圆锥曲线中直线过定点问题的探究

圆锥曲线中直线过定点问题的探究

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引例：（作业第5题）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2

2

，它的一个焦

点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A

作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为1

4

，直线BC 是否恒过一定点？

若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

反思：解决直线过定点问题的基本方法：

变式1：在上述椭圆中，若把条件4

1

21=

⋅k k 改为421=+k k ，探究直线BC 是否仍然过定点。

推广：若把上述问题延伸至抛物线中，是否有类似结论？

变式2:(三维P59）如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的点A (2,1)作斜率分别为k 1，k 2的直线，分别交抛物线E 于B ，C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程；(2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点．

变式3：:已知点)0(),0,(>m m E 为抛物线x y 42

=内一个定点，过E 作斜率分别为21,k k 的

两条直线交抛物线于点D C B A ,,,，且N M ,分别是AB ，CD 的中点。若121=+k k ，求证：直线MN 过定点。

提问：根据上述问题是否将两直线之间给定一个限制条件，直线都会过定点？

A N

M C B

D

x

y

E

O