《向量的线性运算》教案(1)

向量的线性运算
【三维目标】：
一、知识与技能
1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。

2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
4.初步体会数形结合在向量解题中的应用.
二、过程与方法
教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。

最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点与难点】：
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2.学法指导
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为→--OA ，从景点A 到景点B 的位移为→--AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB
●这里，向量→--OA ,→--OB ,→--OC 三者之间有什么关系？
二、研探新知
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．
规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．
【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a ，→--AB =a ，则→--OB =→--OA +→--AB =a +b
2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法：
同向向量 反向向量
（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．
平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→
--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的
平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→
−AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→
−AC
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;
（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.
（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律：a +b =b +a
（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c )
证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→
−CD c 则
(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材60P 例1）如图，O 为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→
−FE
例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：设−→−AD 表示船垂直于对岸的速度，−→−AB 表示水流的速度，以AD , AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则−→−AC 就是船实际航行的速度,在ABC Rt ∆ 中，2||=−→−AB ，32||=−→−BC ，所以4||||||22=+=−→−−→−−→−BC AB AC 。

因为32
32tan ==∠CAB 60=∠⇒CBA
例 3 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为−→
−AB a =，−→−BC =b ，−→
−AC =c ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。

例4 一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为 400
千米 ；两次位移的和的方向为北偏东45
例5 （教材60P 例2）在长江南岸某渡口处，江水以h km /5.12的速度向东流，渡般的速度为h km /25，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【举一反三】
若渡般以h km /25的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
四、巩固深化，反馈矫正
1.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度。

2.一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。

3.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v
4.一艘船以5h km /的速度在行驶，同时河水的流速为2h km /，则船的实际航行速度大小最大是h km /，最小是h km /.
五、归纳整理，整体认识
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则和向量加法运算律.
六、承上启下，留下悬念
1.已知两个力1F ，2F 的夹角是直角，且知它们的合力F 与1F 的夹角是60，||10F 牛，求1F 和2F 的大小。

七、板书设计（略）
八、课后记：。