2-2随机变量及其分布律

例4(P35) 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。 某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买一张，
直到中奖为止。求该人购买次数的分布。
解:
=1 表示第一次购买奖券中奖 P( =1) p =2 表示第二次购买奖券中奖 P( =2) (1 p) p .... =i 表示第i次购买奖券中奖 P( =i) (1 p)i1 p
f ( x)dx
3 C(9 x2 )dx 1
-
-3
C 1 36
(2)
P{ X 0}
0 -3
1 36
(9
x2 )dx
1 36
(9x
x3 3
)
|03
1 2
P{1 X 1} 1 1 (9 x2 )dx 13
-1 36
27
P{ X 2} 3 1 (9 x2 )dx 2
pk p1 p2 ... pk ...
b.公式法 (列出X取一般项xk的概率pk计算公式(k=1,2,...).
P{X=xk } pk (k 1, 2, ..., )
c.图示法 线条图，概率直方图
例1(P33) 一批产品的废品率为5%，从中任意抽取一个进行
检验，用随即变量 来描述废品出现的情况。写出的分布。
或P(2 X 4)=P({X=2}U{X=3})=0.5+0.25=0.75
P(X=1.5)=0, P(X=4)=0
0
例2
随机变量X分布函数F(x)
0.4 0.8
1
解: X的所有可能取值为-1, 1, 3.
x <-1
-1 x<1 ,
几何分布
伯努里试验中, 事件A发生的概率P(A)=p. 记X为事件A首次发生
时已试验的次数, 则X服从几何分布. 记作: X : Ge(p)
分布律：
P{X=k}=P( A{...A A) =P(A)...P(A)=(1-p)k-1p
举例：
k-1
k 1,2,...
(1)某产品不合格率0.1，则首次查到不合格品的检查次数X~Ge(0.1).
说明：
（1）分布函数F(x)定义域为R，值域为[0，1]。 (2) 对x R, A={X x}为一随机事件, F(x)即为事件A
发生的概率,即随机变量X落在区间(-,x]上的概率.
(3) 对x R, P{X>x}=1-P{X x}=1-F(x). 对x1 x2( R), P{x1 X x2 }=P{X x2 }-P{X x1}=F(x2 )-F(x1) 分布函数F(x)可完整地描述随机变量的统计规律
3. a, b R (a b),
成立P{a X b}
b
f ( x)dx
a
则称X为连续型随机变量, f ( x)称为X的概率密度.
说明：
f(x)、x轴所围曲边梯形面积等于1
P{a<X≤b}等于 f(x)、x轴、直线x=a、x=b所围曲边梯形面积
改变f(x)在个别点的值，不影响P{a<X≤b}的值
2、概率密度的主要性质（重点）
(1) 对a R,
P{X a}
a
f ( x)dx 0
a
启示：概率为0，不一定是不可能事件。
(2) 若a b, 则 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a f ( x)dx
(3) 如果f ( x)在x处连续, 则 P{x X x x} f ( x)x
例 X 1 P | 0.25
设离散型随机变量X的分布律为:
2
3 求:(1)分布函数F(x),并画F(x)图形
0.5 0.25
(2)P(X 0.5),P(1.5<X 2.5)
(3)P(2 X 4), P(X=1.5)
0
x <-1 0
解:(1)
F(x)
0.25 0.25
0.5
-1 x<2 2 x<3
举例：（1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。
（2）工厂随机抽取一产品是否合格。 （3）掷骰子一次是否出现6点。
0 X=X(e)= 1
e e1 (女婴,不合格,非6点) e e1 (男婴,合格, 6点)
二项分布
（1）n重伯努里试验：
随机试验E的结果只有两个: A, A, 则称试验E为伯努里试验. 独立地重复进行n次伯努里试验E, n重伯努里试验.
2 36
27
均匀分布
设连续型随机变量X
具有概率密度f(x)=
1 b
a
0
a<x<b 其它
则称X服从(a,b)的均匀分布(x) 0,
+ f(x)dx 1
-
(2) 对c,l R, 如果(c,c+l)(a,b), 则
P(c<X c+l)= c+l f(x)dx l
3、分布函数的基本性质
设F(x)=P(X x)为随机变量X的分布函数. (1) 单调性: 对x1 x2 ( R), 则F(x1 ) F(x2 ).
简证: F(x2 )-F(x1)=P(x1 X x2 ) 0
(2) 有界性: 对x R, 成立0 F(x) 1. 并且
F(-)= lim F(x)=0 x
xi x
假设随机变量X的所有可能取值从小到大分别为: x1 x2 ... xn , 则
0 F(x) pp11 p2
................ 1
x <x1 x1 x<x2 x2 x<x3
x xn
图形特点: (1)分段连续函数, 阶梯形递增. (2)在每个xi处跳跃, 跳跃度为pi. (3)右连续左不连续.
(2)某射手命中率为0.6，则首次击中目标的射击次数Y~Ge(0.6).
(3)同时掷两骰子，则点数之和首次为8点的投掷数Z~Ge(5/36).
特点：无记忆性: 设X : Ge(p), 则对任意m,n N, 成立
P(X>m+n|X>m)= P(X>n)
即前m次试验中A没有出现条件下，则在接下来n次试验中A仍 未出现的概率只与n有关，而以前的m次试验无关.
说明：
(1) 两个要素: a.所有可能取值xk; b.取各值的概率P{X=xk }=pk .
(2) pk满足两个条件: a. pk 0 (k=1,2,...)
b. pk 1
k=1
(3) 分布律表示方法: a.列举法 (列出所有可能取值xk及其概率pk (k=1,2,...).
X x1 x2 ... xk ...
c
ba
X落在(a,b)任意子区间的概率只与区间宽度有关，与区间的位置无关
随机变量的分布函数
分布函数的概念及其性质（重点）
1、引入分布函数的原因
（1）连续型随机变量的取值无穷多且不可列，无法一一列举， 不能用分布律描述它的统计规律。如灯的寿命、测量误差等
（2）非离散型随机变量取任一值的概率等于0，即P(X=x)=0.
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X : b(2,0.75)
(1) P ( X k ) C4k (0.75)k (0.25)4k (k 0,1, 2, 3, 4)
(2)
P(X
3
)
C
3 4
(0.75)3 (0.25)43
=0.422
(3) P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1)
（2）二项分布
n重伯努里试验中, 每次试验中事件A发生的概率P(A)=p, 记X为n次试验中A发生的次数, 则X所服从的分布称为二项分布.表示为: X : b(n,p)
例 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互独立。 现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布律； （2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率 高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然 分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度
概率密度定义及性质(重点)
1、概率密度的定义
设X是随机变量, 如果存在非负可积函数f ( x), 满足:
1. f ( x) 0.
2. f ( x)dx=1.
第二节 随机变量及其分布函数
主要内容（1.5学时）
一、离散型随机变量的分布律； 二、连续型随机变量及其概率密度 ; 三、分布函数
一、离散型随机变量的分布律
设X为离散型随机变量, 则X的所有可能取值xk (k 1, 2, ..., ), 及取各个 可能值的概率P{X=xk } pk (k 1, 2, ..., ), 称为离散型X的分布律.
0.25 0.75
0.25+0.5+0.25 x 3 1
x <-1 -1 x<2 2 x<3
x3
(2) P(X 0.5)=F(0.5)=0.25
P(1.5<X 2.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.75-0.25=0.5
或者P(1.5<X 2.5)=P(X=2)=0.5
(3) P(2 X 4)=P(2 X 4)+P(X=2) =F(4)-F(2)+0.5=1-0.75+0.5=0.75
x x
P{x X x x} x f ( x)dx f ( x)x
例1
随机变量X 具有概率密度f
(
x)
C
(9
x2
)
0
3 x 3 其它
(1)求常数C; (2)求概率P{ X 0}, P{1 X 1}, P{ X 2}.
解 : (1) 由概率密度的定义 :