带余除法总结
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分析：本题我们可以采用“逐级满足法”先求出满足3、5两数的最小数， 然后在不改变余数的基础上求满足7的最小数。 解：：[3，7]+2=23 还可以直 23除以5恰好余3。 接列举 所以，符合条件的最小自然数是23。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树 梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70， 用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的 和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解 法如下： 2×70+3×21+2×15=233 233-105×2=23 符合条件的最小自然数是23。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 • 解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？ 2+3×2=8。 再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？ 8+[3，5]×3=53。 ∴符合条件的最小的自然数是53。
• 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条 •件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要 •加上已满足条件中除数的倍数。
解：∵被除数÷除数=商…余 数， 即被除数=除数×商+余数， ∴251=除数×商+41， 现在怎么办呢？ 251-41=除数×商， 因式分解 ∴210=除数×商。
这些可能都可以吗？ ∵210=2×3×5×7， 除数＞余数 ∴210的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，
其中42和70大于余数41.所以除数是42或70. 即要求的两位数是42或70。
bq r bq r
例 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .
(1) a 14, b 3 (2) a 14, b 3 (3)a 14, b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2 14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
前面我们讲到除法中被除数和除数的整 除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1， 即16=5×3+1.此时，被除数除以除数 出现了余数，我们称之为带余数的除法。
定义 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r , 0 r b (1)
定义2：（1）式通常Hale Waihona Puke Baidu成
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然 数。
• 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2 后被6整除”。 解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。 想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？ 28+[5，6]×4=148，148=21×7+1， 又148＜210=[5，6，7] 所以，适合条件的最小的自然数是148。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
解：∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， 思考：是否就是关于除 ∴（除数×40+16）+除数=877， 数和减去余数的被除数 ∴除数×41=877-16，
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日 （第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
14 ( 3) 14 3
注：一般地，要求a, q是整数，b, r是非负整数；
如果允许b取负值，则要求 0 r b . 思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。
分析 这是一道带余除法题，且要求的数是 大于41的两位数. 解题可从带余除式入手分析。
的和倍问题
除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份共有31天，每周共有7天， ∵31=7×4+3， ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。
a b q (余r )
并称q为a被b除所得的不完全商；
(2)
r叫做a被b除所得的余数； 提醒：除数＞余数 (2)式称为带余数除法。
定理1 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得 证明： 存在性：考虑整数序列 , 3b, 2b, b,0, b,2b,3b, 则a必在序列的某两项之间， 即存在一个整数q，使得 qb a (q 1)b
a bq r , 0 r b
令 r a qb ， 则有 a bq r , 0 r b 成立.
唯一性 设另外有 q, r Z 使 a bq r,0 r | b | ，则
进而得到 | b || q q || r r 。 如果 q q ，则等式的左端 | b |， 但另一方面 0 r, r | b | ，即可知等式 q q 的右端 | b | 。这个矛盾说明 ， 从而 r r 。定理得证。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次 取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
•
解：2+[5，7]×1=37（个） ∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2， ∴布袋中至少有小球37个。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 • 解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？ 2+3×2=8。 再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？ 8+[3，5]×3=53。 ∴符合条件的最小的自然数是53。
• 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条 •件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要 •加上已满足条件中除数的倍数。
解：∵被除数÷除数=商…余 数， 即被除数=除数×商+余数， ∴251=除数×商+41， 现在怎么办呢？ 251-41=除数×商， 因式分解 ∴210=除数×商。
这些可能都可以吗？ ∵210=2×3×5×7， 除数＞余数 ∴210的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，
其中42和70大于余数41.所以除数是42或70. 即要求的两位数是42或70。
bq r bq r
例 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .
(1) a 14, b 3 (2) a 14, b 3 (3)a 14, b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2 14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
前面我们讲到除法中被除数和除数的整 除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1， 即16=5×3+1.此时，被除数除以除数 出现了余数，我们称之为带余数的除法。
定义 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r , 0 r b (1)
定义2：（1）式通常Hale Waihona Puke Baidu成
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然 数。
• 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2 后被6整除”。 解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。 想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？ 28+[5，6]×4=148，148=21×7+1， 又148＜210=[5，6，7] 所以，适合条件的最小的自然数是148。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
解：∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， 思考：是否就是关于除 ∴（除数×40+16）+除数=877， 数和减去余数的被除数 ∴除数×41=877-16，
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日 （第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
14 ( 3) 14 3
注：一般地，要求a, q是整数，b, r是非负整数；
如果允许b取负值，则要求 0 r b . 思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。
分析 这是一道带余除法题，且要求的数是 大于41的两位数. 解题可从带余除式入手分析。
的和倍问题
除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份共有31天，每周共有7天， ∵31=7×4+3， ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。
a b q (余r )
并称q为a被b除所得的不完全商；
(2)
r叫做a被b除所得的余数； 提醒：除数＞余数 (2)式称为带余数除法。
定理1 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得 证明： 存在性：考虑整数序列 , 3b, 2b, b,0, b,2b,3b, 则a必在序列的某两项之间， 即存在一个整数q，使得 qb a (q 1)b
a bq r , 0 r b
令 r a qb ， 则有 a bq r , 0 r b 成立.
唯一性 设另外有 q, r Z 使 a bq r,0 r | b | ，则
进而得到 | b || q q || r r 。 如果 q q ，则等式的左端 | b |， 但另一方面 0 r, r | b | ，即可知等式 q q 的右端 | b | 。这个矛盾说明 ， 从而 r r 。定理得证。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次 取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
•
解：2+[5，7]×1=37（个） ∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2， ∴布袋中至少有小球37个。