差商及其性质

x xn
(d )
f ( x ) f ( x0 )
ff x ,, x 00 ( x x 00 )) x x ( x x
(a )
抵消
f x x x x f [ x ,, x 00]] f [ x 0 , x 1 ] f x ,, x 00, ,xx 1(( x x 1 )1 ) ( b ) [x x 1
f x0 , x1 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 , f x1 , x 2
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1 ,
（4 . 1 ）
定义为f(x) 的差商
， f x n 1 , x n
f ( x n ) f ( x n 1 ) x n x n 1
（1）当k =1时, 证明：
f [ x 0， x 1， x n ]
f x 0 , x 1
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f (xj)

f (x0 ) x0 x1

假设当 k n 时成立，即有
(x
j0
n1 j1
n
j
x 0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n )
（2）由函数y= f ( x ) 的一阶差商表，再作一次差商，即



f [x j, xk ] f [xi , x j] xk xi
,
称为y = f ( x ) 在点 x i , x j , x k 的二阶差商（二阶均差）； 即
n－1阶 差商
（3）一般由函数y= f ( x ) 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。
f (xj)
j
f [ x 1， x 2， x n 1 ]
(x
x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n 1 )
假设当 k n 时成立，即有
f [ x 0， x 1， x n ]

j0
n
f (xj) ( x j x 0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n )
f [ x , x 0 ] f [ x 0 , x 1 ] f x , x 0 , x 1 ( x x 1 )
(b )
f x , x 0 , x 1 f x 0 , x 1 , x 2 f [ x , x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 2 )
(c )
f [ x , x 0 , , x n ]
，
f x , x 0 , , x n 1 f x 0 , x 1 , , x n
f x , x 0 , , x n 1 f x 0 , x 1 , , x n f [ x , x 0 , , x n ]( x x n )
1 (
f x 1 , x 2 , x n 1 f x 0 , x 1 , , x n xn1 x0 f ( xn1 ) f ( x0 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x 0 x n ) )
x n 1 x 0 ( x n 1 x 1 )( x n 1 x 2 ) ( x n 1 x n )
( x x0 )
f x , x 00 ,, x 11 ff x 00,, x 11,, x 22 f [ x , x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 2 ) x x x x x
(c )
( x x 0 )( x x 1 )

f x , x 0 , , x n 1 f x 0 , x 1 , , x n f [ x , x 0 , , x n ]( x x n ) (d )


j1
n
f (xj)
x n 1 x 0 ( x j x 0 )( x j x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n 1 )

( x j x0 ) ( x j xn1 )

(x
j0
n1
f (xj)
j
x 0 )( x j x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n 1 )
#
3 差商表
xi x0
f ( xi )
(0 阶差商) 一阶差商
表2.4
二阶差商 三阶差商 k 阶差商
f ( x0 )
x1
f ( x1 ) f ( x2 )
§4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商（均差）及性质 1 差商（均差） x 已知y = f ( x ) 函数表
f (x) x0 f (x0 ) x1 f ( x1 ) xn f (xn )
( x i x j ,当 i j )
则
f ( x )在 x 0 , x 1 , x 1 , x 2 , , x n 1 , x n 上平均变化率分别为：
f ( x3 )
f [ x0 , x1 ]
x2
x3
f [ x1 , x2 ]
f [ x2 , x3 ] f [ x 3 , x4 ]

f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x 3 , x4 ]

f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]

j0
k
f (xj) ( x j x 0 )( x j x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x k )
k


j0
f (xj)
k


( x j xi )

j0
k
f (x j) k 1 ( x j )
（2）k 阶差商 f x 0 , x 1 , , x k 关于节点 x 0 , x 1 , , x k 是对称的，或说 均差与节点顺序无关，即 例如：f x i , x j , x k
.
即有定义：
定义4 （1）对于[ x i , x j ] ，称 f x
i
,x
j
x
i
,x
j
f (x)
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
,
为函数
f (x)
在 x i , x j 的一阶差商（一阶均差）；
f xi , x j, xk xi , x j, xk f ( x)
f (x)
记
Pn ( x ) f x 0 , x 1 ,, ,, x n ( x x 0 )( x x 1 )) (( x x n 1)) f x 0 , x 1 x n ( x x 0 )( x x1 x xn 1 (x f f[ [ x , x , , n ]( ](nx 0)0 )( x 1x)1 ( x x nx n 1 )( x nx)n ) x , x 0 0 , x x Rx x x)( x x ) ( x 1 )( x x , n
称为函数y=
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在 x 0 , x 1 , , x n 点的n阶差商（n阶均差）。
2 基本性质 定理5（1）f ( x ) 的k阶差商 f x 0 , x 1 , , x k 是函数值 的线性组合，即
f x 0 , x1 , , x k
f ( x 0 ), f ( x 1 ), , f ( x k )
x x0 f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ]
x x1
f ( x ) f ( x 0 ) f x , x 0 ( x x 0 )
f [ x , x0 , x1 , x 2 ]
f x , x0 , x1 f x0 , x1 , x 2 x x2
f (xj) ( x j x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n 1 )
f [ x 1， x 2， x n 1 ]

n1
j1
则由定义 f [ x 0 , x 1 , , x n， x n 1 ]
f [ x , x 0 , , x n ]( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 )( x x n )
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 ,, x 1 ]( x x 0 )) ff[[xx 0, ,xx 1, ,x 2]( xx xx 0)( xxx x ) ) x ]( )( 1 f ( x 0 ) f [ x 0 x 1 ]( x x0 0 1 2 0 1
x1 f ( x1 )

xn
( xi x j,
1 牛顿插值多项式的推导 已知 y f ( x ) 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得
f x , x0
f x , x 0 , x1
f (xn ) 当 i j)
（4 . 1 ）
(a )
f ( x) f ( x0 )
f (x0 ) x0 x1 f ( x1 ) x1 x0 f x 0 , x 1 f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 f ( x1 ) x1 x0
当k =1时,
f [ x 0， x 1 ]
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ]( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 0 )( x x 1 )
f x 0 , x 1 , , x n ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 )

x4
f ( x4 )

xk

f ( xk )
f [ xk 1 , xk ] f [ xk 2 , xk 1 , xk ]

f [ x0 , x1 ,, xk ]


计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。
4.2 牛顿插值多项式
x f (x)
x0 f (x0 )
f [ x 0 , x 1 , , x n ] [ x 0 , x 1 , , x n ] f （ x ）
f (x)
x1 2 x x x x ff x 1 , x 2 ,, , x nn ff x 00 ,, x 11 ,, ,, x nn11
xn x0
f x 0 , x 1 , , x k f x 1 , x 0 , , x k f x k , x k 1 , , x 0
f xi , xk , x j , f x j , xi , xk
i0 i j


f xk , x j , xi

f x
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 )
将(b)式两边同乘以,( x x 0 ) ,(c)式两边同乘以 ( x x 0 )( x x 1 )， (d)式两边同乘以 ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 ) ,把所有式子相加,得
f x
j
, xk , xi

k
, xi , x j

共6个
分析 ：
f x 0 , x1 , , x k

j0
k
f (xj) ( x j x 0 )( x j x 1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x k )