椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题

【基础知识】

一．椭圆的基本概念

1。椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点

的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。

二．椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 |MF 1｜+｜MF 2|=2a

焦点位置

x 轴 y 轴 图形

标准方程

焦点坐标

焦距

顶点坐标

a ,

b ，

c 的关系式

长、短轴 长轴长=2a , 短轴长=2b

对称轴 两坐标轴

离心率

a

c

e =

= （ 0 〈 e 〈 1）

椭圆方程的总形式为

[经典例题]：

例1. 根据定义推导椭圆标准方程.

已知B,C 是两个定点，｜BC ｜＝6,且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程

已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足｜M F 1|+|M F 2｜=8，则点M 的轨迹是 (A ）椭圆 （B )直线 （C ）圆 (D ）线段

y

x

o

y

x

o

例2。写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2)和（0,2)且过（23-,2

5）

例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是（-3，0)，（3，0)，椭圆经过点(5,0）.

(2）两个焦点坐标分别是（0，5），(0，—5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.

例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2

5

,23与-，求椭圆的标准方程

例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍,则椭圆离心率是 ;

2。如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 ;

3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ；

［典型练习]：

1 椭圆

19

252

2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( ） A 。5 B.6 C 。4 D 。10

2.椭圆

1169

252

2=+y x 的焦点坐标是( ） A 。（±5，0)

B 。（0，±5）

C 。（0，±12)

D 。(±12，0)

3。已知椭圆的方程为

182

2

2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A 。228m - B.2m -22 C 。28

2-m D.222-m

4。1,6==c a ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

5。 椭圆

22

125

x y m m +=-+的焦点坐标是 (A ）(±7， 0） （B )（0, ±7) （C ）(±7，0） （D ）（0， ±7）

6．设21,F F 为定点，｜21F F ｜=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ,则动点M 的轨迹是 （ )

A.椭圆 B 。直线 C.圆 D 。线段

7.椭圆17

162

2=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点,则2ABF ∆的周长为 ( ) A.32 B.16 C.8 D.4

8. P 为椭圆

22

110064

x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 . 9。如果方程22

2

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是______。

10。方程

11

22

2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______。 11.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39，求△ABC 的重心轨迹方程。

12。 已知点P 在椭圆124492

2=+y x 上，F 1、F 2是椭圆的焦点，且PF 1⊥PF 2，求

（1）| PF 1 ｜·｜ PF 2 ｜ （2）△PF 1F 2的面积

y

o

x

P

F 2

F 1

作业

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值

①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12

42

2=-y x ；④369422=+x y 椭圆19

162

2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ;若CD 为过左焦点1F 的弦,则CD F 2∆的周长为

3． 方程142

2=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围

椭圆

136

1002

2=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是

动点P 到两定点1F (-4,0），2F （4，0）的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______

6.平面内两个定点21,F F 之间的距离为2，一个动点M 到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M 的轨迹方程。