体育单招数学真题3
2025年全国体育单招考试全真数学模拟卷(三)
全国体育单招考试全真数学模拟卷（三）一、选择题：本题共8小题，每小题8分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={2,4,6,7}, B={x ∈N |0<x −1≤8},则C B A 元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4D.52.已知函数f (x )=√x−2x−4的定义域为（ ） A.[2,4)∪(4,+∞) B.(2,+∞) C.[2,4)D.[2,+∞)3.下列函数为偶函数且在(0，+∞）上单调递增的是（ ） A.y =−x 2 B.y =2x C.y =|x |D.y =x 34.已知函数f (x )=sin x cos x +√32cos 2x 的最小正周期为（ ） A.π4B. π2C.πD.2π5.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆(x +3)2+(y +1)2=4上运动，则线段AB 中点M 的运动轨迹方程为（ ） A. (x +12)2+(y +1)2=1B. (x −12)2+(y +1)2=1C. (x +12)2+(y −1)2=1D. (x −12)2+(y −1)2=16.从编号为1,2,3,4的4个球中，任取2个球，则这两个球的编号之和为偶数的概率为（ ） A.13 B.14 C.12D.237在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若B=60°，△ABC 的面积为√3，a+c=6则b=（ ） A. 5 B. 2√6 C.2√7D. √308.关于三条不同直线a,b,l 以及两个不同平面α,β，则下面命题正确的是（ ） A.若a ‖α,b ‖α，则a ∥bB. 若a ∥α，b ⊥α，则b ⊥αC. 若a ∥α，α⊥β，则a ⊥βD. 若a ⊂α,b ⊂α，且l ⊥a,l ⊥b ，则l ⊥α二、填空题：本题共4小题。
每小题8分，共32分。
9.不等式x 2−3x +2≤0的解集是____________ 10.若tan α=12，则2sin 2α+sin acos α=____________11.在数列{a n }中，a 1=3,a n+1−a n =2,n ∈N +，则a 10=____________12.已知向量a 与向量b 的夹角为π3，且|a |=1，|2a −b |=√7，则|b |=____________三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
体育对口单招数学试试卷(答案)
体育对口单招数学卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分）1．若集合2{|20},{|log (1)1},M x x N x x =->=-< 则M N =（）A．{|23}x x <<B．{|1}x x <C．{|3}x x >D．{|12}x x <<2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则a、b 满足（）A．a+b=1B．a-b=1C．a+b=0D．a-b=03．已知{}n a 为等差数列，3177,10,n a a a S =+=为其前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 等于（）A．4B．5C．6D．74．已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．23B．33C．223D．2335、方程43)22(log =x 的解为（）A.4=xB.2=xC.2=xD.21=x 6、下列各组函数是同一函数的是（）①3()2()2f x x g x x x =-=⋅-与②2()()f x x g x x ==与③001()()f x x g x x ==与④22()21()21f x x xg x t t =--=--与A．①②B．①③C．③④D．①④7、下列命题是假命题的是（）A．(0,),sin 2x x x π∀∈>B．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=C．,30x x R ∀∈>D．00,lg 0x R x ∃∈=8.关于x,y 的方程y mx n =+和221x y m n +=在同一坐标系中的图象大致是（）9.已知()2nx -的二项展开式有7项,则展开式中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－160C.160D.56010.若有7名同学排成一排照相,恰好甲、乙两名同学相邻,并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）A.421 B.121 C.114 D.2711、已知定义在R 上的函数12)(-=-m x x f (m 为实数)为偶函数，记)3(log 5.0f a =，)5(log 2f b =，)2(m f c =，则c b a ,,的大小关系为()A、cb a <<B、b ac <<C、bc a <<D、a b c <<12、不等式152x x ---<的解集是（）A、(,4)-∞B、(,1)-∞C、(1,4)D、(1,5)13、函数x x y 2cos sin =是()A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数C、既是奇函数，也是偶函数14、若(12)a＋1<(12)4－2a，则实数a 的取值范围是()A、(1，＋∞)B、(12，＋∞)C、(－∞，1)D、(－∞，12)15、化简3a a 的结果是()A、aB、12a C、41a D、83a 16、下列计算正确的是()A、(a3)2＝a9B、log36－log32＝1C、12a -·12a ＝0D、log3(－4)2＝2log3(－4)17、三个数a＝0.62，b＝log20.3，c＝30.2之间的大小关系是()A、a<c<bB、a<b<cC、b<a<cD、b<c<a 18、8log 15.021+-⎪⎭⎫⎝⎛的值为()A、6B、72C、16D、3719、下列各式成立的是()A、()52522n m n m +=+B、(b a )2＝12a 12b C、()()316255-=-D、31339=20、设2a＝5b＝m，且1a ＋1b＝3，则m 等于()A、310B、10C、20D、100二、填空题：（共20分）1．已知二次函数3)(2-+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________；2．设12)(2++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________；3．已知m b a ==32，且211=+b a ，则实数m 的值为______________；4．若0>a ，9432=a ，则=a 32log ____________；三、解答题：（本题共3小题，共40分）1.计算：1033cos 3)27lg0.012p +-++2.等差数列{an}中，a2=13，a4=9.（1）求a1及公差d；（2）当n 为多少时，前n 项和Sn 开始为负？3.如下是“杨辉三角”图，由于印刷不清在“▯”处的数字很难识别.（1）第6行两个“15”中间的方框内数字是多少？（2）若2)nx 展开式中最大的二项式系数是35，从图中可以看出n 等于多少？该展开式中的常数项等于多少？参考答案：一、选择题1-5题答案:DCBAA6-10题答案:BDDBA11-15题答案:BABAB;16-20题答案:BBCDA.二、填空题1．-3；2．),1( ；3．6；4．3；三、解答题1.参考答案.62．参考答案.（1）115a =，2d =-；（2）当17n =时，前n 项和n S 开始为负。
体育单招数学试题及答案
体育单招数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是整数？A. 0B. 1C. 3.5D. 2答案：C2. 若a > 0且b < 0，下列哪个不等式是正确的？A. a + b > 0B. a - b > 0C. a * b > 0D. a / b > 0答案：B3. 已知x² - 5x + 6 = 0，求x的值。
A. 2B. 3C. 1, 2D. 2, 3答案：D4. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πC. 75πD. 100π答案：B5. 函数f(x) = 2x - 3，当x = 2时，f(x)的值为多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. -8答案：A8. 已知一个数列的前三项为1, 4, 7，求第四项。
B. 11C. 12D. 13答案：B9. 一个长方体的长、宽、高分别为2, 3, 4，求其体积。
A. 24B. 36C. 48D. 52答案：A10. 一个正六边形的内角是多少度？A. 120°B. 135°C. 150°D. 180°答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的绝对值是其本身的数是______或______。
答案：正数；02. 一个数的相反数是其本身的数是______。
答案：03. 一个数的倒数是其本身的数是______。
答案：±14. 若a和b互为倒数，则ab=______。
答案：15. 一个数的平方等于9，这个数可以是______或______。
答案：3；-36. 一个数的立方等于-27，这个数是______。
答案：-37. 一个数的平方根是2，这个数是______。
2021年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷含答案
2021年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。
1．已知集合M ＝{1,3,6}，N ＝{3,4,5}，则M ∩N ＝( ) A ．{1,4,6}B ．{1,4,5,6}C ．{3}D ．{1,3,4,5,6}2．已知数列{a n }满足a 1=2且a n +1=a n +3，则a n =( ) A ．2nB ．3n －1C ．3n －4D ．5n －33．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( ) A ．y =3xB ．y =5xC ．y =ln xD ．y =－x 3＋2x4．若sin x 2＋cos x 2=12，则sin x = ()A ．－14B ．－13C ．－23D ．－345．sin168°cos18°－sin102°sin198°=( ) A ．－12B ．0C ．12D ．16．函数y ＝2－9－x 2的定义域为( )A ．[－3,3]B ．[－9,9]C ．[3,＋∞)D ．(－∞,－3]7．以双曲线C :x 29－y 216=1的中心为顶点，C 的左焦点为焦点的抛物线的方程为()A ．y 2=20xB ．y 2 =10xC ．y 2=－10xD ．y 2=－20x8．(x 2－12x )6的展开式中常数项为() A ．158B ．1516C ．－1516D ．－1589．从4名女生、3名男生中任选4人做志愿者，则其中至少有1名男生的不同选法共有()A ．12种B ．34种C ．35种D ．168种10．已知m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，下述四个结论：①若m //α，则n //β，α//β，则m //n ②若m //α，则n //β，α⊥β，则m ⊥n③若m ⊥α，则n ⊥β，α//β，则m //n ④若m ⊥α，则n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n 其中正确结论的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
2023年体育单招数学试卷
2023年体育单招数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={1, 2}，则A与B的关系是（）A. A⊂neqq BB. A = BC. A⊃neqq BD. A∩ B=varnothing2. 函数y=√(x - 1)的定义域为（）A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞, 0]D. [0,+∞)3. 若sinα=(3)/(5)，α∈<=ft(0,(π)/(2))，则cosα的值为（）A. (4)/(5)B. -(4)/(5)C. (3)/(4)D. -(3)/(4)4. 过点(1,2)且斜率为3的直线方程为（）A. y - 2=3(x - 1)B. y+2 = 3(x + 1)C. y - 1=3(x - 2)D. y+1=3(x + 2)5. 已知向量→a=(1,2)，→b=(2,m)，若→a∥→b，则m的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 等差数列{a_n}中，a_1=1，d = 2，则a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 127. 二次函数y=x^2+2x - 3的对称轴为（）A. x = - 1B. x = 1C. x=-2D. x = 28. 在ABC中，a = 3，b = 4，C = 60^∘，则c的值为（）A. √(13)B. √(37)C. √(19)D. √(21)9. 若f(x)=log_2(x + 1)，则f(1)的值为（）A. 1B. log_22C. 0D. log_2310. 某单位有100名员工，其中45人喜欢篮球，25人喜欢足球，15人既喜欢篮球又喜欢足球，则既不喜欢篮球也不喜欢足球的人数为（）A. 35B. 45C. 55D. 65二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）11. 计算limlimits_x→1frac{x^2-1}{x - 1}=_2。
2022年全国体育单招数学试题(含答案解析)
2022年全国体育单招数学试题一、单选题1.若集合,,则A. B.C. D.2.不等式的解集为A. B.C. D.3.若,则等于A. B.C. D.4.函数的零点是A. B.C. D.5.若直线过圆的圆心,则的值为A. B.1C. D.6.设数列的前项和,则的值为A. B.C. D.7.设,用二分法求方程在近似解的过程中得,,,,则方程的根落在区间A. B.C. D.8．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6B．12C．18D．249．设双曲线2213yx-=，22125x y-=，22127y x-=的离心率分别为1e，2e，3e，则（）A．321e e e <<B．312e e e <<C．123e e e <<D．213e e e <<10．若函数()lg(f x x mx =+为偶函数，则m =（）A．-1B．1C．-1或1D．0二、填空题11．不等式01xx ≤+的解集为___________________.12．已知椭圆的一个焦点为()1,0F ，离心率为12，则椭圆的标准方程为_______．13．已知向量a ，b 满足2a = ，||b = ，若()b a b ⊥- ，则a 与b 的夹角为______.14．在6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.15．不等式22lg lg 0x x -<的解集是_______.16．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.三、解答题17．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．18．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于不同的两点A ，B．（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）若F 为C 的焦点，且0FA FB ⋅=，求ABF 的面积.19．如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.参考答案1.C2.A【解析】不等式可化为：,所以,所以,所以不等式的解集为．注：先保证x2前的系数为正,才有“大于取两边,小于取中间的规律”3.D4.A【解析】令得,或.5.B【解析】圆化为标准方程为,所以圆心为,代入直线得．6.C【解析】．(想想S4表示什么？前4项的和!所以S4=a1+a2+a3+a4,S3=a1+a2+a3)7.C8．D【解析】【分析】第一步：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，共有1223C C⋅种可能；第二步：从所选的2个奇数中选一个放在个位，然后把余下的两个数在百位与十位全排列，共有1222C A⋅种可能；再由分步计数原理的运算法则求得结果.【详解】第一步：从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，共有1223C C⋅种可能；第二步：从所选的2个奇数中选一个放在个位，然后把余下的两个数在百位与十位全排列，共有1222C A⋅种可能；所以可以组成无重复数字的三位奇数有1212232224C C C A⋅⋅⋅=种.故选：D【点睛】本题考查排列组合的综合应用，属于基础题.9．D【解析】【分析】已知双曲线标准方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，则22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，则222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，则223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和离心率，属于基础题.10．C 【解析】【分析】由f （x）为偶函数，得((lg lg x mx x mx --+=+，化简成xlg （x 2+1﹣m 2x 2）＝0对x ∈R 恒成立，从而得到x 2+1﹣m 2x 2＝1，求出m＝±1即可．【详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即((lg lg x mx x mx --=；得((()222lg lg lg 10x mx x mx x x m x -+++=+-=对x ∈R 恒成立，∴x 2+1﹣m 2x 2＝1，∴（1﹣m 2）x 2＝0，∴1﹣m 2＝0，∴m＝±1．故选C．【点睛】本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．11．(1,0]-【解析】由01xx ≤+得：(1)0(1)x x x +≤≠-，解得：10x -<≤，故填(]1,0-.12．22143x y +=【解析】【分析】根据焦点和离心率构造关于,,a b c 的方程组，求解得到,,a b c ，从而可得椭圆的标准方程.【详解】设椭圆的标准方程为：()222210x y a b a b +=>>.椭圆的一个焦点为()1,0F ，离心率12e =222112c c a a b c=⎧⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩，解得：223a b =⎧⎨=⎩∴椭圆的标准方程为：22143x y +=本题正确结果：22143x y +=【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，属于基础题.13．30°【解析】【分析】由已知可得()0b a b ⋅-=，利用向量的数量积即可求解.【详解】由已知()0b a b ⋅-= 知，20b a b -⋅= ，则3a b ⋅= ，所以3cos ,2a b = ，故夹角为30°.故答案为：30°【点睛】本题考查了向量的数量积，需掌握向量垂直数量积等于零，属于基础题.14．154【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】因为66316621122rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令630r -=，所以2r =，3154T =.故答案为：154.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．()1100，【解析】【分析】运用对数恒等式，将2lg x 转化成2lg x ，对lg x 进行因式分解，可求lg x 的范围，即可求出解集.【详解】22lg lg 0x x -< ，即()2lg 2lg 0x x -<()lg lg 20x x ∴-<0lg 2x ∴<<1100x ∴<<故答案为：()1100，【点睛】本题考查了对数恒等式log log na a M n M =，是常考题型.16．(,1-∞--.【解析】【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解.【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x xx ⎧->-⎨->⎩，解得1x <-.∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞--.故答案为：(,1-∞--.【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.17．（１）0.46．（２）0.2352．【解析】【分析】【详解】（１）P 1＝0.6（1－0.7）＋（1－0.6）0.7＝0.46．（２）P 2＝［0.6（1－0.6）］·［（0.7）2（1－0.7）0］＝0.2352．18．（Ⅰ）22,00,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）9【解析】【分析】（Ⅰ）利用点斜式写出直线l 的方程，将直线与抛物线联立消去y ，利用>0∆即可求解.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由（Ⅰ）知1212244,4x x x x k +=-=，(1,0)F ，利用向量数量积的坐标运算可得24170FA FB k⋅=-= ，从而1211(1)(1)22ABF S FA FB x x △=×=++，代入即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意知直线斜率存在且不为0，设直线l 的方程为(2)y k x =+，将直线l 的方程和抛物线2:4C y x =联立，消去y 得2222(44)40k x k x k +-+=由题意知，2016(12)0k k ≠⎧⎨∆=->⎩解得2102k <<，所以直线l 的斜率的取值范围是22,00,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由（Ⅰ）知1212244,4x x x x k+=-=，又(1,0)F ，所以212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)FA FB x x y y x x k x x×=--+=--+++2221212(1)(21)()41k x x k x x k =++-+++2417k =-因为0FA FB ⋅= ，所以24170k -=，即2417k =.()121212211114(1)(1)144192222ABF S FA FB x x x x x x k△骣琪=×=++=+++=+-+=琪桫所以ABF 的面积为9.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点三角形的面积问题，考查了抛物线的焦半径公式，属于中档题.19．（1）证明见解析（2）5-【解析】【分析】（1）证明四边形EFBC 是平行四边形，可得CE BE ∥，进而得证.（2）首先取AB 的中点O ，连接PO ，根据题意易证PO ⊥底面ABCD ，再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值.【详解】（1）取PA 的中点F ，连接FE ，FB ，∵E 是PD 的中点，∴1//2FE AD ，又1//2BC AD ，∴//FE BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形，∴//CE BF ，又CE 不在平面PAB 内，BF 在平面PAB 内，∴//CE 平面PAB .（2）取AB 的中点O ，连接PO .因为PA PB =，所以PO AB⊥又因为平面PAB ⊥底面ABCD AB =，所以PO ⊥底面ABCD .分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴，以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系，令122AB BC AD ===，则4=AD ，因为PAB △是等边三角形，则2PA PB ==，O 为AB的中点，PO =，则(P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,4,0D -∴(1,2,PC = ，()0,2,0BC =uu u r，()2,2,0CD =- ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，平面PDC 的法向量为(),,n a b c =，则200200m PC x y m BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令x =)m =，202200n PC a b n CD a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令1a =，故可取(n = ，∴cos ,=5m n m n m n ⋅<>=，经检验，二面角B PC D --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查向量法求二面角的余弦值，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.答案第9页，总9页。
2023全国体育单招数学试卷
2023全国体育单招数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）已知函数f(x)=4−x2的定义域为：A. [−2,2]B. [−2,∞)C. (−∞,2]D. (−∞,∞)下列命题中，真命题的个数是：①若a>b，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a+c>b+d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，c>d>0，则ca>db。
A. 1B. 2C. 3D. 4已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4=10，a3+a5=5，则S6的值为：A. 15 B. 31 C. 63 D. 127若直线l与平面α平行，直线m在平面α内，则直线l与直线m的位置关系是：A. 平行B. 垂直C. 平行或异面D. 相交或异面已知点P(1,2)在椭圆C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）上，且椭圆C的离心率为22，则椭圆C的方程为：A. 4x2+2y2=1B. 6x2+3y2=1C. 8x2+4y2=1D. 3x2+y2=1已知a,b,c为正数，且a+b+c=1，则a1+b1+c1的最小值为：A. 3B. 6C. 9D. 12设随机变量X的分布列为P(X=k)=k(k+1)a（k=1,2,3），则P(X=2)的值为：A. 41B. 31C. 21D. 32设F1,F2为双曲线a2x2−b2y2=1（a>0,b>0）的两个焦点，P为双曲线右支上一点，且满足∠F1PF2=90∘，△F1PF2的面积为2b2，则双曲线的离心率为：A. 2B. 3C. 5D. 6。
2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷(答案解析)
2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,12.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.23.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n - B.122n -C.112n-D.122n-8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为212.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．2024年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷答案解析一､单项选择题1.已知集合{}22|1A x x y =+=，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,+∞ C.{}1,1- D.{}0,1【分析】集合{}22|1A x x y =+=是x 的取值范围，{}2|B y y x ==是函数的值域，分别求出再求交集.【详解】解：2210,11y x x =-≥-≤≤，{}[)2|0,B y y x ===+∞A B = [][)[]1,10,+=0,1=-∞ 故选：A【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.2.已知复数()()23ai i ++在复平面内对应的点在直线y x =上，则实数a =（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.【详解】因为()()236(23)ai i a a i ++=-++，所以对应的点为()6,23a a -+，代入直线y x =可得623a a -=+，解得1a =，故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b ->，则（）A.1a >，1b >B.01a <<，1b >C.1a >，01b << D.01a <<，01b <<【分析】先由221b b ->得，20b b ->，又由0b >，可得1b >，而log 0a b <，可得01a <<【详解】解：因为221b b ->，所以20b b ->，因为0b >，所以1b >，因为log 0a b <，1b >，所以01a <<，故选：B【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D 【解析】【分析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，可求出d ，利用等差数列知识即可判断各选项.【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ,其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸，则1351512d =+，解得10d =（寸），同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ,首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸）.故选项A 正确；春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-= 秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，所以B 正确；立冬的晷长为10a ，10191590105a a d ∴=+=+=，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故D 错误.故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签【答案】C 【解析】【分析】若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.故选：C【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.6.已知向量OP =，将OP 绕原点O 逆时针旋转45︒到'OP 的位置，则'OP =（）A.()1,3B.()3,1-C.()3,1D.()1,3-【答案】D 【解析】【分析】设向量OP与x 轴的夹角为α，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得cos ,sin ,cos(),454si (5n )αααα++︒︒，得到点P '的坐标，进而求得'OP.【详解】由题意，向量OP =，则OP =设向量OP与x 轴的夹角为α，则cos αα==，所以4545sin sin 452210cos()cos cos ααα︒︒-︒=-+=223104545cos s sin()sin co in 452210s ααα︒︒+︒=++=，可得cos()(14510OP α+=-=︒-，45sin()310OP α︒+== 所以'(1,3)OP =-.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.7.已知函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()2f x y f x f y +=，且()11f =，则01()ni f i ==∑（）A.21n -B.122n -C.112n-D.122n-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法再结合条件，即可得答案；【详解】由所求式子可得(0)0f ≠，令0x y ==可得：(0)(0)(0)(0)22f f f f ⋅=⇒=，令1x y ==可得：(1)(1)1(2)22f f f ⋅==，令1,2x y ==可得：2(1)(2)1(3)22f f f ⋅==，令2x y ==可得：3(2)(2)1(4)22f f f ⋅==，∴11()2n f n -=，∴111011001(12)112222222()122n nni n n i i f i +---==-==++++==--∑∑ ，故选：B.【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，设直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为α，直线1CD 与直线11A C 所成的角为β，则（）A.2βα=B.2αβ= C.αβ= D.2παβ+=【答案】D 【解析】【分析】分别在正四棱柱中找到α和β，将α和β放在同一个平面图形中找关系即可.【详解】作正四棱柱1111ABCD A B C D -如下图：∵在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，∴111AA B D ⊥∵底面1111D C B A 是正方形∴1111B D AC ⊥又∵1111AA AC A ⋂=∴11BD ⊥平面1111D C B A ∴1B AO ∠是直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，即1=B AO α∠∵11CD A B∥∴11BA C ∠是直线1CD 与直线11A C 所成的角，即11=BA C β∠∵11A B B A =，11A O B O =，OA OB =∴11A BO B AO △≌△∴111=BA C AB O β∠∠=∵11B D ⊥平面1111D C B A ∴1B O OA⊥∴11+=+2B AO AB O παβ∠∠=故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.二､多项选择题9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则性别甲专业报考人数乙专业报考人数性别甲专业录取率乙专业录取率男100400男25%45%女300100女30%50%A.甲专业比乙专业的录取率高B.乙专业比甲专业的录取率高C.男生比女生的录取率高D.女生比男生的录取率高【答案】BC 【解析】【分析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高.男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高.故选：BC.【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数()y g x =的图像.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则（）A.()y f x =图像关于点(,0)12π-对称B.()f x 在5(0,)12π单调递增C.()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解 D.()g x 在5()124ππ,有且仅有3个极大值点【答案】AC 【解析】【分析】根据题意求得2ω=，6π=ϕ，进而求得()cos 4g x x =，()sin(26f x x π=+，然后对选项逐一判断即可.【详解】解：将()y f x =的图像上所有点向左平移6π个单位后变为：sin 6x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后变为：sin 26x ωπωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()sin 26g x x ωπωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭.因为()g x 的最小正周期为2π，所以222ππω=，解得：2ω=.所以()sin 43g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为()g x 为偶函数，所以,32ππφkπk Z +=+∈，所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ.所以()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()sin(26f x x π=+.对于选项A ，因为()sin 2()sin 0012126f πππ⎡⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦，所以()y f x =图像关于点(,0)12π-对称，故A 正确.对于选项B ，因为x ∈5(0,)12π时，2,66x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设26t x π=+，则()sin ,,6f t t t ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，因为()f t 在,6π⎛⎫π⎪⎝⎭不是单调递增，所以()f x 在5(0,)12π不单调递增，故B 错误.对于选项C ，()cos 22x g x =，()sin(2)6f x x π=+，画出(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像如图所示:从图中可以看出：(),2x f x g ⎛⎫⎪⎝⎭在5(0,4π图像有三个交点，所以()()2x f x g =在5(0,)4π有且仅有3个解，故C 正确.对于选项D ，()cos 4g x x =在5()124ππ,的图像如图所示：从图中可以看出()g x 在5(124ππ,有且仅有2个极大值点，故D 选项错误.故选：AC .【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.11.已知抛物线()220y px p =>上三点()11,A x y ，()1,2B ，()22,C x y ，F 为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线方程为1x =-B.0FA FB FC ++=，则FA ，FB ，FC 成等差数列C.若A ，F ，C 三点共线，则121y y =-D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2【答案】ABD 【解析】【分析】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及0FA FB FC ++=，可得122x x +=，从而可证得2FA FC FB += ；由A ，F ，C 三点共线，得121211y y x x =--，结合22112211,44x y x y ==，化简即可得到本题答案；设AC 的中点为00(,)M x y ，由AF CF AC +≥，结合1201122AF CF x x x +=+++=+，即可得到本题答案.【详解】把点(1,2)B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =-，故A 正确；因为1122(,),(1,2),(,),(1,0)A x y B C x y F ，所以11(1,)FA x y =-，(0,2)FB = ，22(1,)FC x y =- ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++== ，即FA ，FB，FC 成等差数列，故B 正确；因为A ，F ，C 三点共线，所以直线斜率AF CF k k =，即121211y y x x =--，所以122212111144y y y y =--，化简得，124y y =-，故C 不正确；设AC 的中点为00(,)M x y ，因为AF CF AC +≥，1201122AF CF x x x +=+++=+，所以0226x +≥，得02x ≥，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在1x e=处取得极大值C.()011f << D.()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x x x x-=∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭∴()ln f x x x x '⎛⎫=⎪⎝⎭∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数）∴()21ln 2f x x x bx=+∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b =∴()211ln 22f x x x x =+∴()112f =，满足()011f <<∴C 正确∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴B 错误，A、D 正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三､填空题13.()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【解析】【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.已知l 是平面α，β外的直线，给出下列三个论断，①//l α；②αβ⊥；③l β⊥．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________．（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【解析】【分析】利用空间直线与平面的位置关系进行判断，//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交.【详解】因为//l α，αβ⊥时，l 与β可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；因为//l α，所以α内存在一条直线m 与l 平行，又l β⊥，所以m β⊥，所以可得αβ⊥，即①③作为条件，可以得出②；因为αβ⊥，l β⊥，所以//l α或者l α⊂，因为l 是平面α外的直线，所以//l α，即即②③作为条件，可以得出①；故答案为：若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q ，则双曲线的离心率为________．【答案】32【解析】【分析】首先求,P Q 两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得2b a =，最后再求双曲线的离心率.【详解】设(),0F c -，当x c =-，代人双曲线方程22221c ya b-=，解得：2b y a =±，设2,b Pc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是by x a =，则,P Q 两点到渐近线的距离22bc b bc b ---++=，c b > ，上式去掉绝对值为22bc b bc b c c +-+=，即52b a =，那么32c a ==.∴双曲线的离心率32e =.故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E 、F 的连线恰好经过拐角内侧顶点O （点E 、O 、F 在同一水平面内），设EF 与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF 的长为________（用θ表示）米．要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于________米．【答案】(1).278sin cos θθ+(2).【解析】【分析】分别计算出OE 、OF ，相加可得EF 的长；设()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()f θ的最小值，即可得解.【详解】如下图所示，过点O 分别作OA AE ⊥，OB BF ⊥，则OEA BOF θ∠=∠=，在Rt OAE △中，27OA =，则27sin sin OA OE θθ==，同理可得8cos OF θ=，所以，278sin cos EF OE OF θθ=+=+.令()2780sin cos 2f πθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则()3333222222278cos tan27cos8sin8sin27cos8 sin cos sin cos sin cosfθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭=-+='=，令()00fθ'=，得327tan8θ=，得03tan2θ=，由22003tan2sin cos1sin0θθθθ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin13cos13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当00θθ<<时，()0fθ'<；当02πθθ<<时，()0fθ'>.则()()min1313f fθθ===.故答案为：278sin cosθθ+；.【点睛】本题考查导数的实际应用，求得函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.。
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2
2012年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单独统一招生考试数学
、选择题（6分*10=60分）
x 2 1 / X 1 /、 C. y
, (x 0) D y ,(x 0) 2x 2x sin 2cos
4、已知 tan 3，则
-( ) 2 2si n cos 2 2 A. B. C. 5 D. 5
5 5 5、已知（x a ）9的展开式中常数项是 8，则展开式中x 3的系数是（
A. 168
B. 168
C. 336
D. 336
6、下面是关于三个不同平面
，，的四个命题
8、从10名教练员中选出主教练 1人，分管教练2人，组成教练组，不同的选法有（ 4 3 2 1 A . — B.
c. D.- 5 4 3 2 3、函数
y x x 2 1 的反函数是（ : )
x 1 , 0) B . y X 1 ,
A. y
小,(X ,(x 0)
2x 2x 2、已知平面向量a （1,2）, b
(2,1),若(；kb) // ,P 2 :
// // // P 3: ,P 4 : /
/
，其中的真命题是 A. P 1, P 2 B. P 3, P 4 C. P 1, P 3 D. P 2, P 4 7、直线 x 2y 0（m 0）交圆于A ,B 两点，P 为圆心，若厶PAB 的面积是
A.
B.
1 C.
2 D. 2
1、已知集合M XX 1 , N
2 x x 2 ,则 M U N ( A. x1 x 72 , B. x V2 x 1
C . xx 72 ,
D . x x 42 b,则k
A.120 种
B. 240 种
C.360 种
D. 720 种
9、等差数列
a n 的前n 项和为S n •若a 1 1,a k 19,S k 100,则 k ( ) A.8 B. 9 C. 10
D.11 10、 过抛物线的焦点 F 作斜率为 与的直线，分别交抛物线的准线于点 A , B.若厶FAB 的面积 是5,则抛物线方程是( )
2
1 2 2 小 2 ,
A. y x
B. y x
C. y 2x
D. y 4x
二、填空题(6分*6=36分) 11、 已知函数f(x) In^^在区间0,1，单调增加，则a 的取值范围是 .
x 1 12、 已知圆锥侧面积是底面积的 3倍，高为4cm ，则圆锥的体积是 ____________ cm 3
13、 不等式1 x 1的解集是 ________________________ .
14、 某选拔测试包含三个不同项目，至少两个科目为优秀才能通过测试 .设某学员三个科目优秀
5 4 4
的概率分别为 544
则该学员通过测试的概率是 6’6®
15、 已知 a n 是等比数列， a 1 a 2 a 3 1,a 6 a 7 a 8 32,则a 1 a 2 ... a 9 _____ .
P 的坐标为 3,--，则焦点的坐标是
4 3
三、解答题(18分*3=54分)
17、已知△ ABC 是锐角三角形.证明：cos2A 曲 晳0
2
18、设F 是椭圆
y 1的右焦点，半圆x 2 y 2 1(x 0)在Q 点的切线与椭圆教育 A ，
2 B 两点. (I)证明：|AF AQ 为常数.
(H)设切线 AB 的斜率为1，求△ OAB 的面积(O 是坐标原点).
1的一个焦点F 与一条渐近线l ，过焦点 F 做渐近线l 的垂线，垂足 2 x
16、已知双曲线—
a
19、如图，已知正方形ABCD —A i B i C i D i的棱长为1 , M是B i D i的中点.
(I)证明BM AC；
(n)求异面直线BM与CD i的夹角；
(川)求点B到平面A B i M的距离.。