面面垂直
面面垂直判定
高二数学 zhangyongchun
一、自主学习 一.什么叫面面垂直?
面面垂直：两个相交的平面所成的二面角是直二面角， 就说两个平面互相垂直.
记作：
定义法：求角判定面面垂直
二. 门扇所在的平面和地面所在的平面之间有怎 样的位置关系?
三.墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置 关系?
5．如右图：A是ΔBCD所在平面外一点， AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B 若将此条件改为 ∠BAC=∠DAC=90°， 则结论成立吗？ E D
CHale Waihona Puke 6. ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点， 求证：(1) AP∥平面BDE； (2)平面PAC⊥BDE.
G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点. 求证：平面AH⊥平面DF
D1
C1
E
F
B1 A1
G H
D
C
A B
中学数理化
例2: 如图, 四棱锥P-ABCD中, PB⊥面ABCD,底面ABCD 为正方形, E为PD中点. 求证: 面AEC ⊥面ABCD. P E B
2在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 面BB1D1D⊥面ACD1 .
D1
A1 D A B B1 C C1
3 如图, P是△ABC所在平面外一∠ABC=90°, PA=PB=PC. 求证: 面PAC ⊥面ABC. P
A
H
C B
4(2012·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱 BCCC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE， F为B1C1的中点．求证 (1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.
面面垂直 的 判定
面面垂直的判定面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。
面面垂直的判定1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。
3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
面面垂直的证明方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
面面垂直怎么推出线面垂直面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
高中数学面面垂直解题技巧1、确定面面垂直的两个面或者直线。
2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。
3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。
4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。
面面垂直的性质定理是什么性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
高中数学——面面垂直的性质
α， α，
A
α
B
D
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥β α I β = l ⇒ AB ⊥ β AB ⊂ α AB ⊥ l
面面垂直 线面垂直 线线垂直 α β A
B
l
面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直, 求证: 如果两个平面互相垂直, 例1. 求证 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 , 平面内的一点垂直于第二个平面的直线, 平面内的一点垂直于第二个平面的直线 个平面的直线, 在第一的平面内. 个平面的直线, 在第一的平面内. 在第一的平面内. 在第一的平面内. 已知： 已知：α⊥ β , P ∈α , P∈ a, a⊥ β. 求证： ⊂ 求证： a
A
P B Q C
D
练习 2：如图，将一副三角板拼成直二面角 A-BC-D，其 中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°， A （1）求证：平面 BAD⊥平面 CAD； （2）若 CD=2，求 C 到平面 BAD 的距离。
证明：（ ） 平面ABC⊥平面 证明：（1）∵平面 ：（ ⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面 ⊥ ⊥平面ABC B 在面ABC内 ∴DC⊥AB ∵AB在面 在面 内 ⊥ AC∩CD=C， AC，AD在面 在面ACD内 D 又AB⊥AC， ⊥ ， ， ， 在面 内 在平面ABD， ∵AB⊥平面 ⊥平面ACD 而AB在平面 在平面 ， 平面ABD⊥平面 ∴平面 ⊥平面CAD 于点E 平面ABD⊥平面 （2）过C作CE⊥AD于点 ∵平面 ） 作 ⊥ 于点 ⊥平面CAD ∴CE⊥平面 ⊥平面CAD
面面垂直的证明方法
面面垂直的证明方法在几何学中，面面垂直是一个非常基础且重要的概念。
在解决几何题目时，我们经常会用到面面垂直的性质来求解问题。
那么，如何证明两个面是垂直的呢？下面我们将介绍几种证明方法。
首先，我们来看垂直的定义。
两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。
也就是说，它们的交线是垂直于它们的。
那么，如何证明两个面相交成直角呢？下面是几种常见的证明方法。
1. 利用垂直的性质。
我们知道，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。
同样，两个面的法向量如果满足内积为0的条件，那么这两个面就是垂直的。
因此，我们可以通过计算两个面的法向量，然后判断它们的内积是否为0来证明它们是垂直的。
2. 利用平行四边形的性质。
如果我们能够构造出一个平行四边形，其中的一条对角线是两个面的交线，另一条对角线是两个面的垂线，那么我们就可以利用平行四边形的性质来证明这两个面是垂直的。
3. 利用垂直的定义。
根据垂直的定义，两个面如果相交成直角，则它们是垂直的。
因此，我们可以通过构造出两个面的交线，并证明这个交线是垂直于这两个面来证明它们是垂直的。
4. 利用投影的性质。
我们知道，如果两个向量的投影为0，则它们是垂直的。
同样，如果两个面的投影相互垂直，则这两个面也是垂直的。
因此，我们可以通过计算两个面在某个方向上的投影，然后判断它们是否相互垂直来证明它们是垂直的。
总结起来，证明两个面是垂直的方法有很多种，我们可以根据具体的题目要求来选择合适的方法进行证明。
在实际问题中，我们经常会遇到需要证明两个面是垂直的情况，因此掌握这些证明方法对于我们解决几何问题非常重要。
希望以上方法能够帮助大家更好地理解和运用面面垂直的概念。
面面垂直的判定定理
两平面垂直的充要条件的证明
如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面垂直。
特殊情况下的判定条件
如果两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面分别与另外两个互相垂直的平面平行，那么这两个平面互相垂直。
Part
03
解析法判定面面垂直
01
建立坐标系
02
判定条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在空间中建立合适的坐标系，将两个 平面的方程表示为Ax+By+Cz+D=0 的形式。
如果两个平面的法向量（即方程中x 、y、z的系数）互相垂直，则这两个 平面垂直。可以通过计算两个法向量 的数量积是否为0来判断它们是否垂 直。
03
应用
解析法适用于已知平面方程的情况下 ，通过计算判断两个平面是否垂直。
面面垂直的性质定理及其证明
面面垂直的性质定理
如果两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面互相垂直。
证明
假设有两个平面α和β，它们都垂直于平面γ。在平面α内任取一点A，并作直线 AB垂直于平面β，垂足为B。由于AB垂直于平面β，因此AB所在的平面与平面β 垂直。又因为AB在平面α内，所以平面α与平面β垂直。
在实际问题中的应用
建筑学
地理学
在建筑设计中，经常需要判断两面墙 是否垂直，以确保建筑物的稳定性和 美观性。
在地质勘探和地形测量中，需要判断 地层或地形的走向和倾斜角度，以确 定是否存在垂直构造或地形特征。
工程学
在机械设计和制造中，需要确保某些 部件的表面与其他部件的表面垂直， 以确保机械的正常运转和精度。
Part
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
怎样证明面面垂直
第一篇：怎样证明面面垂直怎样证明面面垂直如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
为方便，下面#后的代表向量。
#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.对角线的点积：#ac·#bd=·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd两组对边平方和分别为：ab2+cd2=ab2+2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bcad2+bc2=2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba则ab2+cd2=ad2+bc2等价于#bd·#bc=#bd·#ba等价于#ac·#bd=0所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
2一、初中部分1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
面面垂直
l
A
C
B
例3
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面 内。 已知: ，P a, a
求证：a
证明：设
c 过点 P 在平面 内作直线 b c β
α
b P
C
a
根据平面与平面垂直的 性质定理，有 b 因为经过一点有且只有一条直 线与平面 垂直，所以直线 a 与直线 b 重合，即 a
面面垂直
小应用
线面垂直
应用：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
例1：
如图，在正方体的面中,请问哪些面与 面A1B 垂直?
D1 C1 B1
面A1B 面BC1
面A1B 面AC
面A1B 面AD1
A1
D A B
C
面A1B 面AC1 1
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例2 正方体ABCD-A1B1C1D1中
知识回顾
二面角：
一条直线和由这条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的 面.
二面角的平面角：
一般地，以二面角棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角。
一、两平面垂直的定义：
一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直.
课堂练习1：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ × ） 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ × ）
面面垂直的知识点总结
面面垂直的知识点总结1. 平面的垂直性质在平面几何中，平面的垂直性质是指两个平面相交的交线与这两个平面的法线垂直。
根据这一性质，可以得出平面上任意一条直线与另一个平面垂直的条件。
2. 向量的垂直性在向量空间中，向量的垂直性是指两个向量的点积为0。
具体地，给定两个向量a和b，如果它们的点积满足a·b=0，则称这两个向量垂直。
这一性质在几何向量的运算中有很重要的应用，例如求向量的投影、求平面的垂直距离等。
3. 几何图形的垂直关系在平面几何中，直线和平面之间的垂直关系是指直线与平面的交线垂直于这个平面。
根据这一性质，可以得出求直线和平面的垂直距离的公式，以及判断直线和平面是否垂直的条件。
4. 解析几何中的垂直关系在解析几何中，可以通过向量的内积和外积来判断两个向量的垂直关系。
具体地，给定两个向量a和b，如果它们的内积为0，则这两个向量垂直；如果它们的外积为0，则这两个向量平行。
这一性质在解析几何中有着广泛的应用，例如求直线的斜率、求平面的法向量等。
5. 高维空间的垂直性质在高维空间中，向量之间的垂直关系可以通过内积和外积来判断。
给定两个向量a和b，如果它们的内积为0，则这两个向量垂直；如果它们的外积为0，则这两个向量平行。
这一性质在高维空间的几何运算中有着重要的应用，例如求高维空间中平面的法向量、求高维空间中向量的垂直投影等。
综上所述，面面垂直是数学中的一个重要概念，涉及到平面的垂直性质、向量的垂直性、几何图形的垂直关系、解析几何中的垂直关系以及高维空间中的垂直性质等方面。
掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和运用面面垂直的概念，进而应用到实际问题中。
面面垂直的性质
例1.在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧面VAD 底面ABCD ，且VAD 是正三角形， (1)证明：AB 面VAD ； ( 2)求面VAD 与VDB 所成二面角的正切值 .
(1)证： 面VAD 面ABCD ， AB AD， AB 面ABCD ， AD 面VAD 面ABCD
又 AB 面VAD ， AB AE
BE VD
AEB是所求二面角的平面角
A
D
C
B
AB 2 3 在RTAEB中 ， tan AEB AE 3
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2BC ， 2 ，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
A
D
由 知 AB BE
B
E
C
又 AB CD，BE与CD是内两相交直线
AB
二、两个平面垂直的性质
(1) 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2) 如果两个相交平面同时与第三个平面垂直， 那么它们的交线也垂直于这个平面. (3) 三个两两垂直的平面的交线两两垂直.
V
D
C
B
AB 面VAD
A
例1.在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧面VAD 底面ABCD ，且VAD 是正三角形， (1)证明：AB 面VAD ； ( 2)求面VAD 与VDB 所成二面角的正切值 .
(2)取VD的中点 E，连接 AE，BE
V
3 VAD为 正， AE VD，AE AD E 2
面面垂直的判定与性质
D
M A B
C
垂直于同一个平面的两条直 线平行.
பைடு நூலகம்
a ,b a // b
α
a
b
1：如图所示，PA⊥平面 ABC， AB＝1，BC＝ 3，AC＝2， 求证：平面 PBC⊥平面 PAB.
2.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，
PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的 中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.
Ｃ
A O
B
练习1：正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:
面AAC 1 1C 面A 1BD
D1 A1 D B1 C C1
A
B
探究
A1 A
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β (1) α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？
面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直。
β a l α A
l a a al
面面垂直线面垂直
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB
P
A B C
练习2.如图，平面AED ⊥平面ABCD， △AED是等边三角形，四边形ABCD是矩 形， （1）求证：EA⊥CD （2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面 ABCD所成的角。 E
P
F
E
D A M
B
C
3： ABCD是正方形，O是正方形的中心，
PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点，
求证：(1) PA//平面BDE；
面面垂直的判定及性质
ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
面面垂直的证明方法
面面垂直的证明方法
要证明两个面面垂直，可以通过以下步骤进行推导：
1. 假设有两个平面P和Q，要证明它们垂直。
2. 选择P上的一条直线AB和Q上的一条直线CD，使得它们相交于点O。
3. 假设P和Q不垂直，即它们存在一个倾斜角度θ。
4. 在P上选择点E，使得OE与AB垂直，并延长OE到与Q 的交点为F。
5. 由于AB与OE垂直，所以角AOE = 90°。
6. 由于θ不等于90°，所以角DOF也不等于90°。
7. 由于P和Q是平面，所以它们的任意两条交线也在同一平面上。
8. 我们可以在这个平面上选择一条直线EF，使得它与CD相交于点G，并且EF与OE垂直。
9. 由于OE与EF垂直，所以角EOF = 90°。
10. 由于角DOF和角EOF不等于90°，所以角DOF不等于角EOF。
11. 根据直线与平面垂直的性质，角AOE和角DOF相等，角EOF和角DOF相等。
12. 由于角AOE和角EOF同时等于90°，所以角AOE等于角EOF。
13. 由于角AOE等于角EOF，同时不等于角DOF，所以假设不成立。
14. 因此，P和Q垂直。
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面面垂直的判定、面面垂直的性质
1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
4．判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
5．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
6.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
(4)利用面面垂直的性质．
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是()
A．①②B．②③
C．②④D．③④
解析：选D对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A
B1C1中，∠BAC＝
90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平
面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现
有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于
线段BC的长．其中正确的是()
A．①②B．①②③
C．①D．②③
解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．
6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，
构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.
10. 如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为
AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.
又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，
故MD∥平面APC.
(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.
因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.
因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.
3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AC，△ABC分别是
以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
(1)现给出三个条件：①PB＝3；②PB⊥BC；③平面P AB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．
解：法一：(1)选取条件①
在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝1，
∴BC＝1，AC＝ 2.
又∵P A＝AC，∴P A＝ 2.
∴在△P AB中，AB＝1，P A＝ 2.又∵PB＝3，
∴AB2＋P A2＝PB2.
∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.
又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，
∴P A⊥平面ABC.
(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，
V三棱锥P－ABC＝1
3P A·S△ABC＝
1
3×2×
1
2×1
2＝2
6.
法二：(1)选取条件②
∵PB⊥BC，
又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，
∴BC⊥平面P AB.
∵P A⊂平面P AB，
∴BC⊥P A.
又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴P A⊥平面ABC.
(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，
∴AC＝2，
∴P A＝2，
∴V三棱锥P－ABC＝1
3P A·S△ABC＝
1
3×
1
2AB·BC·P A＝
1
3×
1
2×1×1×2＝
2
6.
法三：(1)选取条件③
若平面P AB⊥平面ABC，
∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.
∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.
∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴P A⊥平面ABC.
(2)同法二．。