直角三角形中比例线段
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21.直角三角形中比例线段
借助相似三角形法,研究直角三角形,我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论。 如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AD ⊥BC 于D ,则
1.图中角的关系
∠B=∠DAC ,∠C=∠DAB
2.同一三角形中三边平方关系
AB 2=AD 2+BD 2,AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=AB 2+AC 2.
3.三角形之间的关系
△ABD ∽△CAD ∽△CBA ,由此得出的线段之间的关系:
AD 2=BD ·DC ,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC.
例1.如图,Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,DE ⊥CD 于E ,若BE=6,CE=4,则
AD=_______.
解题思路 图中有两个基本图形,恰当选取相应关系式求出AD.
例2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB ,下列结论
(1)CD ·AB=AC ·BC ;
(2)22AC AD BC BD
=; (3)222111AC BC CD +=; (4)AC +BC >CD +AB
其中正确的个数是( )
A .4
B .3
C .2
D .1
解题思路 综合运用直角三角形性质逐一验证,从而作出判断。
例3.如图,在等腰Rt △ABC 中,AB=1,∠A=90°,点E 为腰AC 的中点,点F 在底边BC 上,且EF ⊥BE ,求△CEF 的面积。
解题思路 欲求△EFC 的面积,由于EC=
12
,只需求出△EFC 中EC 边上的高,或求出EC 边上的高与EC 的关系。
例4.如图,在等边△ABC 的边BC 上取点D ,使12
BD DC =,作CH ⊥AD 于H ,连结BH ,
求证:∠DBH=∠DAB 。
解题思路 要证∠DBH=∠DAB ,只要证明△ADB ∽△BDH ,作等边△ABC 的高AM ,利用△ADM ∽△CDH 求证。
例5.如图,AB 是Rt △ABC 的斜边,AE 是∠CAB 的平分线,
CD ⊥AB 于D ,交AE 于F ,FM//AB 交CB 于M.
求证:(1)AE AB AF AC =; (2)EB AE MB AF
=; (3)CM=EB.
解题思路
练习一
1.如图,在两个直角三角形中∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,当AB=_______时,这两个直角三角形相似。
2.如图,在Rt △ACB 中,CD ⊥AB 于D ,∠A 的平分线AF 交CD 于E ,过E 引EG//AB 交BC
于G ,若BG 的长为_________.
3.如图,ABCD 为矩形,,ABDE 为等腰梯形,BD=20,EA=10,则AB=_________.
4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB ,DE ⊥BC ,则与Rt △CDE 相似的直角三角形有( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
5.如图,矩形ABCD中,BC=3,AE⊥BD于E,则EC等于()
A B C
6.在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD,那么∠BAC的度数是()。
A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不确定
7.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AD是∠CAB的角平分线,点E在AB上,DE//CA,CD=12,BD=15,求AE、BE的长.
8.如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,BE⊥AC交AC于F,过F作FG//AB交AE于G,求证:AG2=AF·FC.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,D、E、F分别为垂足,求证:CD3=AB·AE·BF.
练习二
1.如图,在Rt△ABC,∠A=90°,AD⊥BC,P为AD的中点,BP交AC于E,EF⊥BC于F,,AE=3,EC=12,则EF=________.
2.如图,在Rt△ABC中,两条直角边AB、AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于_________(厘米).
3.如图,矩形ABCD中,
3
4
AD
AB
=,BD=10,CE⊥BD于E,则S AED=________.
4.如图,EFGH是矩形ABCD的内接矩形,且EF:FG=3:1,AB:BC=2:1,则AH:AE=________.
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD和CE分别是底边AB上的高和∠C的平分线,若△CED ∽△ABC,则∠ECD等于()
A.18° B.20° C.22.5° D.30°
6.如图,在△ABC中,D、E分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AE⊥BC,BD=DC=EC=1,则AC=()
A.. E.
7.如图,在等腰Rt△ABC中,F为AC边的中点,AD⊥BF,求证:BD=2CD.
8.如图,P,Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且BP=BQ,过B点作PC的垂线,垂足为H,求证:DH⊥HQ.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC边于D,求证:
2
22
AC BC AD BD
=.
10.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已
知AC :AB=K ,求AE :EC 的值。
参考答案
例1
例2.选B 提示:只有结论(4)是错误的。
例3.
124 提示:过F 点作FM ⊥EC 于M ,由Rt △ABE ∽Rt △MEF ,得EM AB MF AE
==2, EM=2MF ,又FM=MC=13EC=16
. 例4.提示:作AM ⊥BC 于M ,由△ADM ∽△CDH 得,AD MD CD HD =,BM=CM ,12
BD CD =, ∴CD=2BD ,DM=12BD ∴122BD AD BD HD =,即AD BD BD HD = 又∠ADB=∠BDH , ∴△ADB ∽△BHD ,故∠DAB=∠DBH.
例5.证明 (1)由Rt △ABC ∽Rt △ACD ,Rt △ACE ∽Rt △ADF ,得
AB AC AE AC AD AF == (2)∵FM//AB , ∴EB AE MB AF
=, (3)∵FM//AB , ∴CM CF MB FD
=, ∵∠1=∠2,∠2+∠4=90°,∠3+∠5=90°
而∠4=∠5 ∴∠2=∠3,即∠1=∠3, ∴CF=CE. ∴
CF CE AE FD FD AF
== 由(2)得,AE EB CM EB AF MB MB MB ==, ∴CM=EB.
练习一
1.3或
2
3.10
4.
A