专题2：折叠问题
专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版
专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
专题训练(二) 特殊三角形中的折叠问题
专题训练(二) 特殊三角形中的折叠问题
介绍
本文档将讨论特殊三角形中的折叠问题。
特殊三角形包括等边
三角形和等腰三角形。
我们将深入探讨如何正确地折叠这些三角形，以及折叠过程中可能出现的问题和解决方案。
等边三角形的折叠问题
等边三角形的每一边都相等，并且每个角都是60度。
折叠等
边三角形时，我们需要确保折叠线与三角形的边相切，并且每个顶
点都重合。
这样才能确保折叠后形成一个三角形。
等腰三角形的折叠问题
等腰三角形有两条边相等，并且两个底角相等。
折叠等腰三角
形时，我们需要确保折叠线与底边重合，并且顶点位于底边的中垂
线上。
这样才能确保折叠后形成一个三角形。
折叠过程中可能出现的问题和解决方案
在折叠特殊三角形的过程中，可能会遇到以下问题和解决方案：
1. 无法准确地将折叠线与三角形的边相切时，可以使用尺子或直角工具来辅助确定折叠线的位置。
2. 折叠后形成的三角形不完整或变形时，可能是由于折叠线位置不准确或不规整造成的。
可以重新调整折叠线的位置，或者使用更精确的工具进行折叠。
结论
特殊三角形中的折叠问题需要注意折叠线的位置和准确性，以确保折叠后形成一个完整的三角形。
在折叠过程中遇到问题时，可以使用合适的工具和调整手法来解决。
折叠特殊三角形不仅可以提高我们的几何认知能力，还能培养我们的空间想象力。
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。
专题训练(二) 特殊梯形中的折叠问题
专题训练(二) 特殊梯形中的折叠问题介绍本文档将讨论特殊梯形中的折叠问题。
我们将探讨在给定特殊梯形的情况下，如何正确地折叠它们以得到特定的形状。
问题描述特殊梯形是一种具有不同边长的梯形，其中一个内角为直角。
我们需要根据给定的特殊梯形，按照一定步骤进行折叠，使其达到特定的形状。
方法步骤以下是折叠特殊梯形的步骤：1. 首先，观察给定的特殊梯形。
了解其边长、内角情况。
2. 然后，根据特殊梯形的内角为直角，我们可以将其折叠成一个正方形和一个直角三角形。
确保边缘对齐并保持折叠的准确性。
3. 接下来，继续将正方形折叠。
将整个正方形沿中心对称线对折，确保边缘对齐。
4. 最后，打开折叠好的形状，你将得到一个新的特殊梯形，其中两个内角为直角。
请注意，这只是一种折叠方法，具体操作可能因梯形的具体形状而有所不同。
应用范例以下是一个应用范例，展示了如何使用上述步骤折叠特定的特殊梯形：给定一个特殊梯形，其中底边长为10cm，顶边长为6cm，高度为8cm。
按照上述步骤进行折叠，最终我们将得到一个新的特殊梯形，其中两个内角为直角。
结论通过正确折叠特殊梯形，我们可以得到新的形状，其中两个内角为直角。
折叠过程需要根据特殊梯形的具体形状进行调整，但基本步骤保持一致。
以上是对特殊梯形中的折叠问题的讨论和解决方法。
通过理解和掌握这些方法，我们可以有效地解决类似的问题。
---> 注意：本文档中的所有内容均为给出的假设情况下提供的建议和信息。
在实际操作中，请根据具体情况和需求进行判断和决策。
完整版初中数学专题折叠问题
专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----判断线段之间关系等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。
基本图形：中，将△ABF沿FBE,可得何结论？BE折叠至△在矩形ABCD2）垂直。
结论：（1）全等；（）基本图形练习：（1A上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得沿过点如图，将三角形纸片ABCA的直线折叠，使得AC落在AB 是等腰三角形，对吗？则△和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,AEF）折叠中角的考法与做法：（2的直线）；再沿过点E1FAABCD 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得落在BC边上的点处，折痕为BE（图的大小。
再展开纸片，求图（,3）中角a）（图'，折痕为边上的点落在折叠，使点DBEDEG21专题精讲〗讲8第〖九年级．）折叠中边的考法与做法：（3D落在AB边中点E处，如图，将边长为 6cm的正方形ABCD折叠，使点 EBG的周长是多少？交于点G，则△落在折痕为FH，点CQ处，EQ与BC★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。
模块精讲1.例点处．落在的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点BCD边上的P 扬州）已知矩形（2014?ABCDO，连结．、OAAP、OP1（）如图1，已知折痕与边BC交于点PDA；△①求证：OCP∽△的长；：4，求边ABOCP②若△与△PDA的面积比为1 边的中点，求∠OAB的度数；中的点（2）若图1P恰好是CD不重P、AMMOP，（3）如图2，擦去折痕AO、线段，连结BP．动点在线段AP上（点与点在移动MN交PBM、N．试问当点⊥，作于点FMEBP于点E，连结的延长线上，且在线段合），动点NABBN=PM EF过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．2专题精讲〗讲8第〖九年级．2.例在矩F沿AE折叠后得到△AFE，且点2013?（苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADEk的代数式表示）．．若=，则=用含于点形ABCD内部．将AF延长交边BCG三CA、B、BC=12cm，点E、F、G分别从，（例3、2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm的运动G的运动速度为3cm/s，点E点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为1cm/s，点F关于直线重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF（即点F到达点CF与点C速度为1.5cm/s，当点s）．、FG运动的时间为t（单位：EF的对称图形是△EB′F．设点E、为正方形；s时，四边形EBFB′（1）当t=为顶点的三角形相似，求t的值；FF为顶点的三角形与以点，C，GB2（）若以点E、、的值；若不存在，请说明理由．OB′与点重合？若存在，求出tt（3）是否存在实数，使得点3专题精讲〗讲8第〖九年级．CD分别与AB，上的点如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CDE 重合，折痕FG例4、 O．交于点交于点G，F，AE与FG F四点围成的四边形是菱形；（1）如图1，求证：A，G，E，的中点；，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC（2）如图2 （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．F对称，点E与点EE⊥AD，点，点F分别在射线AD，射线BC上．若点与点B关于ACABAD 例5、已知∥BC，G关于BD对称，AC与BD相交于点，则（）22BC=5CF ． B ．A1+tan∠ADB=6 AGB= D．4cos∠∠．∠CAEB+22°=DEF4专题精讲〗讲8第〖九年级．课堂练习、1，展开后再折叠一次，2CD重合，折痕为EF．如图对折，使2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCDAB与．ANE=_________EM交AB于N，则tan∠B使点C 与点E重合，折痕为GH，点的对应点为点M，4 图图3处，折痕B，折叠该纸片，使点A落在点，∠3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=ACA=50°．_________°为DE，则∠CBE=、处，若A沿△ABCDE折叠，使点A落在边BC上的点F，4、（2014?扬州）如图4△ABC的中位线DE=5cm，把2 ABC，则△的面积为_________cm．F两点间的距离是8cm上的一动点，，BC=m，P为线段BC，，在梯形5、（2013?扬州）如图1ABCD中，AB∥CD，∠B=90°AB=2，CD=1 ，CE=y．CD，过P作PE⊥PA交所在直线于E．设BP=xPAB且和、C不重合，连接x的函数关系式；（1）求y与EBC上运动时，点总在线段CD上，求m的取值范围；P（2）若点在线段长．BPPEG沿m=4）如图2，若，将△PECPE翻折至△位置，∠BAG=90°，求3（5专题精讲〗讲8第〖九年级．课后巩固习题重合，展开后折痕D△ABC折叠，使点A与点平分∠1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC 中，ADBAC，将是菱形．、DF．求证：四边形AEDF、分别交AB、AC于点EF，连接DEBC出发沿从点B，且AB=10，BC=6，CD=2．点E中，2、（2013?宿迁）如图，在梯形ABCDAB ∥DC，∠B=90°AD分别交△GEF，直线FG、EGEF交边方向运动，过点E作EF∥ADAB于点F．将△BEF沿所在的直线折叠得到ABCD的重叠部分的面积为y．GEF过点，当EGD时，点E即停止运动．设BE=x，△与梯形、于点MN 是等腰三角形；△AMF1（）证明x的值；）当2EG过点D时（如图（3）），求（的函数，并求y表示成xy的最大值．）将（36专题精讲〗讲8第〖九年级．C'DG,E,F,分别是落在C'处,BC交AD于点C,AB=6,BC=8,3、如图,在矩形ABCD中把△BCD沿着对角线BD折叠,使点. 重合,点D'恰好与点AD'于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在处EFBD和上的点,线段交ADC'DG ≌△）求证:三角形ABG（1 ∠ABG的值；（2）求tan ）求EF的长。
专题训练二--利用勾股定理解决折叠问题(共13张PPT)
九年级数学折叠问题
精典专题十一折叠问题一．考情分析中考分值在近年中考中，有考察。
考查方式此知识点在各种题型中都可以进行考察，其它城市的中考中，考察的次数也很多。
相信在以后的中考中，此知识点必将重点考察。
二．知识回顾折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果.折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：(1)折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；(2)互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕垂直平分；(3)对称两点与对称轴上任意一点连接所得的两条线段相等；(4)对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.折叠的对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；在中考中，折叠问题一般分为以下几类：①求角度②求线段长或者图形的周长③求重叠面积④求折点位置（坐标）三．重点突破（一）求角的度数A）【典型例题1】如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D'、C'的位置上，若EFG55∠=o，求∠1、∠2的度数．〖搭配练习〗(A)1、如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°(A)2、如图4，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° （C ）3、（1）观察与发现.小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图5）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图6）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用.将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图7）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为EG （如图8）；再展平纸片（如图9）．求图10中α∠的大小．（二）求线段的长度或图形的周长ACDB 图5ACD B图6FEED C FB A 图7ED C AB F GC 'D 'ADECB F G α图8图9（B ）【典型例题3】如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． A ．3cm B ．4cm C ． 5cm D ．6cm （C ）【典型例题4】问题解决如图11，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳 在图11中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n=（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广如图12，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）〖搭配练习〗（A ）1、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ,则CE 的长是( )．(A)31224- (B)24312- (C)18312- (D)31218-（A ）2、在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5（B ）3、如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点图12N A B CD EFM图11A BCD EFMN记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N = ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2n≥,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）（B）4、如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将三角形ABE翻折，点A正好落在CD上的点F处，若三角形FDE周长为8，三角形FCB周长为22，则FC的长为.（B）5、如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.（四）折点位置（坐标）（B）【典型例题6】如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=3，AB=1，则点A1的坐标是（）A．(,)3232B．(,)323C．()3232，D．(,)1232〖搭配练习〗如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置上．若OB=5，21=OCBC，求点A′的坐标为_______________．图20M四．复习建议要学好此部分知识点，最为重要的是深入理解折叠的4个性质。
中考数学复习专题二折叠剪切问.doc
A图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A．600 B ．750 C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的图（1）第3题图虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2 答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A）15 （B）10-（C ）5 （D ）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将E A A A B B B C C C GD D D F F F 图a 图b 图c 第6题图 第7题图第10题图①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）第8题图第9题图A B CD图3图1 第12题图答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 + ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C ．1:3 D ．3:1第14题图第15题图（1） 第17题图 （2）答案：A六、折叠和剪切的应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之.（2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.答案：（1）如图ABCDEF MG 第19题图 E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCEM图3图4E第21题答案图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根 ∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片的面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。
小专题2 利用勾股定理解决折叠问题
2．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝5
cm，BC＝10 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重
合，折痕为 DE，则 CD 的长为( D )
25 A. 2 cm
25 C. 4 cm
15 B. 2 cm
15 D. 4 cm
3．如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB＝8 B 落在点 E 处，AE 交
DC 于点 F.若 AF＝245 cm，则 AD 的长为( C )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．(铜仁中考)如图，在长方形 ABCD 中，BC＝6，
CD＝3，将△BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点
C′处，BC′交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为( B )
【解答】 因为 A1 是 BC 的中点， 所以 A1B＝12BC＝4. 因为△ABC 是等腰直角三角形，且∠B＝90°， 所以 AB＝BC＝8. 由翻折的性质可知 AE＝A1E， 设 AE＝A1E＝x，则 BE＝8－x. 在 Rt△A1BE 中，由勾股定理，得 A1E2＝A1B2＋BE2，即 x2＝42＋(8－x)2. 解得 x＝5. 所以线段 AE 的长为 5.
解决折叠问题的关键是抓住对称性．勾股定理的 数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段长时， 可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定 理列出方程，运用方程思想分析和解决问题．
1．如图，长方形 ABCD 的边 AD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的点 F 处，已知 AB＝6，△ABF 的面 积是 24，则 FC 等于( B )
A．3
15 B. 4
C．5
15 D. 2
中考总复习专题--折叠问题
轴 ∴△BQC≌△BQP
M
A
D
∴PB=BC=1
N是AD、BC 上的中点，BN=
∴PN= 3
2
∴MP=1-
3 2
∵M、1 2ຫໍສະໝຸດ PQ∴∠BP(2N)由=3（0°1）∴得∠PBBNN==12 6B0P°,
B
N
C
又∵BQ平分∠PBC，BQ=2QC=
23 3
∴PQ=
1 2
BQ=
3 3
. ∴PQ²=
1 3
即以PQ为边长的正方形面积等于
△ABD≌△C’DB BC’=∠C’DE,∠C’DB=∠CD
③相等的线段:
B=∠ABD
AE=C’E,BC’=BC=AD, AB=CD=C’D,BE=ED
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第二类 相对顶点重合
这类折叠问题的基本图形：
A
ED
O
BF
C
引例：已知：如图，平行四边形ABCD
的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别交于E、F，求证：四边形AFCE是
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4．已知：将矩形ABCD沿着
E C'
直线BD折叠，使C落在C’处， BC’交AD于E ,AD=8,AB=4.
A
D
求△BED面积。（2000，山
西）
B
解二：作EF⊥BD于F
F
C
在矩形ABCD中 AD ∥ BC ∴EF:AB=DF:AD
∴∠DBC=∠EDB 当矩形ABCD沿着直线BD折
BD=4 5 ，DF=2 5
（2）常常利用矩形的对边平行且相等
和矩形折叠形成的直角三角形来综合解 题
（3）前三道题的结论可以推广到平行四边 形上
（4）这类折叠问题的常用图形： C'
八年级数学折叠问题(二)(人教版)(专题)(含答案)
折叠问题（二）（人教版）（专题）一、单选题(共6道，每道12分)1.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE=( )A.60°B.67.5°C.72°D.75°答案：B解题思路：动手操作，根据题意，画出符合题意的图形，如图所示，由折叠可知，∠BAE=∠FAE=45°，∵∠B=90°,∴∠AEB=45°∴∴∠AEF=∠CEF=67.5°∵AD∥BC∴∠AFE=∠CEF=67.5°故选B试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在长方形ABCD中，AB=1，BC=，点P在线段AD上，若将△DCP折叠，使点D落在线段AC上的D′处，则DP的长为( )A. B.C.1D.答案：D解题思路：如图，依题意作出图形，点D的对应点为D′由题意得，在长方形ABCD中，∠D=90°，AB=CD=1，AD=BC=∴在Rt△ADC中，∠D=90°，CD=1，AD=由勾股定理得，AC=2∴∴∠DAC=30°由折叠知，∠PD′C=∠D=90°，PD′=PD，CD′=CD=1∴AD′=AC-CD′=1在Rt△AD′P中，∠PD′C=90°，∠D′AP=30°，AD′=1∴由折叠知：DP=PD′∴故选D．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB 为腰的等腰三角形，则PB的长为( )．A.2或5B.2或6C.5或6D.2或5或6答案：C解题思路：①如图，BP=BC此时BP=6②如图，PB=PC此时点P在线段BC的垂直平分线上，已知P在AD边上∴P为AD的中点在Rt△ABP中，由勾股定理可得，BP=5故选C试题难度：三颗星知识点：略4.已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA 的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为( )A.（3，4）或（2，4）B.（3，4）或（8，4）C.（2，4）或（8，4）D.（3，4）或（2，4）或（8，4）答案：D解题思路：∵OA=10，点D是OA的中点，∴OD=5当△ODP是腰长为5的等腰三角形时①如图，OD=OP=5此时CP=3P（3，4）②DO=DP=5此时点P的位置有两个如图，P在左边时，此时QD=3，OQ=2P（2，4）如图，P在右边时，此时QD=3，OQ=8P（8，4）③OP=OD=PD=5时，不成立故选D试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE=6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′F的长为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：△AFB′为直角三角形时，分三种情况①如图，∠A B′F=90°此时，A，B′，E、三点在一条直线上，在Rt△ABE中，可得AE=10，由折叠B′E=BE=6所以AB′=4，设B′F=x，则BF=x，AF=8-x在Rt△A B′F中，由勾股定理得，x=3，即B′F=3；②如图，∠A F B′=90°由折叠可知，四边形BFB′E为正方形，此时FB′=BE=6③∠AF B′=90°不符合题意。
专题1.2 折叠问题(强化)(解析版)
专题1.2 折叠问题【例题精讲】【例1】如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC D 的面积为( )A ．12B ．10C ．8D ．6【解答】解：Q △AD C CBA ¢@D ，\△AD F CBF ¢@D ，\△AD F ¢与CBF D 面积相等，设BF x =，则222(8)4x x -=+，22641616x x x -+=+，1648x =，解得3x =，AFC \D 的面积1148341022=´´-´´=．故选：B ．【例2】一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：//AF CE ；（2）当BAC Ð= 30 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD为矩形，//AD BC\，DAC BCA\Ð=Ð，由翻折知，12DAF HAF DACÐ=Ð=Ð，12BCE MCE BCAÐ=Ð=Ð，HAF MCE\Ð=Ð，//AF CE\；（2）解：当30BACÐ=°时四边形AECF为菱形，理由如下：Q四边形ABCD是矩形，90D BAD\Ð=Ð=°，//AB CD，由（1）得：//AF CE，\四边形AECF是平行四边形，30BACÐ=°Q，60DAC\Ð=°．30ACD\Ð=°，由折叠的性质得30DAF HAFÐ=Ð=°，HAF ACD\Ð=Ð，AF CF\=，\四边形AECF是菱形；故答案为：30．【题组训练】1．如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点E为BC的中点，将ABED沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．185【解答】解：连接BF ，6BC =Q ，点E 为BC 的中点，3BE \=，又4AB =Q ，5AE \==，由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）125AB BE BH AE ´\==，则245BF =，FE BE EC ==Q ，\Ð185CF \==．故选：D ．2．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C ¢处，点B 落在点B ¢处，其中9AB =，6BC =，则FC ¢的长为( )A ．103B ．4C ．4.5D ．5【解答】解：设FC x ¢=，则9FD x =-，6BC =Q ，四边形ABCD 为矩形，点C ¢为AD 的中点，6AD BC \==，3C D ¢=．在Rt △FC D ¢中，90D Ð=°，FC x ¢=，9FD x =-，3C D ¢=，222FC FD C D \¢=+¢，即222(9)3x x =-+，解得：5x =．故选：D ．3．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ¢处，若2AE =，6DE =，60EFB Ð=°，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．D ．【解答】解：在矩形ABCD 中，//AD BC Q ，60B EF EFB \Т=Ð=°，由折叠的性质得90A A Ð=Т=°，2A E AE ¢==，AB A B =¢¢，18060120A EF AEF Т=Ð=°-°=°，1206060A EB A EF B EF \Т¢=Т-Т=°-°=°．在Rt △A EB ¢¢中，906030A B E Т¢=°-°=°Q ，2B E A E \¢=¢，而2A E ¢=，4B E \¢=，A B \¢¢=，即AB =2AE =Q ，6DE =，268AD AE DE \=+=+=，\矩形ABCD 的面积8AB AD ===g ．故选：D ．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )A ．2)-B ．3)-C ．3)-D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，Q 四边形AOCB 为矩形，90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，30BAC Ð=°Q ，12AC \=，OC AB ==，由折叠可知：30DAC BAC Ð=Ð=°，AD AB ==，30OAE \Ð=°，OE \=，AE =，ED \=//DF y Q 轴，30EDF EAO \Ð=Ð=°，EF \=，3DF =，OF OE EF \=+=D \点坐标为，3)-，故选：B ．5．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN ；再过点D 折叠，使得点A 落在MN 上的点F 处，折痕为DE ，则EM FN的值是( )A B 1-C ．2D ．3【解答】解：设正方形纸片ABCD 的边长为2a ．由题意可知：AM BM DN NC a ====，2AD DF MN a ===，AE EF =，90EMF DNF Ð=Ð=°，FN \===，(2FM MN FN a \=-=．设AE EF x ==，则EM AM AE a x =-=-．在Rt EMF D 中，222EM MF EF +=Q ，222()[(2]a x a x \-+-=，(4x a \=-，(43)EM a a a \=--=-，\2EM FN ==故选：C ．6．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若:2:1BE EC =，则线段CH 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设CH x =，则9DH EH x ==-，:2:1BE EC =Q ，9BC =，133CE BC \==，\在Rt ECH D 中，222EH EC CH =+，即222(9)3x x -=+，解得：4x =，即4CH =．故选：B ．7．如图，将长方形纸片折叠，使A 点落在BC 上的F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A ．邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．两个全等的直角三角形构成正方形D ．轴对称图形是正方形【解答】解：Q 将长方形纸片折叠，A 落在BC 上的F 处，BA BF \=，Q 折痕为BE ，沿EF 剪下，\四边形ABFE 为矩形，\四边形ABEF 为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A ．9．如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都落在点G 处，已知1BE =，则EF 的长为 52 ．【解答】解：Q 正方形纸片ABCD 的边长为3，90C \Ð=°，3BC CD ==，根据折叠的性质得：1EG BE ==，GF DF =，设DF x =，则1EF EG GF x =+=+，3FC DC DF x =-=-，312EC BC BE =-=-=，在Rt EFC D 中，222EF EC FC =+，即222(1)2(3)x x +=+-，解得：32x =，32DF \=，35122EF =+=．故答案为52．三．解答题（共8小题）10．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点E 处，FG 是折痕，连接BF ．（1）求证：四边形BGDF 是菱形；（2）求折痕FG 的长．【解答】（1）证明：Q 将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点E 处，FG 是折痕，BF DF \=，BG DG =，BFG DFG Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，8AD BC \==，//AD BC ，DFG BGF \Ð=Ð，BFG BGF \Ð=Ð，BF BG \=，BF DF BG DG \===，\四边形BGDF 是菱形；（2）解：过F 作FM BC ^于M ，则90FMC FMB Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90A ABM \Ð=Ð=°，\四边形ABMF 是矩形，6AB FM \==，AF BM =，设AF x =，则8BF DF x ==-，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD \Ð=°，在Rt BAF D 中，由勾股定理得：222AB AF BF +=，即2226(8)x x +=-，解得：74x =，即74AF =，2584BG x =-=，2579442MG BG BM \=-=-=，在Rt FMG D 中，由勾股定理得：152FG ==．11．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若4AB =，8BC =，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF 的长．【解答】（1）证明：Q 矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，OA OC \=，EF AC ^，EA EC =，//AD BC Q ，FAC ECA \Ð=Ð，在AOF D 和COE D 中，FAO ECO AO COAOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AOF COE \D @D ，OF OE \=，OA OC =Q ，\四边形AECF 为平时四边形，AC EF ^Q ，\四边形AECF 为菱形；（2）解：设菱形的边长为x ，则8BE BC CE x =-=-，AE x =，在Rt ABE D 中，222BE AB AE +=Q ，222(8)4x x \-+=，解得5x =，即菱形的边长为5；（3）解：在Rt ABC D中，AC ===，12OA AC \==，在Rt AOE D中，OE ==，2EF OE\==12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM CN=；（2）若CMND的面积与CDND的面积比为3:1，求MNDN的值．【解答】（1）证明：Q将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，ANM CNM\Ð=Ð，Q四边形ABCD是矩形，//AD BC\，ANM CMN\Ð=Ð，CMN CNM\Ð=Ð，CM CN\=；（2）解：过点N作NH BC^于点H，则四边形NHCD是矩形，HC DN\=，NH DC=，CMNDQ的面积与CDND的面积比为3:1，\12312CMNCDNMC NHS MCS NDDN NHDD===g gg g，33MC ND HC\==，2MH HC\=，设DN x=，则HC x=，2MH x=，3CM x CN\==，在Rt CDND中，DC==，HN \=，在Rt MNH D 中，MN ==，\MN DN ==．13．如图，在矩形ABCD 中，15AB =，E 是BC 上的一点，将ABE D 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将ADF D 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，且45CE BE =．（1）求AD 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）45CE BE =Q ，5BE x \=，4CE x =，由折叠的性质可得：15AB AG ==，AD AH =，5EB EG x ==，90B AGE Ð=Ð=°，90D AHF Ð=Ð=°，3CG x \===，90EGC GEC EGC AGD Ð+Ð=°=Ð+ÐQ ，AGD CEG \Ð=Ð，sin sin CG AD CEG AGD EG AG \Ð=Ð==，\3515x AD x =，9AD \=；（2）9AD =Q ，15AG =，6GH AG AH \=-=，cos cos EC GH CEG AGD EG GF Ð=Ð==Q ，\465x x GF=，7.5GF \=．14．如图所示，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP D 沿BP 翻折至EBP D ，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于G 点．（1）求证：AP DG =；（2）求线段CG 的长．【解答】（1）证明Q 四边形ABCD 是矩形，90D A C \Ð=Ð=Ð=°，6AD BC ==，8CD AB ==，根据题意得：ABP EBP D @D ，EP AP \=，90E A Ð=Ð=°，8BE AB ==，在ODP D 和OEG D 中，D E OD OEDOP EOG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ODP OEG ASA \D @D ，OP OG \=，PD GE =，DG EP \=，AP DG \=；（2）解：设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x \=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP \=，8 4.8 3.2CG \=-=．15．如图，四边形ABCD 为平行四边形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，折痕为AF ．且10AB cm =，8AD cm =，6DE cm =．（1）求证：平行四边形ABCD 是矩形；（2）求BF 的长；（3）求折痕AF 长．【解答】（1）证明：Q 把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，10AE AB \==，2210100AE ==，又222286100AD DE +=+=Q ，222AD DE AE \+=，ADE \D 是直角三角形，且90D Ð=°，又Q 四边形ABCD 为平行四边形，\平行四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF x =，则EF BF x ==，1064EC CD DE cm =-=-=，8FC BC BF x =-=-，在Rt EFC D 中，222EC FC EF +=，即2224(8)x x +-=，解得5x =，故5BF cm =；（3）解：在Rt ABF D 中，由勾股定理得，222AB BF AF +=，10AB cm =Q ，5BF cm =，AF \==．16．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE D 沿AE 翻折至AFE D ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．（1）求证：ABG AFG D @D ；（2）求证：BG GC =；（3）求CFG D 的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，6AB AD \==，90B D Ð=Ð=°，Q 将ADE D 对折得到AFE D ，AF AD \=，90AFE Ð=°，90AFG B \Ð=°=Ð，又AG AG =Q ，ADE AFG \D @D ．（2）证明：6AB =Q ，3CD DE =，6DC \=，2DE \=，4CE =，2EF DE \==，设FG x =，则BG FG x ==，6CG x =-，2EG x =+，在Rt ECG D 中，由勾股定理得，2224(6)(2)x x +-=+，解得3x =，3BG FG \==，63CG x =-=，BG CG \=．（3）过点F作FN CG^于点N，则90FNG DCGÐ=Ð=°，又EGC EGCÐ=ÐQ，GFN GEC\D D∽，\GF FN GE EC=，\354FN =，\125FN=，11121832255 CGFS CG FND\==´´=g．。
折叠问题专题练知识讲解
折叠问题专题练折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC ＝20°，则∠A´BD 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．1A ED CBABC DM NPQ6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度.8. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，将平行四边形折叠，使点 D 、C 分别落在点F 、E 处（点F 、E 都在AB 所在的直线上），折痕为 MN ，则∠AMF 等于_____________。
9.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C ’，D ’处，C ’E 交AF 于点G .若∠CEF =70°，则∠GFD ’= _____。
(完整版)利用勾股定理解决折叠问题及答案
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。
中考数学复习《折叠问题》
EF 6 72 ∴S△BEF＝EG· S△BEG＝10×24＝ 5
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
13．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE
折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积． 【解析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG后再 求△BGE的面积，最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
解：DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°. 又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．∵正方形 ABCD 的边长为 12， BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.设 AG＝FG＝x，则 EG＝x＋6， BG＝12－x，在 Rt△BEG 中，由勾股定理，得 EG2＝BE2＋BG2， 1 1 即(x＋6) ＝6 ＋(12－x) ，解得 x＝4.∵S△BEG＝2· BE· BG＝2×6×8＝24，
(1)求证：△DEC≌△EDA；
(2)求DF的值； (3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶
点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，
矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中， CE＝AD， ∵DE＝ED， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，
专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题 公开课获奖课件
专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题
1. 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．
2. 部分图形折叠后可构造出直角三角形，利用勾股定理等知识建立方程求 解线段长度，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，有时还需用分类讨 论的思想思考问题．
类型二、利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 5. (普宁模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折 叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( C ) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
6. 已知长方形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2.将长方形纸片沿EF折叠， 使点A与点C重合，折叠后在其一面涂色(如图)，则涂色部分的面积为( B )
3. (深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把AB对折后，点A与点B 重合，折痕为DE.
(1)若∠A＝25°，求∠BDC的度数； (2)若AC＝4，BC＝2，求BD.
解：(1)由翻折的性质得∠A＝∠ABD＝25°，所以∠BDC＝∠A＋∠ABD ＝25°＋25°＝50° (2)设BD＝x.由翻折的性质可知DA＝BD＝x，则CD＝ 4－x.在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝CD2＋BC2，即x2＝(4－x)2＋22，解 得x＝2.5，即BD＝2.5
4. (广州模拟)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜 边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.
(1)如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； (2)如图②，如果点B′落在AC的中点上，求CE的长．
解：(1)如图①，设 CE＝x，则 BE＝8－x；由题意得 AE＝BE＝8－x， 在 Rt△ACE 中，由勾股定理得：x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 CE 的 长为74 (2)如图②，因为点 B′落在 AC 的中点上，所以 CB′＝12AC＝3； 设 CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2＋32＝(8－x)2，解得 x＝5156， 即 CE 的长为5156