高考数学一轮总复习之相关性、最小二乘估计与统计案例

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2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散 点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…， 10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断 ( )．
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A．变量x与y正相关，u与v正相关
非线 都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是_____ 性相关 ． ________ 任何 关系，则称变量 如果所有的点在散点图中没有显示_____ 不相关的 ． 间是_________
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2．回归方程与回归分析 (1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表
5．(2011· 辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：
万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到 y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方 程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增
加________万元．
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从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关 系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它 们正相关．
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考向二
线性回归方程及其应用
【例2】►(2012· 福建)某工厂为了对新研发的一种产品进行
合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到 如下数据： 单价x/元 销量y/件 8 90 8.2 8.4 8.6 8.8 84 83 80 75 9 68
i＝ 1
5
308 ＝ ≈0.196 2， 1 570
308 ∴a＝ y －b x ＝23.2－109× ≈1.816 6. 1 570 ∴所求回归直线方程为^ y ＝0.196 2x＋1.816 6. (2)由第(1)问可知，当 x＝150 m2 时，销售价格的估 计值为y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会
有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的 曲线拟合 ． 曲线来近似，这样近似的过程称为_________
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(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直 线性相关 ，若所有点看上去 线附近波动，则称变量间是_________
解 1 (1) x ＝ ×(115＋110＋80＋135＋105)＝109， 5
1 y ＝ ×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2. 5 设所求回归直线方程为 y＝bx＋a，则
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xi－ x yi－ y
b＝ i＝ 1
5
xi－ x 2
解析 答案 由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入 0.254 每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
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考向一
温的对比表. 气温/℃ 26
线性相关关系的判断
【例1】►下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气 18 13 10 4 －1
杯数y
20
D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 解析 只有X2≥6.635才能有99%的把握认为电视栏目是 否优秀与改革有关系，而即使X2≥6.635也只是对“电视栏
目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的
结论，与是否有99%的人等无关．故D正确． 答案 D
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(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温 和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的
附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系．
(3)根据不同的标准，可以画出不同
的直线来近似表示这种线性相关关
系，如让画出的直线上方的点和下 方的点数目相等．如图．
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考点自测
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 A．正方体的棱长与体积 B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量 C．日照时间与水稻的亩产量 D．电压一定时，电流与电阻 ( )．
解析
A，B，D中两个变量间的关系都是确定的，所以是
函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间 一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C. 答案 C
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正相关； ②当r＞0时，表明两个变量_______ 负相关 ． 当r＜0时，表明两个变量_______ 越强， r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_____ 几乎不存在线 r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间_______________ 性相关关系 ___________． 3．独立性检验
(1)设 A，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值：变 量 A：A1，A2＝A1；变量 B：B1，B2＝B1.2×2 列联表
－ －
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B A A1 A2 总计
B1 a c a＋c
B2 b d b＋d
总计 a＋b c＋ d a＋b＋c＋d
构造一个随机变量 χ2＝ n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） ____________________________________ ， 其 中 n ＝ _________________ 为样本容量． a＋b＋c＋d

当且仅当 x＝8.25 时，L 取得最大值． 故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润．
求回归直线方程的步骤： (1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相 关关系；(2)计算出x， y ， x2 i ， xiyi 的值；(3)计算回 i＝ 1 i＝ 1 归系数 a，b；(4)写出回归直线方程 y＝bx＋a.
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考向三
独立性检验的基本思想及应用
【例3】►在调查男女乘客是否晕机的事件中，已知男乘客晕 机为28人，不晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人， 不晕机的为56人． (1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)能否有95%的把握认为晕机与性别有关系？
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B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析 由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关； 由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．
答案
C
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3．(2012· 湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据 (xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方 程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是
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[审题视点] (1)列2×2列联表；(2)代入公式求χ2的值进行判
断． 解 (1)2×2列联表如下：
晕机
男乘客 女乘客 合计 28 28 56
不晕机
28 56 84
合计
56 84 140
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝ y －b x ；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关 系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，
该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
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[审题视点] (1)分别计算x，y ，利用线性回归方程过点(x，y )， 代入方程可得解； (2)将已知条件代入可得关于单价 x 的二次函数，配方可得最 大值． － 1 解 (1)由于x＝ (8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， 6 － 1 y＝ (90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又 b＝－20， 6
立性进行判断
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①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关
联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； ④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
－ －
n
n
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【训练2】 (2013· 南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销 售价格y和房屋的面积x的数据. 房屋面积x/m2 销售价格y/万元 (1)求线性回归方程； 115 110 80 135 105
24.8 21.6 18.4 29.2 22
(2)据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
(
)．
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4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从 居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ 2≈0.99，
根据这一数据分析，下列说法正确的是 A．有99%的人认为该栏目优秀
(
)．
B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
24
34
38
50
64
(1)将表中的数据画成散点图； (2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？ (3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话， 请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．
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[审题视点] (1)用x轴表示气温，y轴表示杯数，逐一画点；
(2)根据散点图分析两个变量是否存在相关关系． 解 (1)画出的散点图如图．
(2)独立性检验 有关联 ”的方法称为独立 利用随机变量来判断“两个变量_______ 性检验．
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【助学· 微博】
一个区别
函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关 系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关
关系是非随机变量与随机变量的关系．
两个特征 (1)回归方程y＝bx＋a中的b表示x增加一个单位时，y的变 化量约为b. (2)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独
所以 a＝y －b x＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为 y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
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＝－20x2＋330x－1 000 2 ＋361.25. x － 8.25 ＝－20
达式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2 来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到 最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法 称为最小二乘法． (2)回归方程 方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是
待定参数．
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(3)相关系数 ① r＝ ∑i＝1 （xi－x）（yi－y ） ∑i＝1 （xi－x） ∑i＝1 （yi－ y）2 ∑i＝1xiyi－nx y
－ － n 2 2 2 （∑i＝1xi －nx ）（∑i＝1yi －ny 2）
n
－
－
n
－
2
n
－
n
－
＝
n
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【训练1】 5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系． 解 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐 标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散 点图如图．
相关性、最小二乘估计与统计案例
高考会这样考】
1．考查利用散点图判断变量之间的关系． 2．考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应 用问题． 3．考查独立性检验的基本思想及应用．
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考点梳理
1．相关性 (1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量 散点图 ． 之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_______