最新实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。
小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。
定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。
上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。
下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。
令B是全体上界组成的集合，即B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B不空。
又单调上升，故，即A不空。
由A=R\B知A、B不漏。
又，则，使，即A、B不乱。
故A|B是实数的一个分划。
根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。
下证。
事实上，对，由于，知，使得。
又单调上升。
故当n>N时，有。
注意到，便有。
故当n>N时有，于是。
这就证明了。
若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。
设极限为r，则。
定理二证完。
定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。
设数集X非空，且有上界。
则，使得对，有。
又R是全序集，对，与有且只有一个成立。
故,有与有且只有一个成立。
故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。
实数六大基本定理
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
实数完备性基本定理相互证明
关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。
实数的连续性
+
ξ − ε < xn < ξ + ε
lim xn = ξ .
n →∞
数学分析选讲
多媒体教学课件
是单调递增(减 数列 如果{x 无上界 数列,如果 注1：设{xn }是单调递增 减)数列 如果 n }无上界 ： 是单调递增 (下界 则 下界)则 下界
lim xn = +∞( −∞ ).
n →∞
是单调递增(减 数列 数列,且有界 注2：设{xn }是单调递增 减)数列 且有界 ： 是单调递增
数学分析选讲
多媒体教学课件
二、单调有界原理 定义3 是任意数列,若对每个自然数 定义 设{xn }是任意数列 若对每个自然数 有 是任意数列 若对每个自然数n,有 xn≤xn+1则称 n }是单调递增数列； 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列； 若对每个自然数n,有xn≥xn+1,则称 n }是单调递增数列 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列. 若对每个自然数 有 则称
S = { xn | n ∈ N }
是有界无限点集,从而至少有一个聚点ξ 由定理 是有界无限点集 从而至少有一个聚点ξ,由定理 中有一 从而至少有一个聚点 由定理6,S中有一 个点列收敛于ξ 即 有一个子列收敛于ξ 个点列收敛于ξ,即{xn}有一个子列收敛于ξ. 有一个子列收敛于
任意ε 首先对任意正整数 首先对任意正整数n,有 ≤ξ<ξ ε 另一方面存在 任意ε>0,首先对任意正整数 有xn≤ξ ξ+ε.另一方面存在 正整数N,使 单调递增， 正整数 使xN>ξ-ε.又{xn }单调递增，因此对任意 ξ ε又 单调递增 因此对任意n>N,有 有 xn ≥xN>ξ-ε.从而对任意 从而对任意n>N, ξ ε 从而对任意 即|xn-ξ|<ε,故 ξ ε故
实数完备性六个定理的互相证明
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。
二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
AB = {xy x 挝A, y B}， 则sup AB sup A sup B
证明：
x A, y B，x sup A, y sup B， 有xy sup A sup B
因此 sup AB sup A sup B
0, 1, x0 A, x0 sup A sup A sup B 1 0, 1, y0 B, y0 sup B sup A sup B 1
0, x ' X , x ' inf X 2 y ' Y , y ' inf Y 2 x ' y ' inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有 inf X sup X , inf Y sup Y
sup x n sup yn ,
(sup x n 是x n 最小上界)
三、确界原理 定理1 非空有上界的数集必有上确界. 非空有下界的数集必有下确界. 证明： 设 E 非空有上界： ① 设r是E的一个上界
x E , 将[ x , r ]记为[a1 , b1 ]
E （x ） r
②
n
* 0 , N N , 使a N Ⅱ
( lim an )
n
在[a N , bN ]中必有 E中点 x N , 使得
xN aN
sup E
aN
xN
●
bN
确界原理 单调有界原理 注１：
设an 单调增，有上界， 证明：
§6
实数的连续性:
上确界下确界存在定理
确界存在定理的证明
确界存在定理的证明1 引言在数学中，对于一些基本的关于实数的性质是已知并可以被证明的，例如实数是有序的，实数的加、减、乘、除运算满足消去律等。
然而，还有一些更深刻的关于实数的性质是需要进一步证明的，例如确界存在定理。
2 定义在开始证明确界存在定理之前，我们先来回顾一下确界的概念。
在实数集合S中，如果存在一个实数M，使得S中所有的元素都不大于M，且对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，则M不小于L。
那么我们称M为集合S的上确界（upper bound），记作M=sup(S)。
同样地，如果存在一个实数m，使得S中所有的元素都不小于m，且对于任意的实数l，如果S中所有的元素都不小于l，则m不大于l。
那么我们称m为集合S的下确界（lower bound)，记作m=inf(S)。
3 确界存在定理有了确界的概念，我们可以正式地陈述确界存在定理：任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。
同样地，任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界。
4 证明我们先来证明任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。
考虑将S中所有的上界取一个集合U，那么U中的每个元素都大于等于S中的所有元素。
因此，U中必然存在最小的元素，我们将其记作M。
我们接下来需要证明，M是集合S的上确界。
首先，由于U中的每个元素都大于等于S中的所有元素，因此S的上确界必须大于等于M。
其次，对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，那么L是S的一个上界，而根据上界的定义，L必须大于等于U中的每个元素，因此，L必须大于等于M。
综上所述，M是集合S的上确界。
类似地，我们可以证明任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界，证明过程与上面的证明过程类似，在此处略去。
5 总结确界存在定理是实数的一个基本性质，它告诉我们在实数集合中，每个非空的、有上（下）界的集合必定有上（下）确界。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在优化、最大化最小化等问题中都可以被使用。
确界原理的证明
确界原理的证明在现代数学中，确界原理是一条基本的原理，也被称为实数完备性原理或连续性公理。
该原理指出，非空有上界的实数集合必定存在上确界，以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。
为了证明确界原理，我们需要引入实数的基本性质和定义。
首先，我们需要了解实数的有序性质。
实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b，必然满足以下三种情况之一：a<b，a=b，或者a>b。
这个性质被称为实数的全序性。
接下来，我们定义了实数集合中的上界和下界。
对于一个实数集合S，如果存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M，则M被称为S的上界。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于集合中的任意元素s，都有s≥m，则m被称为S的下界。
有了上界和下界的概念，我们可以开始证明确界原理。
首先，我们考虑有上界的实数集合S。
假设S是一个非空的实数集合，且存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。
我们需要证明存在一个实数M'，满足M'是S的上确界。
我们分两步进行证明：第一步，我们需要证明存在一个实数M'，使得M'是S的一个上界。
根据S的定义，我们知道存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。
所以M是S的一个上界。
换句话说，M是一个满足S的上界定义的实数。
第二步，我们需要证明若M'是一个比M更小的上界，则M'不能是S的上确界。
假设存在一个实数M'，满足M'<M，且M'也是S的一个上界。
根据实数的全序性，我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M"，使得M'<M"<M。
由于M"介于M'和M之间，所以对于集合中的任意元素s，都有s≤M"。
然而，这与M是S的上界的定义相矛盾。
所以假设不成立，即不存在一个比M更小的上界。
综上所述，我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。
关于实数连续性的6个基本定理的互证
[ a2 , b2 ] ，照这样分下去得到一个区间列 {[ an , bn ]} ，这些区间适合下面 3 个条件：
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
bn = r ′
，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ， 则
n =1 n =1
∞
∞
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
∞
∞
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [a n , bn ] ， r ′ ∈ ∩ [ a n , b n ] ， 则
n =1
n =1
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
故 r = r ′ .即这样的 r 是唯一的.
3、用单调有界定理证明致密性定理 证明：首先证明有界数列 {an } 有单调子数列. 称其中的项 a n 有性质 M，若对每个 i > n ，都有 a n ≥ a i ，也就是说， an 是 集合{ ai | i ≥ n }的最大数. 分两种情形讨论： ①数列 {an } 有无穷多项具有性质 M，将它们按下标的顺序排列，记为 an ，
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
2、确界定理证明区间套定理 证明：由 [ an +1 , bn +1 ] ⊂ [ an , bn ] ，知 {an } 是单调上升有上界的实数列，{bn } 是单调下 降有下界的数列.且 b1 是 a n 的上界， a 1 是 bn 的下界.设 lim 确界定理对单调有界定理的证明知 r=sup {an } ， r ′ =inf {bn } .由 lim(bn − an ) = 0 得 r − r ' =0 即 r − r ' = sup {an } =inf {bn }
实数的连续性.ppt
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x
x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数
集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
I1 I2 I3 ,
|
In
|
x
2n1
0.
此区间套特点：
每个[an ,bn ]中必含有E中点,bn右边无E中点.
由区间套定理，
|
In,
n1
其中
lim
n
an
lim
n
bn
.
下证 sup E
Ⅰ.
x E,必有x
bn ,
x
lim
n
bn
.
上界
Ⅱ.
由于
lim
n
an
0,N N* ,
使aN , 根据区间特点,
称为E的下确界，记为sup E
扩充：如果Ｅ没有上界，则记 sup E
例1.
inf N * 1
inf(0,1) 0,sup(0,1) 1
xn
n1 ,
infxn 0,supxn 1
结论：1。集合的确界可以属于这个集合也 可以不属于该集合
2.上确界与最大元的关系：
E中有最大元—即为上确界
§6实数的连续性
——上确界下确界存在定理
一、确界的定义
定义6.1： 设Ｅ是非空有下界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
称为E的下确界，记为inf E
扩充：如果Ｅ没有下界，则记 inf E
定义6.1： 设Ｅ是非空有上界集合， 若 满足
（1） x E, x （2） 0,y E，使y
lim n
an
a
sup{an }.
思考问题１
假设集合E有上界，并存在一个子列xn E，
满足
lim
n
xn
，则为集合E有上确界；
实数六大定理证明
实数六大定理证明这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。
引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
扩展资料实数系的公理系统设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b 的和与积，满足：1、（交换律）对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。
2、（结合律）对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3、（分配律）对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。
4、（单位元）存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。
5、（逆元）对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。
a·a^(-1)=1。
实数连续性循环证明及相互证明
关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limn x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
关于实数连续性的基本定理的详细证明2
关于实数连续性的基本定理2．单调有界定理→确界定理证明：已知实数集A 非空。
∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记1a =a ，1b =b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中Aa n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n lim n a = r 。
由∞→n lim （n n a b -）=0 有∞→n lim n a +（n n a b -）= r}{n b 是A 的上界，∴A x ∈∀，有≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r 是A 的上界。
而,0>∀ε 由∞→n lim n a = r 知，a r N ，n N ，n εε-∃>∀有当知,0从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。
同理可证非空有下界数集有下确界。
定理证完。
1． 确界定理→区间套定理证明：由[1+n a ，1+n b ] ⊂[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。
且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。
设∞→n lim n a = r ，∞→n lim n b =r '，由确界定理对的证明知r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。
由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
第一节确界存在准则
第十六章 实数的完备性与极限第一节确界存在准则一实数的性质定理1 有序性 任意两个实数,a b 必满足下面三个关系之一：,,a b a b a b <=>。
定理 2 任意实数,,a b c 若,a b b c a c <<⇒<。
定理3 稠密性 有理数和无理数的稠密性.即 任意两个不同实数之间必有一个有理数，也必有一个无理数，从而任意两个不同实数之间必有无穷个有理数，也必有无限个无理数。
例1 证明 任意实数a 都存在有理数列 {}n x 使得 lim n n x a →∞=。
这个性质表明任何实数都可以用有理数列逼近。
证明 设a 是实数，0ε> 是任意实数，则 a ε+是大于a 的一个实数，它们之间一定有一个有理数。
11,x Q ε=∃∈使得 11;a x a <<+ 21/2,x Q ε=∃∈使得 21/2;a x a <<+ …… 1/2,n x Q ε=∃∈使得 1/2;n a x a <<+……, 这样得出的有理数列 {}n x 以a 为极限。
二 确界存在性定理定义1 设M 是一个非空实数集，若存在R a ∈，使得M x ∈∀，都有 )(a x a x ≥≤， 称a 是M 的一个上界（下界）； 若M 有上界又有下界称M 是有界的。
注意 若a 是M 的上界，则任意大于a 的实数都是M 的上界（上界不唯一）;若b 是M 的下界，则任意小于b 的实数都是M 的下界（下界不唯一）.规定 任意实数都是空集的上界和下界。
命题1 设R M ⊂, M 有界当且仅当 L R ∃∈使得L x ≤ M x ∈∀。
定义 2 设M 是非空数集，若a 是M 的最小上界，称a 是M 的上确界，记为 sup a M =；若b 是M 的最大下界，称b 是M 的下确界，记为 inf b M =。
注 sup a M =有两层含义：（1）a 是M 的一个上界， （2）它是M 的所有上界最小的一个。
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实数的连续性公理证明确界存在定理
实数的连续性公理证明确界存在定理
定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。
小于或等于上类B中的每一个实数。
定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。
定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。
定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。
定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。
定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。
定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给 >0，存在N，当n>N，m>N时，有。
定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描
述，定理七是对实数完备性的描述。
上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），
它们都是等价的。
下面给出其等价性的证明：
定理一定理二：设数列单调上升有上界。
令B是全体上界组成的集合，即B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。
事实上，由有上界知B不
空。
又单调上升，故，即A不空。
由A=R\B知A、B不漏。
又，
则，使，即A、B不乱。
故A|B是实数的一个分划。
根据实数基本定理，
存在唯一的使得对任意，任意，有。
下证。
事实上，
对，由于，知，使得。
又单调上升。
故当n>N时，
有。
注意到，便有。
故当n>N时有
，于是。
这就证明了。
若单调下降有下界，
则令，则就单调上升有上界，从而有极限。
设极限为r，则。
定理二证完。
定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。
设数集
X非空，且有上界。
则，使得对，有。
又 R是全序集，对，
与有且只有一个成立。
故 ,有与有且只有一个成
立。
故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。
X有上界，实数是X的
上界。
若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛
盾。
故，使得不是X的上界，是X的上界。
则使得。
用的中点二等分，如果是X的上界，则取
；如果不是X的上界，则取。
继续用
二等分，如果是X的上界，则取；如果
不是X的上界，则取。
如此继续下去，便得到两串序列。
其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且
单调下降有下界（例如）。
并且（当时）。
由单调上升
有上界知有存在，使得。
下证。
①事实上，对
，，当时有。
又都不是X上界对每一个，
，使得。
故对，，使得。
②若
，使得，则由知。
故
，使得。
又都是X的上界，故对有。
而，
故，这是不可能的。
故对，有。
综上①、②即有。
即X
有上确界存在。
定理三定理四：由条件知集合非空，且有上界（例如）。
故由确
界定理知A有上确界，记为。
则对，有。
同理可知集合
有下确界，记为。
则对，有。
又，
由上可知。
两边取极限，令有。
又显然。
否则
由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有。
又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有。
故有，矛盾。
故必有。
故，记为r。
则对，
有。
下证具有这一性质的点是唯一的。
用反证法，如果还有另一，使得。
由于对一切n成立，故 ,令
，得，与矛盾。
故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r
包含在所有的区间里，即。
定理四定理五：用反证法。
设E是区间的一个覆盖，但没有E的有限子覆盖。
记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E
的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E’,则E’是的E的有限子覆盖，即有
E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为。
二等分，则必有一区间没有E 的有限子覆盖，记为。
如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列
，满足(i) ；
(ii) 。
故构成一个区间套，且每个都没有
E的有限子覆盖。
则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。
又
由覆盖的定义有，使得，即。
又由上区间套定理的证明
可知，其中。
故，
使得，，使得。
设，则
，即有覆盖。
这与没
有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖。
定理五定理六：设数列有界，即实数 a,b，且a<b，有。
用
反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限
个。
（如果不然，即，对，有中有无限
个。
选定，再选，使。
这是办得到的，因
为包含数列的无限多项。
再取，使。
如此继续下
去，便得到的一子数列。
令，则有。
又，与反证假设矛盾）。
又以这样的
作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E。
则由Borel有限覆盖定理知有E
的有限子覆盖。
而E中的每个元素都只包含的有限项，有限个有限的数相加仍为有限
数，故只包含的有限项。
这与矛盾，故必有收敛子数
列，即有界数列必有收敛子数列。
定理六定理七：必要性：设在实数系中，数列有极限存在，则，，
使得只要，有（记）。
因此只要，就有。
必要性得证。
充分性：设在实数系中，数列满足：，，当
时，有，即是基本列。
先证是有界的。
事实上，取
，则，使得当时，有。
取定一，则
有。
取，
则有。
这就证明了是有界的。
再证明有极限存在。
由
Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为a。
下证。
事实上，，由题设知，当时，有。
又，，只要，就有。
取，
则只要，选取，就有。
这就证
明了。
即有极限存在。
充分性得证。
综上，定理七证完。
定理七定理一：对任意给定的实数R的分划A|B， A、B非空，可任取点。
又分划满足不乱，。
用的中点二等分，
如果，则取；如果。
则取。
（分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B。
故
或。
）继续用二等分，如果，则取
；如果，则取。
如此继续下去，
便得到两串序列。
其中单调上升有上界（例如），单调下降有
下界（例如），并且（当时）。
下面用柯西收敛原理来证明
存在。
事实上如果不然，则，，，有。
不妨设，由单调上升有。
对上式都成立
（），取，并把所得的不等式相加得。
其中
k为不等式的个数。
故，当时。
而由N的取法可知对每一个
k都有相应的N’与之对应，即有相应的与之对应。
故对，，使得。
即无界，与有界矛盾。
故存在，记为r。
下证对
，有。
这等价于证明对，有。
事实上，
，由知，使。
故。
而对，由
知。
故，使。
从而，这就证明了，即证明了实
数基本定理。
综上，这就证明了这七个定理是等价的。
而从证明过程来看：定理二定理三的方法
可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可运用于定理七定
理二，定理二定理四，定理四定理一。
而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小
数证明了实数基本定理。
而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数。
事实上我们还可
以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯的单调有界序列法来定义无理数，这都
能构成反映实数本质的实数公理系统。