一元二次方程专题复习资料解析

一元二次方程专题复习

知识盘点

1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的

平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02

≠=++a o c bx ax

的一般步骤是：

①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2

()x m n +=的形式，

如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为 ；

②将方程的左边化成两个 的乘积；

③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .

（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即

-----=-----=2,1x x

（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。 4. 一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ， 则12x x += ，12x x =

提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

5. 列一元二次方程解应用题

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。

考点一一元二次方程的基本概念及解法

例1、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为A．－１B．0 C．1 D．2

例2、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

考点二一元二次方程根的判别式

例3、关于x的方程2210

x kx k

++-=的根的情况描述正确的是( )．A．k为任何实数．方程都没有实数根

B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根

C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

例4、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A、a＜2

B、a＞2

C、a＜2且a≠l

D、a＜﹣2

考点三 一元二次方程根与系数的关系

例5、关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2。 （1）求k 的取值范围；

（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。

【对应训练】已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242

(1)4a a a

++⋅-的值。

考点四 列一元二次方程解应用题

例6为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设

力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

【对应训练】广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元， 试问哪种方案更优惠？

误区点拨

一、忽视等式的基本性质，造成失根 例1、解方程：2(1)3(1)x x x +=+.

错解：两边同除以(1)x +，得23, 1.5x x ==

剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0.

正解：

二、忽视二次项系数a≠0，导致字母系数取值范围扩大

例2、如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值．

错解：将x ＝0代入方程中，得22(2)03040m m -⋅-⨯+-=，

24m =，2m =±.

剖析：由一元二次方程的定义知：20m -≠，

而上述解题过程恰恰忽略了这一点，

正解:

三、忽视一元二次方程有实根的条件Δ≥0，导致错解 例3、已知：1x 、2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根，

求22

12x x +的最大值.

四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解

例4、若2222(1)(3)5x y x y +++-=,则22x y +=_________.