插值多项式

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第四章-多项式与插值

a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1 xn an xnn yn
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
| A | 1 x1 x1n ( xi x j ) 0
ni j0
1 xn xnn
故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一旳.
yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ )
线性插值（缺省）
yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ )
三次样条
yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ )
三次插值
例3 已知数据表如下，分别求 y＝0.9，0.7，0.6，0.5
处 x 旳值。
x
y
注：多项式求值还有一种函数是polyvalm，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要
求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式旳值。
3. 多项式旳四则运算 (1)多项式旳加减法
function p3 = poly_add(p1,p2)
n1=length(p1); n2 = length(p2);
yp=zeros(size(xp));
a(:,j)=a(:,j+1).*x;
for k=1:n+1
end
பைடு நூலகம்
yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1-k);
coeff=a\y;
end
plot(xp,yp, x,y, ' ro')
三、Lagrange插值多项式
1.插值基函数
定义:若n 1个n次多项式 l k (x) (k 1, 2,..., n 1)

高中数学中的插值与多项式逼近

高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。

它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。

本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。

一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。

插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。

2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。

通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。

二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。

这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。

差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。

三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。

多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。

最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。

四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。

而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。

多项式插值的原理及其应用

多项式插值的原理及其应用在数学领域中，插值是指基于一系列已知的数据点，通过构造一个合适的函数，来推断出在数据点之间的其他未知数值。

在实际应用中，许多问题都可以通过插值来得到解决，比如图像处理、信号处理、金融模型以及物理模拟等。

其中，最常用的插值方法就是多项式插值。

一、多项式插值的原理多项式插值的原理基于拉格朗日插值法，其基本的思想是利用已知的 n 个数据点，构造一个 n 次多项式，使这个多项式经过这 n 个数据点，从而可以通过这个多项式来推算出其他的数据点。

假设我们已知的 n 个数据点为(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，那么一个 n 次多项式的一般表达式可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0, a1, …, an 是多项式的系数。

根据拉格朗日插值公式，我们可以用这 n 个数据点来构造出 n次多项式：f(x) = Σ yi * L(x, i)其中，L(x, i) 是一个基函数，用来表达 f(x) 在 x = xi 处的取值，它可以表示为：L(x, i) = Π (x - xj) / (xi - xj) (j ≠ i)那么，对于多项式插值，我们需要做两个步骤：1. 找到合适的基函数，构造出 n 次多项式。

2. 利用已知的 n 个数据点，求解出多项式的系数。

二、多项式插值的应用1. 图像处理在数字图像处理中，多项式插值可以被用来进行图像重构，比如将缺失或损坏的像素点进行恢复。

另外，多项式插值还可以被用来进行图像缩放和图像旋转。

2. 信号处理在信号处理中，多项式插值可以被用来进行信号重构，比如信号平滑和信号插值。

除此之外，多项式插值还可以被用来进行谱估计以及信号滤波。

3. 金融模型在金融模型中，多项式插值可以被用来进行资产定价，比如期权和债券的定价。

另外，多项式插值还可以被用来进行股票市场预测和金融风险评估。

4. 物理模拟在物理模拟中，多项式插值可以被用来进行轨迹估计，比如弹道计算和航空航天工程。

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。

对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。

常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。

三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。

通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。

Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。

1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。

插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。

2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。

Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。

3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。

设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。

插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。

(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。

(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。

5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。

多项式的插值多项式与Newton插值知识点

多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。

在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。

插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。

Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。

差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。

为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。

差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。

差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。

插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。

2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。

3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。

在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。

通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。

总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。

它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。

多项式插值名词解释

多项式插值名词解释
多项式插值是一种数学方法，利用已知的若干点的函数值，找到一个多项式来近似函数在这些点之间的行为。

在给定n+1个点（称为插值点）的情况下，这种方法用于找到一个多项式（称为插值多项式），使得它正好穿过这些点。

在插值多项式通过所有给定点之后，它在其他点的函数值可以用这个多项式的值近似。

常用的多项式插值方法有直接法、拉格朗日插值法和牛顿插值法。

这种方法可以用于曲线拟合、回归等应用领域。

此外，多项式插值还可以用于求解函数的最小值点，通过找到插值多项式的极小点来逼近函数的最小值点。

这种方法称为多项式插值的搜索方法。

以上内容仅供参考，建议查阅关于多项式插值的资料获取更多专业信息。

多项式插值_Lagrange插值

φ(xk)=f(xk)=yk , k=0,1, … ,n
(2)
这时称 y=f(x)为被插值函数, φ(x) 称为插值函数, xk 称为插值节点,式(2)称为插值条件,寻求插值函数φ(x) 的方法称为插值方法.
二、多项式插值问题
在构造插值函数时，函数类的不同选取, 对应着各种不同的插值方法，这里主要研究函数类P是代数多项式，即所谓的多项式插值问题。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲线 y=pn(x) 通过n+1个点(xk , yk) (k=0,1,…,n)作为 f(x) 的近似(如下图).
y pn( x)
y f (x)
设 pn(x)=a0+ a1x+…+an xn ，当满足如下的插值条件时，即
pn(xk) = f(xk) = yk , k = 0,1, … ,n
f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)
二、抛物线插值（n=2）
已知
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2].
关于二次多项式的构造采用如下方法：令
L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1)
插值问题
§1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式
§1 多项式插值问题
一、插值问题
设函数 y=f(x)在区间[a,b]连续, 给定n+1个点
a≤ x0 < x1 < … < xn≤b
(1)
已知 f(xk)=yk (k=0,1,…,n) ,在函数类中寻找一函数φ(x) 作为 f(x) 的近似表达式,使满足

Hermite插值多项式

( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单；适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件

各种插值方法比较

各种插值方法比较插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。

在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数据或者对连续数据进行平滑处理。

常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值、Kriging插值等。

1.线性插值：线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个点之间的直线来估计缺失点的值。

这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。

2.多项式插值：多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点的值。

多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。

3.样条插值：样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。

样条插值方法克服了多项式插值的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。

4. Kriging插值：Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。

Kriging插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据或环境监测数据。

除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。

5.逆距离加权插值：逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。

逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。

6.最近邻插值：最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。

这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。

53第三节-Newton插值多项式

差商的计算结果要做出一个数据表格
差商表
xk 函数值一阶差商二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称 f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1 , xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] xk x1
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1 ).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
a2

P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n,
则Pn(x)可表示为
第三节牛顿(Newton)插值多项式

多项式插值计算方法

多项式插值计算方法引言：在数学和计算机科学中，插值是一种常见的数值计算方法，用于通过已知的数据点来估计未知的数据点。

多项式插值是插值方法中的一种，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，从而实现插值的目的。

本文将介绍多项式插值的基本概念、计算方法和应用领域。

一、多项式插值的基本概念多项式插值是指通过已知的n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，构造一个n次多项式函数P(x)来逼近这些数据点。

通过将P(x)代入已知的数据点，可以满足P(xi) = yi，即多项式函数经过已知数据点。

二、多项式插值的计算方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值计算方法。

通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用拉格朗日插值公式来计算多项式的系数。

具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + ... + Ln(x)yn，其中Li(x)为拉格朗日基函数。

- 拉格朗日基函数的计算公式为Li(x) = Π(j=1 to n, j ≠ i)(x-xj)/(xi-xj)，即除了第i个数据点外，其他数据点的插值基函数的乘积。

- 将已知数据点代入插值多项式，可以得到相应的系数，进而得到插值多项式P(x)。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值计算方法。

通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用牛顿插值公式来计算多项式的系数。

具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ... + cn(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)，其中ci为差商。

- 差商的计算公式为ci = f[x0, x1, ..., xi]/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)，即已知数据点的函数值的差商。

- 使用差商递推公式可以计算出所有的差商，进而得到插值多项式P(x)。

Hermite插值多项式

1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大，端点附近抖动越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1

所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值函数。

赫尔米特插值多项式

赫尔米特插值多项式赫尔米特插值多项式是一种常用的数值分析方法，用于在给定数据点上构造一个多项式函数，以便在这些数据点之间进行插值。

它是由法国数学家赫尔米特在19世纪末提出的，被广泛应用于科学计算和工程领域。

赫尔米特插值多项式的特点是可以同时给出函数值和导数值的插值结果。

这使得它在需要考虑函数的导数信息的问题中非常有用，例如在物理模拟、信号处理和图像处理等领域。

与其他插值方法相比，赫尔米特插值多项式的优势在于它可以更准确地逼近原始函数，并且在插值点附近的导数值也能得到较好的近似。

赫尔米特插值多项式的构造过程相对复杂，但可以通过递推的方式来实现。

首先，我们需要给定一组数据点，包括函数值和导数值。

然后，通过构造一个多项式函数，使得它在每个数据点上都满足函数值和导数值的条件。

这个多项式函数就是赫尔米特插值多项式。

具体而言，赫尔米特插值多项式可以表示为一个关于自变量x的多项式函数：P(x) = Σ[i=0 to n] (hi(x) * fi + gi(x) * fi')其中，hi(x)是一个关于x的多项式函数，用于满足函数值条件；gi(x)是一个关于x的多项式函数，用于满足导数值条件；fi和fi'分别是第i个数据点的函数值和导数值。

赫尔米特插值多项式的构造过程可以通过拉格朗日插值多项式的思想来理解。

我们可以将每个数据点看作是一个插值节点，然后通过构造一组基函数来逼近原始函数。

这些基函数既考虑了函数值的插值要求，又考虑了导数值的插值要求，从而得到了赫尔米特插值多项式。

赫尔米特插值多项式的优点之一是它可以通过递推的方式来计算。

一旦我们知道了前几个数据点的插值结果，就可以利用递推关系来计算下一个数据点的插值结果。

这种递推的方式使得赫尔米特插值多项式的计算效率较高，特别适用于大规模数据的插值问题。

然而，赫尔米特插值多项式也存在一些限制。

首先，它要求插值点之间的间距相等，否则会导致插值结果的误差增大。

第6章代数插值多项式

计算系数的计算量Q1 插值计算的量Q2 (优化: 减少计算量的方法)

(3)计算实例：P103页 / 习题P120 1,2题
6.2 Newton插值多项式

Ln(x)的缺点

Ln(x)由n+1个n次多项式组成，形成复杂，手工计算不便于验算，作插值计算量大；增加一个节点后，原插值多项式不便于利用当节点带导数时，Ln(x)无能无力

可见K阶差商就是Newton插值多项式的系数ck

(2) n阶Newton插值多项式
N2(x)=c0+c1(x-x0)+…+cn(x-x0)(x-x1)…(x-xn) ci=f[x0, x1, … , xi] i=0,1,…,n
6.2 Newton插值多项式

3. 无重节点Nn(x)的插值与计算
6.1 Lagrange插值多项式

2. n阶Lagrange插值多项式
n (i ) L ( x ) A i n ( x) n i 0 n (i ) 其中 n ( x) ( x x j ) j 0 j i
n Ln ( x) li ( x) f ( xi ) i 0 n (i ) 其中 n ( x) ( x x j ) j 0 j i

n次多项式wn(x)只缺(x-xi)项
6.1 Lagrange插值多项式

3. 代数插值多项式余项的计算

定理2
[ x0 , xn ]
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x xn ) (n 1)!

插值多项式简介

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。

17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。

在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。

其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。

此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。

当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。

多项式插值这是最常见的一种函数插值。

在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。

从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。

插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。

埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。

这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。

线性插值多项式

线性插值多项式线性插值多项式是数学中一种重要的运算方法，它把一些有限的原始数据，经过简单的数学模型运算，在给定的插值点上均匀采样，得到函数近似值，从而获得函数连续性。

由于它在数学上具有较强的适用性，算法简单，计算量小，因此它已成为常用的数学计算方法之一。

根据均匀采样原理，我们可以把函数f(x)用一个线性插值多项式的形式表示：f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +...+ anxn其中，系数a0、a1、a2、a3...an满足一定约束条件的未知常数，要求它们能满足f(x0)=f(x1)=f(x2)=...=f(xn)，即下列方程组：a0 + a1x0 + a2x02 + a3x03 +...+ anxn = f(x0)a0 + a1x1 + a2x12 + a3x13 +...+ anxn = f(x1)a0 + a1x2 + a2x22 + a3x23 +...+ anxn = f(x2)...........................................a0 + a1xn + a2xn2 + a3xn3 +...+ anxn = f(xn)把上述 n+1 个方程的信息用矩阵的形式写出，就可以得到一个矩阵方程：AX = Y其中，矩阵A是一个n+1阶的常数矩阵，从推导出来的；矩阵Y 是一阶的数据矩阵，它的值是给定的插值点的函数值；而矩阵X是一阶未知矩阵，它包含了 n+1 个插值参数的系数a0，a1，a2，...，an。

矩阵A可以用一种叫做梯形矩阵的形式表示：A =|1 x0 x02 x03 ..... x0n1 x1 x12 x13 ..... x1n1 x2 x22 x23 ..... x2n.......................... ..........................1 xn xn2 xn3 ..... xnn|这样，上述矩阵方程可以改写为关于参数X的方程：AX = Y只要我们能够求解X，就可以求出系数a0、a1、a2、a3...an的值。

2.1 插值多项式的存在唯一性：

最常用的插值函数是代数多项式 …? 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即选取次数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得
Pn (xj) = yj (j = 0, 1… n)
插值法
(2.1.2) 本章主要讨论的内容
插值问题
插值函数
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
由插值条件
Pn ( xi ) yi i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
n 1 a0 x0 a1 x0 a n y0 n 1 a0 x1a1 x1 an y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
这就是本章要讨论的插值问题二插值问题的定义数当精确函数yfx非常复杂或未知时在区间这个问题称为非常复杂或未知时在区间这个问题称为插值问题211数近似函数gxfx满足条件由此构造一个简单易算的上一系列节点处测得函数值由此构造一个简单易算的上一系列节点处测得函数值ab01mxxx
2.1 插值多项式的存在唯一性：
此方程组的系数行列式为 2 n 1 x0 x0 x0
D j i n
2 n xn xn
( x
i
xj )
范得蒙行列式！
当 xi x j (i j ) 时，D 0，因此，Pn(x) 由a0, a1,…, an唯一确定。
在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数
0 x ,1 x ,n x
,使
P n x a00 x a11 x nn x
不同的基函数的选取导致不同的插值方法.
Lagrange插值 Newton插值