数学复习课教案(三角函数)

第三章、三角函数 第一节、三角函数的基本概念

教学目标：

1、理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；

2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。

教学重点：三角函数的定义。

教学难点：角的推广及弧度制的引入。 考点一：角的概念

1、角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。旋转开始时的射线叫叫的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫角的顶点。

2、角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合

{}

Z k k S ∈⋅,3600＋＝＝αββ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角

的和。 4、深化：

在直角坐标系内讨论角，要使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

正确理解：锐角、第一象限角、小于0

90的角，注意它们之间的区别与联系。

考点二：角的度量

1、角度制：规定周角的

360

1

为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。 2、弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。弧度的单位符号是”“rad ，

读作弧度。

3、公式：

（1）角度与弧度的互化公式：

rad rad rad rad 01745.0180

1,180,2360000≈=

==π

ππ，

/

000

185730.571801=≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad

（2）扇形的弧长、面积公式：

360

2121,18022

r n r lr S r n r l παπα=====

4、深化：

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。

角的概念推广之后，无论是用角度制表示还是用弧度制表示，都能在角的集合与实数集R 之间建立一个一一对应关系，每一个角都有唯一的一个实数和它对应；反之，每一个实数，也都有唯一的一个角与之对应。在同一个角的表示之中，不能同时出现角度和弧度。

考点三：任意角的三角函数

1、三角函数的定义：设α是任意一个角，在角α的终边上任取一点P （除端点），设其坐标为

),y x P （，它与原点的距离为)0(222

2>+=+=

y x y x r r ，那么我们称

比值

r

y

叫做角α的正弦，记作r y =ααsin ,sin 即；

比值

r x 叫做角α的余弦，记作r x

=ααcos ,cos 即； 比值

x

y

叫做角α的正切，记作x y =ααtan ,tan 即；

比值

y

x

叫做角α的余切，记作y x =ααcot ,cot 即；

比值

x r 叫做角α的正割，记作x

r

=ααsec ,sec 即； 比值

y

r

叫做角α的余割，记作y r =ααcsc ,csc 即。

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，

它们都是以角作为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。 2、三角函数的定义域：

R x x y ∈=,sin ；R x x y ∈=,cos ；⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈=Z k k x x x x y ,2,tan π

π

3、三角函数值的符号：

在第一象限内，各三角函数全为正数；在第二象限内，正弦、余割的函数值为正，其余全为负；在第三象限，正切、余切的函数值为正，其余全为负；在第四象限内，余弦、正割的函数值为正，其余全为负。 4、三角函数线

5、深化：一个角的三角函数值与在其终边上所取的点的位置无关，只与角的大小有关，也就是

说，只要角确定，上述六个比值也就确定。

例题讲解：

例1、已知0

1690＝α。（1）把α写成βπ+k 2的形式，其中[)πβ2,0,∈∈Z k ；

（2）求θ，使θ与α的终边相同，其中()ππθ2,4-∈－。 解：（1）角α的弧度数为

ππππ

18258181681690180

+==

⨯，其中[)ππ2,018

25

∈ 所以，ππα182524+

⨯=，其中πβ18

25

,4==k （2）由上可知，与角α终边相同的角可以表示为Z k k ∈+

,18

25

2ππ 由)(218

25

24Z k k ∈-<+

<-ππππ，解得2-=k πππθ18

4718254-=+

-=∴ 例2、写出下列角的集合：（1）终边在y 轴上的角的集合（用0

3600到的角表示）； （2）终边在第一、三象限平分线上的角的集合。

解：（1）在003600到范围内，终边在y 轴上的角有两个，即0

0270,90角，因此，所有与0

90角终边相同的角构成集合{}{}

Z k k Z k k S ∈⋅+==∈⋅+==,180290,360900

0001ββββ

而所有与0

270角终边相同的角构成集合

{}{

}

Z k k Z k k S ∈⋅++==∈⋅+==,180)12(90,36027000002ββββ

于是终边在y 轴上的角的集合{

}Z n n S S S ∈⋅+===,18090

21ββ

（2）仿照（1），有终边在第一、三象限角平分线上的角的集合

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z k k x x Z k k x x S ,4,452,42π

πππππ

例3、（1）如果α为第一象限角，试问

2

α

为第几象限的角？ （2）设α为第二象限的角，试问：απαπα+--,,分别是第几象限的角？