第一类拉格朗日方程的几种表述
拉格朗日公式
拉格朗日公式2篇拉格朗日公式是微积分中的重要工具之一，由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于1760年提出。
它是描述多元函数在约束条件下的极值问题的一种有效方法。
拉格朗日公式是一种将约束条件转化为等式形式的方法，通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数结合在一起，从而得到一个新的函数，称为拉格朗日函数。
本文将从拉格朗日函数的基本形式、应用领域和解决实际问题的方法等方面对拉格朗日公式进行详细介绍。
拉格朗日公式的基本形式如下：设有n个变量x1, x2, ..., xn和m个约束条件g1(x1, x2, ..., xn) = 0, g2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., gm(x1, x2, ..., xn) = 0。
目标函数为f(x1, x2, ..., xn)。
引入拉格朗日乘子λ1, λ2, ..., λm，构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x1, x2, ..., xn) + λ1g1(x1, x2, ..., xn) + λ2g2(x1,x2, ..., xn) + ... + λmgm(x1, x2, ..., xn)。
拉格朗日函数L所描述的是在约束条件下的一个新的函数。
拉格朗日公式的应用非常广泛，特别是在优化问题和最优化理论中，被广泛应用于经济学、物理学、工程学和管理学等领域。
在经济学中，拉格朗日乘子法常用于描述生产函数中的最优化问题，通过求解拉格朗日函数的偏导数等于零的条件，可以得到最优解。
在物理学中，拉格朗日公式广泛应用于描述运动过程中的最小作用量原理，通过求解拉格朗日函数满足欧拉-拉格朗日方程的条件，可以得到物体在某一时刻的状态。
在工程学和管理学中，拉格朗日乘子法常用于约束条件下的优化问题，可以帮助决策者找到最优解。
解决实际问题时，利用拉格朗日公式需要遵循一定的步骤。
首先，将约束条件转化为等式形式，然后构造拉格朗日函数。
第一类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程是指拉格朗日乘数法中的第一类问题，也叫拉格朗日最优化问题。
它表示为：
minimize f(x)
subject to gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
hi(x) = 0, j = 1, 2, ..., p
其中，f(x)是目标函数，g(x)是非等式约束条件，h(x)是等式约束条件，x是未知变量。
这类问题的解可以通过拉格朗日乘数法来求解。
这种方法是通过对目标函数和约束条件进行拉格朗日变换来求解的。
具体来说，就是对原始问题添加拉格朗日乘子，将原始问题转化为拉格朗日函数。
然后对拉格朗日函数求导，求出零点，并用导数等于零的条件来求解原始问题的解。
第一类拉格朗日方程的求解需要满足一些充分必要条件，例如约束条件必须是凸的，目标函数必须是可微的，等等。
如果这些条件都满足，那么就可以使用拉
格朗日乘数法来求解这类问题。
求解过程中需要迭代更新乘子，直到满足导数等于零的条件，即可求得原始问题的最优解。
该方程在线性规划,二次规划,半正定规划,广义线性规划等领域都有着重要的应用。
需要注意的是，该方程的求解并不是唯一的，可以使用各种优化算法来寻找最优解，例如拉格朗日导数法，二次规划法，Newton法和共轭梯度法等。
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
理论力学 第3章 拉格朗日方程
记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式： 直角坐标 平面极坐标 柱坐标 球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为 ：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分 诺特定理
3.2 运动积分 诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2
k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r
广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在 平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日定理公式是什么
拉格朗⽇定理公式是什么
约瑟夫·拉格朗⽇，法国数学家、物理学家。
他在数学、⼒学和天⽂学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学⽅⾯的成就最为突出。
拉格朗⽇公式包括拉格朗⽇⽅程、拉格朗⽇插值公式、拉格朗⽇中值定理等。
拉格朗⽇公式
拉格朗⽇⽅程
对于完整系统⽤⼴义坐标表⽰的动⼒⽅程，通常系指第⼆类拉格朗⽇⽅程,是法国数学家J.-L.拉格朗⽇⾸先导出的。
通常可写成：
式中T为系统⽤各⼴义坐标qj和各⼴义速度q'j所表⽰的动能；Qj为对应于qj的⼴义⼒;N(=3n-k)为这完整系统的⾃由度；n为系统的质点数；k为完整约束⽅程个数。
插值公式
线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造⼀个⼀次多项式
P1(x) = ax + b
使它满⾜条件
P1(x0) = y0P1(x1) = y1
其⼏何解释就是⼀条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
中值定理
定理表述
如果函数f(x)满⾜：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
上式称为有限增量公式。
拉格朗⽇定理
在微积分中，拉格朗⽇中值定理是罗尔中值定理的推⼴，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
四平⽅和定理说明每个正整数均可表⽰为4个整数的平⽅和。
它是费马多边形数定理和华林问题的特例。
注意有些整数不可表⽰为3个整数的平⽅和，例如7。
拉格朗⽇定理是群论的定理，利⽤陪集证明了⼦群的阶⼀定是有限群的阶的约数值。
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程是描述质点在有势能场中的运动的方程。
其数学表达式为：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -
\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
其中，\(L\)是拉格朗日函数，\(q_i\)是广义坐标，\(\dot{q_i}\)
是广义速度，\(i\)表示广义坐标的索引。
拉格朗日函数\(L\)由
质点动能和势能函数构成，即\(L = T - V\)，其中\(T\)表示动能，\(V\)表示势能。
这个方程由哈密顿原理推导得出，根据哈密顿原理，质点在运动过程中实际的路径是使作用量S取极值的路径。
作用量S
定义为路径积分：
\[S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt\]
通过变分原理，即使作用量在真实路径附近发生微小变化，作用量的变分应该为零：
\[\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt = 0\]
对上式应用变分积分法，我们可以得到第一类拉格朗日动力学方程。
这个方程描述了质点在给定势能场中的受力情况，通过求解这个方程，我们可以确定质点的轨迹和速度。
拉格朗日表达式
拉格朗日表达式拉格朗日表达式是数学中常用的一种工具，它在优化问题、微分方程和物理问题中有着重要的应用。
拉格朗日表达式的基本形式如下：L(x, λ) = f(x) + λ(g(x) - c)其中，L(x, λ)是拉格朗日函数，x是自变量，λ是拉格朗日乘子，f(x)是目标函数，g(x)是约束函数，c是约束条件。
通过最大化或最小化拉格朗日函数，我们可以求解原始问题的最优解。
在优化问题中，我们常常面临一个目标函数在一些约束条件下的最优化问题。
例如，我们想要求解如何将一个矩形切割成几个相同大小的小矩形，使得总面积最大。
这个问题可以用拉格朗日表达式来建模。
假设矩形的长为L，宽为W，小矩形的长为l，宽为w，总共有n个小矩形。
那么我们可以将目标函数定义为总面积S，约束条件为矩形的面积不变，即LW = nlw。
通过拉格朗日表达式，我们可以将这个问题转化为一个无约束的优化问题，求解出使得总面积最大的切割方案。
在微分方程中，拉格朗日表达式可以用来求解约束条件下的极值问题。
例如，我们想要求解如何使得一根绳子从A点到B点经过的路径长度最短。
这个问题可以用拉格朗日表达式来建模。
假设绳子的形状由函数y(x)表示，那么我们可以将路径长度定义为积分形式的弧长公式。
通过拉格朗日表达式，我们可以得到绳子的形状满足的微分方程，进而求解出使得路径长度最短的绳子形状。
在物理问题中，拉格朗日表达式可以用来描述系统的运动。
例如，我们想要求解一个质点在势能场中的运动轨迹。
这个问题可以用拉格朗日表达式来建模。
假设质点的质量为m，势能场的势能函数为V(x)，质点的位置为x(t)，那么拉格朗日表达式可以定义为质点的动能减去势能。
通过拉格朗日表达式，我们可以得到质点满足的运动方程，进而求解出质点的运动轨迹。
拉格朗日表达式在优化问题、微分方程和物理问题中都有着广泛的应用。
它通过引入拉格朗日乘子，将原始问题转化为一个无约束的优化问题，从而简化了问题的求解过程。
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法拉格朗日方程是分析力学中极为重要的定理之一，它描述了质点或系统在给定约束条件下的运动方程。
拉格朗日方程的推导方法有三种，分别是拉格朗日第一类方法、拉格朗日第二类方法和哈密顿原理。
下面将对这三种方法进行详尽的介绍。
首先，我们来介绍拉格朗日第一类方法。
这种方法是通过将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，然后使用这些方程消去广义坐标的导数，得到含有广义坐标和广义速度的方程，然后再代入拉格朗日函数，就可以得到拉格朗日方程。
设系统中有n个质点，它们的质量分别为m1、m2、..、mn，它们的位置矢量为r1、r2、..、rn。
约束条件可以表示为f(r1, r2, ..., rn)= 0。
广义坐标q1、q2、..、qs可以用位置矢量表示为q1 = q1(r1,r2, ..., rn)，q2 = q2(r1, r2, ..., rn)，...，qs = qs(r1, r2, ..., rn)。
广义速度可以定义为q1' = dq1/dt，q2' = dq2/dt，...，qs' =dqs/dt。
根据拉格朗日第一类方法，可以将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，即f(q1(q1, q2, ..., qs), q2(q1, q2, ..., qs), ...,qs(q1, q2, ..., qs)) = 0（1）。
然后对式(1)两边求导，以消去广义速度，得到：∂f/∂q1 * q1' + ∂f/∂q2 * q2' + ... + ∂f/∂qs * qs' = 0（2）接下来，根据拉格朗日函数定义为L = T - U，其中T是系统的动能，U是系统的势能。
动能和势能可以分别表示为T = T(q1, q2, ..., qs,q1', q2', ..., qs')，U = U(q1, q2, ..., qs)。
根据广义坐标和广义速度的定义可以得出q1, q2, ..., qs和q1', q2', ..., qs'是相互独立的。
动力学方程 拉格朗日方程
而广义力：
Q
n i 1
Fi
ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而 定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直 接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
sn ri
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
mi ri
Fi
Ri , i
1,
2,
,
n
miri
mi
ri
Fi
Ri
0,
i
1, 2,
：称为达朗伯惯性力或称有效力
n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
n
i 1
V xi
xi q
V yi
yi q
V zi
zi q
V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
P
Q
n
mi
i 1
n Fi
i 1
ri
ri q
ri
q
P
n i 1
miri
ri
q
d dt
拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义
拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义拉格朗日运动方程式是物理学中常考到的一个重要问题，也是物理学研究进展中最重要的一部分。
拉格朗日运动方程式可以表示出微观现象，它是一个关于空间运动的方程，描述了一个物体在给定的外力下的空间运动情景。
它也是力学，物理学和许多其他科学中最基本的方程之一。
因此，了解拉格朗日运动方程式的一般表示形式和各变量含义非常重要。
拉格朗日运动方程式的一般表示形式可以被概括为：mfrac{d^2x}{dt^2}=F(x,t）其中，m表示物体的质量，x为物体空间位置，t表示时间，F(x,t)表示某一个空间位置x处在某一个时间t时存在的外力，F(x,t) =0表示没有外力，F(x,t)>0表示物体在x处受正方向的外力作用，F(x,t)<0表示物体在x处受负方向的外力作用。
拉格朗日运动方程式中的变量含义包括：m表示物体的质量，x表示物体的空间位置，t表示时间，F(x,t)表示该空间位置x处在某一个时间t时存在的外力，F(x,t)>0表示物体受正方向的外力作用，而F(x,t)<0表示物体受负方向的外力作用。
其实，我们可以简化拉格朗日运动方程式，根据物体质量不同，可以将其分为牛顿第二定律（m=0）和牛顿第三定律（m>0）。
牛顿第二定律可以简化为：F(x,t) = 0物体的运动由外力的大小决定，外力的大小可以表示为一个数值，它和物体的质量和物体的加速度（空间）有关。
牛顿第三定律可以简化为：F(x,t) = ma其中，m表示物体的质量，a表示物体的加速度（空间），F(x,t)表示与物体空间位置x有关的给定外力。
A表示物体受到外力作用后，加速度发生变化。
到这里，我们可以看出，拉格朗日运动方程式是由外力F(x,t)，物体质量m，物体加速度a以及时间t四个变量构成的，这四个变量之间的关系可以被概括为：F(x,t)=ma。
总之，拉格朗日运动方程式的一般表示形式是：mfrac{d^2x}{dt^2}=F(x,t），变量m表示物体的质量，x表示物体的空间位置，t表示时间，F(x,t)表示该空间位置x处在某一个时间t 时存在的外力，F(x,t)>0表示物体受正方向的外力作用，而F(x,t)<0表示物体受负方向的外力作用。
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程第一类拉格朗日动力学方程是描述质点在保守力场中运动的动力学方程，也称为拉格朗日方程。
它可以通过最小作用量原理导出。
设一个质点在平面上的位置用广义坐标q和q'表示，其中q为广义坐标，q'为广义速度。
质点在这个保守力场中的运动可以由拉格朗日函数L(q,q')描述，其表达式为：L(q,q') = T(q,q') - V(q)其中，T(q,q')为质点的动能，V(q)为保守力场中的势能。
根据最小作用量原理，质点的运动路径满足满足驻定作用量条件，即质点在一个时间间隔内的作用量的变分为零。
作用量S的表达式为：S = ∫(t1,t2) L(q,q') dt其中t1和t2为起始和终止时间。
为了推导第一类拉格朗日动力学方程，我们采用变分法。
首先，在时间间隔[t1,t2]上作用量的变分为：δS = ∫(t1,t2) (δL(q,q')/δq)δq dt + ∫(t1,t2) (δL(q,q')/δq')δq' dt使用分部积分法将第二项中的变分δq'转化为对广义坐标q的变分，得到：δS = ∫(t1,t2) [(∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q'))δq] dt + [∂L/∂q'δq]在t1到t2的两端值由于作用量的变分为零，所以第二项在起始和终止时间的两个端点为零，即：[∂L/∂q'δq]在t1到t2的两端值 = 0因此，驻定作用量条件可以写成：∫(t1,t2) [(∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q'))δq] dt = 0由于δq的任意性，可以得出：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0这就是第一类拉格朗日动力学方程。
它描述了质点在保守力场中运动的规律，通过求解这个方程，我们可以得到质点的运动轨迹。
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程第一类拉格朗日动力学方程是经典力学中的一个基本方程，用于描述质点系统的运动。
它是由法国数学家勒让德于18世纪末提出的，被广泛应用于物理学中。
在经典力学中，质点系统的状态可以由质点的位置和速度来描述。
首先，我们引入广义坐标q_1, q_2, ..., q_n来代表系统的位置，并将其对时间的导数q_1', q_2', ..., q_n'称为广义速度。
根据拉格朗日原理，系统的运动路径是满足使作用量S最小的路径，其中作用量的定义为：S = ∫L(q_1, q_2, ..., q_n, q_1', q_2', ..., q_n', t)dt其中L表示拉格朗日函数，它是广义坐标，广义速度和时间的函数。
拉格朗日函数可以根据系统的具体性质来选择，常用的形式是：L = T - U其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。
拉格朗日函数的选择满足了能量守恒定律，即系统的总能量E等于动能T与势能U之和。
根据拉格朗日原理，对S求取变分，得到作用量的变分条件：δS = ∫[∂L/∂q_i - d/dt(∂L/∂q_i')]δq_i dt = 0其中i=1, 2, ..., n，δq_i表示广义坐标的微小变化。
由于δq_i是任意的，上述方程给出了n个独立的微分方程，即拉格朗日方程：d/dt(∂L/∂q_i') - ∂L/∂q_i = 0这就是第一类拉格朗日动力学方程，描述了系统中每个广义坐标的运动规律。
在实际应用中，我们常常需要求解拉格朗日方程来得到系统的运动方程。
对于简单的系统，可以直接求解。
例如，对于单个质点在重力场中的自由下落，我们可以选择重力势能U=mgh，其中m表示质量，g表示重力加速度，h表示高度。
动能T可以表示为T=1/2mv^2，其中v表示速度。
代入拉格朗日方程，可以得到下落过程中位置与时间的关系。
对于复杂的系统，拉格朗日方程的求解可能会很困难。
分析力学基础(7)
ϕ l(t)
FN
f (x y,t) =x2 +y2 −l2(t) =0 ,
求偏导数得
(a )
x
∂ f ∂ f =2x , =2y ∂ x ∂ y
拉格朗日乘子的物理意义
例 题 1 O y
f f ∂ ∂ =2x , =2y ∂ x ∂ y
动能和势能分别为
ϕ l(t)
FN
m 2 2 ɺ ɺ T = (x +y ), V =− g mx 2
3 n
以曲线坐标表示的 动力学普遍方程
d ∂ T ∂ T Q ∑ F j −dt (∂x )+∂x ⋅δxj =0 ɺj j= 1 j
3n
第一类拉格朗日方程
虚位移满足的方程
∂i f , s ∑ x δxj =0 (i =12,⋯) j= ∂ j 1
3 n
动力学普遍方程
d ∂ T ∂ T Q ∑ F j −dt (∂x )+∂x ⋅δxj =0 ɺj j= 1 j
分析力学基础
第7章 第一类拉格朗日方程
第7章 第一类拉格朗日方程
引 言 第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子的物理意义 讨 论
第7章 第一类拉格朗日方程
引 言
引 言
研究对象
由n个质点所组成 的非自由质点系
特点
用曲线坐标列出方程；可求出约束力； 用曲线坐标列出方程；可求出约束力； 方程比第一类多2 方程比第一类多2s个（s是约束方程的个 数）。 以动力学普遍方程为基础，采用拉格朗 以动力学普遍方程为基础， 日乘子法。 日乘子法。
得出
d ∂ T ∂ T ∂ f ( )− =F j +λ Q ɺj ∂ j dt ∂ q q ∂j q
证明拉格朗日公式
证明拉格朗日公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分基础课程中的重要定理之一，它是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪提出并证明的。
该定理是微分学的基础，它极大地简化了复杂函数的求导问题，为许多微积分和数学分析的应用提供了方便。
在这篇文章中，我们将探讨拉格朗日中值定理的内容以及其证明过程。
让我们来看看拉格朗日中值定理的表述：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间\((a, b)\)上可导，则存在一点\( c \in (a, b) \)使得\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]证明这个定理的方法有很多种，其中一种比较常见的方法是利用罗尔定理（Rolle's Theorem）来证明。
罗尔定理是拉格朗日中值定理的基础，它是拉格朗日中值定理的特殊情况。
具体来说，如果函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间\((a, b)\)上可导，并且在端点\(a\)和\(b\)处的函数值相等即\( f(a) = f(b) \)，那么存在一个点\( c \in (a, b) \)使得函数在这个点的导数等于零即\( f'(c) = 0 \)。
将上式代入\( g'(d) = 0 \)得到\[ \frac{f'(d) - f'(a)}{d - a} = 0 \]即\[ f'(d) = f'(a) \]在这里，点\( a \)和\( d \)都在开区间\((a, b)\)内，所以我们找到了一个满足拉格朗日中值定理的点\( c = d \)。
我们证明了拉格朗日中值定理。
在实际的数学应用中，拉格朗日中值定理经常用于证明其他定理或者简化问题的解法。
由于该定理的条件相对简单且易于满足，因此在微积分和数学分析的领域中得到了广泛的应用。
拉格朗日展开公式
拉格朗日展开公式
拉格朗日展开公式是一种在微积分和数学分析中广泛使用的方法，用于将一个函数展开成为一组无限项的多项式。
通常，这种方法可以用于计算函数的特定值或近似值，或者用于研究函数的性质和行为。
该公式以18世纪法国数学家约瑟夫-路易·拉格朗日的名字命名，他是该公式的发明者。
拉格朗日展开公式通常由以下形式表示：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! +
f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)是要展开的函数，a是展开的起点，f'(a)、
f''(a)、f'''(a)等是函数在起点处的一阶、二阶、三阶等导数。
展开式中的每一项都包含一个(x-a)的幂次和一个系数，这个系数是由函数在起点处的各阶导数所决定的。
展开式的每一项都可以被认为是一个由多个项组成的多项式，其中每个项都具有不同的幂次和系数。
在实际计算中，通常只需要考虑展开式中的有限项，因为无限项的贡献会变得非常小。
拉格朗日展开公式的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、经济学等领域。
例如，在物理学中，可以使用该方法来计算物体在不同速度下的动能或势能；在工程学中，可以使用该方法来估计机械系统的性能；在经济学中，可以使用该方法来建立经济模型以预测市场趋势。
无论在哪个领域，掌握拉格朗日展开公式都是一
项非常重要的数学技能。
拉格朗日方程
定义：拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
通常可写成：式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj 的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在节点上给出节点基函数，然后做基函数的线性组合，组合系数为节点函数值的一种插值多项式。
公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1(x0) = y0P1(x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
第一类拉格朗日方程的几种表述
・
( 14 ) ( 15 ) ( 16 )
・
δ qa δ qa
5 xi =α6 6 Fi =1 i=1 5q α
s
3n
d dt
3n
i=1
6 mix i
・
5xi 5 qa
・
・
- 6 mix i
i=1
3n
・
5xi 5q α
・
=α6
s
=1
Qα -
T d 5・ 5T δ qa d t 5 qa 5q¨
( 9)
( 8) 有 依拉格朗日不定乘子法 , 由式 ( 9) 、
收稿日期 :1999211206 作者 : 张相武 ,男 ,35 岁 ,现任庆阳高等师范专科学校物理系讲师
— 60
—
6 〔( Fi - m i x i ) 〕 +β6 λ β
i=1
3n
¨
k
=1
5 fβ δ χ =0 5 xi i
( 10 )
同式 ( 6) , 由式 ( 10) 有 5 fβ ( 11 ) = 0 ( i = 1 , 2 , …, 3 n ) 5 xi 显然 , 式 ( 11) 是式 ( 7) 的分量形式 , 只是将坐标 、 力、 质量采用统一符号写成紧缩的形式而已 . 由式 ( 3) 还可推导出第一类拉格朗日方程的另一种直角坐标表示形式 . 由于力学体系中任一质点 的坐标可表示为 s = 3 n - k 个广义坐标 qa (α= 1 , 2 , …, s ) 和时间 t 的函数 , 即 ( 12 ) x i = x i ( q1 , q2 , …, qs ; t ) ( i = 1 , 2 , …, 3 n ) s ・ ・ ・ 5 xi ・ 5 xi ・ ・ ( 13 ) 于是 x i = 6 qj + = x i ( q1 , q2 , …, qs ; q1 , q2 , …, q s ; t ) j = 1 5 qj 5t ( 12) 有 且由式 ( 13) 、 ( Fi - m i x i ) +β6 λ β
5第3章拉格朗日方程
·26·第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。
拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。
3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。
拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。
3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。
质点系由n 个质点、s 个完整的理想约束组成，它的自由度数为k ＝3n –s ，广义坐标数与自由度数相等。
该系统中，任一质点M i 的矢径r i 可表示成广义坐标q 1，q 2，…，q k 和时间t 的函数，即r i ＝r i (q 1，q 2，…，q k ，t )i ＝1,2,…,n它的速度t q q t i h h i kh i i i ∂∂∂∂r r r r υ+===∑= 1d d (3-1)i ＝1,2,…,n式中 qq t h h =d d 称为h 个广义坐标的广义速度，t q i h i ∂∂∂∂rr 、分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度 q h 没有直接的关系。
式(3-1)对 q h 求偏导数，则有h ih i q q∂∂∂∂r υ=(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。
为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j 求偏导数，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∑∑==j i h j i h k h j i h h j i k h j i q t q q q t q q q q q ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂r r r r υ 1221 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j ij i q t q ∂∂∂∂r υd d ∴ 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛=h i h i q t q ∂∂∂∂r υd d (3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的·27·偏导数，再对时间的一阶导数。
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( 10 )
同式 ( 6) , 由式 ( 10) 有 5 fβ ( 11 ) = 0 ( i = 1 , 2 , …, 3 n ) 5 xi 显然 , 式 ( 11) 是式 ( 7) 的分量形式 , 只是将坐标 、 力、 质量采用统一符号写成紧缩的形式而已 . 由式 ( 3) 还可推导出第一类拉格朗日方程的另一种直角坐标表示形式 . 由于力学体系中任一质点 的坐标可表示为 s = 3 n - k 个广义坐标 qa (α= 1 , 2 , …, s ) 和时间 t 的函数 , 即 ( 12 ) x i = x i ( q1 , q2 , …, qs ; t ) ( i = 1 , 2 , …, 3 n ) s ・ ・ ・ 5 xi ・ 5 xi ・ ・ ( 13 ) 于是 x i = 6 qj + = x i ( q1 , q2 , …, qs ; q1 , q2 , …, q s ; t ) j = 1 5 qj 5t ( 12) 有 且由式 ( 13) 、 ( Fi - m i x i ) +β6 λ β
其中式 ( 2) 、 式 ( 3) 均为 3 n 个非独立直角坐标的函数 , 式 ( 4) 为 m 个非独立坐标 ( 不一定是直角坐标) 的函数 . 若约束方程形如式 ( 2) , 则有 n n 5 fβ 5 fβ 5 fβ δx i + δ δ δ ( 5) zi = 6 6 yi + r i = 0 (β= 1 , 2 , …, k ) i fβ・ i i 5 xi 5 yi 5 zi 5 5 5 其中 i = i+ j+ k. 5 x i 5 yi 5 z i ( 5) 有 依拉格朗日不定乘子法 , 由式 ( 1) 、 6 〔F i - m i r i ) +β6 λ β
Qα = 6 Fi
3n
( 21 )
将 ( 21) 式代入式 ( 10) 得 6
3n
i=1
Qi -
5 fβ d 5T 5T ・ δx i = 0 + 6λ dt 5xi 5 x i β= 1 β 5 x i
k
( 22 )
( 10 ) , 由式 ( 22) 有 同式 ( 6) 、 k 5 fβ d 5T 5T ・ = Q i + +β6 λ β =1 dt 5xi 5 xi 5 xi ( 3) 可确定 3 n 个坐标及 k 个乘子 . 联立式 ( 23) 、 ( 11 ) 、 ( 23 ) 为第一类拉格朗日方程的几种直角坐标表述形式 . 至此 , 式 ( 7) 、 m 5g β δu i = 0 (β= 1 , 2 …, k ) 同理 , 若约束方程形如式 ( 4) , 则有 6 i = 1 5 ui
・
n 5 xi 5 rj 3 n n 5 rj 5 x i 3 n 5 xi ( 20 ) = 6 Fj ・ = 6 6 Fj ・ = 6 Qi i=1 j = 1 i = 1 j = 1 i = 1 5q 5 q 5 x 5 q 5q α α α α i ( 19 ) 、 ( 20 ) 代式 ( 17 ) , 得 将式 ( 18) 、 3n s 3n 3n 5 xi ¨ d 5 T 5 xi 3n 5 T 5 xi ・ δ 6 ( Fi - m i x i ) δx i =α6 6 Q i - 6 - 6 qa i=1 =1 i=1 i=1 d t 5 x i 5q 5q α α i =1 5 xi 5 q α 3n s 3n 5 xi d 5T 5T d 5T 5T δ ・ δ ・ = 6 Qi 6 qa = 6 Q i xi i=1 i=1 dt 5xi 5 x i α= 1 5 qa dt 5xi 5 xi
s
=1
Qα -
d 5T 5T δ ・ q α= 0 d t 5 qα 5q α
( 30 ) ( 31 ) ( 32 ) ( 33 )
m m 5 T 5 ui 5 T 5 u i 5 T 5 ui 5 T d 5 ui 5T 因 = 6 5u 5q + ・ 5q = 6 5u 5q + ・ dt 5q i=1 α 5 ui α α 5 ui α 5q i i α i=1 m m 5 T 5 ui 5 T 5 u i 5T 5 T 5 u i 3 n 5 T 5 ui ・ = 6 5u ・ + ・ ・ = 6 ・ ・ = 6 ・ i=1 i 5 qα α 5 u i 5 qα 5 qα i = 1 5 u i 5 qα i = 1 5 u i 5 q n n n m n 5 rj 5 rj 5 ui 5 rj 5 ui m 5 ui ) Q a = 6 F j ・ = 6 F j ・ 6 = 6 ( 6 Fj = 6 Q j=1 i = 1 5 u i 5 qa i=1 j=1 5 qa i = 1 5 u i 5 qa i = 1 i 5 qa n 5 rj 3 n 5 xj ( 32 ) 、 ( 33 ) 代入式 ( 30 ) 得 其中 Q i = 6 F j ・ = 6 Fj . 将 ( 31 ) 、 j=1 5 ui j = 1 5 ui n d 5T 5T δ ・ 6 Q i ui = 0 i=1 dt 5 ui 5 ui m k 5g β d 5T 5T ( 24 ) 得 6 Q i λ δu i = 0 由式 ( 34) 、 + 6 i=1 d t 5 ui 5 u i β= 1 β 5 u i ( 10 ) 、 ( 22 ) , 由式 ( 35) 有 同式 ( 6) 、 k T 5g β d 5・ 5T = Q i +β6 λ ( i = 1 , 2 , …, m ) β =1 d t 5 u ii 5 ui 5 ui
i=1
3n
¨
( 9)
( 8) 有 依拉格朗日不定乘子法 , 由式 ( 9) 、
收稿日期 :1999211206 作者 : 张相武 ,男 ,35 岁 ,现任庆阳高等师范专科学校物理系讲师
— 60
—
6 〔( Fi - m i x i ) 〕 +β6 λ β
i=1
3n
¨
k
=1
5 fβ δ χ =0 5 xi i
=1
¨
k
i fβ
( i = 1 , 2 , …, n )
( 7)
式 ( 7) 为第一类拉格朗日方程的一种直角坐标表示形式 . 可清楚地看出 , 式 (7) 实际上就是非自由质点 系牛顿第二定律的表达式 . 将式 ( 7) 与式 ( 2) 联立可求解约束反力 . 若约束方程菜如式 ( 3) , 则有 3n 5f β δ χi = 0 (β= 1 , 2 , …, k ) ( 8) 6 i =1 5 xi 而式 ( 1) 写为 6 ( Fi - m i x i ) δx i = 0
2000 年 2 月
第1期
松辽学刊 ( 自然科学版) Songliao Journal ( Nat ural Science Edition)
№ .1 Feb.
第一类拉格朗日方程的几种表述
张相武
( 庆阳师范高等专科学校 ,甘肃 庆阳 745000)
摘 要 : 本文推导得出第一类拉格朗日方程的几种表述形式 . 关键词 : 达朗伯2拉格朗日方程 ;约束方程 ;第一类拉格朗日方程 ;拉格朗日不定乘子 中图分类号 : O316 文章标识码 : A 文章编号 : 1000 - 1840 ( 2000) 01 - 060 - 03 关于第一类拉格朗日方程 ,各种文献 ( 如 [ 1 - 4 ] 等 ) 表述形式不一 . 本文从达朗伯2拉格朗日方程 出发 ,结合给定的约束方程 ,推导得出第一类拉格朗日方程的几种表述形式 . 对由 n 个质点组成的理想的 、 完整的力学体系 , 有达朗伯 2拉格朗日方程 δr i 6 ( F i - m i r i ) ・
=1
¨
k
s s 5xi 5 xi ・ 5 xi 5 5 5 xi ・ 5 5 xi d 5 xi = 6 qj + = 6 qj + = j = 1 5 qj 5 q 5q 5q 5t 5t 5q dt 5q α α j = 1 5 qj α α α s 5xi 5 xi ・ 5 xi 5 xi 5 ・ = ・ 6 qj + = j = 1 5 qj 5 t 5q α 5 q a 5 qα s 5 xi δx i = 6 δ 由式 ( 12) , 有 qa α= 1 5 q α ( 15 ) , 则由于 利用式 ( 16) 及式 ( 14) 、 3n s 3n 3n ・ 5 xi ・ d 5 xi 5 xi ¨ d 3n 6 ( Fi - m i x i ) δx i =α6 6 Fi 6 mix i - 6 mix i i=1 =1 i=1 i=1 5q d t i=1 5q dt 5q α α α
・
( 14 ) ( 15 ) ( 16 )
・
δ qa δ qa
5 xi =α6 6 Fi =1 i=1 5q α
s
3n
d dt
3n
i=1
6 mix i
・
5xi 5 qa
・
・
- 6 mix i
i=1
3n
・
5xi 5q α
・
=α6
s
=1
Qα -
T d 5・ 5T δ qa d t 5 qa 5q α
( 17 )
3n 5T 5 T 3n 5 T 5 xi + 5 T 5 x i 又 = 6 5x 5q = 6 ・ i =1 5 xi α 5xi 5q α 5q i α i=1
・
5 xi 5T d + ・ 5q α 5 xi dt
・
5 xi 5q α
( 18 ) ( 19 )
3n 5 T 3 n 5 T 5 xi + 5 T 5 x i 5 T 5 x i 3n 5 T 5 xi = 6 ・ ・ ・ ・ = 6 ・ ・ = 6 ・ i=1 α 5 qa i =1 5 xi 5 qa 5 x i 5 qa 5 x i 5 qa i=1 5 x i 5 q