高考数学一轮复习 3.2 对数与对数函数教案 新课标

2.对数与对数函数

一．知识归纳 一）对数

1、定义： 如果)1,0(≠>=a a N a b

,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记

)1,0(log ≠>=a a N b a

即有：⇔=N a b

)1,0(log ≠>=a a N b a

2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ；

3、恒等式：N a

N

a =log ；

b a b a =log )1,0(≠>a a

4、运算法则：

M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>0

5、换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=

m m a a N a

N

N m m a 且且

二）对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质：

名称 对数函数 一般形式 y=log a x (a>0 , a≠1)

定义域 (0,+ ∞) 值域 (-∞,+ ∞) 过定点 （1，０）

图像

单调性 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数

０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布情况

何时y>0? y<0?

注意：研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 二、题型讲解

题型一．对数式的化简和运算 例1、计算下列各式

（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 22

2

+-+⋅+

（2）06.0lg 6

1

lg

)2

(lg )1000lg 8(lg 5lg 2

3++++ （3）设函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1005)...(201021=⋅⋅⋅x x x f ，求

)()()(2

20102221x f x f x f +⋅⋅⋅++的值。

解：（1）原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2

=-++=-++ （2

）

原

式

=

1

2325lg 32lg 325lg 32lg 32lg 5lg 322lg 3)32lg 3(5lg 22=-=-+=-++⋅=-++

（3）代入)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，即得)()()(2

20092221x f x f x f +⋅⋅⋅++=2010。

题型二、指数与对数的互化

例2、已知x,y,z 为正数，满足z

y

x

643==

①求使2x=py 的p 的值， ②求与①中所求的p 的差最小的整数

③求证：

x z y 1

121-= ④比较3x 、4y 、6z 的大小 解：①设k z k y k x k k z

y x 643log ,log ,log )1(643===≠===则，

由2x=py 得4log 2log log 2log log 234343==

⇒=k

k

p k p k ②

3216log 4log 233<<∴==p p 又

p p p p ->-∴=-=-3216

27

log 3916log 233

故与p 差最小的整数是3。 ③y

k k k x z k k k k 21

log 214log 212log 3log 6log log 1log 111436====-=-=- ④

)64lg 36(lg 6

lg 2lg lg 640)81lg 64(lg 4lg 3lg lg 430lg 1<-=-<-=

->∴>k

z y k y x k k

变式：已知a 、b 、c 均是不等于1的正数，且01

11=++==z

y x c

b a z

y

x

，求abc 的值 （ 答案：1）

题型三、对数函数图像与性质的运用

例3已知f(x)=a x

,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（C ）

例4、已知不等式0)3(log )12(log 2

<<+x x x x 成立，则实数x 的取值范围为（ ）

A )31,0(

B )21,0(

C )1,31(

D )2

1,31(

解：)2

1

,31(∈x

题型四、指数、对数函数的综合问题 例5、已知[

]2

3

1)

1(3log )(--=x x f ，求f(x)的值域及单调区间。

解：因真数0<[

]13log

)

1(3log 3)1(33

12

3

12

-=≥--∴≤--x x ,即f(x)的值域是

[)+∞-,1，又31310)1(32+<<-

>--x x 得，(]

1,31-∈∴x 时2)1(3--x 单调递

增，从而f(x)单调递减，(]

31,1+∈∴x 时f(x)单调递增。

注意：讨论复合函数的单调性时要注意定义域及对底数a 分01进行讨论