直角三角形中成比例线段(二)

直角三角形中成比例线段（二）

一、教学目的和要求

1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。

2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。

二、教学重点和难点

掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。

三、教学过程

（一）复习、引入

直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。

（1）两锐角互余

（2）勾股定理

（3）斜边中线等于斜边一半

（4）︒30角所对的直角边等于斜边的一半

（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似

（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。

（二）新课

今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。

我们知道ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。（见图1）

CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ∆∆∆∆∆∆,~)3(,~)2(,

~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ⋅=⋅=22)2(中AD BD CD ⋅=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系

分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。

如图2，CD 是ABC Rt ∆的斜边AB 上的高，设h CD c AB b CA a BC ====,,,，p DB q AD ==,，用q p h c b a 、、、、、表示图中的关系。

1. 勾股定理 2222

222

22)3()2()1(a p h b q h c b a =+=+=+

2. 比例中项关系

()3(()2()1(222p q c q b p c p a q

p h =⋅==⋅=⋅= 3. 面积关系 ch ab =

4. 其它 22

b

a q p = 通过以上关系,我们可以分析出在ABC Rt ∆的六条线段q p h c

b a 、、、、、中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。

例1 如上图CD 是ABC Rt ∆的斜边AB 上的高。

（1）已知：h b a 求：,4,3==

解：AB CD ACB ⊥︒=∠,90 5

125

43222==∴==+=+=∴2c ab h ch ab b a c

注意：求h 要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。

（2）已知：c h b 求：,3,5==

解：先求q 利用勾股定理

)425449,49,(425454

22

22222=+=+===∴⋅====∴⋅=∴=-=q p c q h p q p h q b c c

q b h b q 或

（3）已知：a h p b ,,3,2求：==

分析：求h ，必先知q ；q 与c b 、有关，而q p c +=，其中p 是已知线段。 解：)(2p q q b +=

32)13(33

31

4

3422212),()

,(=∴+=⋅==∴=⋅==-=∴+=∴a c p a h q p h q q q q q 舍去不合题意可解只要含有一个未知数就的一元二次方程得到关于

练习：条件如例1

（1）已知：)65,144(,,60,25a q h p 求：==

（2）已知：)4.2,5(,,8.1,

3h c p a 求：== （3）已知：)13

25,1360(,,13,5p h c a 求：== （4）已知：)15,25(,,9,20b c q a 求：==

请同学们充分讨论。目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。

例2 已知：ABC ∆中，BAC ∠是直角，AD 是高，AB ＝2AC ，求证：5AD ＝2BC 分析：求证中是研究AD 与BC 的关系，斜边BC 与斜边上的高，AD 不会有比例关系，

而AD 与DC ，BD 有比例关系，且BC ＝CD ＋DB ，由于1

2=AC AB ，所以可利用。CDA ADB ∆∆~来求AD 、BD 、DC 间倍数关系。

证明：BAC ∠ BC

AD DB BC AD DB AC AB CD AD ADB 25,2~=∴+=∴=∴==∴∆∆∴ （三）小结

直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况（即pc b qc a pq h ===222,,）

。注意要使用这个关系时，还要再利用相似三角形对应边成比例证明一下。因为它不是定理。

由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。一般情况下，若勾股定理或射影定理都能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。

（四）作业

1. CD 是ABC

Rt ∆的斜边AB 上的高，设q AD h CD c AB b CA a BC =====,,,,，p DB =。

（1）已知：b h p c 和求,4,29==；

（2）已知：q p h a 和求,4,5==；

（3）已知：b q p a 和求,6,10==；