第一章集合与逻辑全章复习高一数学新教材配套课件(沪教版2020)

2．集合与不等式的联系 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B
＝{x|x＝m＋1，m∈A}． (1)求图中阴影部分表示的集合C； (2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，
求实数a的取值范围．
解析：(1)因为A＝{x|1≤x≤3}， B＝{x|x＝m＋1，m∈A}， 所以B＝{x|2≤x≤4}， 由因而图 为A＝可B＝{x得|{1x，|≤2xC≤≤＝3x≤}A，4∩}，则(∁则CUB＝∁)，UAB∩＝(∁{UxB|)x＝>4{或x|x1<≤2x}<，2}．
1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素
如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7， 则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个 元素，把一些元素组成的总体叫做集合， 如上述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．集合中元素的三个特性
特征
含义
示例
作为一个集合的元素，必须是确定的，不能
确定性
确定的对象就不能构成集合，也就是说，给 定一个集合，任何一个对象是不是这个集合
专题 四
思想方法归纳
典例剖析
1．数形结合思想 已C＝知典{例集x|7合m－A＝1<{xx|<－m＋4<1x，<2m}，∈BR＝}．{x|x<－5或x>1}， (1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围； (2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．
思路探究：借助于数轴把集合表示出来，找出 满足条件的m的取值范围．
(2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在 花括号内，如{参加平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不 能出现“所有”“全体”“全部”等字样．
4．全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：
第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词； 第二步，将结论加以否定．含有全称量词的命题的 否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题 的否定是含有全称量词的命题．如： ①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个 正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的” 变为存在量词“至少存在一个”． ②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对所有的 实数x，都有|x|>0”，其中，把存在量词“存在一 个”变为全称量词“所有的”．
2．类比集合间运算型
定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且
x∉A典∩例B4}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，则
(A⊙B)⊙B为( )
B
A．{1,2,3,4,5,6,7}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{3,4,5,6,7}
解析：方法一：利用维恩图，如图，由题意可知(A⊙B)⊙B 为阴影部 分所示，即{1,2,3,4}．
(1)求已典实例知数6 集a的合取M值＝范{x|围x<，－使3或它x成>5为}，MP∩＝P＝{x|{ax≤|5x≤<8x≤}．8}的 充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一 个充分但不必要条件；
(3)求一个实数a的取值集合，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8} 的一个必要但不充分条件．
归纳提升：分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时， 就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出 每一类的结论，最后综合各类问题的结论得到整个问题的解 答．分类与整合就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思 想．
求解此类问题的步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行 讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重不漏， 标准要统一，分层不越级)；(3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论， 逐步解决；(4)归纳总结，即对各类情况总结归纳，得出结论．
2．分类讨论思想 已试知求典集C例∩合(8AA∪＝B{)x．|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，C＝{x|2x－3a－1>0}，
思路探究：对集合C的端点值分类讨论，讨论时做到不重不漏．
解析：∵A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}， ∴A∪B＝{x|－4≤x<5}． ∵2x－3a－1>0，∴x>3a＋ 2 1.
当3a＋ 2 1<－4，即 a<－3 时， C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}； 当－4≤3a＋ 2 1<5，即－3≤a<3 时， C∩(A∪B)＝{x|3a＋ 2 1<x<5}；
当3a＋ 2 1≥5，即 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅. 综上可知，当 a<－3 时，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}； 当－3≤a<3 时，C∩(A∪B)＝{x|3a2＋1<x<5}； 当 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅.
解析：由题意可知 A＝{1,3}． ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴a－1＝3 或 a－1＝1， ∴a＝4 或 a＝2. 又 A∩C＝C，∴C⊆A， 若 C＝∅，则 Δ＝m2－4<0，即－2<m<2； 若 1∈C，则 12－m＋1＝0， 即 m＝2，此时 C＝{1}，A∩C＝C，符合题意；
若 3∈C，则 9－3m＋1＝0，即 m＝130， 此时方程为 x2－130x＋1＝0， ∴x＝3 或 x＝13， 即 C＝{3，13}⊆/ A，∴m≠130. 综上可知，a＝4 或 a＝2，－2<m≤2.
①2 019∈[1]； ②－3∈[3]；
Hale Waihona Puke Baidu
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a－
b∈[0]”． 其中，正确结论的序号是___③_④___. 思路探究：由整数集Z中“类”的定义可得出，[0]表
示5的倍数组成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝ {5n＋2|n∈Z}等，然后结合题目逐一判断．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要 条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有 M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是 所求的一个充分但不必要条件．(答案不唯一)
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充 分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子 集．易知当a≤5时，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是M∩P＝{x|5<x≤8} 时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个a的取值集合．(答案不唯一)
方法二：由新定义的运算，得 A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B＝ {1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．
归纳提升：在集合的新定义问题中，出现较多的是在 现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运 算．解题时，要抓住两点：
(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本 质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中．
典例剖析
1．集合与方程的联系 已知典例集1 合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a －1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C ＝C，求实数a，m的值或取值范围．
思路探究：在 C⊆A 中含有 C＝∅这种情况，所以在解题时要考虑集 合 C 为空集的情况，避免漏解．
思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要 条件即－3≤a≤5.(2)寻找充分但不必要条件，a可取满 足－3≤a≤5的任意一个值．(3)寻找必要但不充分条 件，此时a的取值集合应真包含{a|－3≤a≤5}．
解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5， 因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5， 即a的取值范围为{a|－3≤a≤5}．
解析：因为2 019＝5×403＋4，所以2 019∉[1]，故结论①不正确； 因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故结论②不正确；
因为所有的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故结论③正确；
设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，则a－b＝5(n1 －n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”， 故结论④正确．
(2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破 口，要熟练掌握．
专题 三
充分条件与必要条件的判断与探求
典例剖析
对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p 是q的_____充_分_不_必_要____条件． 解析：设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}． 命题p：x＋y≠8，对应集合为A＝{(x，y)|x＋y≠8}，
命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，
命题¬p：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}， 命题¬q：x＝2 且 y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2 且 y＝6}＝ {(2,6)}， 显然∁UB ∁UA，所以 A B，即 p 是 q 的充分不必要条件．
归纳提升：数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直 观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维 和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数 学问题的一种数学思想方法．数形结合的思想通过“以形助数， 以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握 数学问题的性质，有利于达到优化解题的目的．在解答有关集合 的交、并、补运算以及抽象集合问题时，一般要借助数轴或Venn 图求解，这都体现了数形结合的思想．
集合{1,0}和{0,1} 是同一个集合
3．集合描述法的两种形式
(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般 形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值 集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如 大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为 {x∈R|1<x<4}．在不会产生误解的情况下，x的取值集合可 以省略不写，如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写， 于是上述集合可表示为{x|1<x<4}．
的元素也就确定了
集合A＝{1,2,3}， 则1∈A,4∉A
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是
互异性
不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合 中的任何两个元素都是不同的对象，相同的
对象归入同一集合时只能算集合的一个元素
集合{x，x2－x}中 的x应满足x≠x2－ x，即x≠0且x≠2
无序性
构成集合的元素间无先后顺序之分
(2)因为集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}， 所以 A∪B＝{x|1≤x≤4}． 若非空集合 D＝{x|4－a<x<a}，且 D⊆(A∪B)，
4－a<a，
则有4－a≥1， a≤4，
解得 2<a≤3，
即实数 a 的取值范围为 2<a≤3.
专题 二
与集合有关的新定义问题
典例剖析
1．类比集合定义型 有整典例数3 组在成整一数个集“Z中类，”被，5记除为所[得k]，余即数[为k]k＝的{5所n ＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论．
2020沪教版新教材
第一章 集合与逻辑
全章复习
【学习目标】1．理解集合之间包含与相等的 含义，能识别给定集合的子集；2．理解两个 集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合 的并集与交集；3．理解在给定集合中一个子 集的补集的含义，会求给定子集的补集； 4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体 会直观图示对理解抽象概念的作用.
5．条件关系判定的常用结论
条件 p 与结论 q 的关系 p⇒q，且 q p q⇒p，且 p q
p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q p q，且 q p
结论 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件
专题 一
集合与方程、不等式的联系
解析：(1)如图1所示．∵A∩C＝∅，
且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}， ∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3. 故实数m的取值范围是{m|m≤－5或m≥3}．
(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5 或 x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<2}． 又(A∩B)⊆C，如图 2 所示， ∴mm－＋11≤≥12，， 解得 1≤m≤2. 故实数 m 的取值范围是{m|1≤m≤2}．