6第7章平面立体

没有相交，而D、F棱
线与三棱锥没有相交，
因此，可以分析出总
共有6个相贯点。
•利用三棱柱的积聚 性，可直接定出Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ 点的水平投影
•按照求贯穿点的方法 求出六个点在V面的投 影。 s •依次连接相贯点，判 别可见性
•整理图形，完成图形。
例题 求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
d′
2、求相贯点
3、判别可见性画出相贯线
4、整理各棱线
s′
s〞
分析:如将四棱
柱抽出，成为
三棱锥被贯一
四棱柱孔，很
显然，相贯点
位置没变，即
相贯线没变，
只是在完成图
形时注意保留
a′
b′
c′ a〞
c〞
的线及线的虚
b〞 实。
a
c
s
b
例题
两平面立体相贯，完成相贯线的投影
3'
4'
解题步骤
2'
5'
1 分析 相贯线的正面投影已知，水平投
相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯线 相贯线的性质: • 相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立
体的共有点 • 由于立体表面有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只
有当两立体具有重叠表面时,相贯线才不闭合. 对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭
合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体有关棱面的交 线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点
• 判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线才 是可见的。
• 完成图形。
d′
e′
a′
b′
c′
a
d
e
c b
f′
s′
例题：求三 棱锥与三棱 柱的相贯线
f s
作图过程：
d′
1′ a′
e′
f′
2′
5′
4′ b′ 3′ 6′
c′
a
d
1
f 2
4 3e
c
5(6)
b
s′
•分析形体，可以看
出，BS棱线与三棱柱
•截平面Q为水平 面，完全截断与 三棱锥的截交线 为与锥底相似的 三角形。
•截平面P为正垂 面，根据棱线上 的点可以求出截 交点
•判别可见性，加 深图线，完成作 图。
1′
2′
3′
6′ 5′ 4′
7′
6
1 7
6
5 2
4 3
3 24 5
y
2
3
5 4 6
1
2
y
3
4 5 6
7
求带 缺口 的四 棱台 的H、 W投影
它的每个投影都没有积聚。
在该面上取点必须作辅助 A
线。作辅助线常用的方法
FC
有两种﹕1)过已知点作该 面底边的平行线；2)作已 知点与顶点的连线;再于辅
D B
助线上定点。
s′
s〞
2´
( 2″)
(3)
4
a′
b′
3 4
c′ a〞(c〞)
S b〞
a
c
3 s
2
(4) Ⅱ
A
C
B b
§7-2 平面立体的截交线
一、棱柱的形体特征及投影特性
当正棱柱 的侧棱垂 直于投影 面时，它 在该投影 面上的投 影积聚为 多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
注意:我们这
里去掉了轴
线和45°辅
助线,这是由
于通过体上
的棱线的相
对位置来决
y
定三个棱线
投影的位置,
但是要特别
注意在另一
个图上去找
y
相对的坐标
值.
六棱柱的投影图
一、屋面的形式
平屋顶 折板
壳体
坡屋顶 悬索
二、坡屋面的种类
两坡屋面
四坡屋面
十字脊
庑殿
歇山
三、什么是同坡屋面
所谓的同坡 屋面，是指各屋 面与水平面的倾 角相等（α角相 等），檐线又属 于同一水平面的 情况加以研究。
从立体角度看， 是截头三棱柱相 贯。
斜沟
平脊
斜脊 屋檐
四、同坡屋面投影作图原理
虚线和实线重 合的时候，只 画可见的实线。
y
y
二、棱锥的形体特征及投影特性
当棱锥
的底面平行 于投影面时， 它在该投影 面上的投影 为多边形， 另外两个投 影轮廓线为 三角形。
三棱锥的投影图
s
s
尤其注意
b
a
c （c）
b
b
c
y
S点的侧面 投影位置,结 果是正三棱 锥的侧面投 影并不是等 a 腰三角形。
c′ a〞(c〞) c
S b〞
A
C
B
s′
e 1Ⅰ f
a′ d′ b′ a
e s
1 d
f b
s〞
1
三棱锥表面上取点
棱面上取点
平面立体可看作是由若 干个平面图形所围成的，所以 在平面立体表面上取点或取线 时，应把属于平面立体的棱面 作为单独的平面来考虑。
S
c′ a〞(c〞)
b〞
c
△SAB为一般位置平面, E
P
K
N
L
M
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交 线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
作图过程：
m′ 1′
k′
(n′) 3′ 2′
1
n
3 m
k
2
PV l′
① 包含直线作辅 助平面
② 求辅助平面与 立体的截交线
③ 求上述截交线 l 与被包含直线的交点
即贯穿点。
注意： 贯穿点之 间没有线。
§7-4 平面立体与平面立体的相贯
• 交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即 得截交线。
• 交点连成截交线的原则是：位于立体的同一表 面的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。 位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线， 位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细 虚线。
例题 求五棱柱的截交线
4′5′ 3′ 6′
2′ 1′
5″ 4″ 6″
6 （5）
4 1 2
（3）
35
1
6
2 4
例题4 求四棱锥
6
截切后的投影
5
4
3
1 2
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
ⅠⅡ
例题 求立体截切后的投影
4
3
（3）
5 （6）
4 6 5
1（2）
2
1
Ⅲ
2
3
1 6
Ⅳ
Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
5
4
例题 已知带缺口正三棱锥的正面投影,补全水平投影和侧面投影
PV QV
•分析图形判断 截平面的空间位 置。
1〞
1 2
6 5
4 3
3″
2″
分析图形 求截交线上的 转折点 依次连接转折点 完成图形
例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 ⑴ 分析
PV
4〞
(5′) 4′ 5〞
3′
(6′) 2′
6〞 1〞
1′
截平面P与六棱柱的六个
棱面都相交,截交线为一
个六边形;截平面P是正
垂面,其正面投影PV有积
3〞
聚性,截交线的正面投影 积聚在PV上,又因为六棱
立体表面取点的
步骤﹕
AA先由已知点的投影位
d 置及可见性,分析判断该
点所属的表面;若该面有
Cc
积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影;若该
a
面无积聚投影,则过点在
该面内作一条辅助线,再
b
于此线上定点,并判别可 见性。
s′
e kK
a′
b′
a
k s
Ee
b
s〞 三棱锥表面上取点
e
k
棱线上取点(较 特殊的点）
平面立体——表面由平面多边形围成的立体叫平面立体，平 面与平面的交线为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面 分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、 棱台体等。
平面立体的投影特征：由各个棱面、棱线的投影构成投影图， 通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线， 不可见的棱线画成细虚线。
10
2 （3）
11
1（4）
5
（9'） 9"
6' 7'
11"
6"
（8'） 8"
7"
9
8
7 6
例题 ﹕ 求四棱锥的截交线。并求断面实形。
4′
2′
(3′)
1′
3
1
2
2″ 4″
3″ 1″
y3 y4
• 分析图形, 补出完整 图形
• 根据已知 条件求出 棱线上的 点
• 依次连接
• 按线型补 出图形
y4 y3
4
平面与立体相交亦称平面截割立体,其平面与立体的交 线称为截交线，这种线在实际生产及物体中十分常见。
由截交线围成的平面 图形称为截断面(或断面)。
截平面与立体表面 的交线叫做截交线。
多边形各顶点 是立体棱线与截平 面的交点。
截割立体的平 面叫做截平面
P
平面立体截交线的性质
（1）平面立体的截交线是截平面与平面立体表面 的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的 共有点。
e′
d〞 e〞
g′
f′
a′
b′
dg
ef
a
s
g〞f〞
c′
ca〞〞
c
b
dg
ef
d〞e〞
g〞f〞 b〞
求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
PV
d′
e′
QV g′
a′ dg
a
f′ b′
ef
s
b
dg
ef
d〞 e〞
d〞e〞
g〞f〞
c′
ca〞〞
g〞f〞 b〞
c 1、分析(形体分析、棱线的投
影分析、贯穿点的数量分析)
例题：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
1′ 2′ 3′ 4′
1〞
2〞
4〞 3〞
6′ 5′ 8′ 7′
8 5
1 4
5〞 6〞
8〞
7〞
V
76
32
作业评讲：
wk.baidu.com
作出六棱锥
被P、Q平
面截割后的
PW
投影。
QW
y
y
作业评讲： 完成带缺口 三棱柱的H、 W投影
y
y
作业评讲：
求带缺口 的四棱台 的H投影
§7-3 平面立体的贯穿点
第七章 平面立体
§7-1 平面立体的投影及表面取点 §7-2 平面立体的截交线 §7-3 平面立体的贯穿点 §7-4 平面立体与平面立体的相贯 §7-5 同坡屋面的交线
§7-1 平面立体的投影及表面取点
任何立体均占有一定的空间，并由围成该立体的各个表面 确定其范围及形状。 根据立体表面的平、曲性质不同分为平 面立体和曲面立体。
例题 求立体截切后的投影
1'
1"
2'（3'） 3"
(5′)
2"
4′
5"
4"
10'
8（' 9'）6' (7′)
9" 7"
10" 6" 8"
3 (9) 5(7)
yy
yy
1 (10)
4 (6) 2 (8)
例题 求立体截切后的投影
1'（2'）
2"
4‘（3'）
3"
5‘ （10'）
10"
1"
4" 5"
11'
1'
6'
影未知；相贯线的投影前后、左右对称
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
、 Ⅴ 、Ⅵ ；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
2 34
5
1
6
例题 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
2' 1'
3'
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影已知，正面投 影未知；相贯线的投影前后、左右对称
直线与立体表面的交点称为贯穿点。即贯 穿点既是属于直线的点，又是属于立体表面 的点，因此，求贯穿点的问题，就是求线与 面交点的问题。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个 辅助截平面，求此截平面与立体的截交线， 截交线与已知直线的交点即为贯穿点。
例题 求直线KL与三棱锥的贯穿点
l′ k′
l
k
求贯穿点的方法﹕
• 同坡屋面交线的水平投影作图原理 • 水平倾角相等的两斜屋面，其交线的水平投影为它们的等高檐线水平投
影的角平分线。因此，如屋面两檐线成直角相交，则它们的交线在平面 图上与檐线成45°。如两檐线平行，则含此两檐线的两屋面交线在平面 图上为两檐线的中线。 • 三面共点，由于三平面的三条交线必交于一点，因此在屋面上如有两条 交线交于一点，则通过该点必有第三条交线。当相邻檐线都成直角相交 时，则在平面图上汇交于一点的三条交线中，两条为45° 线，另一条为 两平行檐线的中线。 • 作屋面交线的水平投影图时，利用先碰先交，依次封闭斜屋面的作图方 法是很重要的。否则难以避免水平天沟的出现。 • 同坡屋面V和W面投影作图原理 • 凡屋檐线垂直于V面或W面，则含此檐线的屋面是正垂面或侧垂面。它 们的积聚投影与水平线的夹角反映屋面的水平倾角α 。还要注意每一坡 屋面的各投影成类似形。
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以 截交线通常是封闭的平面多边形。
（3）多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截 平面的交点，多边形的各边是平面立体的棱面与截 平面的交线，或是截平面与截平面的交线。
求平面立体截交线的方法
• 交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再 按一定的连线原则将交点相连，即得截交线。
但要注意判别所求点的所属性和可见性，处 于不可见棱面上的点是不可见的点，用括号括起 来表示。
c′
Aa
(d′)
b B
c″
棱柱表面上取点
(d〞)
a
b
点线属点性点面积求判性某见面点面积求投性的B上于的求C内聚c别的A内聚a′影与可在在在,直投b,性点原,性可可中点见可和铅水铅线影投的则投利利所性,利点b垂平垂的特影可是在相〞影用用的用见﹕表同可
求两平面立体相贯线的步骤
• 分析形体：认识两相贯体的形体特征，考察两立体的 相对位置。判断是“全贯”（两组相贯线）还是“互 贯”（一组相贯线）。
• 求相贯点：由于平面立体相贯线的性质特殊，实际上 就是求每一条棱线与另一立体的相贯点。
• 连接相贯点：属于同一立体的同一棱面而同时属于另 一立体也是同一棱面的两点才能相连。
y
s
a
三、 平面立体表面上取点
平面立体表面取点的原理与单一平面内取点、 取线的方法基本相同。
平面立体可看作是由若干个平面图形所围成 的，所以在平面立体表面上取点或取线时，应由 已知点的投影位置及可见性，分析判断该点所属 表面，若该表面有积聚性，利用积聚性的投影直 接作出，若该表面没有积聚性，则过已知点在该 表面内引辅助线求出。
柱的六个侧棱面都垂直
2〞于 平水 投平 影面 积聚,故在截六交棱线柱的各水
棱面的水平投影上。所
以只需求截交线的侧面
投影。
6 1
1、棱柱上截交线的求法
Ⅴ
Ⅳ
5
⑴ 分析
⑵①柱点上的作作在,交利图出点铅截用、平垂点交面线线属与棱
Ⅵ
Ⅲ Ⅱ
4
②于依直次线连接求各影点
③ 判断可见性
Ⅰ
④ 整理轮廓线
2
3
⑶ 检查 加深图线
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
1
2 3
d′
e′ (g)′
f′
c′
作业评讲：
求平面
ABC与四
a′
棱柱的截
交线
b′
a
g
c
d
f
b b
2′ 4′
1′
5′ 3′
2 3 4,5
1
作业评 讲
作业 评讲
§7－5 同坡屋面的交线
一、屋面的形式 二、坡屋面的种类 三、同坡屋面的定义 四、同坡屋面投影作图的原理 五、例题