向量法证明线面平行及垂直问题教案

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龙文学校个性化辅导教案提纲

教师:_______ 学生:_______ 年级:______ 授课时间:_____年___月___日_____——_____段

一、授课目的与考点分析:向量法证明线面平行及垂直

掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面关系,会用向量法求空间距离.

二、授课内容及过程:

考点1.利用空间向量证明空间垂直问题

例1:已知三棱锥P -ABC 中,PA ⊥面ABC ,AB ⊥AC ,PA=AC=12

AB ,N 为AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明:CM ⊥SN ;

证明:设PA=1,以A 为原点,射线AB ,AC ,AP 分别为x ,y ,z 轴正向建立空

间直角坐标系如图,则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,

12),N (12,0,0),S (1,12,0)111(1,1,),(,,0)222

CM SN =-=--, 因为110022

CM SN •=-++=, 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问题,常用向量法,即通

过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.

例2:在长方体1111ABCD A BC D -中,

E 、

F 分别是棱BC ,1CC 上的点,CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED

解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点,设1AB =,依题意得

(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛

⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

于是AF ·1EA =0,AF ·ED =0.因此,1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=

所以AF ⊥平面1A ED

【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法

向量和直线的方向向量,证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量

法证明直线与平面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.

例3:在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,

//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.

求证:平面EFG ⊥平面PDC .

解析:以A 为原点,向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,如

图建立坐标系,设AM=1,则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (-2,2,0),D(-

2,0,0),P(-2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12

),G(-1,1,1),F(-2,1,1), ∴EG =(-1,0,12

),GF =(-1,0,0),设平面EFG 的法向量m =(x ,y ,z ),则 EG •m =12x z -+

=0且GF •m =x -=0,取y =1,则x =z =0,∴m =(0,1,0), 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA •m =200100⨯+⨯+⨯=0,

∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平面的法向量,通过证明这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直.

考点2.利用空间向量处理空间平行关系

例4:在正方体1111ABCD A BC D -,E 是棱1DD 的中点。在棱11C D 上是否存在一点F ,使1B F ∥平面1A

BE ?证明你的结论。

解析:以A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长为2,则

B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2),∴BE =(-2,2,1),1BA =(-2,0,2)

, 设面1BEA 的法向量为m =(x ,y ,z ),则

BE •m =22x y z -++=0且1BA •m =22x z +=0,取x =1,则z =-1,y =32

, ∴m =(1,32

,-1),假设在棱11C D 上存在一点F ,使1B F ∥平面1A BE , 设F(0x ,2,2)(0≤0x ≤2),则BF =(02x -,2,2), 则BF •m =031(2)2(1)22

x ⨯-+

⨯+-⨯=0, 解得0x =1, ∴当F 为11C D 中点时,1B F ∥平面1A BE .

【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法,有两种思路:(1)用共面向量定理,证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来,即这三个向量共线,根据共面向量概念和直线在平面外,可得线面平行;(2)求出平面法向量,然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出相关点的坐标,利用相关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意,(1)设点的坐标时,利用点在某线段上,设出点分线段所成的比,用比表示坐标可以减少未知量,简化计算;(2)注意点的坐标的范围. 例5在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点,且1A B ∥面1AC D ,1D 为11B C 的中点,求证:面11A BD ∥面1AC D .

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