面面垂直

面面垂直的判定、面面垂直的性质

1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：

2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：

(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

4．判定面面垂直的方法：

(1)面面垂直的定义．

(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

5．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

6.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)利用判定定理．

(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．

(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．

(4)利用面面垂直的性质．

当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是()

A．①②B．②③

C．②④D．③④

解析：选D对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．

4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A

B1C1中，∠BAC＝

90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.

又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．

5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平

面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现

有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于

线段BC的长．其中正确的是()

A．①②B．①②③

C．①D．②③

解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．

6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，

∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，

构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.

10. 如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为

AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC.

证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.

又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，

故MD∥平面APC.

(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，

所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.

因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.

又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.

因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.

3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AC，△ABC分别是

以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.

(1)现给出三个条件：①PB＝3；②PB⊥BC；③平面P AB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．

解：法一：(1)选取条件①

在等腰直角三角形ABC中，

∵AB＝1，

∴BC＝1，AC＝ 2.

又∵P A＝AC，∴P A＝ 2.

∴在△P AB中，AB＝1，P A＝ 2.又∵PB＝3，

∴AB2＋P A2＝PB2.

∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.

又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，

∴P A⊥平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，

V三棱锥P－ABC＝1

3P A·S△ABC＝

1

3×2×

1

2×1

2＝2

6.

法二：(1)选取条件②

∵PB⊥BC，

又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，

∴BC⊥平面P AB.

∵P A⊂平面P AB，

∴BC⊥P A.

又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，

∴P A⊥平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，

∴AC＝2，

∴P A＝2，

∴V三棱锥P－ABC＝1

3P A·S△ABC＝

1

3×

1

2AB·BC·P A＝

1

3×

1

2×1×1×2＝

2

6.

法三：(1)选取条件③

若平面P AB⊥平面ABC，