌握菱形的性质．2．培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识．3．经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．【学习重点】理解并掌握菱形的性质．【学习难点】形成推理的能力．情景导入生成问题1．平行四边形的一组对边平行且相等．2．平行四边形的对角相等．3．平行四边形的对角线互相平分．自学互研生成能力知识模块一探索菱形的性质先阅读教材P2－3页的内容，然后完成下面的问题：1．菱形的定义是什么？答：菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的所有性质吗？答：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．1．教师拿出平行四边形木框(可活动的)，操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．2．如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．思考：(1)这是一个什么样的图形呢？(2)有几条对称轴？(3)对称轴之间有什么位置关系？(4)菱形中有哪些相等的线段？师生结论：(1)菱形；(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；(3)两条对称轴互相垂直；(4)菱形的四条边相等．3．归纳结论：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直．知识模块二菱形性质的应用解答下列各题：1．已知菱形ABCD 的边长为3cm ，则该菱形的周长为__12__cm .2．如图，已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ＝60°，则对角线BD ＝__5__cm .典例讲解：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD(菱形的四条边都相等)，AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB ＝OD ＝12BD ＝12×6＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABC 中，∵∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝6.在Rt △AOB 中，由勾股定理得OA 2＋OB 2＝AB 2，∴OA ＝AB 2－OB 2＝62－32＝33，∴AC ＝2OA ＝6 3.对应练习：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.已知AB ＝5cm ，AO ＝4cm .求BD 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)．在Rt △AOB 中，由勾股定理，得AO 2＋BO 2＝AB 2，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－42＝3.∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ＝2BO ＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索菱形的性质 知识模块二 菱形性质的应用检测反馈 达成目标1．已知菱形ABCD的周长为8cm，则菱形的边长为__2__cm.2．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝10cm，BD＝24cm，则菱形ABCD的周长为__52__cm.3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(B)A．内角和为360°B．对角线互相垂直C．对边平行D．对角线互相平行4．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为(B)A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版-数学-九年级上册-导学案-平行线分线段成比例
平行线分线段成比例教学目标1．理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用．2．通过应用，培养识图能力和推理论证能力．教学重点平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式．教学过程一、情景导入 感受新知(1)如图，一组等距离的平行线截直线AC 所得到的线段相等，那么在直线A′C′上所截得的线段有什么关系呢？ (2)若AB BC ＝23，猜想A′B′B′C′的值是多少？ 二、自学互研 生成新知【自主探究】阅读教材P82－83的内容，完成下列问题．如图1，l1∥l2∥l3，直线l4，l5被l1，l2，l3所截．(1)测量AB ＝________，BC ＝________，AC ＝________，DE ＝________，EF ＝________，DF ＝________.(2)测算AB∶BC＝________，AB ∶AC ＝______，BC ∶AC ＝________，DE ∶EF ＝________，DE ∶DF ＝________，EF ∶D F ＝________．2．平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__．3．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的__对应线段__成比例．【合作探究】问题1：图1中只拖动l4且始终使l1∥l2∥l3，测算数据发生变化吗？只拖动l5呢？问题2：在图1中拖动l5可得几种变式图形？画出这些图形．问题3：类比上述结论，你还能得出什么推论？引导学生用特殊化的线段，抽象出图6，从而得出如下推论：【师生活动】①明了学情：关注学生对平行线分线段成比例定理及推论的理解与掌握情况． ②差异指导：巡视全班，及时对学生产生的困惑，进行引导与点拨．③生生互助：小组内交流讨论，相互释疑．三、典例剖析 运用新知【合作探究】例：如图，在△ADE 中，BC ∥DE ，AB ＝6，BD ＝8，AC ＝4，求CE.解：∵BC ∥DE ，∴AB BD ＝AC CE. ∵AB ＝6，BD ＝8，AC ＝4， ∴CE ＝AC·BD AB ＝4×86＝163. 变式迁移：如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CEEF＝ADAF四、课堂小结回顾新知(1)通过本节课的学习，你的收获是什么？(2)通过本节课的学习，你感受到了什么？(3)你还有什么问题和困惑？学生活动：学生们畅所欲言，说出自己这节课学习的感受和收获．五、检测反馈落实新知1．已知，如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF为(B) A．2 B．4.5 C．6 D．8，(第1题图)) ，(第2题图))2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是(C)A.ADAB＝AEACB.CECF＝EAFBC.DEBC＝ADBDD.EFAB＝CFCB3．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为__6__．，(第3题图)) ，(第4题图)) 4．如图，DE∥BC，AB＝6，AC＝9，AD＝2，则EC＝__12__.六、课后作业巩固新知见学生用书．。
新北师版初中数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例导学案
42 平行线分线段成比例
学习目标：
1、了解两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实证明方法
2、能利用基本事实及推论决简单的实际问题
学习重点：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实和推论的简单应用
学习难点：定理证明思路的寻求过程
【预习案】
一、链接
1、已知梯形ABD的对角线A与BD相交于O点，求证：S
△AB = S
△BD
2、写出平行线等线段这个基本事实的内容。
二、导读
阅读课本内容并回答以下问题：
1、试着证明平行线分线段成比例定理
1、试证明两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
这一基本事实
【探究案】
1、如图，AD ∥BE ∥FABB = 23，AD = 6，F = 11，则BE 的长为多少？
2、如图，在△AB 中，M 是A 的中点，E 是AB 上一点，AE=
4
1AB ，EM 的延长线与B 的延长线交于点D ，求证：B = 2D
【训练案】
1、如图，DE∥B，DF∥A，AD=3c，BD=6c，DE=2c求BF的长
2、已知：如图，在△AB中，点D 是B边中点，点F是AD中点，求BF：FE的值。
4.2平行线分线段成比例(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
-比例线段的灵活应用：在实际问题中，如何将问题转化为比例线段的问题，并进行求解，是学生容易感到困惑的地线段的结构，并正确设置比例关系进行计算。
-解决问题的策略选择：学生在面对具体问题时，选择合适的方法和策略来解决比例线段问题，是学习的难点。
-举例：在有多种解法的情况下，如何选择最简捷、最高效的解题方法。
-空间观念的培养：对于几何图形在空间中的位置关系的理解和应用，对于部分学生来说是一个难点。
-举例：在三维空间中，如何将平行线分线段成比例的性质应用于不规则物体的切割和比例计算。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《4.2平行线分线段成比例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条平行线之间的线段被分成比例的情况？”（如操场跑道的划分）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线分线段成比例的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现学生对理论知识的接受程度较高，但当我将问题具体化，进行案例分析时，部分学生开始显得有些吃力。这说明我们在教学中，除了讲解理论知识，还应加强实际案例的分析，让学生更好地理解和掌握。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们对平行线分线段成比例有了更直观的认识。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对问题的分析不够深入，容易停留在表面。这可能是因为学生对几何直观能力的培养还不够，需要在今后的教学中加以强化。
-举例：已知平行线l1和l2之间的横截线段AB，且AC/BC = 2/3，若AC=4，求BC的长度。
-实际问题的应用：将比例线段知识应用于解决实际问题，提高学生学以致用的能力。
新北师大版九年级数学上册《平行线分线段成比例》导学案
备注（教师复备栏及学生笔记
备注（教师复备栏及学生笔记
备注（教师复备栏及学生笔记
(图2）
在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理
2.探究活动二：
内容：如图3，直线a∥b∥c，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4），图4中有哪些成比例线段？
（图3）(图4）
推论：
三、学以致用
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC,
（1）.如果AE = 7, EB=5，FC = 4，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？
A
B
C
E
F
四、课堂小结：
本节课你有哪些收获？
五、作业：
备注（教师复备栏及学生笔记）
【学习过程】
一、复习设疑，引入新课
（1）什么是成比例线段？
（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？
二、小组活动，探究定理
1.探究活动一：
内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c ,分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。
计算 你有什么发现？
将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
. 科目
数学
课题
新北师大版九年级数学上册《平行线分线段成比例》导学案
主备人
审核人
学案
类型
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例(教案)
（2）逆向思维的培养：在解决逆向问题，即已知线段比例求平行线问题时，学生往往感到困难。
举例：已知在三角形ABC中，AB/AC = 2/3，点D在BC上，使得AD//BC，求BD/DC的比例。
其次，在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式，逐步引导学生掌握平行线分线段成比例定理。在这个过程中，我发现图示和实际案例的分析对于学生理解这一概念非常有帮助。但在讲解过程中，我应该更加注意语言的简洁明了，避免让学生产生混淆。
在实践活动环节，我安排了分组讨论、实验操作和成果展示。通过这个环节，学生们的动手能力和团队合作能力得到了锻炼。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些问题，如对尺度的把握不准确等。因此，在以后的教学中，我可以增加一些关于几何作图的技巧讲解，提高学生们的实践能力。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章“图形的相似”中的4.2节“平行线分线段成比例”。教学内容主要包括以下两点：
1.探索并掌握平行线分线段成比例定理，即：如果两条直线平行，那么它们所分得的对应线段成比例。
2.学会运用平行线分线段成比例定理解决相关问题，如：求线段比例、相似三角形等。通过对该定理的理解和应用，培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，并进行交流。这个环节的效果还不错，学生们积极参与讨论，课堂氛围活跃。但我也注意到，部分学生过于依赖教材，缺乏独立思考的能力。为了培养学生的创新思维，我可以在今后的教学中多设置一些开放性的问题，引导学生进行深度思考。
9年级数学北师大版上册教案第4章《平行线分线段成比例》
4.2 平行线分线段成比例一、教学内容分析本节为北师大版九年级教材第四章《图形的相似》第2节，继探究了成比例线段、比例的性质及其简单应用后，本课以“特殊——一般——特殊”的探究方法，先引导学生借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实，然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中）得到其推论，从而为后面证明相似三角形的判定定理作准备。
二、教学目标1、通过在方格纸上研究几种特殊情况，逐步归纳、猜想和明确“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”这一基本事实及其推论，体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法；2、通过将此基本事实应用在三角形中，得出推论，为后续学习做好准备。
三、学习者特征分析学生已掌握成比例线段的定义和比例的基本性质，但对比例的基本性质可能还不够熟练。
通过本节的学习，既是对新知识的探索，又是对上节内容的巩固和后面内容的准备。
四、教学重点及难点重点：探索和掌握基本事实及其推论难点：在复杂图形中找准平行线所截的成比例线段。
五、教学过程教学环节 设计意图一、旧知回顾1、以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2cm ，3cm ，4cm ，6cmB ．2cm ，4cm ，6cm ，8cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm D ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm2、如果2x ＝3y ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝ 3、已知ab cc a b c b a +=+=+=k,则k=_______. 学生刚学完成比例线段和比例的性质，部分学生对其掌握还不够熟练，因此设计回顾环节，既可以复习旧知，又能帮助学生较快进入课堂状态。
二、知识引入1、如图，小方格边长都为1，平行线l1∥l2∥l3分别交直线m,n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3，计算各线段长，你有什么发现？2、将l2向下平移到如右图的位置，直线m,n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题1中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其它位置呢？3、你有什么猜想？4、你认为应该怎样验证自己的猜想？教师说明：通过对这些特殊例子的探索，我们可以归纳出一个猜想：“两条直线被第三条直线所截，所得的对应线段成比例。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。
本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。
但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。
三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。
四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。
2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。
同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。
例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。
2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。
引导学生发现并总结定理的内容。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
平行线分线段成比例导学案
平行线分线段成比例导学案
导学目标：
1、了解平行线分线段的成比例并掌握解决几何问题的证明方法；
2、通过动手量一量独立计算归纳总结扩展自主探索性质；
3、通过自主探索得出结论从而培养学生的探索和创新精神。
重点：1、掌握并理解平行线分线段成比例；
2、掌握归纳总结猜想证明这一学习方法。
难点：1、对平行线分线段成比例的理解；
2、理解归纳总结猜想证明的学习方法。
探索过程
一、 复习旧知
1、 已知线段a=4 ； b=3 ; c=6 ; d=2 ;这四条线段是比例线段吗？
二、 探索新知
1、 如图所示，已知直线a ∥b ∥c ，且直线a 与b 的距离和直线b 与c 的距离
相等，直线21,l l 被直线a, b, c 截得的线段分别为AB,BC 和11B A , 11C B , 量出线段AB, BC,11B A , 11C B 的长度，请问你发现了什么呢？你能证明你发现的结论吗?
文字叙述你的结论：
2、 将第1题中的直线c 向下平移得到下图，再量出线段AB, BC, 11B A ,1
1C B 的长度，求1
111C B B A BC AB 与的比值，你又发现了什么；这两个比能不能组成比例？你能证明你发现结论吗？
3、猜想一下，是不是所有的两条相交直线被在同一平面内的三条平行线所
截，都有第2题的结论呢？如果有你能证明吗？
C
E
B
F
D
A
通过做第2、3题你得到的结论：
小结：第1题的条件与第2、3题的条件有何区别？
想一想：要用第1题的结论需要满足什么条件？要用第2、3的结论需要满足什么条件？。
北师大版九年级数学上册 4.1成比例线段 导学案(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 4.1成比例线段 导学案第1课时 线段的比和成比例线段1、教学目标1．线段的比：是指选用同一个长度单位量得的两条线段长度的比，叫做两条线段的比．2．比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．3．线段比AB ∶CD 中，AB 叫线段比的前项，CD 叫线段比的后项．4．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．5．比例的基本性质：如果a b ＝c d，那么ad ＝bc ；反之，如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么a b ＝c d. 2、课堂精讲精练【例1】在1∶40 000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是2.8千米．【跟踪训练1】 在比例尺为1∶6 000的地图上，图上尺寸为1 cm ×2 cm 的矩形操场，实际尺寸为60m ×120m ．【例2】下列各组中的四条线段成比例的是(C)A ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C ．a ＝2，b ＝5，c ＝23，d ＝15D ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1【跟踪训练2】已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．9 cm【例3】已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A)A.x ＋y y ＝52B.x －y y ＝13C.x y ＝23D.x ＋1y ＋1＝43【跟踪训练3】如果x ∶y ＝3∶5，那么x ∶(x ＋y)＝(B)A.35B.38C.25D.583、课堂巩固训练1．在比例尺是1∶4 000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3 cm ，它的实际长度用科学记数法表示为(B)A ．12×103 cmB ．1.2×102m C ．1.2×104m D ．0.12×105 cm 2．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AD 为高，则AD ∶AB 为(D)A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶3D ．1∶23．下面四组线段中不能成比例线段的是(B)A ．3，6，2，4B ．4，6，5，10C ．1，2，3， 6D ．25，15，4，2 3 4．如果x －y x ＋y ＝38，那么x y ＝115． 5．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2_cm 或22_cm ． 4、课堂总结1．求线段a 与b 的比值的准备工作：统一a ，b 的长度单位或把a ，b 用同一个字母表示出来．2．验证两个比例式是否可以相互转化的方法：看它们的等积式是否相同．3．验证四条线段是否成比例的简便方法：看是否满足“最大×最小＝其余两项之积”．第2课时 等比性质1、教学目标如果a b ＝c d ＝…＝m n ，当b ＋d ＋…＋n ≠0时，a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.比例的这种性质叫做比例的等比性质．2、课堂精讲精练【例1】(1)若a b ＝c d ＝e f(b ＋d ＋f ≠0)，则下列各式中一定成立的是(B) A.e f ＝ac bd B.e f ＝a ＋c ＋e b ＋d ＋fC.e f ＝a ＋c b －dD.e f ＝a ＋c －e b ＋d ＋f (2)已知a 2＝b 3＝c 4≠0，则a ＋b c ＝54． 【跟踪训练1】若a 6＝b 5＝c 4≠0，且a ＋b －2c ＝3，则a ＝6． 【例2】已知a b ＝c d ＝e f＝3，求： (1)a ＋c ＋e b ＋d ＋f(b ＋d ＋f ≠0)的值； (2)2a ＋3c －4e 4b ＋6d －8f(4b ＋6d －8f ≠0)的值． 解：(1)∵a b ＝c d ＝e f＝3， ∴a ＋c ＋e a ＋d ＋f ＝a b＝3. (2)∵a b ＝c d ＝e f＝3， ∴2a 4b ＝3c 6d ＝－4e －8f ＝3×12＝32. ∴2a ＋3c －4e 4b ＋6d －8f ＝32.【跟踪训练2】若a b ＝c d ＝…＝2m 3n ＝57(b ＋d ＋…＋3n －7≠0)，则a ＋c ＋…＋2m －5b ＋d ＋…＋3n －7的值为57． 【跟踪训练3】已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且(a －c)∶(a ＋b)∶(c －b)＝(－2)∶7∶1，a ＋b ＋c ＝24.(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断△ABC 的形状．解(1)设a －c ＝－2k ，a ＋b ＝7k ，c －b ＝k ，∴a ＝7k －b ，c ＝k ＋b.∴a －c ＝7k －b －k －b ＝－2k.∴b ＝4k ，a ＝3k ，c ＝5k.∵a ＋b ＋c ＝24，∴3k ＋4k ＋5k ＝24，解得k ＝2.∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.(2)∵a 2＋b 2＝62＋82＝100＝102＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．3、课堂巩固训练1．设a ，b ，c 是三个互不相同的正数，如果a －c b ＝c a ＋b ＝b a，那么(A) A ．3b ＝2c B ．3a ＝2b C ．2b ＝c D ．2a ＝b 2．若k ＝a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b(a ＋b ＋c ≠0，k ≠0)，则直线y ＝kx ＋k －2一定经过第一、三象限．3．若a 2＝b 3＝c 4，且a ＋b －c ＝1，求a －b ＋c 的值． 解：设a 2＝b 3＝c 4＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k.∵a ＋b －c ＝1，∴2k ＋3k －4k ＝1.解得k ＝1.∴a＝2，b＝3，c＝4.∴a－b＋c＝2－3＋4＝3.4、课堂总结1．合比性质与等比性质的证明过程中用到了引入参数k的方法，这种方法使用十分广泛．2．使用等比性质时一定要注意所有后项之和是否为零，如果没有限制条件，那么需要分类讨论．。
导学案平行线分线段成比例定理导学案
数学九年级上册：平行线分线段成比例定理学习目标：1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.3．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.4．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.重点、难点l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．二、超前自学仔细阅读教材，思考下列问题：复述平行线分线段成比例定理的内容，想：1.定理中的“一组平行线”指的是一组具有什么特殊条件的平行线？2.适用定理及其推论的基本图形有哪些？画出来并用符号表示出定理？3.2中图形中的对应线段成比例可用哪些形象的方向名词描述出来？4.除此之外，还有其它对应线段成比例吗？5.我的疑惑是：，. 三、拓展探究：例1．如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.跟踪练习1：已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四边形，若BD=7.2,BF=6,AC=8，AD=4,求△ABC的周长。
例2.已知，如图（11），在△ABC中，D是AB的中点，F是BC延长线上的点，连结DF交AC于E，求证：CF:BF=CE:AE.跟踪练习2：如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.四、本节课你有什么收获或疑问，请写下来温馨提示：可以谈知识上的，可以谈方法上的，也可以谈合作交流的B FCB预习检测 1则DE 、（1）DE ／；（2）DE ／(3) 那么(4)2 3线段AD 4平行于三角形的一边，并且5BF,6.如图，DE BC ∥，且D B A E =,若510AB AC ==，，求AE的长。
EDCBA达标测评2.如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.的边AB 上取一点D ，在AC 取一P ，求证：BP BD CP CE =P(1)MEDC BAA。
九年级数学北师大版上册 第4章《4.2平行线分线段成比例》教学设计 教案
4.2平行线分线段成比例◇教学目标◇【知识与技能】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【过程与方法】探索并掌握基本事实‘两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例’及其推论.【情感、态度与价值观】进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.◇教学重难点◇【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【教学难点】正确理解平行线分线段成比例定理.◇教学过程◇一、情境导入如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?二、合作探究探究点1平行线分线段成比例定理典例1如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=3,BC=4,则DEDF的值是()A.73B.37C.43D.47[解析]因为l1∥l2∥l3,且AB=3,BC=4,所以DEDF =ABAC=ABAB+BC=37.[答案] B如图,F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE =BFBED.BFBE=BCAE[答案] C探究点2平行线分线段成比例定理的推论典例2如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB =DEBC.∵BD=2AD,∴ADAB=13.∵DE=5,∴5BC=13,∴BC=15.[答案] C在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使以A,D,E 三点为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为()A.16B.14C.16或14D.16或9[答案] D三、板书设计平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理2.平行线分线段成比例的推论◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,探索并掌握基本定理“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”及其推论;其次,会应用该性质及其推论进行简单的推理计算并且进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.。
北师版九年级数学上册导学案 平行线分线段成比例
7、如图，直线 l1∥l2∥l3，另两条直线分别交 l1、l2、l3 于点 A、B、C 及点 D、 E、F，且 AB=3，DE=4，EF=2，则（ ） A、BC：DE=1：2 B、BC：DE=2：3 C、BC•DE=8 D、BC•DE=6 BD 8、如图，直线 AB∥CD∥EF，若 AC=3，CE=4，则 的值是 BF
；若 x：y =7:2，则 x：（x+y）=
一、如图,任意画两条直线 l1 , l2,再画三条与 l1 , l2 相交的平行线 l3 , l4, l5.分别量度 l3 , l4, l5.在 l1 上截得的两条线段 AB, BC 和在 l2 上截得的两条线 段 DE, EF 的长度, AB︰BC 与 DE︰EF 相等吗?任意平移 l5 , 再量度 AB, BC, DE, EF 的长度, AB︰BC 与 DE︰EF 相等吗?
9、如图，已知：△ABC 中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则 EC= _________ ． 10、 如图所示， 一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，
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在北岸边每隔 50 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发 现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住， 并且在这两棵树之间还有三 棵树，则河宽为 米．
4、如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB、AD、CD、CE 于点 M、N、P、Q， 求证：MN+PQ=2PN．
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5、已知：平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 P 是直线 BD 上任意一点（异 于 B、 O、 D 三点） ， 过 P 点作平行于 AC 的直线， 交直线 AD 于 E， 交直线 AB 于 F． 若 点 P 在线段 BD 上（如图所示） ，试说明：AC=PE+PF；
【北师大版】九年级数学上册导学案：4.2平行线分线段成比例
4.2 平行线分线段成比例1. 理解平行线分线段成比例定理.（重点）2. 会用平行线分线段成比例定理解决问题.（难点）阅读教材P82〜84,自学“例题”，完成下列内容： （一）知识探究基本事实：两条直线被一组 _________ 截，所得对应线段成比例 推论：平行于三角形一边直线与其他两边相交，截得对应线段（二）自学反馈如图，11 | .1 : 2分别被1 3.1 4.15 所截，且 1 3 // 1 4 / 15,则 AB( )⑴荷 ( ----- . );AB () ( ) ⑵DE =( )— ( ）；AB ( )⑶(DF-.活动1小组讨论例 如图，在△ ABC 中，E, F 分别是AB 和AC 上点，且EF// BC. （1）如果AE= 7, EB= 5, FC= 4,那么AF 长是多少？⑵如果AB= 10, AE= 6, AF= 5,那么FC长是多少？解：(1) V EF// BCAE_AFEB FC.V AE= 7, EB= 5, FC= 4,AE- FC 7X4 28AF= --------- = ------- =—EB 5 5'(2) V EF// BC.AE_ AF…荷ACV AB=10, 6, AF= 5,AB- AF 10X 5 25…AC= = = .AE 6 325 10--FC= AC— AF= ~3 — 5 = -3.总転紀證本例是平行线分线段成比例推论简单应用，为后面证明相似三角形判定定理做铺垫.注意对“截得对应线段”中“截得”理解，同时找准对应线段是关键.活动2跟踪训练1. 如图，△ ABC中, D.E分别在AB.AC上，且DE//BC 若AE：EC= 1 :2, AD= 6,贝S AB长为( )A.18B.12C.9D.32. 如图，已知在厶ABC 中，点D, E , F 分别是边AB, AG BC 上点, 且 AD ： DB= 3 : 5,那么 CF ： FB=( )6.如图所示，如果 D, E , F 分别在OA OB OC 上 ,且DF// AC// BC.求证：OD ： OA= OE ： OB.DE// BC EF// AB, A.5 : 8 B.3 C.3 : 5D.53.如图，l i //l 2 / l 3 ,直线a , b 与 l i .l 2.l 3分别相交于A.B.C 和点 D.E.F. 卄AB 2 若 BC T 3 ,DE=4.如图, B ,5.如图, 长.ACEF:3AB 2C 和点D, E ,AE= 2 ,AD// BE// CF,直线l i , l 2与这三条平行线分别交于点1 \/活动3课堂小结平行线分线段成比例定理：(1) 两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例 .(2) 平行于三角形一边直线与其他两边相交，截得对应线段成比例.【预习导学】 (一) 知识探究 平行线成比例 (二) 自学反馈(1)DE EF (2)BC EF AC DF (3)AC DE 【合作探究】 活动2跟踪训练 1.A 2.D3.64.9〃 AD AE 3 2 ”5. T DE// BC 二 =、v AD= 3, DB= 6, AE = 2,「匸=.解得 EC BD EC 6ECOE . OD = OE OB …0A = OB=4.AC= AE+ EC= 6.6.证明: v DF// ACOD =OFOA = OCv EF// BCOF OC。
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神木县第五中学导学案
年级九班级学科数学课题平行线分线段成比例第课时
编制人审核人使用时间第周
星期
使用者
课堂流程具体内容
学习目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习
惯。
学法指导
温故知新（1）什么是成比例线段？
（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？
学生回答，3
分钟
操作一、自主探究
先阅读教材P82－83页的内容，然后解答下列问题：
1．平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也．
2．平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．
3．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的成比例．
二、合作探究
探究活动一：见教材P82页的内容．
归纳结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
问题：1.如何理解“对应线段”？
2．平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
3．“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
探究活动二：见教材P83“做一做”的内容．
归纳结论：推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
流程
探究活动三：实践提高
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC, （1）.如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？
例2、已知：如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝6，DE＝3，求EF的长。
课堂检测1、如图，已知l1∥l2∥l3，如果AB∶BC＝2∶3，DE＝4，则EF的长是多少？
2如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC, （1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？
教后反思
A
B C
E F
A
B C
D E。