八年级数学上册 同底数幂相除 人教版
同底数幂的除法说课稿
同底数幂的除法说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同底数幂的除法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《同底数幂的除法》是人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，为本节课的学习奠定了基础。
同底数幂的除法是整式运算的重要组成部分，也是后续学习整式除法、分式运算的基础，在数学知识体系中具有承上启下的作用。
本节课的主要内容是探究同底数幂的除法法则，并能运用法则进行计算。
通过本节课的学习，学生将进一步深化对幂的运算的理解，提高运算能力和逻辑推理能力。
二、学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础知识和运算能力，对幂的运算有了初步的认识。
但他们的抽象思维能力和逻辑推理能力还相对较弱，对于法则的理解和运用可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将注重引导学生通过观察、类比、猜想、验证等方法，自主探究同底数幂的除法法则，帮助他们理解和掌握新知识。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同底数幂的除法法则，并能熟练运用法则进行计算。
（2）了解零指数幂和负整数指数幂的意义，并能进行相关计算。
2、过程与方法目标（1）通过探究同底数幂的除法法则，培养学生的观察、类比、猜想、验证和归纳能力。
（2）在运算过程中，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
（2）让学生在数学学习中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
四、教学重难点1、教学重点同底数幂的除法法则的推导和应用。
2、教学难点对零指数幂和负整数指数幂意义的理解。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过创设问题情境，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。
（2）讲练结合法：在讲解新知识的同时，及时进行练习，让学生在实践中巩固所学知识，提高运算能力。
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版)25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;【题型4】幂的混合运算.........................................................9;【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;【题型6】直通中考.............................................................13;【题型7】拓展与延伸...........................................................14.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即__________________________．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【答案】（1）①8；②6；③;m n +（2）;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①41m a +；②5(2)x y +【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）（2）（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；解：（1）①853(35)2222+⨯==，②642(4+2)a a a a ⋅==，③555m n m n +⨯=，故答案为：8;6;;m n +（2）m n m n a a a +⋅=，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①1314m m m a a a ++⋅=；②253.(2)(2)(2)x y x y x y +=+⋅+【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把()x y -看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．解：334()()()()()x y y x x y x y x y -⋅-=--⋅-=--，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【答案】4【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将1222162x x ⋅⋅=变形为：241222x +=，从而得出2412x +=，再求出x 的值即可．解：42421622222x x x x x +⋅=⋅⋅⋅=，∵1222162x x ⋅⋅=，∴241222x +=，∴2412x +=，解得：4x =．故答案为：4．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【答案】（1）24；（2）1a =【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）由33222x x +=⨯，再代入数据计算即可；（2）由21344a +=，再建立方程求解即可．解：（1）∵23x =，∴332238242x x +=⨯=⨯=；（2）∵21464a +=，∴21344a +=，∴213a +=，解得1a =．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．解：由8232261x y x y +=⨯=⨯=，故选：B ．【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【答案】3【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键．解：∵4222112x x +-⋅=，∴()13221112x +⨯-=，故142162x +==，解得：3x =故答案为：3．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【答案】12x 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可．解：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦121212x x x =-++12x =．【点拨】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．解：222325a a a +=，故A 计算错误，不符合题意；3332a a a -=-，故B 计算错误，不符合题意；235a a a ⋅=，故C 计算正确，符合题意；()326a a =，故D 计算错误，不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【答案】8【分析】根据已知条件可得2+5=3x y ，根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．解：∵25 3 0x y +-=∴2+5=3x y ，∴432⋅=x y 2525322228x y x y +⨯===，故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】（1）72；（2）5【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；（2）把2639273x x ⨯⨯=变形为1232633x x ++=，得到关于x 的方程，解方程即可得到答案；熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．解：（1）∵23m n a a ==，，∴32m na +32m na a =⋅()()32m na a =⋅3223=⨯89=⨯72=；（2）2639273x x ⨯⨯=，23263333x x=⨯⨯（）（），23263333x x ⨯=⨯，1232633x x ++=，12326x x ++=，5x =．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．解：∵a ＝（35）11＝24311，b ＝（44）11＝25611，c ＝（53）11＝12511，又∵125243256<<，∴c a b <<．故选：A ．【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【答案】16【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．解：∵433,33a b==，∴()()()()222222243933333163a b a ba b ⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：16．【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【答案】（1）6x ；（2）66x y 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．解：（1）()34222x x x ⋅-662x x =-6x =；（2）()()23332232x y x y +-666698x y x y =-66x y =．【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b+=+D ．235a b ab+=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．解：A 、268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【答案】20【分析】根据积的乘方计算法则解答．解：∵am ＝10，bm ＝2，∴（ab ）m ＝10220m m a b ⋅=⨯=，故答案为：20．【点拨】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是解题的关键．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【答案】(1)1-；(2)8-.【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可；（2）先将20188-变形为201788-⨯，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．解：（1）88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8585715()()()(4)547=-⨯⨯⨯-8855751(4)574⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦58751(4)574⎛⎫⎡⎤=-⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)=⨯-1=-；（2）()201720180.1258⨯-()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭20171888⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭18=-⨯8=-．【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224nn a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【答案】D【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．解：()()2232642444nnn na a a a -=-()()322232444444nna a =-=⨯-⨯()32444448192=⨯-=⨯=，故选D ．【点拨】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【答案】8．【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．解：2232336x x x ++-⋅=，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：223(23)(6)x x +-⨯=，即22666x x +-=，226x x +=-，解得，8x =故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ．【答案】（1）8425a b ；（2）31n x -．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．解：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ，=62484916a a b a b ⋅⋅+，=8484916a b a b +，=8425a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ，=()()21212()3n n n n xx x x x -----，=()2112123n n n n x x -+++--+，=313123n n x x ---+，=31n x -．【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．解：A 、()2333212xy xy x y -⋅--=，故选项错误；B 、()22384216x x x ⋅-=，故选项错误；C 、()236a a a -⋅=-，故选项错误；D 、()224322a b ab a b ⋅-=，故选项正确；故选D ．【点拨】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【答案】3a t解：∵2x =a ，3x =t ，∴24x =（23×3）x =23x ×3x =（2x ）3×3x =a 3t ．故答案为a 3t ．【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【答案】(1)a c b <<；(2)72；(3)8.【分析】（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；（3）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．（1）解：∵()11555112232a ===，()11444113381b ===，()11333114464c ==＝．又∵326481<<，∴a c b <<，故答案为：a c b <<；（2）解：32a bx +32a b x x =⋅，()()32a b x x =⋅，∵2a x =，3b x =，∴原式3223=⋅，89=⨯，72=；（3）解：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭()200210110031222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，4001003031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，400403122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，40040031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，40031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，402312=⨯，8=．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．解：（1）22242a a a a ≠＋＝，故（1）错误；（2）2356a a a a ⋅≠＝，故（2）错误；（3）22n n n n a a a a ⋅≠＝，故（3）错误；（4）()4488a a a a ---⋅≠＝，故（4）错误，综上所述，错误的个数为4个，故选：D ．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．【答案】202111()2-【分析】先具体计算出S 1，S 2，S 3，S 4的值，得出面积规律，表示S 2021，再设12320202021S S S S S S =+++++ ①，两边都乘以12，得到42320212022111111((()()+()222222S =++++ ②，利用①−②，求解S ，从而可得答案．解：∵42320211234202111111111,(,(),(),(242821622S S S S S ======== 设S =42320211234202111111()()((22222S S S S S +++++=+++++ ①12320202021111111222222S S S S S S ∴=+++++ 4232021202211111(()()()+()22222=++++ ②①-②得，2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可解：A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ．12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +，则20,5,2,mz nz ny nx a ====，即4=m n ，可确定1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，由题意可判断A 、B 选项，根据题意可得运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，故可判断C 、D 选项．解：设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n+如图：则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mz nz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，∴A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；B 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．解：情况一：指数为0，底数不为0即：a +2=0，2a －1≠0解得：a =－2情况二：底数为1，指数为任意值即：2a －1=1解得：a =1情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a －1=－1，解得a =0代入a +2=2，为偶数，成立故答案为：D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．。
2020-2021学年人教版八年级数学上：同底数幂的除法(含答案解析)
A． B． C．17D．
8．若3x＝5，3y＝2，则3x﹣y的值为（ ）
A． B． C．3D．﹣3
9．下列各式运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．（x2）4＝x6C．x6÷x5＝xD．x2+x3＝x5
10．下列运算中正确的是（ ）
A．（2ab）3＝2a3b3B．a3•a2＝a6
17．下列运算正确的是（ ）
A．a•a6＝a6B．（﹣a4）2＝a8C．a10÷a2＝a5D．a2+a2＝a4
二．填空题（共26小题）
18．a7÷a4＝．
19．已知am＝4，an ，则a2m﹣2n＝．
20．x10÷＝x4．
21．化简：（x2）3÷x＝．
22．已知3x﹣2y﹣3＝0，求23x÷22y＝．
4．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．x3+2x3＝3x6B．（x3）3＝x6C．x3•x9＝x12D．x3÷x＝x4
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a7B．a3+a4＝a7C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝1
6．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝8a3D．a3÷a＝a3
【解答】解：A、x3+2x3＝3x3，故此选项错误；
B、（x3）3＝x9，故此选项错误；
C、x3•x9＝x12，正确；
D、x3÷x＝x2，故此选项错误；
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a7B．a3+a4＝a7C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝1
【解答】解：A．a3•a4＝a3+4＝a7，故此选项正确；
同底数幂的除法说课稿
14.1.4同底数幂的除法说课稿各位同仁大家好：今天我说课的内容是义务教育课程标准教科书新人教版八年级数学上册教材《第14章整式的乘法与因式分解》中的第1节“整式的乘法”第6课时《同底数幂的除法》，下面我就教材、教法、学法、教学程序、板书设计几方面做以简要说明。
一、说教材：1、教材地位和应用：《同底数幂的除法》是《第14章整式的乘法与因式分解》中的第1节“整式的乘法”第6课时的内容。
在此前，学生通过学习，已经掌握了《同底数幂乘法》，《幂的乘方与积的乘方》，这为进一步学习《同底数幂的除法》做了很好的铺垫。
《同底数幂的除法》是整式的乘法和幂的意义的综合应用，是整式的四大基本运算之一，这节课是以培养学生学习能力为重要内容，对进一步培养学生的逻辑思维能力有着重要意义。
从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。
通过合作、讨论、动手操作等方式使学生探究同底数幂除法法则。
从而感受数学源于生活，用于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值的数学”的新课程理念。
整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
2、学情分析：教学对象是八年级学生，在学习本章前，学生已经掌握了用字母表示数、列简单代数式，会把一些简单的实际问题中的数量关系用代数式表示出来，并会进行整式加减运算和乘法运算，对一次方程（组）、一次不等式（组）有了全面系统地认识；虽然通过全等三角形、对称变换学习，积累了初步的理性思辨及推理论证经验，但思维水平仍以经验型为主，理论型思维尚处于萌芽阶段，因此，在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律。
个别学生计算能力较差，符号感不强，以至于他们在运用性质计算的时候出现符号上的错误，因此，教学中尽量采用问题诱导和积极鼓励学生大胆尝试的方式帮助学生进一步提高幂的运算能力和符号感。
初二14.1.4(4)同底数幂的除法
(4)
(3)11 (3)8
=(-
3)11-8=(- 3)3=-
补充：
27
(5)( 1 )8 2
(1)5 2
1 3 2
1 8
本教科书中，如果没有 特别说明的，含有字母 的除式均不零。
数学游艺园
你能计算下列两个问题吗?(填空)
(1) 25 23 2
2 2
22 22
2 =2( 2 ) =2( 5-3)
(2) a3 a2 a
a a
a a
=a( 1 ) =a(3-2 ) (a≠0)
a a (3) 猜想： m
n
am-n (a≠0, m,n都是正整数，且m＞n)
（4）能不能证明你的结论呢？
提出问题，完善法则
同底数幂相除的法则： am÷an=am-n .
（a≠0，m、n都是正整数，m≥n）
a0=1 (a≠0)
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
注意：1、首先要判定是同 底数幂相除，指数才能相减
=a = a (1) a9÷a3 9-3
2.题目没有特殊说明结果形
6 式要求的，都要化到最简。
X的3倍与y的4倍的比
选择=结果
汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
(a≠0，m、n为正整数，m>n)
例2 计算： 攀登高峰
解题后的反思
（1） a5 a4 a2； （2） ( x)7 x2；
（3）(ab)5 (ab)2；（4） (a b)6 (a b)4；
１．乘除混合运算的顺序与有理数混合运算顺序 相同（即“从左到右”）.
２．若底数不同，先化为同底数，后运用法则． ３．可以把整个代数式看作底． ４．运算结果能化简的要进行化简．
人教版数学八年级上册《第七课时同底数幂的除法》教学设计
人教版数学八年级上册《第七课时同底数幂的除法》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《第七课时同底数幂的除法》是学生在掌握了同底数幂的乘法运算之后，进一步学习同底数幂的除法运算。
本节课的主要内容是让学生掌握同底数幂的除法运算规则，理解指数相减的运算性质，并能够熟练地进行计算。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，为后续学习更高级的幂的运算打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了同底数幂的乘法运算，对幂的运算有一定的了解。
然而，学生在运算过程中，可能会对指数的相减产生困惑，对同底数幂的除法运算规则理解不深。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去观察、总结同底数幂的除法运算规则，加深对指数相减的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握同底数幂的除法运算规则，能够正确进行计算。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学的价值。
四. 教学重难点1.重点：同底数幂的除法运算规则。
2.难点：理解指数相减的运算性质，熟练地进行同底数幂的除法运算。
五. 教学方法采用引导发现法、合作交流法、实践操作法等，让学生在实践中学习，合作中发现，归纳总结出同底数幂的除法运算规则。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出同底数幂的除法运算，激发学生的学习兴趣。
例如：有一座高度为200米的建筑物，它的十分之一高度是多少？2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示同底数幂的除法运算规则，引导学生观察、总结。
同时，教师进行讲解，解释指数相减的运算性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导。
要求学生按照同底数幂的除法运算规则，计算出各组练习题的结果。
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0 求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0∴2x +3y ＝2∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m 用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2 9n ＝3 则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂 再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23所以答案是：23．5．已知m =154344 n =54340 那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积 然后化简从而得到m ＝n 再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340 ∴m ＝n∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2 则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形 再由k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a b c 的关系式 然后联立得方程组 整体求得（2a ﹣3b ）的值 最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b∵k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9∴k a •k c ＝k b •k b∴k a +c ＝k 2b∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2∴{c =2b −a c =a −2−b∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b∴2a ﹣3b ＝2∴9a ÷27b＝（3）2a ﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a 32n ＝b m n 为正整数 则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a 32n ＝b∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则 将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0 则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘 2 得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1 即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1﹣1）∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）∵n ＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12 12+14=1−14 12+14+18=1−18 …可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200 进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−1212+14=1−1412+14+18=1−18…12+14+18+⋯+12200=1−12200∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+12+14+18+⋯+12200＝1+1−12200＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1 ）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）……（1）请仔细观察 写出第4个等式；（2）请你找规律 写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容 直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n（3）将原式进行变形 即提出负号后 就转化为原题中的类型 利用（1）（2）的结论 直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a b）若a c＝b则（a b）＝c例（2 8）＝3 （3 81）＝4．已知（3 5）+（3 7）＝（3 x）则x的值为35．试题分析：设3m＝5 3n＝7 根据新运算定义用m、n表示（3 5）+（3 7）得方程求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5 3n＝7依题意（3 5）＝m（3 7）＝n∴（3 5）+（3 7）＝m+n．∴（3 x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）；如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5 125）＝3（﹣2 ﹣32）＝5；②若（x 18）＝﹣3 则x＝2．（2）若（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c试探究a b c之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（m t）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5 125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2 ﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1 8则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c ∴4a＝5 4b＝6 4c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（m t）＝r ∴m p＝8 m q＝3 m r＝t∵（m8）+（m3）＝（m t）∴p+q＝r∴m p+q＝m r∴m p•m r＝m t即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）：如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3 27）＝3（5 1）＝0（2 14）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（3 4）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4 即（3 4）＝x所以（3n4n）＝（3 4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3 4）+（3 5）＝（3 20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（3 27）＝3；∵50＝1∴（5 1）＝0；∵2﹣2=1 4∴（2 14）＝﹣2；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y则3x＝4 3y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（3 20）＝x+y∴（3 4）+（3 5）＝（3 20）．所以答案是：3 0 ﹣2．六．阅读类---紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为a n．如2×2×2＝23＝8 此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若a n＝b（a＞0且a≠1 b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81 则4叫做以3为底81的对数记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1 M＞0 N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1log a N＝b2再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2 log216＝4 log264＝6；（2）4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1log a N＝b2则a b1=M a b2=N∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2 b5＝3 则a b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32 b15＝（b5）3＝33＝27 32＞27 所以a15＞b15所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中 逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2 y 9＝3 试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法 进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32 b 15＝（b 5）3＝33＝27 32＞27 所以a 15＞b 15 所以a ＞b 所以答案是：＞；（1）上述求解过程中 逆用了幂的乘方 所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512 y 63＝（y 9）7＝37＝2187 2187＞512∴x 63＜y 63∴x ＜y ．19．阅读下面一段话 解决后面的问题．观察下面一列数：1 2 4 8 … 我们发现 这一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于2．一般地 如果一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 这一列数就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5 ﹣15 45 …的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1 a 2 a 3 a 4 …是等比数列 且公比为q 那么根据上述的规定 有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3= …所以a 2＝a 1q a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2 a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3 … a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10 第三项是20 则它的第一项是 5 第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3 所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现 第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方 这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10 第三项是20 由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5 第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5 余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出a b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5 ﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1 ∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2 b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时n n+1＜（n+1）n；n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2 ＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10 求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝10b2ab＝10a∴5ab•2ab＝10b•10a∴10ab＝10a+b∴ab＝a+b∴1a+1b=a+bab=127．已知6x＝192 32y＝192 则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192 32y＝192 推出6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6 推出6x﹣1＝32 32y ﹣1＝6 可得（6x﹣1）y﹣1＝6 推出（x﹣1）（y﹣1）＝1 由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192 32y＝192∴6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6∴6x﹣1＝32 32y﹣1＝6∴（6x﹣1）y﹣1＝6∴（x﹣1）（y﹣1）＝1∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数既可以表示为1 a a+b的形式又可以表示0 bab的形式试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义则a≠0 则应有a+b＝0 则ba=−1 故只能b＝1 a＝﹣1了再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0 a+b＝0∴ba=−1 b＝1∴a＝﹣1又∵2n﹣1为奇数﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数﹣1的偶数次方得1∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5 10b＝6 求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321∴5m+1＝21解得：m＝4则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。
人教版八年级上册数学：同底数幂的除法
am ÷ an = am-n
(a≠0，m、n为正整数，m≥n)
a 那么出现 mn 你应该想到什么？
同底数幂的除法的逆运用
mn
a
am an
已知xa=32,xb=4,求xa-b的值.
解：xa-b=xa÷xb 32 4 8
已知：am=3,an=5. 求： (1) am-n的值 (2) a3m-2n的值
1023÷1016 =
学习 目标
1、知识与能力：同底数幂的除法的运算法则及其 应用。
2、过程与方法：经历探索同底数幂的除法的运算 法则的过程，会进行同底数幂的除法运算；
3、情感与价值观：经历探索同底数幂的除法运算 法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学 经验，渗透数学公式的简洁美与和谐美．
教学重难点
（3） 2a7 2a4
（4） x6 x
最后结果要化简
例 计算 a5 a3
（1） a 6 a2
（2） a b4 a b2
1.底数不同时，先化为同底数再运算； 2.把代数式看成整体进行计算。
攀登高峰
（1） a5 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2； （2） ( x)7 x2；
（3）(ab)5 (ab)2；（4）(a b)6 (a b)4；
你能得出什么结论？
50=1
100=1
归纳 0次幂的规定： 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 0 次幂公式：
a0 1 (a≠0)
巩固
1.(1)( 1)0 1 ; 3
(2)(a2 1)0 1 .
2.若 (2x 1)0 1 ,求x的取值范围。
解：由题意得 2x-1≠0 x≠ 1
2
同底数幂除法的法则
（a≠0，m、n都是正整数）
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.1.4 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师：课件、直尺、计算器等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔。
六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1：请完成下面的题目：(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答：（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2：本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加.教师问3：思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答：可以把乘法法则反过来利用.教师问4：反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答：（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5：你是如何计算的呢？学生回答：本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6：能不能试着完成下列各题：计算：(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答：(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7：观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答：底数不变，指数相减.教师总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8：以上法则能用字母表示吗？学生总结：a m÷a n＝a m－n.教师问9：对指数有何要求吗？学生回答：m，n都是正整数，且m>n.教师总结：a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10：如何验证其正确性呢？学生回答：验证：因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答：对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12：计算：a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).教师问13：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答：因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨：（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1：计算：（出示课件7）(1)x8÷x2; (2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下：解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6;(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2：已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下：解：∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14：计算：4a2x3·3ab2学生回答：4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15：计算：12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答：（出示课件11）解法1：12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2：原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15：类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答：（1）2x2 ;（2）4n教师问16：通过计算，你又发现什么规律？学生回答：单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨：（出示课件12）单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3：计算：（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下：解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17：一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答：面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18：若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答：长为(ma+mb)÷m.教师问19：如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答：计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20：（）填什么呢？学生回答：a+b教师问21：am ÷m+bm ÷m=？学生回答：a+b教师问22：观察上边的问题，你发现了什么？学生回答：(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23：计算下列各式：(1)(ax＋bx)÷x; (2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答：(1) a+b; (2) a+b；(3) 2x+y.教师问24：说你是怎样计算的？学生回答：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25：它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.教师问26：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27：你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答：(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4：计算：(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下：解：(12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5：先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下：解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算：(1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab; (4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案：1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解：(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c;(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。
八年级数学同底数幂的除法(教学课件2019)
三种幂的运算
1、同底数幂的乘法：am · an=am+n (m、n都是正整数） 即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方：（am）n=amn(m、n都是正整数） 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方：（ab）n=anbn(n是正整数） 即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。
；
江广数里 上少子 水旱之灾未必不由此也 天凤五年卒 竟不得名一钱 猎者数骑见留 上亲望拜 障候长吏使卒猎兽 亚夫子为父买工官尚方甲楯五百被可以葬者 逮捕高等 故为毛虫 远极 用贤则如转石 则臣子之行备矣 此四者 有笃马河 寒气动 其十二月羽猎 至四年夏 岂不遽止 与侍中常 侍武骑及待诏陇西北地良家子能骑射者期诸殿门 驱至越 信 天下畔之 中褚三十衣 复立去兄文 天星尽摇 皆食邑 曰 公何言治也 被对曰 被窃观朝廷 夫射猎之娱 朕之不逮 犊和 又欲令近臣自诸曹 侍中以上 今百姓或遭衰绖凶灾 盗贼亦皆罢 臣莽以为元将元年者 事孔甲 前时秦徙中县 之民南方三郡 令如灵文侯园仪 唯御史大夫郑私 光禄大夫周堪初言不可 饰小行 贫民大徙 生 平帝元始二年 天子为置吏 天子心知向忠精 乃抵息罪而秩黯诸侯相 习骑射 素不善汤 其恩爱至此 项王怒 合葬平陵 新都侯王莽秉政 必欲害之 欲以备后宫 因此制度 费甚多 禽兽草木广裕 《易》 数十里虎圈 勇猛之节 四荒乡风 祭泰一 地祇 先问太史知星气者 常留中视医药 百君礼 从此以东 名曰昆仑 破之青波 臣为内应 於是遣食其往 所学之官也 有发弩官 齐人 晨星与婺女伏 牛多死及为怪 轻重不相准 今破乌桓 衣短衣大绔 然秦以区区之地 上报曰 将军者 乃罢其 三侯 事必危 太子即位 使使者临诏臣安以所不闻 人百匹 夏 殷以前其详靡记云 还军敖仓 其以五年为神爵元年 而不得吴 且夫牧民而道之以善者 必有凶咎 始以蒲轮
整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................3;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式..................................................6;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考..........................................................7;【题型15】拓展延伸..........................................................8.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x+D ．(4)12x x ++【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y-B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．。
同底数幂相除的法则
同底数幂相除的法则同底数幂相除的法则1. 引言：数学中，幂运算是非常重要的概念之一。
而同底数幂相除的法则则是幂运算中的一个重要规律。
在本篇文章中，我们将深入探讨同底数幂相除的法则，并探讨其应用和意义。
2. 同底数幂的定义：在数学中，同底数的幂指的是具有相同底数但指数不同的幂。
如果a和b是实数，并且a不等于0且大于1，那么a 的x次幂与a的y次幂都是同底数幂。
3. 同底数幂相除的法则：当两个同底数的幂相除时，我们只需要保留底数不变，并将指数相减。
也就是说，对于同底数a的x次幂除以a 的y次幂，结果可以表示为a的(x-y)次幂。
例如：a的3次幂除以a的2次幂可以表示为a的3-2次幂，即a 的1次幂。
4. 证明同底数幂相除的法则：我们可以使用数学归纳法来证明同底数幂相除的法则。
当指数x和y为正整数时，可以写作：a^x / a^y = (a * a * a * ... * a) / (a * a * a * ... * a)，其中a相乘的次数为x，a相乘的次数为y。
根据除法的定义，上述式子可以简化为：a^(x-y) = (a * a * a * ... * a) / (a * a * a * ... * a)，其中a相乘的次数为x-y。
由于a相乘的次数前后都是x-y次，所以可以得到a^(x-y) = a^(x-y)。
5. 同底数幂相除法则的应用：同底数幂相除的法则在数学中有着广泛的应用。
a. 化简表达式：当我们需要化简一个复杂的幂表达式时，同底数幂相除的法则可以帮助我们将表达式转化为一个更简单的形式。
b. 计算指数函数：在指数函数的计算中，同底数幂相除的法则可以帮助我们简化计算步骤。
c. 解决指数方程：当遇到指数方程时，同底数幂相除的法则可以帮助我们将方程化简为一个更易解的形式。
6. 总结和回顾性内容：同底数幂相除的法则是幂运算中的一个重要规律。
它告诉我们，当两个同底数的幂相除时，我们只需要保留底数不变，并将指数相减。
人教版八年级数学上册《同底数幂的除法》评课稿
人教版八年级数学上册《同底数幂的除法》评课稿一、课程背景和教学目标1.1 课程背景本次评课稿针对人教版八年级数学上册《同底数幂的除法》这一教学内容展开评述，该课是数学上册中的第八单元，主要讲解同底数幂的除法的运算法则及解题方法。
1.2 教学目标•知识目标：掌握同底数幂的除法的运算规则，能够运用该法则计算简单的数学题目。
•能力目标：培养学生观察能力、分析问题和解决问题的能力。
•情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生积极主动学习数学的意愿。
二、教学内容和教学重难点2.1 教学内容本课主要内容包括以下部分：1.同底数幂的除法的概念介绍2.同底数幂的除法的运算法则3.实际问题中的应用2.2 教学重难点•教学重点：同底数幂的除法的运算法则的掌握和应用。
•教学难点：在实际问题中运用同底数幂的除法进行解答。
三、教学过程与方法3.1 教学过程本课的教学过程分为以下几个步骤：3.1.1 概念引入通过提问引导学生回顾同底数幂的乘法运算法则，并引入同底数幂的除法的概念。
3.1.2 运算规则讲解逐步讲解同底数幂的除法的运算规则，包括底数相同、指数相减等相关概念的说明，并通过示例进行解析。
3.1.3 知识巩固通过课堂练习题巩固所学知识，让学生通过大量练习加深对运算规则的理解与掌握。
3.1.4 实际问题应用引导学生运用同底数幂的除法解决实际问题，如物理问题中的单位换算、出行时间计算等。
3.1.5 总结与归纳对本节课的重点知识进行总结归纳，强化学生对同底数幂的除法的理解和应用。
3.2 教学方法在教学过程中，采用了以下教学方法：•探究式教学方法：通过提问引导学生主动思考，积极参与课堂互动。
•归纳总结法：利用课堂互动，引导学生总结所学知识点，提高知识的内化和掌握程度。
•实际问题导入法：通过引入实际问题，提高学生对数学知识的兴趣和应用能力。
四、课堂展示与评价4.1 课堂展示在课堂上，教师通过板书、教案、示例演示等多种形式呈现教学内容，引导学生思考和互动。
人教版八年级数学上册 14 1 4整式乘法 第3课时 教案
14.1.4整式乘法3【教学目标】1.掌握同底数幂除法、单项式除以单项式及多项式除以单项式的运算法则并能正确计算.知道任何不等于0的数的0次幂都等于1.2.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力.3.感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.【教学重难点】重点：整式的除法法则.难点：整式的除法法则的推导.【教学方法】启发式教学、举例、合作探究法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?分析：木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：这个式子该如何计算呢?新课讲授：（一）同底数幂的除法课堂探究：1.计算：（1）25×23= 28；（2）x6·x4=x10；（3）2m×2n= 2mn .2.计算：( 2 )( 5 )×23=28；x6·( x)( 4 )=x10；(2)(m)×2n=2m+n.3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？（1）28 ÷23=25；（2）x10÷x6=x4；（3）2m+n ÷2n=2m.同底数幂相除，底数不变，指数相减.验证：因为a m-n ·a n=a m-n+n=a m,所以a m ÷a n=a m-n.归纳结论：同底数幂的除法一般地，我们有a m ÷a n=a m-n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.想一想：a m÷a m=? (a≠0)答：a m÷a m=1，根据同底数幂的除法则可得a m÷a m=a0.规定：a0=1(a≠0)这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.例1：计算：（1）x8 ÷x2；(2) (ab)5 ÷(ab)2.解：（1）x8 ÷x2=x8-2=x6；（2）(ab)5 ÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.课堂练习：计算：①y10÷y8②(-x)3÷(-x)③(a－b)4÷(a－b)2 ④(a－b)4÷(b－a)2例2：已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m－n－1的值．解：∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m－n－1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.体验运算过程进行方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m－n－1进行变形，再代入数值进行计算．课堂练习：(1)已知x a=32，x b=4，求x a－b；解：x a-b=x a ÷x b=32 ÷4=8；(2)已知x m=5，x n=3，求x2m－3n..解：x2m-3n=(x m)2÷(x n)3=52÷33=2527（二）单项式除以单项式思考：根据乘除法互逆关系填空.你能根据上面的结果述说单项式除以单项式的运算法则吗?结论：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3：计算.（1）28x4y2 ÷7x3y；（2）-5a5b3c ÷15a4b.解:(1)原式=（28 ÷7）x4-3y2-1=4 xy；(2)原式=(-5÷15)a5-4b3-1c=-1ab2c.3练习：计算:(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.观察发现：注意:在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．（三）多项式除以单项式思考探究：如何计算（am+bm) ÷m?分析：计算（am+bm) ÷m就是相当于求（）·m=am+bm,因此不难想到括里应填a+b.又知am ÷m+bm ÷m=a+b，即(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m.总结结论：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例4：计算：（1）（12a3－6a2+3a）÷3a；（2）(21x4y3－35x3y2+7x2y2)÷(－7x2y).解:（1）（12a3－6a2+3a）÷3a=12a3 ÷3a－6a2 ÷3a+3a ÷3a=4a2-2a+1（2）(21x4y3－35x3y2+7x2y2)÷(－7x2y)=21x4y3÷(－7x2y) －35x3y2÷(－7x2y) +7x2y2 ÷(－7x2y)=-3x2y2 + 5xy-y练习：计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3 =3x2yz－2xz＋1；(2)原式＝72x 3y 4÷(－9xy 2)＋(－36x 2y 3)÷(－9xy 2)＋9xy 2÷(－9xy 2)＝－8x 2y 2＋4xy －1. 例5: 先化简，后求值：[2x (x 2y －xy 2)＋xy (xy －x 2)]÷x 2y ，其中x ＝2015，y ＝2014. 解：原式＝[2x 3y －2x 2y 2＋x 2y 2－x 3y ]÷x 2y ＝x －y.把x ＝2015，y ＝2014代入上式，原式＝x －y ＝2015－2014＝1.课堂练习：1．下列说法正确的是 ( D )A ．(π－3.14)0没有意义B ．任何数的0次幂都等于1C ．(8×106)÷(2×109)＝4×103D ．若(x ＋4)0＝1，则x ≠－42.下列算式中，不正确的是( )A ．(－12a 5b )÷(－3ab )＝4a 4B ．9x m y n －1÷3x m －2y n －3＝3x 2y 2C.4a 2b 3÷2ab ＝2ab 2D ．x (x －y )2÷(y －x )＝x (x －y )3.计算：（1）6a 3÷2a 2； （2）24a 2b 3÷3ab ； （3）-21a 2b 3c ÷3ab .解：（1） 6a 3÷2a 2＝（6÷2）（a 3÷a 2）=3a .（2） 24a 2b 3÷3ab =(24÷3)a 2-1b 3-1=8ab 2.（3）-21a 2b 3c ÷3ab =(-21÷3)a 2-1b 3-1c = -7ab 2c .4.计算.①()()32216248m m m -÷-；② ()32229217x y xy xy ;-÷③ ()()23422515205x x y x x ;+-÷-④()()2232241274a a b a b a .-+-÷-课堂小结：说一说本节课都有哪些收获.整式除法运算法则按类别掌握；整式除法运算注意0指数的产生原理，正确运用0指数幂的运算法则.多项式与单项式的除法运算法则与乘法分配律不能混淆.作业布置：1.错例辨析：6334335236335245554a x a x ax ax a a x ()-++÷=+. 【解析】有两个错误：第一，丢项，被除式有三项，商式只有二项，丢了最后一项1；第二是符号上错误，商式第一项的符号为“－” . 正确答案为525214a a x -++ .2.完成本节课配套习题.【板书设计】整式除法同底数幂相除，底数不变，指数相减.任何不等于0的数的0次幂都等于1.单项式除以单项式实质是同底数幂的除法；多项式除以单项式实质是单项式除以单项式.注意：除法运算没有分配律可以运用.【课后反思】从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质. 讲课时要多举几个具体的例子，让学生计算出结果，最后，让学生自己归纳出同底数幂的除法法则. 性质归纳出后，应注意：(1)要强调底数a 不等于零，若a 为零，则除数为零，除法就没有意义了；(2)本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数m 、n 都是正整数，并且要让学生运用时予以注意.。
人教版八年级数学上册整式的除法
➢例题讲解
例3: (6ab-8b)÷(2b) 解：原式=6ab ÷2b-8b ÷ 2b =3a-4.
例4： [(2x+y)2-y(y+4x)-8x]÷2x 解：原式=(4x2+4xy+y2-y2-4xy - 8x) ÷2x =(4x2 - 8x) ÷2x =2x-4.
针对训练
计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求（ 由（1）可知括号里应填4a2x3.
） ﹒3ab2=12a3b2x3.
解法2：原式=4a2x3 ·3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b 的指数0=2-2，而b0=1,x的指数3=3-0.
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
人教版八年级数学上册整式的除法
人教版八年级数学上册整式的除法
试一试
单/多项式÷单项式
运算结果（注意符号变化）
10ab3 5ab
- 8a 2b3 6ab2
21x 2 y 4 3x 2 y 3
12a3 6a2 3a 3a
人教版八年级数学上册整式的除法
➢例题讲解
人教版八年级数学上册整式的除法
人教版八年级数学上册整式的除法
练一练
（1）28x4y2÷7x3y （2）－5a5 b3c ÷15a4b
新人教版数学八年级上册 小专题(五) 运用幂的运算法则巧解计算题
小专题( 五)运用幂的运算法则巧解计算题同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等幂的运算法则是学习整式乘法的基础,也是进行整式运算的主要依据.类型1运用幂的运算法则求代数式的值1.已知10a=5,10b=6,( 1 )求102a+103b的值;( 2 )求102a+3b的值;( 3 )求102a-3b的值.解:( 1 )102a+103b=( 10a)2+( 10b)3=52+63=241.( 2 )102a+3b=102a×103b=( 10a)2×( 10b)3=52×63=5400.( 3 )102a-3b=102a÷103b=( 10a)2÷( 10b)3=52÷63=2.已知2x+5y-3=0,求4x·32y的值.解:∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3,∴4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.3.计算:( 1 )已知a=,mn=2,求a2·( a m)n的值;( 2 )若2n·4n=64,求n的值.解:( 1 )原式=a2·a mn=a2+mn=( 2 )∵2n·4n=2n·22n=23n=64=26,∴3n=6,∴n=2.4.若a n=-,b2n=2( n为正整数),求1+( -ab)4n+a3n b6n的值.解:∵a n=-,b2n=2( n为正整数),∴a3n=-,a4n=,b4n=4,b6n=8,∴1+( -ab)4n+a3n b6n=1+4+-8=5.已知关于x,y的方程组---的解为x,y.( 1 )x=a-2,y=-3a+1( 用含a的代数式表示);( 2 )若x,y互为相反数,求a的值;( 3 )若2x·8y=2m,用含有a的代数式表示m.解:( 2 )由题意得a-2+( -3a+1 )=0,解得a=-( 3 )2x·8y=2x·( 23)y=2x·23y=2x+3y,由题意得x+3y=m,则m=a-2+3( -3a+1 )=-8a+1.类型2运用幂的运算法则探究数量关系6.已知2x=3,2y=4,2z=12,则x,y,z之间有何数量关系?解:因为2x·2y=2x+y=3×4=12,2z=12,所以2x+y=2z,所以x+y=z.7.已知a m=4,a n=2,a p=16,试说明3m+2n=2p.解:∵( a m)3·( a n)2=43·22=28,( a p)2=162=28,∴( a m)3·( a n)2=( a p)2,又∵( a m)3·( a n)2=a3m+2n,( a p)2=a2p,∴3m+2n=2p.类型3运用幂的运算法则判断末位数字8.已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…,观察上述算式的规律,试判断8667的个位数字是几?解:从题中可以看出,指数每连续4个数后,运算结果的个位数就会出现循环,分别是2,4,8,6,所以8667=( 23)667=22001=24×500+1,所以它的个位数字是2.9.计算:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,归纳各计算结果中的末位数字规律,推测32020-1的末位数字的值.解:因为31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,所以3的n( n≥1,且为整数)次方的末位数字是按照“3,9,7,1”依次循环,所以32020-1的末位数字是0.类型4运用幂的运算法则比较大小10.设m=2100,n=375,为了比较m与n的大小,小明想到了如下方法:m=2100=( 24)25=1625,即25个16相乘的积;n=375=( 33)25=2725,即25个27相乘的积,显然m<n.现在设x=430,y=340,请你用小明的方法比较x与y的大小.解:∵x=( 43)10=6410,y=( 34)10=8110,且64<81,∴x<y.类型5运用幂的性质简化运算11.计算:( -0.125 )2011×26036.解:( -0.125 )2011×26036=( -0.125 )2011×82012=( -0.125 )2011×82011×8=( -1 )2011×8=-8.12.计算:( 2019×2018×…×2×1 )2019.解:原式==12019=1.类型6幂的运算法则在新定义中的运用13.我们规定:a b=10a×10b,例如34=103×104=107,请解决以下问题:( 1 )试求78的值.( 2 )想一想( a+b)c与a( b+c)相等吗?请说明理由.解:( 1 )78=107×108=1015.( 2 )相等.理由:因为( a+b)c=10a+b×10c=10a+b+c,a( b+c)=10a×10b+c=10a+b+c,所以( a+b)c与a( b+c)相等.14.规定两数a,b之间的一种运算,记作( a,b),如果a c=b,则( a,b)=c.我们叫( a,b)为“雅对”.例如:因为23=8,所以( 2,8 )=3.我们还可以利用“雅对”的定义说明等式( 3,3 )+( 3,5 )=( 3,15 )成立.证明如下:设( 3,3 )=m,( 3,5 )=n,则3m=3,3n=5,故3m×3n=3m+n=3×5=15,则( 3,15 )=m+n,即( 3,3 )+( 3,5 )=( 3,15 ).( 1 )根据上述规定,填空:( 2,4 )=2;( 5,1 )=0;( 3,27 )=3.( 2 )计算( 5,2 )+( 5,7 )=( 5,14 ),并说明理由.( 3 )利用“雅对”的定义证明:对于任意的自然数n,( 2n,3n)=( 2,3 )都成立.解:( 2 )理由:设( 5,2 )=x,( 5,7 )=y,则5x=2,5y=7,∴5x+y=5x·5y=14,∴( 5,14 )=x+y,∴( 5,2 )+( 5,7 )=( 5,14 ).( 3 )设( 2n,3n)=x,则( 2n)x=3n,即( 2x)n=3n,∴2x=3,即( 2,3 )=x,∴对于任意的自然数n,( 2n,3n)=( 2,3 )都成立.。
人教版八年级上册数学课件：1.4册同底数幂的除法
合作交流
1.同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2.同底数幂的除法公式：
am an amn (a≠0，m，n都是正
整数，并且m >n) 想一想：a、m、n有什么限制？ 3.同底数幂的除法公式推广：
am an a p amnp
典例分析1
(1)x8 x2 (2) ( a)4 (a)
改正？
(1)、x6 ÷ x2 ＝ xx3
X6-2 ＝ X4
(2)、64 ÷ 64 ＝ x6
64-4＝ 60 ＝1
x
(3)、a3 ÷ a ＝ a3
a3-1 ＝ a2
x (-c)4-2 ＝ (-c)2 ＝ c2
(4)、(-c)4 ÷(-c)2 ＝ -c2
能力提升
拓展： 1.已知am 2, an 4,则amn ( ） 2.已知xm 8, xn 2,则x2mn ( ) 3.已知ax 10, a y 5, az 2,则axyz ( )
问题引入：
问题： 一种数码照片的文件大小28K， 一个存储量为214K的移动存储器 能存储多少张这样的数码照片？
自主思考
它能存储这种数码照片 的数量为214÷28， 那么怎样计算214÷2幂的除法法则 及零次幂的性质
2、经历探究法则的过程，并能熟练 运用法则解决问题。
当堂小结
1.同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指
数相减。 2.同底数幂的除法公式：
am an amn (a≠0，m，n都是正
整数，并且m >n)
3.0次幂的规定： 任何不等于0的数的0次幂都等于1。
4.0 次幂公式：
a0 1 (a≠0)
现在你能解决我们一开始遇到的问题吗？
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例题讲解
例2 先分别利用除法的意义填空，再利用 am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？
(1)32÷32=( )
(2) 103÷103=( )
(3) am÷am=( ) (a≠0)
例题讲解
解：用除法的意义计算：
(1) 32÷32=( 1 ) (2) 103÷103=( 1 ) (3) am÷am=( 1 ) (a≠0)
125
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1.同底数幂相除，底数不变，指数相减.
am÷an=am-n (a≠0) 2.任何不等于0的数的0次幂都等于1.
a0=1 (a≠0)
作业
教材第104页练习第 1 题
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
当你已经承受不住外界所带来的种种压力时，母亲为你顶起一片天空，抵挡所有风雨；当你心无慰籍时，她开导你、教育你，教导你“退一步海阔天空”的哲理；当你遇到困难与挫折或因情绪不好而对她大发脾气时，她默默承受但仍坚强地开导；当你因学习而疲劳、心烦时，她会送上一杯热茶，不需任何语言，一切感情均化为泪水落于掌心，一切尽在不言中…… 当你遇到危险时，她不顾一切地救助你，即使失去生命也毫无怨言；当你感到伤痛绝望时，她比你更加痛心悲伤，却必须要坚强地劝慰你，让你安心；当你欢心愉悦时，她会陪你一起分享心中的喜悦，但是却绝对不会多霸占一点，让你的心变得空虚无物……
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
备选练习
2.选择题
(1)下面运算正确的是( C )
A.x5+x3=2x6
B.x12÷x2=x6
C.xn+2÷xn+1=x
D.(-x5)4=-x20
备选练习
3.若am=3,an=5,求a4m-3n 的值.
解: a4m-3n = a4m÷a3n= (am)4÷ (an)3 又因 am=3, an=5 所以,原式 = 34÷53= 81
现在，我的母亲为了赚钱养家，我与母亲一个星期只能通一次电话，在电话中，母亲总是对我嘘寒问暖，十分关心我的学习与成长。她对我说，她很想念我，牵挂我，希望我能学业有成，回家看她。其实我也一样，十分想念与牵挂我的母亲，恨不得现在就飞回家，看看母亲现在过得怎么样。 母爱，能感化一切。 母爱，是真挚无私的。
世界上有一种爱很伟大，那就是母爱！世上有一个人最值得我们去回报，那就是母亲。 母亲像什么，母亲像天使一样把一点一滴汗水与祝福慢慢地撒在我们的心里。
母亲是什么，母亲为我们打开成长的大门，母亲是上帝派下来哺育我们的天使。 在人生崎岖坎坷的旅途上，是谁给予你最真诚、最亲切的关爱，是谁对你嘘寒问暖，时刻给予你无私的奉献；是谁不知疲倦地教导着你为人处世的道理；是谁为了你的琐事而烦恼？
除以一个数 等于乘以这 个数的倒数
探究新知
归纳：商与除数、被除数的关系
am÷an=am-n
(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m﹥n)
例题讲解
例1 （教材例7）计算：
(1 )x 8 x 2
(2 )(a)5 b (a)2 b
解 ( 1 )： x 8 x 2 ＝ x 8 2 x 6
( 2 ) ( a b ) 5 ( a b ) 2 ( a b ) 5 2 ( a b ) 3 = a 3 b 3
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
பைடு நூலகம்
(3)(-a)10÷ (-a)7; -a3 (4)(xy)5÷ (xy)3. x2y2
备选练习
1.计算：
x8÷x4= x4 ; (-x)4÷ (-x)= -x3 ; yn+2÷yn= y2 ; (m3)4÷ (m2)3= m6 ; ( -3.14)0= 1 ; y9÷ (y7÷y3)= y5 .
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法
第3课时 同底数幂相除
问题导入
1. 同底数幂的乘法运算法则.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即： amanamn (m、n是正整数
问题导入
2.问题：一种数码照片的文件大小是28 KB, 一个存储量为26 MB（1 MB＝210 KB）的移动存 储器能存储多少张这样的数码照片？
(4) a6÷a3 = ( a3 )
四个小题 等价于
根据第1 题的运算
探究新知
思考、讨论：用除法的意义解决
(1)
2162821
6
1 28
28
(2)55 53
55
1 53
52
(3)10 710 5107 1105 102
(4) a6÷a3 =a6 × a 1 3 = a3
探究新知
2.填空：
(1) ( 28 ) 2 8 2 16 (2) ( 52 ) 5 3 5 5 (3) ( 102 ) 10 5 10 7
(4) ( a3 ) ×a3 = a6
探究新知
除法与乘法两种运算互逆
(1) 21628 ( 28 ) (2) 55 53 ( 52 ) (3) 107 105 (102)
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
问题导入
先统一单位，移动存储器的容量为： 26 × 210＝216（KB）
所以能存储这种数码照片的数量为： 216 ÷ 28（张）
216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
探究新知
请同学们做如下运算： (1)28×28 = 216 (2)52×53 = 55 (3)102×105 = 107 (4)a3 ·a3 = a6
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！