第8节 曲线的凹凸性及渐近线
23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
函数性态的研究(凹凸性和渐近线)
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C
3-5 凹凸性 拐点.渐近线
0
0
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
y 0
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例1. 判断曲线
解: 函数的定义域为
的凹凸性.
1 y , x 1 y 2 x
所以在函数的定义域 由定理1知 曲线
1 内，y 2 0 x
是凸的.
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2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 . 无水平渐近线 .
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y 0是曲线的水平渐近线
1 x lim +ln(1+e ) = x 0 x
x 0是曲线的垂直渐近线
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1 例3 求曲线y=f(x)= +ln(1+e x )的渐近线 x f ( x) 1 ln(1+e x ) lim 2 + 考虑斜渐近线. lim x x x x x
第五节
第三章
曲线的凹凸性,拐点与渐近线
一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点 三、渐近线
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1、曲线凹凸性的概念
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
yy
oo
x1 x x1 x x1x1 2 2x2x2 x x 2 2
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
凹凸性、渐近线、作图资料
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
10/15/2019
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
10/15/2019
1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
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4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
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5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
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6
导数的应用函数的凹凸性与渐近线
导数的应用函数的凹凸性与渐近线导数的应用——函数的凹凸性与渐近线在微积分学中，导数是一个非常重要的概念。
它不仅仅是用来计算函数在某一点的斜率，还有许多应用。
一、函数的凹凸性导数可以告诉我们函数的凹凸性。
一个函数在某一区间内是凹函数，意味着该区间内函数的曲线是向上凸起的。
而如果函数在该区间内是凸函数，则意味着曲线是向下凹陷的。
我们可以通过二阶导数来判断一个函数的凹凸性。
如果函数的二阶导数在某一区间内大于零，则该区间内的函数是凹函数；如果二阶导数小于零，则该区间内的函数是凸函数。
例如，对于函数f(x) = x^2，它的导数是f'(x) = 2x。
二阶导数是f''(x) = 2。
显然，二阶导数恒大于零，所以函数f(x) = x^2是一个凹函数。
二、渐近线在函数的图像中，渐近线是指趋近于函数曲线但永远无法与之相交的直线。
导数可以帮助我们找到函数图像的渐近线。
首先，我们来看一下水平渐近线。
一个函数的水平渐近线是指当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数值趋近于一个常数。
如果一个函数在某一区间上没有水平渐近线，那么该函数在该区间内必须是单调增或单调减的。
例如，对于函数f(x) = 1/x，在x趋近于无穷大或负无穷大时，f(x)的值趋近于零。
因此，y = 0就是f(x)的水平渐近线。
除了水平渐近线，还有斜渐近线。
斜渐近线是指函数图像在无穷远处无法被一条直线所代替，但这条直线可以与函数图像无限接近。
为了找到一个函数的斜渐近线，我们需要计算函数的斜率函数。
斜率函数是函数的导数。
例如，对于函数f(x) = e^x（e为自然对数的底数），它的导数是f'(x) = e^x。
所以斜率函数也是e^x。
接下来，我们要找到斜渐近线的截距。
我们可以通过求解方程e^x = mx + c（m为斜率，c为截距）来得到。
综上所述，导数的应用不仅可以帮助我们判断函数的凹凸性，还可以帮助我们找到函数图像的渐近线。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更加深入地理解函数的特性和性质。
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸性、拐点与渐近线
如果恒有
1
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x x2 f( 1 ) 2 x1 x2 2
f ( x2 )
2013-9-12 9
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
注 如果 f ( x) (1)lim 不存在； x x f ( x) (2)lim a , 但 lim[ f ( x ) ax ]不存在， x x x 则可以判断y f ( x )不存在斜渐近线。
2013-9-12
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
1.函数的凹凸性与拐点 定义1：设 f ( x )在区间 I 上连续，如果对于 I 上任意两点 x1 , x2， x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凹的(凹弧)；
2013-9-12
13
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x2 例8 求曲线 f ( x ) 的渐近线。 x 1
2013-9-12
14x x 来自则直线 y C 是曲线 y f ( x )的水平渐近线。
(2)垂直渐近线 若曲线 y f ( x )在点 x0处间断，且 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
x x0 x x0
则直线 x x0是曲线 y f ( x )的垂直渐近线。 f ( x) (3)斜渐近线 若 lim a , lim[ f ( x ) ax ] b, x x x 则直线y ax b是曲线 y f ( x )的斜渐近线。
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
函数的凹凸性与作图.ppt
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
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2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.
2.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的上方，则称曲线y f x在a,b上是凸的.
定理 设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数.
1.如果在a,b内，f x 0,则曲线y f x在a,b内是凹的； 2.如果在a,b内，f x 0,则曲线y f x在a,b内是凸的；
定义：连续曲线凹与凸的分界点称为拐点.
12
x
6
12(
x
1 2
)
x
(, 1) 0
( 1 , )
2
2
f (x)
-
0
+
拐点
y f (x)
(0,1)
例4.求曲线y 3x4 4x 1的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y 12 x3 12 x2 ,
y
36 x2
24
x
36
x(
x
2 3
)
y
0 ,得x1
0, x2
2 3
x
f (x)
0
(0, )
不存在
＋
拐点(0,0)
例6.判断曲线 y 2x 14 1是否有拐点？
解 函数的定义域为 (, ).
y 8(2x 1)3 , y 48(2x 1)2
令 y'' 0,
1
得
1 x 2.
x 2 时，恒有 y'' 0,
即在点 x 1的左右近旁, y的符号相同, 2
因此点 1 , 1 不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点.
所以曲线在 (, 0) 内是凸的, 在 (0,
) 内是凹的.
例2.求曲线y ln x的凹凸区间.
解 函数的定义域为 (0, ).
y
1 x
, y
1 x2
y 0,所以y ln x在( 0, ) 内是凸的
定理：拐点的判定若f x在x0的左右两侧邻近异号，
则点x0, f x0 是拐点.
求曲线y f x的拐点的步骤为：
(, 0) 0
(0, 2 ) 3
2 3
( 2 , ) 3Βιβλιοθήκη +0-
0
＋
y f (x)
拐点(0,1)
(2 , 11) 3 27
5
例5.求曲线y x3的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y'
5 3
2
x3
,
5 y'' 3
2 3
1
x3
10 9
1 3x
.
x
f (x)
(, 0)
-
y f (x)
2
三、曲线的渐近线
1、斜渐近线
若y f x满足：
(1) lim f (x) k x x
(2) lim [f (x) kx] b
x
则曲线y f x有斜渐近线 y kx b如图
2. 曲线的水平渐近线和铅直渐进线
一般地 如果x (或x ,或x )时,lim f (x) A, x
则直线y=A叫作曲线y=f(x)的水平渐进线.
x1 (x 1)(x 1)
x1 (x 1)(x 1)
x 1和x 1是曲线的垂直渐近线. lim x 0 y 0是曲线的水平渐近线 .
x (x 1)(x 1)
如果x
x0 (或x
x0
0,或x
x0
0)时,lim xx0
f
(x)
,
则直线x=x0叫作曲线y=f(x)的铅直渐进线.
例1.求曲线y 2x 的渐近线. 1 x
解：lim 2x 2, y 2是曲线的水平渐近线. x 1 x x 1为曲线的垂直渐近线.
例2.求曲线 y
x
x
1x
1的渐近线.
解
lim x , lim x