高中数学-余弦定理(优秀经典公开课比赛课件)
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高二数学必修教学课件余弦定理
02
余弦定理证明方法探讨
向量法证明余弦定理
向量数量积
利用向量的数量积公式，将三角形的 两边表示为向量，通过计算这两向量 的数量积来证明余弦定理。
向量投影
通过向量在另一向量上的投影长度， 结合向量的模长和夹角余弦值，推导 出余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理
勾股定理推广
在直角三角形中，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。通过构造辅助线，将非 直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理进行证明。
拓展延伸：其他相关数学定理介绍
正弦定理
对于任意三角形ABC，有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R 为三角形外接圆半径），正弦定 理在解三角形中也有广泛应用。
勾股定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a²+b²=c²，勾股定理 是余弦定理在直角三角形中的特
例。
射影定理
对于直角三角形ABC，其中C为 直角，有a=b×cosA和
通过向量的数量积和几何意义，可以推导出余弦定理的表 达式。
余弦定理的应用场景
余弦定理在解三角形、判断三角形形状、求最大角和最小 角等问题中有广泛应用。
易错难点剖析与纠正
易错点1
在应用余弦定理时，没有正确区分三角形的边和角，导致计算错误。纠正方法：在应用余 弦定理时，要明确三角形的边和角，正确代入公式进行计算。
机器人技术
在机器人技术领域，余弦定理被用于机器人的路径规划、 姿态控制和定位等方面，提高了机器人的运动精度和自主 性。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
余弦定理的基本形式
对于任意三角形ABC，有c²=a²+b²-2ab×cosC，其中a、 b、c分别为三角形ABC的三边，C为其中的一角。
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
正弦、余弦、正切函数省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
cosB＝ 2 ，则BC旳长为________． 3
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
5 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA ＝ 旳长是( )
A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
1 2，则BC
总结
求锐角旳正弦值旳措施： 1．没有直接给出对边或斜边旳题目，一般先根据勾
股定理求出所需旳边长,再求正弦值． 2．没有给出图形旳题目，一般应根据题目，画出符
下面图1和图2中各有一种比较陡旳梯子，你能把它 们找出来吗？说说你旳理由。
图1
图2
w 一样长旳梯子旳陡、梯子旳放置角度（倾 斜角）、垂直高度和水平宽度它们之间有什么 关系？
梯子越陡——倾斜角＿＿越＿大＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与梯子长旳比＿越＿大＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子长旳比＿＿越＿小＿＿ 倾斜角越大——垂直高度与水平宽度旳比＿越＿大＿＿＿
合题意旳图形，搞清所求角旳对边与斜边，再求 对边与斜边旳比． 3．题目中给出旳角不在直角三角形中，应先构造直 角三角形再求解．
延伸：由上面例1旳计算，你能猜测∠A，∠B旳正弦、余弦、正 切值有什么规律吗？
结论：一种锐角旳正弦等于它余角旳余弦，或一种锐角旳余弦 等于它余角旳正弦，两个角∠A，∠B旳正切值旳乘积等于1.
tan
A＝
A的对边 A的邻边
回味无穷
• 定义中应该注意旳几种问题:
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义旳, ∠A是锐 角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一种完整旳符号,表达∠A旳正切, 习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA, 是一种比值.注意比旳顺序,且 sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.
余弦定理PPT优秀课件
∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
余弦定理优质课 ppt课件
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
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例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
高中数学《余弦定理》精品PPT课件
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB
c
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
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定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
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(3)解：①∵A 为△ABC 内角，且 cos A＝34， ∴sin A＝ 47， 又∵C＝2A. ∴sin C＝sin 2A＝2sin A·cos A＝387，
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cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝18.
∴sin B＝sin(A＋C)
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
a)，若 p∥q，则角 C 的大小为
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．
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【典例剖析】
(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状
为
A．等边三角形
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
余弦定理 课件
(2)法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°， ∴C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. ∴A＝90°， ∴C＝60°.
cos
C＝
a2＋b2－c2 2ab
.
对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与 其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形 中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中 边角关系的互化．
[例 2] 在△ABC 中， (1)若 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6＋ 2，求 A，B，C； (2)若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求 A，C 和 a.
[思路点拨] 解答(1)可先利用余弦定理推论求得其中两 个角的余弦值，从而得出这两个角的大小，然后根据三 角形内角和定理可得第三个角；解答(2)可先由正弦定 理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定 理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定 理求角A、角C.
(4 分)
即 b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋4a2a2＋c2－b2]2. ∴b2＋c2＝a2 ∴△ABC 为直角三角形．
(8 分) (12 分)
法二：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，
R 为△ABC 外接圆的半径，将原式化为 R2sin2Bsin2C＝
R2sin Bsin Ccos Bcos C．
[精解详析] 根据正弦定理，由 sin C＝2 3sin B 可得 c＝2 3b，把它代入 a2－b2＝ 3bc 得 a2－b2＝6b2 即 a2＝7b2，结合余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2b1·22b2－3b7b2＝ 23， 又∵0°<A<180°，∴A＝30°.
余弦定理优秀课件
巩固练习
在△ABC中， bcos A＝acos B ，
试判断三角形的形状．
解：∵cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， 则代入已知条件得：b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2. ∴b2＋c2－a2－2ca2－c2＋b2＝0. 则 2b2＝2a2，∴b＝a. ∴该三角形为等腰三角形．
CA)2
2
2
CB 2CB CA CA
A
b
c
a2 2ab cosC b2
C
a
B
c2 a2 b2 2ab cosC
知识点一 余弦定理
文字 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减
表述 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝
解
∵S＝12absin C＝12×4×5×sin C＝5
3，∴sin
C＝
3 2.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcos C
＝42＋52－2×4×5×cos 60°＝21，∴c＝ 21.
当 C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcos C
＝42＋52－2×4×5×cos 120°＝61， ∴c＝ 61.
＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc. ∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝21. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
巩固练习
4.已知 a,b,c 是△ABC 中 A,B,C 的对边,S 是
△ABC 的面积．若 a＝4,b＝5,S＝5 3，求
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cosC = a2 + b2 - c2 2ab
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
边和其他两个角.
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
5
证明 格式二：逆用公式 a b a b cos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 3
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！ 4
证明
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：
2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2
P14例3
A 900 a2 b2 c2
P15练习2,3
15
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
9
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3
16
4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
14
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cosC a 2 b2 c 2
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
13
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
c2 a2 b2 2ab cosC
A
证明： AB AC CB
b
c
AB AB (AC CB) (AC CB)
AC AC 2AC CB CB CB C a
B
∴ AB 2 = AC 2 +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB 2
2
同理可证：
= BC
=a2
b2 = a 2 ＋c2 －2· b c ·cos B
c2 = a2 ＋b2 －2· ab cos C
6
证明
解析法yBiblioteka 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
1
复习
直角三角形中的边角关系：
A
1、角的关系： A+B+C=180°
c b 2、边A+的B关=C系=9：0 °
a2+b2=c2 B a C 3、边ssiinn角BA关== 系——acbc ：==ccoossBA
2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
8
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC
代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
10
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B
aC
变形
c2=a2+b2-2ab·cosC
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= c2+a2 - b2 2ca
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
7
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
cosC= a2+b2 - c2 2ab
11
想一想：余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
cosC=
a2+b2-c2 2ab
C=90°
a2+b2=c2
cosA=
b2+c2-a2 2bc
cosB=
c2+a2-b2 2ca
cosA= —cb cos B= —c
12
剖析 剖 析 定 理
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
边和其他两个角.
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
5
证明 格式二：逆用公式 a b a b cos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 3
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！ 4
证明
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：
2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2
P14例3
A 900 a2 b2 c2
P15练习2,3
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剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
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归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3
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剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
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剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cosC a 2 b2 c 2
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
13
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
c2 a2 b2 2ab cosC
A
证明： AB AC CB
b
c
AB AB (AC CB) (AC CB)
AC AC 2AC CB CB CB C a
B
∴ AB 2 = AC 2 +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB 2
2
同理可证：
= BC
=a2
b2 = a 2 ＋c2 －2· b c ·cos B
c2 = a2 ＋b2 －2· ab cos C
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证明
解析法yBiblioteka 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
1
复习
直角三角形中的边角关系：
A
1、角的关系： A+B+C=180°
c b 2、边A+的B关=C系=9：0 °
a2+b2=c2 B a C 3、边ssiinn角BA关== 系——acbc ：==ccoossBA
2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
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证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC
代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
10
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B
aC
变形
c2=a2+b2-2ab·cosC
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= c2+a2 - b2 2ca
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
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C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
cosC= a2+b2 - c2 2ab
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想一想：余弦定理在直角三角
形中是否仍然成立？
cosC=
a2+b2-c2 2ab
C=90°
a2+b2=c2
cosA=
b2+c2-a2 2bc
cosB=
c2+a2-b2 2ca
cosA= —cb cos B= —c
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剖析 剖 析 定 理
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？