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中考数学专题复习题 图形的相似(含解析)

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中考数学总复习之图形的相似(15大题)

中考数学总复习之图形的相似(15大题)

中考数学总复习之图形的相似（15大题）1．小明和小红学习了《利用相似三角形测高》一课后，对我国杰出数学家刘徽的著作《海岛算经》非常感兴趣，也想利用相同的方法测量广场上路灯的高度．如图所示，他们在广场上竖立两根长均为1.5米的标杆BC 和DE ．测得标杆BC 在路灯AH 下的影长BF 为1米，标杆BF 在路灯AH 下的影长DG 为3米，两根标杆BC 和DE 之间的距离BD 为10.8米．已知AH ⊥HG ，CB ⊥BF ，ED ⊥DG ，点H 、B 、F 、D 、G 五点在同一直线上，求路灯的高AH ．2．如图，点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，DE ∥BA ，DF ∥CA ． （1）求证：∠FDE ＝∠A ．（2）若BD ：DC ＝1：4，S △CDE ＝16，求S △ABC ．3．（2023•镇海区校级一模）如图，在△ABC 中，BC AC=23，D ，M ，N 分别在直线AB ，直线AC ，直线BC 上．（1）若D 是AB 中点，∠MDN ＝∠A +∠B ，求MD ND ；（2）若点D ，M ，N 分别在AB ，CA ，CB 的延长线上，且ABBD=34，∠MDN ＝∠ACB ，求MD ND．4．（2023•工业园区校级模拟）如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，过点A 的直线MA 与FB 的延长线交于点M ，G 为BF 上一点，AG 的延长线交⊙O 于点E ，连接BE ，∠MAE +∠AFM ＝90°． （1）求证：AM ∥EF ；（2）MA ＝6√2，BE ＝2，记△AMF 的面积为S 1，记△AEF 的面积为S 2，记△EFG 的面积为S 3，若S 1•S 3=35S 22，求⊙O 的半径．5．（2023•舟山一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，以A 为圆心，AE 为半径作⊙A 交BE 于点F ，直线AB 交⊙A 于G 、H 两点，AF 的延长线交BC 于点D ，作EK ⊥BC ，垂足为点K ． （1）求证：AD ⊥BC ； （2）求证：BF BE=AD AC；（3）当BF •BE ＝BG •BH 且AH ＝BD 时，求证：BFBG=AC BE．6．（2023春•桐城市月考）如图，平面直角坐标系中点A （﹣3，3），B （﹣5，1），C （﹣2，0），P （a 、b ）是△ABC 的边AC 上的任意一点．（1）以点M （﹣1，2）为位似中心，在M 点的右侧把△ABC 按2：1放大得△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；直接写出△A 1B 1C 1的边A 1C 1上与点P （a 、b ）的对应点P 1的坐标． （2）将△ABC 绕N （﹣1，﹣2）逆时针旋转90°得△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2，求旋转过程中线段BC在平面上扫过部分的面积．（用π表示）7．（2022秋•兴县期末）数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题；“兴趣小组”：我们小组设计的会微如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2．解决问题：（1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于cm（精确到0.1 cm）．（2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？8．（2023•蜀山区校级模拟）如图，已知△ABC ，在已知的直角坐标系网格内画出下面图形： （1）画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，其中点C 为位似中心，且A 1B 1AB=2．（2）画出△ABC 经过平移后得到的△A 2B 2C 2，其中△ABC 的一边上的点K （x ，y ），平移后的对应点为K 2（x +4，y ﹣4）．9．（2023春•南岸区校级月考）如图，已知在直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，E 为AC 边上一点，连接BE ，过E 作ED ⊥AC ，交BC 边于点D ．（1）如图1，连接AD ，若CE ＝2，BD ＝3√2，∠C ＝45°，求△ADE 的面积； （2）如图2，作∠ABC 的角平分线交AC 于点F ，连接DF ，若∠BDE ＝∠CDF ，求证：AE +DE =√2BE ；（3）如图3，若∠C ＝30°，将△BCE 沿BE 折叠，得到△BEF ，且BF 与AC 交于点G ，连接AD ，DF ，点E 在AC 边上运动的过程中，当BF ⊥AC 时，直接写出DF DA的值．10．（2023春•西湖区校级期中）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，过点F 作DF ⊥BC ，其中AD =185，BC ＝8． （1）求证：AC 3BC 3=AE BF；（2）求BD 的值．11．（2023•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，AB •DE ＝AE •EC ，∠ABE ＝∠AED ． （1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）如果F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，联结BF 、HF 、HG 、CG ．求证：BF •HF ＝CG •HG ．12．（2022秋•辽宁期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，联结AD ，BE 交于点G ，且AD ＝CD ． （1）如果BE ＝AB ，求证：BE •AG ＝BC •EG ；（2）如果射线CG 交AB 于点P ，且AD •AE ＝BD •CE ，求证：点P 是AB 中点．13．（2023•大连模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，AD＝3cm，BD＝4DC，点P是AB边上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥BC于点Q，点M在射线QC上，且QM＝BQ．设BQ＝xcm，△PQM与△ABD重叠部分的面积为Scm2．（1）求AB的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．14．（2022秋•河西区校级期末）如图，D，E，F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，BC＝6，∠A＝30°．（1）求AB的长；（2）设AE＝x，则DE＝，EF＝（用含x的表达式表示）；（3）求矩形CDEF的面积的最大值．15．（2023•宝山区一模）已知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD 的中点，联结BM并延长，分别交AC、DE于点F、G．（1）求证：BF2＝FM•BG；（2）联结CG，如果AB=√2CG，求证：∠BGC＝∠BAC．。

中考数学复习《图形的相似》

中考数学复习《图形的相似》

(3)设 EG＝KD＝x，则 AK＝80－x. EF AK EF 80－x 3 ∵△AEF∽△ABC，∴BC＝AD，即120＝ 80 ，∴EF＝120－2x， 3 32 3 ∴矩形面积 S＝x(120－2x)＝－2x ＋120x＝－2(x－40)2＋2 400， 故当 x＝40 时，此时矩形的面积最大，最大面积为 2 400 mm2
(3)如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【解析】(1)根据正方形的对边平行得到 BC∥EF，利用“平行于三角形的 一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似” EF 判定即可；(2)设 EG＝EF＝x，用 x 表示 AK，根据△AEF∽△ABC 列比例式BC AK ＝AD可计算正方形边长； (3)设 EG＝KD＝x， 根据△AEF∽△ABC 用 x 表示 EF， 根据矩形面积公式可以写出矩形面积关于 x 的二次函数，根据二次函数求出矩 形的最大值．
【解析】根据题意可知一块 10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费 180 元， 18 因此每平方厘米的广告费为：180÷50＝ 5 元，然后根据相似三角形的性质， 由该版面的边长都扩大为原来的 3 倍， 18 广告费为：3×10×3×5× 5 ＝1620 元．故选 C.
3．(2017· 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF (2)若 AD＝3，AB＝5，求AG的值． 证明：(1)∵AF⊥DE，AG⊥BC，
EA OD 3 (2)两个矩形不可能全等．当EG＝ DE ＝2时，两个矩形相似， 3 3 3 EA＝2EG，设 EG＝x，则 EA＝2x，∴OB＝2＋2x，FB＝3－x， 3 3 5 ∴F(2＋2x，3－x)，∴(2＋2x)(3－x)＝6，解得 x1＝0(舍去)，x2＝3， 5 5 EG 3 5 ∴EG＝3，∴矩形 AEGF 与矩形 DOHE 的相似比为DE＝2＝6

中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。

【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似

【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 图形的相似

图形的相似一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣54．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．67．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．14．已知, 则＝．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．2023年中考数学专题复习--图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出＝, 求出答案即可．【解答】解：∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,∴△BOA∽△DOC,∴＝,∵OA＝2, AC＝3,∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．【解答】解：∵ab＝cd,∴＝,故选：C．【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣5【分析】根据已知条件得出a＝5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案．【解答】解：∵＝,∴3a﹣3b＝2a+2b,∴a＝5b,∴＝＝5．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积．4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答．【解答】解：以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为（﹣4, 2）,则点A的对应点C的坐标为（﹣4×, 2×）或（4×, ﹣2×）, 即（﹣2, 1）或（2, ﹣1）,故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥FC, AB＝4, AC＝9,∴＝＝＝,故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．6【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,∵AB＝AC＝6,∴∠B＝∠C,∵∠ADE＝∠B, ∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE,∴∠BAD＝∠CDE,∴△ABD∽△DCE．∴,∵△ABD的面积等于9,∴AB•DM＝×6×DM＝9,∴DM＝3,∴,∴EN＝2．∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4,故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB, 然后把AB＝2代入计算即可．【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）, 且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC）, 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个．8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立；B、由＝得, 3x＝2y, 故本选项比例式成立；C、由＝得, 2x＝3y, 故本选项比例式不成立；D、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．【分析】根据成比例线段的概念, 可得a：b＝c：d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d 的值．【解答】解：∵a：b＝c：d,∴ad＝bc,∵a＝2, b＝, c＝2,∴2d＝×2,∴d＝．故选：D．【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方, 解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC, 相似比为2：3,∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝﹣．【分析】根据已知条件得出＝, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可．【解答】解：∵＝,∴＝,∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是①③④（把正确结论的序号都填上）．【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE：AB＝1：2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得＝（）2＝, 故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝, 设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a, 于是得到＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM＝DE＝DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF, 故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．【解答】解：∵E是CD边的中点,∴CE：AB＝1：2,∵四边形ABCD是矩形,∴CE∥AB,∴△CEF∽△ABF,∴＝（）2＝, 故选①选项正确；∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠ADC＝∠BCD＝90°,∴∠CAD＝∠BCF,∵BE⊥AC,∴∠CFB＝90°,∴∠ADC＝∠CFB,∴△ADC∽△CFB,∴＝,设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a,∴＝,即b＝a,∴＝,∴＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,∵DE∥BM, BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM＝DE＝DC,∴BM＝AM,∴AN＝NF,∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,∴DN⊥AF,∴DM垂直平分AF,∴AD＝DF, 故③选项正确；∵∠BCE＝90°, BE⊥AC,∴BC2＝BF•BE,∵AD＝BC,∴AD2＝BE•BF．故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：∵2x＝3y,∴．故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14．已知, 则＝．【分析】根据比例的性质, 由, 得5x＝2（x+y）, 即3x＝2y, 即可求出答案．【解答】解：∵,∴5x＝2（x+y）,∴3x＝2y,∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝, 然后利用比例性质得到BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF,∴＝, 即＝,解得BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．【解答】解：（1）如图, 点F即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝AB＝3,∵△ABE∽△DF A,∴＝,∴＝,∴DF＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF, 从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA∥CD,∴∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF,∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF,∴,∵AF：DF＝1：2, AE＝,∴,∴DC＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,∴AB＝2；②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△EAF∽△EBC,∴＝（）2,∵S△AEF＝, AB＝2, AE＝,∴EB＝EA+AB＝3,∴＝＝,∴,解得S△EBC＝6,即△EBC的面积是6．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．【分析】（1）利用同角的余角相等, 先说明∠BAF＝∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论；（2）先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°, ∠AFB+∠EFC＝90°,∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C,∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴AD＝AF＝6, DE＝EF．在Rt△ABF中,BF＝＝3．设CE的长为x, 则DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE,∴＝．∴CE•AF＝BF•EF,即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝, 即EC＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得＝, 则CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC, 得BE＝CE, 则∠DEF＝∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC ＝∠ABC, 由AD＝BD＝BC, 得∠ABC＝∠BAF, 则∠BAF＝∠DEF, 而∠AFB＝∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID：IC：DC＝3：4：5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD＝, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH＝×6×8＝S△ABC, 求得AH＝, 再由勾股定理求得GH＝BH＝, 则CD＝；二是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6, 则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG 是等腰三角形, 且BG＝AG, 则CG＝AG＝BG＝BC＝5, 所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, DC＝×（10+6）＝8．【解答】（1）解：∵AB＝6, AC＝8, BC＝10,∴AB2+AC2＝BC2＝100,∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°,由翻折得DG＝DC,∵DE⊥BC,∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°,∴点G在射线CB上,如图2, 点G和点B重合, 则DB＝DC＝BC＝5,∵∠CDE＝∠CAB＝90°, ∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAB,∴＝,∴CE＝＝＝,∴CE的长是．（2）证明：如图2,∵DE垂直平分BC,∴BE＝CE,∴∠DEF＝∠DEC,∵△CDE∽△CAB,∴∠DEC＝∠ABC,∴AD＝BD＝BC,∴∠ABC＝∠BAF,∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF,∵∠AFB＝∠EFD,∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在,作DI⊥AC于点I, 则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°, ∵∠C＝∠C,∴△DIC∽△BAC,∴＝＝,∴＝＝＝, ＝＝＝,∴ID：IC：DC＝3：4：5,如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6,作AH⊥BC于点H, 则∠AHB＝90°,∵×10AH＝×6×8＝S△ABC,∴AH＝,∴GH＝BH＝＝,∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝,∴ID＝DC＝×＝, IC＝DC＝×＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6,∴CD＝×（10﹣6）＝2,∴ID＝×2＝, IC＝×2＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则∠GAB＝∠B, ∵∠GAC+∠GAB＝90°, ∠C+∠B＝90°,∴∠GAC＝∠C,∴CG＝AG＝BG＝BC＝5,∴CD＝CG＝,∴ID＝×＝, IC＝×＝2,∴AI＝8﹣2＝6,∴tan∠CAD＝＝＝；如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, ∴DC＝×（10+6）＝8,∴ID＝×8＝, IC＝×8＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝3,综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3．【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．【分析】（1）根据定义画出图形即可；（2）当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt △CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF＝OC, OG＝BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC（SAS）, 得∠FOM＝∠COM, △AGO≌△ABO（SAS）, 得∠FOA＝∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到＝＝, 即可证明△ABG与△MCF位似．【解答】解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,∵∠APQ＝120°,∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°,∵∠CAB＝30°, ∠ACB＝90°,∴∠B＝60°,∴△BM'N'是等边三角形,∴M'B＝M'N'＝Q'M',∵AB＝6cm,∴BC＝3cm,∴CM'＝3﹣BM',在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'＝30°,∴Q'M'＝2CM',∴BM'＝2（3﹣BM'）,解得BM'＝2,在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E, ∵BM'＝2, ∠B＝60°,∴M'E＝,∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO,∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, ∴AG＝AB, ∠AGF＝∠ABC,∴∠OGB＝∠OBG,∴OG＝BO,∵GF＝BC,∴OF＝OC,∴＝,连接OM,∵∠GFE＝∠BCD,∴∠MFO＝∠MCO,∵∠OFC＝∠FCO,∴∠MCF＝∠FCM,∴CM＝FM,∴△MOF≌△MOC（SAS）,∴∠FOM＝∠COM,∵AG＝AB, ∠AGO＝∠ABO, GO＝BO,∴△AGO≌△ABO（SAS）,∴∠FOA＝∠BOA,∴MO与AO重合,∴A、M、O三点共线,∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,∴MF∥AG,∴＝,∵CM∥AB,∴＝,∴＝＝,∴△ABG与△MCF位似．【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3,∴,即,∴BC＝14,∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．。

2021年中考数学真题 图形的相似(共55题)-(解析版)

2021年中考数学真题 图形的相似(共55题)-(解析版)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）22图形的相似（共55题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若6AB =，则A B ''的长为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．15【答案】B 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，∵23AB A B =''， ∵6AB =，∵623A B =''， ∵9A B ''= 故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2．（2021·山东东营市·中考真题）如图，ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''，并把ABC 的边长放大到原来的2倍，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B '的横坐标是（ ）A ．23a -+B ．21a -+C ．22a -+D ．22a --【答案】A 【分析】设点'B 的横坐标为x ，然后表示出BC 、'B C 的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解. 【详解】设点'B 的横坐标为x ，则B 、C 间的横坐标的差为1a -，'B 、C 间的横坐标的差为1x -+，ABC 放大到原来的2倍得到'''A B C ，∴()211a x -=-+，解得：23x a =-+. 故选：A. 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.3．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽，∵AB ACOP CP =, ∵353 4.5AB =+， ∵()2AB m =， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B 【分析】由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∵BC ，可证∵ADE ∵∵ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∵DE =12BC ，DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵21()4ADEABCS DE SBC ∆∆==， ∵S ∵ADE =3， ∵S ∵ABC =12，∵四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．（2021·重庆中考真题）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9【答案】A【分析】利用位似的性质得∵ABC∵∵DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵∵ABC与∵DEF位似，点O为位似中心．∵∵ABC∵∵DEF，OB：OE= 1：2，∵∵ABC与∵DEF的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122OCDk kS -=；△()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△【答案】B 【分析】设P （m ，1k m），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB和PC PA 的关系，可判断∵；利用三角形面积公式计算，可得∵PDC 的面积，可判断∵；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算∵OCD 的面积，可判断∵．【详解】解：∵PB ∵y 轴，P A ∵x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2k y x=上，设P （m ，1k m ）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m），令12k k m x =，则21k m x k =，即D （21k m k ，1k m ），∵PC =12k k m m -=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -， ∵()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m kPA k m--==，即PD PCPB PA =，又∵DPC =∵BP A ， ∵∵PDC ∵∵PBA ， ∵∵PDC =∵PBC ， ∵CD ∵AB ，故∵正确； ∵PDC的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k km --⨯⨯=()21212k k k -，故∵正确；OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△=()112221222112k k k k k k ----=()2121122k k k k k ---=()()21121112222k k k k k k k --- =()22112211222k k k k k k --- =221212k k k -，故∵错误；故选B ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．7．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（ ）A B C D 【答案】A 【分析】过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，由等高三角形的面积性质得到:3:7DBCABCS S=，再证明ADB ACE ，解得47AB AE =，分别求得AE 、CE 长，最后根据ACE 的面积公式解题． 【详解】解：过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，DBC 与ADB △是等高三角形，43:::4:377ADB DBCSSAD DC AC AC === :3:7DBCABCSS∴=BD AB ⊥∴ADB ACE22416749ADB ACEAC S AD SAC AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭47AB AE ∴= 2AB =72AE ∴=73222BE ∴=-=150,ABC ∠=︒18015030CBE ∴∠=︒-︒=︒tan 30CE BE ∴=︒⋅=设4,3ADBDBCSx Sx ==494ACESx ∴=∴4917422x ∴=⨯14x ∴=3x ∴=， 故选：A ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CEAD的值为（ ）A ．32BCD ．2【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BDAD AB=．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CEAD的值． 【详解】∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠， ∵//AB DE ．∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ADE CDE SAS ≅，∵AE CE =，∵ADE 为等腰三角形，∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，∵ABD ADE ∼， ∵DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． ∵1cos 4AB B BC ==， ∵12AB BD =， ∵2CE BD AD AB ==． 故选D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点O 为位似中心放大后得到OCD ，若()0,1B ，()0,3D ，则OAB 与OCD 的相似比是（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：3 【答案】D【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．【详解】解：由B 、D 两点坐标可知：OB =1，OD =3；∵OAB 与∵OCD 的相似比等于13OB OD =； 故选D ．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∵BFD=∵DFE =∵DAE ，进而证得∵BDF=90°，证明Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∵AB =，由折叠性质得：∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∵∵BFD =∵DFE=∵DAE ，∵∵DAE +∵B =90°，∵∵BDF +∵B =90°，即∵BDF =90°，∵Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ， ∵BD BC DF AC =即534AD AD -=， 解得：AD =205， 故选：D ．【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．11．（2021·山东东营市·中考真题）如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结论：△ABC S =；△当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ）A．△△△B．△△△C．△△△△D．△△△【答案】B【分析】过A作AI∵BC垂足为I，然后计算∵ABC的面积即可判定∵；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定∵；如图将∵BCD绕B点逆时针旋转60°得到∵ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∵P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定∵；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．【详解】解：如图1, 过A作AI∵BC垂足为I∵ABC是边长为1的等边三角形∵∵BAC=∵ABC=∵C=60°，CI=1212 BC=∵AI=∵S∵ABC=1112224AI BC=⨯⨯=,故∵正确；如图2，当D 与C 重合时∵∵DBE =30°，ABC 是等边三角形∵∵DBE =∵ABE =30°∵DE =AE =1122AD =∵GE //BD ∵1BGDEAG AE ==∵BG =1122AB =∵GF //BD ,BG //DF∵HF =BG =12,故∵正确；如图3，将∵BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到∵ABN∵∵1=∵2，∵5=∵6=60°，AN =CD ,BD =BN∵∵2+∵4=∵1+∵4=30°∵∵NBE=∵3=30°又∵BD=BN，BE=BE∵∵NBE∵∵DBE（SAS）∵NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN∵∵NAP=180°-60°-60°=60°∵∵ANP为等边三角形∵∵P=60°，NP=AP=CD成立，则PE,需∵NEP=90°，但∵NEP不一定为90°，如果AE+CD=故∵不成立；如图1，当AE=CD时，∵GE//BC∵∵AGE=∵ABC=60°，∵GEA=∵C=60°∵∵AGE=∵AEG=60°，同理：CH=CD∵AG=CH∵BG//FH,GF//BH∵四边形BHFG是平行四边形∵BG=BH∵四边形BHFG为菱形，故∵正确．故选B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．12．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB为直径的O中，点C为圆上的一点，3⊥于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是=，弦CD ABBC AC∠的度数为（）AG的中点，则CBFA．18°B．21°C．22.5°D．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∵90ACB AFB ∠=∠=︒，∵3BC AC =，∵=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，∵点H 是AG 的中点，∵CE AH =，∵CAH ACH ∠=∠，∵CD AB ⊥，∵AEC GCA ∽，又∵,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，∵AEC GCA GFB ∽∽，∵90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∵ABE ABC ∠=∠，∵AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，∵22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，∵=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．13．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB△CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，△ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ△AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】依次分析当03t≤≤、36t<≤、610t<≤三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∵DE =CF =4，∵点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ∵AB ，∵PQ∥DE∥CF ，∵AD =5， ∵3==AE ,∵当03t ≤≤时，P 点在AE 之间，此时，AP =t ， ∵AP PQ AE DE=, ∵4=3PQ t ， ∵2142=2233APQ t S AP PQ t t ⋅=⨯=， 因此，当03t ≤≤时，其对应的图像为()22033y t t =≤≤，故排除C 和D ； ∵CD ＝3，∵EF =CD =3，∵当36t <≤时，P 点位于EF 上，此时，Q 点位于DC 上，其位置如图中的P 1Q 1，则111422APQ S t t =⨯⨯=， 因此当36t <≤时，对应图像为()236y t t =<≤，即为一条线段；∵∵ABC ＝45°，∵BF =CF =4，∵AB =3+3+4=10，∵当610t <≤时，P 点位于FB 上，其位置如图中的P 2Q 2，此时，P 2B =10-t ， 同理可得，Q 2P 2=P 2B =10-t ，()2221110522AP Q S t t t t =⨯-=-+，因此当610t <≤时，对应图像为()2156102y t t t =-+<≤，其为开口向下的抛物线的610t <≤的一段图像； 故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．14．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与∵O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∵OF A=∵OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与∵O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，∵BC=AB=2，∥ABC=∥BCD=90°，∵AE是以BC为直径的半圆的切线，∵OB=OC=OF=1，∵OF A=∵OFE=90°，∵AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∵Rt∵ABO∵Rt∵AFO（HL），同理可证∵OCE∵∵OFE，∵,∠=∠∠=∠，AOB AOF COE FOE∵90∠+∠=︒=∠+∠，AOB COE AOB BAO∵COE BAO ∠=∠，∵ABO OCE ∽， ∵OC CE AB OB=， ∵12CE =， ∵15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】 本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN △，连接DN ，则DN 的长是（ ）A ．52BC ．3D 【答案】D【分析】延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，根据折叠的正方形的性质得到NE CE =，在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度，通过证明MDE NFE ∽，利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，∵6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =，∵2AM =，4DM =，∵将BMA △沿BM 对折至BMN △，四边形ABCD 是正方形，∵90BNE C ∠=∠=︒，AB AN BC ==，∵Rt BNE Rt BCE ≌(HL)，∵NE CE =，∵2EM MN NE NE =+=+，在Rt MDE 中，设DE x =，则628ME x x =-+=-，根据勾股定理可得()22248x x +=-，解得3x =，∵3NE DE ==，5ME =，∵NF CD ⊥，90MDE ∠=︒，∵MDE NFE ∽， ∵25EF NFNE DE MD ME ===，∵125NF =，95EF =， ∵65DF =，∵DN =，故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．16．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，△O 的直径AB =8，AM ，BN 是它的两条切线，DE 与△O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，BD ，OC 相交于点F ，若CD =10，则BF 的长是A B C D 【答案】A【分析】过点D 作DG ∵BC 于点G ，延长CO 交DA 的延长线于点H ，根据勾股定理求得6GC =，即可得AD=BG =2，BC = 8，再证明∵HAO ∵∵BCO ，根据全等三角形的性质可得AH=BC =8，即可求得HD= 10；在Rt∵ABD 中，根据勾股定理可得BD =∵DHF ∵∵BCF ，根据相似三角形的性质可得DH DF BC BF=，由此即可求得BF=9【详解】过点D作DG∵BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与∵O相切于点E，∵AD=DE，BC=CE，∵DAB=∵ABC=90°，∵DG∵BC，∵四边形ABGD为矩形，∵AD=BG，AB=DG=8，在Rt∵DGC中，CD=10，∵6GC===，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∵CD= DE+CE = AD+BC =10，∵AD+BG +GC=10，∵AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∵DAB=∵ABC=90°，∵AD∵BC，∵∵AHO=∵BCO，∵HAO=∵CBO，∵OA=OB，∵∵HAO∵∵BCO，∵AH=BC=8，∵AD=2，∵HD=AH+AD=10；在Rt∵ABD中，AD=2，AB=8，∵BD==∵AD∵BC，∵∵DHF∵∵BCF，∵DH DF=，BC BF∵10=，8解得，BF=故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．17．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，已知//⊥，3AD BC，AB BCAB=，点E 为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE△沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B'为线段MN的三等分点时，BE 的长为（）A ．32BC ．32D 【答案】D【分析】因为点'B 为线段MN 的三等分点，没有指明线段'B M 的占比情况，所以需要分两种情况讨论：∵1'3B M MN =；∵ 2'3B M MN =．然后由一线三垂直模型可证 'AMB ∵'B NE ，再根据相似三角形的性质求得 EN 的值，最后由 BE BN EN =-即可求得 BE 的长．【详解】当点'B 为线段MN 的三等分点时，需要分两种情况讨论：∵如图1，当1'3B M MN =时，∵AD ∵BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∵四边形ABNM 为矩形， ∵11'133B M MN AB ===， 22'233B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3A B AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M 中，AM ==．∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∵''EB N MAB ∠=∠，∵'B NE ∵'AMB ，∵''ENB N B M AM =，即 1EN =，解得 EN =，∵BE BN EN =-==．∵如图2，当2'3B M MN =时，∵AD ∵BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥，∵四边形ABNM 为矩形， ∵22'233B M MN AB ===， 11'133B N MN AB ===， BN AM =．由折叠的性质可得'3AB AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒．在'Rt AB M 中，AM ===∵''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒，∵''EB N MAB ∠=∠，∵'B NE ∵'AMB ，∵''EN B N B M AM =，即 2EN =EN =，∵BE BN EN =-==．综上所述，BE 的长为2或 5． 故选：D ．【点睛】 本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由'B 为线段MN 的三等分点，分两种情况讨论线段'B M 的占比情况，以及利用K 型相似进行相关计算是解决此题的关键．18．（2021·四川资阳市·中考真题）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若1AB EF ==，则GM 有长为（ ）A ．5B ．3CD ．5【答案】D【分析】添加辅助线，过F 点作FI ∵HM ，通过证明两组三角形相似，得到FI 和GM 的两个关系式，从而求解GM ．【详解】如图所示，过F 点作FI ∵HM ，交BC 于点I ，证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成∴=90AEB ∠︒，BF AE CG ==，CF BE =，1FG EF ==，EG =又1AB EF ==∴222AE BE AB +=，即 ()2221BF BF ++=解得2BF =或3BF =-（舍去）∴=2BF AE CG ==，=3CF BE =FI∵HM∴CGM CFI ∆，~BFI BEM ∆ ∴32FICFGM CG ==， 32EMBEFI BF == ∴32FI GM =，32EG GMGMFI FI +==∴322GM=解得：GM =经检验：GM =故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系．19．（2021·河北中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB （）A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∵468AB ， ∵=3AB （cm ），故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．20．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）A ．2B ．74C ．2D ．3【答案】A【分析】 构造如图所示的正方形CMPD ，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP 即可．【详解】如图，延长CE ，FG 交于点N ，过点N 作//l AB ，延长,CB DA 交l 于,M P ， ∵∵CMN =∵DPN =90°，∵四边形CMPD 是矩形，根据折叠，∵MCN =∵GCN ，CD =CG ，DF FG =，∵∵CMN =∵CGN =90°，CN =CN ，∵Rt MNC Rt GNC ∆≅∆，∵6CM CG CD ===，MN NG =∴四边形CMPD 为正方形，//BE MN∵CBE CMN ， ∵4263BE CB MN CM ===， 2BE =，3MN ∴=，3NP ∴=，设DF x =,则4AF x =-， 在Rt PNF 中，由222FP NP NF +=可得222(42)3(3)x x -++=+解得2x =；故选A ．【点睛】 本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．21．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E 为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）A ．12CE BD ≠B ．ABC CBD ≌ C ．AC CD = D ．ABC CBD ∠=∠【答案】D【分析】 由题意易得CE ∵AB ，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项．【详解】解：∵每个小正方形的边长都为1，∵4,2,5AB AC BC CD BD ====，∵22225BC CD BD +==，AC CD ≠，故C 错误；∵∵BCD 是直角三角形，∵90BCD BAC ∠=∠=︒，∵5AB AC BC CD ==， ∵C ABC BD ∽△△，故B 错误；∵ABC CBD ∠=∠，故D 正确；∵E 为BD 与正方形网格线的交点，∵CE ∵AB ，∵ABC BCE CBD ∠=∠=∠，∵90DBC BDC BCE ECD ∠+∠=∠+∠=︒，∵BDC ECD ∠=∠， ∵12BE CE ED BD ===，故A 错误；故选D ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．22．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在ABC 和ADE 中，36CAB DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分ABC ∠，则下列结论错误的是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠B ．//CD ABC ．DE GE =D ．2BF CF AC =⋅【答案】C【分析】 根据SAS 即可证明DAC EAB △≌△，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断【详解】,,36AB AC AD AE CAB DAE ==∠=∠=︒DAC EAB ∴∠=∠∴DAC EAB △≌△ADC AEB ∴∠=∠，故选项A 正确；,36AB AC CAB =∠=︒72ABC ACB ∴∠=∠=︒ BE 平分ABC ∠1362ABE CBF ABC ∴∠=∠=∠=︒DAC EAB △≌△36ACD ABE ∴∠=∠=︒ACD CAB ∴∠=∠//CD AB ∴，故选项B 正确；,36AD AE DAE =∠=︒72ADE ∴∠=︒72DGE DAE EAB ABE EAB ∠=∠+∠+∠=︒+∠即ADE DGE ∠≠∠DE GE ∴≠，故选项C 错误；72,36ABC ACB CAB CBF ∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒CFB72∴=BC BF∴△∽△ABC BFCBF CF∴=AB BCAB AC=BF CF∴=AC BF2=⋅，故选项D正确；BF CF AC故答案选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质是解题关键．二、填空题23．（2021·江苏无锡市·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．△所有的正方形都相似△所有的菱形都相似△边长相等的两个菱形都相似△对角线相等的两个矩形都相似【答案】∵【分析】根据多边形的判定方法对∵进行判断；利用菱形的定义对∵进行判断；根据菱形的性质对∵进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对∵进行判断．【详解】解：所有的正方形都相似，所以∵正确；所有的菱形不一定相似，所以∵错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以∵错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以∵错误； 故答案是：∵．【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．24．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ⊥，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．【答案】65【分析】根据MN ∵BC ,AC ∵BC ,DB ∵BC ，得,BNM BCA CNM ABD ,可得,MN BN MN CN AC BC BD BC ,因为1BN CN BC BC ,列出关于MN 的方程，即可求出MN 的长．【详解】∵MN ∵BC ，DB ∵BC , 90ACB ∠=︒∵AC ∵MN ∵DB ，∵,BNM BCA CNM ABD ， ∵,MN BN MN CN AC BC BD BC 即,23MN BN MN CN BC BC , 又∵1BN CN BCBC ， ∵123MN MN ， 解得65MN =, 故填：65． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．25．（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若5AE =，则GE 的长为________．【答案】4913【分析】因为折叠，则有DG CF ⊥，从而可知AED HDC △∽△，利用线段比求出DG 的长，即可求出EG ．【详解】如图, 四边形ABCD 是正方形12=90∴∠+∠︒因为折叠，DG CF ∴⊥，设垂足为HDH HG ∴=2390∴∠+∠=︒13∠∠∴=AED HDC ∴△∽△AE DHED DC =5AE =，12AD DC ==51312DH∴=6013DH ∴=EG ED GD ∴=-2ED GH =-6013213=-⨯4913=故答案为4913． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到AED HDC △∽△是解题的关键．26．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．【分析】证明∵ABD ∵∵CBA ，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】 ∵3BC BD ==，∵ABBC ==BDAB =，∵3ABBDBC AB ==，∵∵B =∵B ，∵∵ABD ∵∵CBA ，∵3ADBDAC AB ==．故答案为：3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，证明∵ABD ∵∵CBA 是解决问题的关键． 27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，OD 平分AOC ∠交AC 于点G ，OD OA =，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则OG BC 的值为______；若CE CF =，则CF OF的值为______．【答案】12【分析】（1）根据条件，证明AOD COD ≅△△，从而推断90OGA ∠=，进一步通过角度等量，证明AOG ABC △△，代入推断即可.（2）通过OA OD OC OB ===，可知,,,A B C D 四点共圆，通过角度转化，证明ODF CBF △△，代入推断即可. 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点∵OA OC =又∵OD 平分AOC ∠∵AOD COD ∠=∠又∵OD OD =∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵OD AC ⊥∵90OGA ∠=在AOG 与ABC 中GAO BAC ∠=∠,90OGA BCA ∠=∠=∵AOG ABC △△12OGAOBC AB ==（2∵OA OD OC OB ===∵,,,A B C D 四点共圆，如下图：∵CE CF =∵CEF CFE ∠=∠又∵CFE BFO ∠=∠∵CEF BFO ∠=∠∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵AD CD =∵OBF CBE ∠=∠∵90BFO OBF CEF CBE ∠+∠=∠+∠=即90BOC ∠=∵OB OC = ∵BC ===∵90OGA BCA ∠=∠= ∵ODB FBC ∠=∠∵OFD CFB ∠=∠∵ODF CBF △△∵CF BC OF OD==故答案为：12【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．28．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：△AP PF =；△DE BF EF +=；△PB PD -=；△AEF S 为定值；△APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】∵∵∵∵【分析】由题意易得∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，对于∵：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得∵AFP =∵ABD =45°，则问题可判定；对于∵：把∵AED 绕点A 顺时针旋转90°得到∵ABH ，则有DE =BH ，∵DAE =∵BAH ，然后易得∵AEF ∵∵AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于∵：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证∵AOP ∵∵ABF ，进而问题可求解；对于∵：过点A 作AN ∵EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于∵由∵可得2AP AF =得∵APG ∵∵AFE ，然后可得相似比为AP AF =相似比的关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，∵∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，∵∵180ABC APF ∠+∠=︒，∵由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，∵点A、B、F、P四点共圆，∵∵AFP=∵ABD=45°，∵∵APF是等腰直角三角形，∵AP PF=，故∵正确；∵把∵AED绕点A顺时针旋转90°得到∵ABH，如图所示：∵DE=BH，∵DAE=∵BAH，∵HAE=90°，AH=AE，∵45∠=∠=︒，HAF EAF∵AF=AF，∵∵AEF∵∵AHF（SAS），∵HF=EF，∵HF BH BF=+，∵DE BF EF+=，故∵正确；∵连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：∵点O 是对角线BD 的中点，∵OB =OD ，BD AC ⊥，∵OP =OM ，∵AOB 是等腰直角三角形， ∵AB =，由∵可得点A 、B 、F 、P 四点共圆，∵APO AFB ∠=∠，∵90ABF AOP ∠=∠=︒，∵∵AOP ∵∵ABF ，∵2OPOAAPBF AB AF ===，∵OP =，∵2BP DP BP BM PM OP -=-==， ∵PB PD -=，故∵正确；∵过点A 作AN ∵EF 于点N ，如图所示：由∵可得∵AFB =∵AFN ，∵∵ABF =∵ANF =90°，AF =AF ，∵∵ABF ∵∵ANF （AAS ），∵AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，∵点P 在线段OD 上，∵EF 的长不可能为定值，故∵错误；∵由∵可得2APAF =∵∵AFB =∵AFN =∵APG ，∵F AE =∵P AG ，∵∵APG ∵∵AFE ，∵2GP AP EF AF ==，∵2122AGP AEF S S ⎛== ⎝⎭，∵12AGP AEF S S =，∵APGPEFG S S =四边形，故∵正确；综上所述：以上结论正确的有∵∵∵∵；故答案为∵∵∵∵．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将ABCD 绕点A 逆时针旋转到AB C D '''的位置，使点B '落在BC 上，B C ''与CD 交于点E ，若3,4,1AB BC BB '===，则CE 的长为________．【答案】98【分析】 过点C 作CM //C D ''交B C ''于点M ，证明ABB ADD ''∆∆∽求得53C D '=，根据AAS 证明ABB B CM ''∆≅∆可求出CM =1，再由CM //C D ''证明∵CME DC E '∆∽，由相似三角形的性质查得结论．【详解】解：过点C 作CM //C D ''交B C ''于点M ，。

备战中考数学分点透练真题图形的相似(解析版)

备战中考数学分点透练真题图形的相似(解析版)

第十六讲图形的相似命题点1 比例线段类型一比例的性质1．（2020 滦州）已知，则＝．【答案】【解答】解：设＝＝＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，＝＝；故答案为：．类型二黄金分割2．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝．【答案】3﹣【解答】解：∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD，∴BC＝AD，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，∴△BCD∽△BAC，∴BC：AB＝BD：BC，∴AD：AB＝BD：AD，∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，∴AD＝AB＝﹣1，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．类型三平行线分线段成比例3．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝m．【答案】1.2【解答】解：∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1，∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2．命题点2 相似的基本性质4．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．5.（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3B．2C．4D．5【答案】A【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得，EA＝3，故选：A．命题点3 相似三角形的判定与性质类型一A字型6．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC【答案】D【解答】解：∵＝＝，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝1：3，故A错误；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．故D正确．故选：D．7．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2【答案】B【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，∵△ADE的面积是3cm2，∴四边形BDEC的面积是9cm2，故选：B．8．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．9．（2021•湘潭）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．10．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为．【答案】【解答】解：∵BC＝AB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴,∴AD:AC＝,故答案为：．11．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH 和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM 与四边形BCME的面积比为．【答案】1：3【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF＝，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：3．12．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）略（2）．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD＝AC，∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，故：＝（）2＝（）2＝．13．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∴，∵CB∥DG，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．类型二8字型14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为．【答案】2【解答】解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．15．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是．【答案】9【解答】解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．16．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴，，∴，∴，∴MN＝．故答案为：．17．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【答案】【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．18．（2020•攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．【答案】略【解答】证明：连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴，∴AD＝3DG，即AD＝3GD．19．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．【答案】（1）1 （2）【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．20．（2020•眉山）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．①求tan∠DBE的值；②求DF的长．【答案】（1）略（2）tan∠DBE＝＝，DF＝【解答】（1）证明：∵AD2＝DF•DB，∴＝，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴∠ABD＝∠F AD，∵△ABC，△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF，∴△ADC≌△BF A（ASA），∴AD＝BF．（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°，∴DC＝AC，∴CE＝BC，∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，∴tan∠DBE＝＝．②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，∴BD＝＝＝2，∵∠ABC＝∠DCE＝60°，∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴DF＝类型三旋转型21．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．【答案】（1）略（2）CE＝9．【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．22．（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【答案】（1）略（2）MN＝【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝类型四三垂直型23．（2021•台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵AE＝DG＝1，∴AG＝4，∵AF⊥EG，∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，∴∠AFB＝∠AEG，∴△ABF∽△GAE，∴，∴，∴BF＝，故答案为．类型五网络中相似三角形的判定与性质24．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C【解答】解：如图，所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．故选：C．25.（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【答案】B【解答】解：方法一：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．方法二：AB＝＝＝2，∵BC＝，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，故选：B．26．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD 【答案】D【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．命题点4 相似三角形的实际应用27．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x＝2：5，解得x＝20．故选：A．28．（2021•内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一高楼的影长为60m，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m【答案】D【解答】解：设这幢高楼的高度为x米，依题意得：＝，解得：x＝36．故这幢高楼的高度为36米．故选：D．29．（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为（）A．4.36mm B．29.08mm C．43.62mm D．121.17mm【答案】C【解答】解：由题意得：CB∥DF，∴＝，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，∴＝，∴DF＝43.62（mm），故选：C．30．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），∴＝，∴AB＝3cm，故选：C．31．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．【答案】3【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．32．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（9+4）m．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．。

2022中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似(含答案)

2022中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似(含答案)

备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q．则的值为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似参考答案1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【答案】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当＝时，△BDE∽△ACE，即＝，∴CE＝．故答案为．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【答案】解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝，故答案为：．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．【答案】解：∵D为AB的中点，∴BD＝AB＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴当∠DBE＝∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则＝，即＝，解得DE＝2；当∠BDE＝∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得DE＝，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE ＝2或．故答案为2或．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．【答案】解：∵△BOC∽△AOB，∴＝，∴＝，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．【答案】解：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴△ACM∽△CBN，∴CM：BN＝AC：BC＝3：2；∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴∠MCA＝∠NDB＝∠BND＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠BND，∴∠CMD＝∠NBD（三角形内角和定理）∴△MCD∽△BND∴△MCD与△BND的面积比为（）2＝（）2＝．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BEF∽DAF，∴BE：AD＝BF：FD＝1：3，∴BE：BC＝1：3，∴BE：EC＝1：2．故答案为：1：2．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．【答案】解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即×大三角形的面积，那么第④个图中，剩余图形的面积为或，∵三角形的面积是1第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1﹣．故答案为：或；1﹣．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．【答案】解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，∴CN＝MF＝AD＝3，∴BN＝BC﹣CN＝5﹣3＝2，∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABN，∴EN：BM＝AE：AB，∵AE：EB＝2：3，∴AE：AB＝2：5，∴EM＝BN＝0.8，∴EF＝EM+FM＝0.8+3＝3.8．故答案为：3.8．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．【答案】解：作DH⊥AC于H，如图，∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE＝DC，∴EH＝CH，∵＝n，即AE＝nEC，∴AE＝2nEH＝2nCH，∵∠C＝90°，∴DH∥BC，∴＝，即m＝＝＝2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．【答案】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣2，∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．【答案】解：当DE⊥AB于点E，设t秒时，E点没有到达B点前，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝8.2，设t秒时，当E点到达B点后，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝11.8，当DE⊥CB于DE，设t秒时，∠BDE＝90°，∵DE∥AC，∴△BED∽△BAC，∴＝＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝解得：t＝5，综上所述：t的值为5s或8.2s或11.8s．故答案为：5s或8.2s或11.8s．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．【答案】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B ＝∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B＝∠AED．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．【答案】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，且AB＝AC＝，∴BC＝＝＝，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝1，∴BD＝＝＝3，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AMB＝∠DMC，∴△AMB∽△DMC，∴＝＝，即＝＝，解得：DM＝，故答案为：．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．【答案】解：如图1：过点P作PE∥AB的平行线，或者作PD∥BC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得∠PFC＝∠A，可得△CFP∽△CAB，∴有3条；如图2：只有2条．∴这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．【答案】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，则有＝，＝，两式相加，又平行四边形BCKG中，PM＝（BG+CK），而由P为重心得AP ＝2PM，故．故答案为：1．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC 边中点，AP交BD于点Q．则的值为．【答案】解：连接OP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵PC＝PB，∴OP∥AB，OP＝AB，∴＝＝，∴＝，故答案为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴S△EFG：S△CDG＝（）2＝（）2，又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，∴（）2＝（）2＝，∴＝＝，∴＝＝﹣1，∵DF∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△EFG：S△EBC＝（）2＝3﹣2，∴S△EBC＝3+2，∴S四边形GFBC＝3+2﹣1＝2+2，同理S四边形GDAE＝2+2，∴S四边形ABCD＝1+2+2+2+2+2＝7+4．故答案为：7+4．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．【答案】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．【答案】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，N为中点，∴AD＝PB，AN＝BN，∠DAN＝∠PBN＝90°，在△PBN和△DNA中∴△PBN≌△DNA（SAS），∴DN＝PN＝3，即DM+MN＝3，∵AB∥CD，∴△AMN∽△CMD，∴＝＝，∴DM＝2，故答案为：2．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．【答案】解：①∵点A（0，3），B（﹣6，0），作直线y＝1，交AB 于点P1，∴OA＝3，OB＝6，P1Q1＝P2Q2＝P3Q3＝1，∵P1Q1⊥x轴于Q1，P2Q2⊥x轴于Q2，…，∴P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥y轴，∴△BP1Q1∽△ABO，△P2Q1Q2∽△AQ1O，△P3Q2Q3∽△AQ2O，…，∴，，，…，∴BQ1＝2，Q1Q2＝，Q2Q3＝，…，∴Q1（﹣4，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣4，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，即Q1（﹣，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，∴Qn﹣1（﹣，0），Qn（﹣，0），Pn﹣1（﹣，1）Pn （﹣，1），故点Q3的坐标为：Q3（﹣，0），故答案为：Q3（﹣，0）；②∵△AP1Q1的面积＝△ABQ1的面积﹣△BP1Q1的面积＝•BQ1•OA﹣•BQ1•P1Q1＝BQ1，△AP2Q2的面积＝△AQ1Q2的面积﹣△Q1P Q2的面积＝•Q1Q2•OA﹣•Q1Q2•P2Q2＝Q1Q2，…，∴△PnQnA的面积＝Qn﹣1Qn＝﹣﹣（﹣）＝．故答案为：．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED＝4，∵DE∥AC，∴＝，而DC＝BC，∴BE＝2AE＝8．故答案为8．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．【答案】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝DC，∴AB＝CD＝DE＝CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝．故答案为：．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．【答案】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵＝，∴AE＝2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2，∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确；故答案为：①②③④．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．【答案】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．【答案】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．【答案】解：∵G为△ABC的重心，∴AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，∴S△ADC＝S△ABC＝×72＝36，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△DEG＝×36＝4．故答案为4．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．【答案】解：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，∴PD＝PE＝DE＝1，以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，∵△PDE关于y轴对称，∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，∴PF＝，∴△PFM∽△PON，∴＝，∵m＝，∴FM＝﹣，∴＝，解得：ON＝4﹣2，即n＝4﹣2．故答案为：4﹣2．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．【答案】解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∵A′B′∥AB＝＝，故答案为2：3；35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．【答案】解：如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴＝，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，当AD⊥BC时，AD＝＝4.8，∵＝，即＝，∴DE＝8，∴CF＝×8＝4．故答案为：4．。

2022年九年级中考数学考点专题训练——专题五十八：图形的相似(含答案)

2022年九年级中考数学考点专题训练——专题五十八：图形的相似(含答案)

备战2022最新中考数学考点专题训练——专题五十八：图形的相似1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE 的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 2．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，AM BM，AN CM下列结论正确的是（）A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA3．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA 的条件是（）A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：ADC．AB2＝CD•BC D．AB2＝BD•BC4.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD,连接AE,AF,EF.给出下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.45.如图,位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成,已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为2∶5,且三角板的一边长为8 cm,则投影三角形的对应边长为()A.20 cmB.10 cmC.8 cmD.3.2cm6. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD ＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是()A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2)8.如图811-，已知等腰ABC ∆中，顶角︒=∠36A ，BD 为ABC ∠的平分线，则ACAD 的值等于（）A 、21B 、215-C 、1D 、215+ 9.如图，在ABC ∆中，BC DE //，且分ABC ∆为面积相等的两部分，则BCDE :的值为（）:1B、2:1C、3:1D、1:2A、210.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（）A、都扩大为原来的5倍B、都扩大为原来的10倍C、都扩大为原来的25倍D、与原来相等11．有一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是( )A．12cm B．18cm C. 32cm D. 48cm 12．如图，BE、CD相交于点O，且∠l＝∠2，图中有几组相似三角形( )A.2组B．3组C. 5组D. 6组13．小红家的阳台上放置了一个晾衣架如图1，图2是晾衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量OE OF cm==，现将晾衣架完全稳OA OC cm==，34136AB CD cm==，51固张开，扣链E成一条线段，且32EF cm=．垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于________cm时，连衣裙才不会拖到地面上．14．如图，在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且6AB =，2BD =，当CE =________时，ABD DCE ∽△△．15.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝.16. 在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC.若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为________．18.如图，P 为正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则__________'=PP .19.如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=32，则△ABC 的边长是。

浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)附答案

浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)附答案

浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)一、选择题1．如图.在直角坐标系中.△ABC的三个顶点分别为A(1.2) B(2.1) C(3.2).现以原点O为位似中心.在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′.则顶点C′的坐标是（）A．(2，4)B．(4，2)C．(6，4)D．(5，4)2．如图.点P是△ABC的重心.点D是边AC的中点.PE∥AC交BC于点E.DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6.则△ABC的面积为（）A．12B．14C．18D．243．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∥C=45°.以AB为腰作等腰直角三角形BAE.顶点E恰好落在CD边上.若AD=1．则CE的长是（）A．√2B．√2C．2D．124．如图.在△ABC中.D是边BC上的点（不与点B.C重合）.过点D作DE//AB交AC于点E；过点D作DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点.BN=2NF；M是线段DE上的点.DM=2ME.若已知△CMN的面积.则一定能求出（）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽.图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF.使点D.E.F分别在边OC.OB.BC上.过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC= 30°，DE=2时.EH的长为（）A．√3B．32C．√2D．43二、填空题6．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后.发现学习内容是一个逐步特殊化的过程.请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程．7．如图.在△ABC中.AB=AC ∠A<90°.点D.E.F分别在边AB.BC.CA上.连接DE.EF.FD.已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k .若AD=DF.则CFFA=（结果用含k的代数式表示）．8．如图.在Rt△ABC中.∠C=90°,E为AB边上一点.以AE为直径的半圆O与BC相切于点D.连接AD.BE=3 BD=3√5．P是AB边上的动点.当△ADP为等腰三角形时.AP的长为．三、解答题9．如图.在⊙O中.直径AB垂直弦CD于点E.连接AC AD BC作CF⊥AD于点F.交线段OB于点G（不与点O.B重合）.连接OF．（1）若BE=1.求GE的长．（2）求证：BC2=BG⋅BO（3）若FO=FG.猜想∠CAD的度数.并证明你的结论．10．在边长为1的正方形ABCD中.点E在边AD上（不与点A.D重合）.射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED=13.求DF的长．（2）求证：AE⋅CF=1．（3）以点B为圆心.BC长为半径画弧.交线段BE于点G．若EG=ED.求ED的长．11．如图.已知矩形ABCD.点E在CB延长线上.点F在BC延长线上.过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H.连结AF交EH于点G，GE=GH.（1）求证：BE=CF.（2）当ABFH=56，AD=4时.求EF的长.12．如图1.AB为半圆O的直径.C为BA延长线上一点.CD切半圆于点D，BE⊥CD.交CD延长线于点E.交半圆于点F.已知OA=32，AC=1.如图2.连结AF.P为线段AF上一点.过点P作BC的平行线分别交CE.BE于点M.N.过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x，MN=y.（1）求CE的长和y关于x的函数表达式.（2）当PH<PN.且长度分别等于PH，PN.a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时.求a的值.（3）延长PN交半圆O于点Q.当NQ=154x−3时.求MN的长.13．在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列）AB=12，AD=10.∥B为锐角.且sinB=45.（1）如图1.求AB边上的高CH的长.（2）P是边AB上的一动点.点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′.①如图2.当点C′落在射线CA上时.求BP的长.②当ΔAC′D′当是直角三角形时.求BP的长.14．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系.用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图.AB是⊙O的直径.直线l是⊙O的切线.B为切点．P.Q是圆上两点（不与点A重合.且在直径AB的同侧）.分别作射线AP.AQ交直线l于点C.点D．（1）如图1.当AB =6.BP ⌢长为π时.求BC 的长．（2）如图2.当AQ AB =34.BP ⌢=PQ ⌢时.求BC CD的值． （3）如图3.当sin∠BAQ =√64.BC =CD 时.连接BP.PQ.直接写出PQ BP 的值． 15．如图1.锐角△ABC 内接于⊙O .D 为BC 的中点.连接AD 并延长交⊙O 于点E.连接BE ，CE .过C 作AC 的垂线交AE 于点F.点G 在AD 上.连接BG ，CG .若BC 平分∠EBG 且∠BCG =∠AFC ．（1）求∠BGC 的度数．（2）①求证：AF =BC ．②若AG =DF .求tan∠GBC 的值.（3）如图2.当点O 恰好在BG 上且OG =1时.求AC 的长．16．已知.AB 是半径为1的⊙O 的弦.⊙O 的另一条弦CD 满足CD =AB .且CD ⊥AB 于点H （其中点H 在圆内.且AH >BH ，CH >DH ）．（1）在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法.保留作图痕迹）．（2）连结AD.猜想.当弦AB 的长度发生变化时.线段AD 的长度是否变化？若发生变化.说明理由：若不变.求出AD 的长度.（3）如图2.延长AH 至点F.使得HF =AH .连结CF.∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P.点M 为AP 的中点.连结HM.若PD =12AD ．求证：MH ⊥CP ． 17．如图.在∥O 中.AB 是一条不过圆心O 的弦.点C.D 是AB⌢的三等分点.直径CE 交AB 于点F.连结AD 交CF 于点G.连结AC.过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：AD∥HC ；（2）若OG GC=2.求tan∥FAG 的值； （3）连结BC 交AD 于点N ．若∥O 的半径为5．下面三个问题.依次按照易、中、难排列.对应的分值为2分、3分、4分.请根据自己的认知水平.选择其中一道问题进行解答。

备战中考数学(北师大版)专项练习图形的相似(含解析)

备战中考数学(北师大版)专项练习图形的相似(含解析)

备战中考数学（北师大版）专项练习图形的相似（含解析）一、单选题1.如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A ，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A.B.C. D.2.如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，假如，AC=6，那么AE的长为（）A.3B.4C.9D.123.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，假如将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝4，则CD的长是()A.1B.4C.3D.25.假如两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的相似比为（）A.1：2B.1：4C.1：8D.1：166.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE=BF，EF=BD，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A.3：5B.3：8C.5：8D.2：57.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于B C，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是（）A.∠AED＝∠BB.∠ADE＝∠CC.＝D.＝8.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张二、填空题9.在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是___ _____10.如图，△ABC的内接正方形EFGH中，EH∥BC，其中BC=4，高A D=6，则正方形的边长为________．11.位似图形的相似比也叫做________12.如图，矩形中，点是边的中点，交对角线于点，则与的面积比等于________．13.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________14.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交B C于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________．15.如图，已知图中的每个小方格差不多上边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．16.如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是________米．三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？什么缘故？18.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．四、综合题19.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和E F是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照耀留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A动身，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时刻为t（秒）．（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范畴；（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直截了当写出点R落在△ABC高线上时t的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（7，2），C（5，6）．（1）请以图中的格点为顶点画出一个△A1B1C ，使得△A1B1C ∽△ABC ，且△A1B1C与△ABC的周长比为1：2；（每个小正方形的顶点为格点）（2）依照你所画的图形，直截了当写出顶点A1和B1的坐标.22.如图，梯形ABCD中，AB∥DC ，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED ．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，（1）求AB的长．（2）求△AED的面积答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】平行线分线段成比例【解析】解答：∵DE∥BC交GA于点E ，∴，，，A，B，D正确，故选C．分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．2.【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴，又AC=6，∴AE=4，故选：B．【分析】依照平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入运算即可．3.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】本题依照放大后的三角形与三角形相似，故可依照相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．【解答】直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时刻扩大一倍．故只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒．故选C．【点评】熟练运用相似三角形的性质．4.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】先由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝∠B证得△AB D∽△CBA，再依照相似三角形的性质求得BD的长，即可求得结果。

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

中考数学专题练习：图形的相似 (含答案)

中考数学专题练习：图形的相似 (含答案)

中考数学专题练习：图形的相似（含答案）1．（·永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC＝∠ACB,AD＝2,BD＝6,则边AC的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 82．如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且AEAB＝ADAC＝13,则S△ADE ∶S四边形BCED的值为( )A．1∶ 3 B．1∶3C．1∶8 D．1∶93．（·自贡)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为( )A．8 B．12 C．14 D．164．（·杭州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,DE∥BC,与边AC交于点E,连接BE,记△ADE,△BCE的面积分别为S1,S2,( )A．若2AD>AB,则3S1>2S2B．若2AD>AB,则3S1<2S2C．若2AD<AB,则3S1>2S2D．若2AD<AB,则3S1<2S25．（·泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE＝3ED,DF＝CF,则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.766．如图,D是△ABC内一点,E是△ABC外一点,∠EBC＝∠DBA,∠ECB＝∠DAB.求证：∠BDE＝∠BAC.7．如图△ABC中,∠A＝36°,AB＝AC,BD是∠ABC的平分线．(1)求证：AD2＝CD·AC；(2)若AC＝a,求AD.8．如图,AD是△ABC的中线,E为AD上一点,射线CE交AB于点F.(1)若E为AD的中点,求AF BF；(2)若AEED＝1k,求AFBF.参考答案1．B 2.C 3.D 4.D 5.C6．证明：∵∠EBC＝∠DBA,∠ECB＝∠DAB.∴△EBC∽△DBA.∴BEBD＝BCBA,∴BEBC＝BDBA.∵∠EBC＝∠DBA,∴∠EBC＋∠CBD＝∠DBA＋∠CBD,即∠EBD＝∠CBA,∴△EBD∽△CBA,∴∠BDE＝∠BAC.7．(1)证明：∵△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°, ∴∠ABC＝∠C＝72°,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°,∴∠BDC＝∠C＝72°,∵∠DBC＝∠A,∠C＝∠C,∴△CBA∽△CDB,∴CDCB＝CBCA,∴CB2＝CD·AC又∵∠BDC＝∠C,∠A＝∠DBA,∴CB＝BD＝AD. ∴AD2＝CD·AC；(2)解：∵AD2＝CD·AC,CD＝AC－AD.∴AD2＝(AC－AD)·AC＝AC2－AD·AC,∴(ADAC)2＝1－ADAC.设ADAC＝k,得到方程k2＝1－k,∴k2＋k－1＝0,解得k＝－1±52.∴k＝5－12(负值已舍去),即ADAC＝5－12,∵AC＝a,∴AD＝5－12a.8．解：(1)如解图,作DG∥AB交CF于点G, ∵AD是△ABC的中线,∴CD＝12BC,即CDBC＝12,∵DG∥AB,∴△CDG∽△CBF,∴DGBF＝CDCB＝12.∵E为AD的中点,∴AE＝ED,∴AEED＝1.∵DG∥AB,∴△EDG∽△EAF,∴AFDG＝AEED＝1.∵DGBF·AFDG＝12×1.∴AFBF＝12；(2)∵AD是△ABC的中线,∴CD＝12 BC,∴CDBC＝12.∵DG∥AB,∴△CDG∽△CBF,∴DGBF＝CDCB＝12.∵E为AD上的一点,且AEED＝1k,又∵DG∥AB,∴△EDG∽△EAF,∴AFDG＝AEED＝1k,∵DGBF·AFDG＝12·1k,∴AFBF＝12k.。

2022年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题5.2 图形的相似(含解析)

2022年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题5.2 图形的相似(含解析)

专题5.2 图形的相似一、单项选择题1．两三角形的相似比是2：3，那么其面积之比是〔〕A．： B． 2：3 C． 4：9 D． 8：27【来源】广西壮族自治区玉林市 2022年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，应选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 2．△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，那么△DEF的面积为〔〕A． 32 B． 8 C． 4 D． 16【来源】贵州省铜仁市 2022年中考数学试题【答案】C点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比拟简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．3．?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸〔提示：1丈=10尺，1尺=10寸〕，那么竹竿的长为〔〕A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【来源】吉林省长春市 2022年中考数学试卷【答案】B【点睛】此题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，那么以下结论一定正确的选项是〔〕A． B． C． D．【来源】黑龙江省哈尔滨市 2022年中考数学试题【答案】D【解析】分析：由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解．详解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴，，∴．应选：D．点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，那么S△EFG：S△ABG=〔〕A． 1：3 B． 3：1 C． 1：9 D． 9：1【来源】湖北省荆门市 2022年中考数学试卷【答案】C【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.6．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，那么的值为〔〕A． B． C． D． 1【来源】四川省达州市 2022年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．点睛：此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．如下图，在平面直角坐标系中，点A〔2，4〕，过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，那么CD的长度是〔〕A． 2 B． 1 C． 4 D． 2【来源】湖南省邵阳市 2022年中考数学试卷【答案】A【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．8．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两局部，那么的值为〔〕A． 1 B． C．-1 D．+1【来源】湖北省随州市 2022年中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，∴，∴，应选C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为〔，1〕，〔3，1〕，〔3，0〕，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为〔0，b〕，那么b的取值范围是〔〕A． B． C． D．【来源】广西壮族自治区桂林市 2022年中考数学试题【答案】A【解析】分析：分两种情形：当A与点N、M重合时来确定b的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A与点N重合时，CA⊥AB，∴MN是直线AB的一局部，∵N〔3，1〕∴OB=1，此时b=1；当点A与点M重合时，如图2，延长NM交y轴于点D，易证△MCN∽△BMD∴∵MN=3-=,DM=，CN=1∴BD=∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，∴b的取值范围是.应选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，假设菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,那么△OCE的面积是〔〕A． B． 2 C． D． 4【来源】江苏省宿迁市 2022年中考数学试卷【答案】A【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.11．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，假设S四边形BCFE=16，那么S△ABC=〔〕A． 16 B． 18 C． 20 D． 24【来源】广西壮族自治区贵港市 2022年中考数学试卷【答案】B【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．【详解】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴，解得：x=2，∴S△ABC=18，应选B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键.12．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，那么△ADE与△ABC的面积之比为〔〕A． B． C． D．【来源】广东省 2022年中考数学试题【答案】C【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC 是解题的关键．二、填空题13．：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么四边形BCED的面积为_____．【来源】四川省资阳市 2022年中考数学试卷【答案】9【解析】【分析】设四边形BCED的面积为x，那么S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．14．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，那么对角线EG长的最小值为_____．【来源】贵州省贵阳市 2022年中考数学试卷【答案】【解析】【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，那么AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=〔4﹣x〕，由EG=即可求得答案．【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．15．如图，正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．【来源】上海市 2022年中考数学试卷【答案】【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，那么GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得x=，即正方形DEFG的边长为，故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.16．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，甲楼的高AB是120m，那么乙楼的高CD是_____m〔结果保存根号〕【来源】广西钦州市 2022年中考数学试卷【答案】40【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．17．如下图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：_____．【来源】湖南省邵阳市 2022年中考数学试卷【答案】△ADF∽△ECF【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，那么根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF，故答案为：△ADF∽△ECF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.18．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，假设，，那么的长为________．【来源】北京市 2022年中考数学试卷【答案】点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.19．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，假设点的坐标是，那么点的坐标是__________．【来源】山东省菏泽市 2022年中考数学试题【答案】〔2，2〕详解：与是以点为位似中心的位似图形，，，假设点的坐标是，过点作交于点E.点的坐标为：与的相似比为，点的坐标为：即点的坐标为：故答案为：点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.三、解答题20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如下图．请根据相关测量信息，求河宽AB．【来源】陕西省 2022年中考数学试题【答案】河宽为17米．【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.21．正方形中与交于点，点在线段上，作直线交直线于,过作于,设直线交于.〔1〕如图，当在线段上时，求证：；〔2〕如图2，当在线段上，连接,当时，求证：；〔3〕在图3，当在线段上，连接,当时，求证：.【来源】湖南省常德市 2022年中考数学试卷【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析.【详解】〔1〕∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；〔3〕设CE=a〔a＞0〕∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，∴a=b〔已舍去不符合题意的〕∴CN=a=b，AC=〔a+b〕=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点睛】此题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形DENM是菱形是解〔2〕的关键，判断出△DEN∽△ADE是解〔3〕的关键．22．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.〔1〕求证：BN平分∠ABE；〔2〕假设BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；〔3〕如图②，假设点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．【来源】四川省眉山市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕证明见解析.详解：〔1〕∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；〔2〕设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵，∴△ABN≌△DBN〔SAS〕，∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得〔2a+a〕2+a2=1，解得：a=±〔负值舍去〕，∴BC=2a=；点睛：此题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．23．在△ABC中，∠ABC=90°．〔1〕如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；〔2〕如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；〔3〕如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．【来源】湖北省武汉市 2022年中考数学试卷【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕；〔3〕.【详解】〔1〕∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN；〔2〕如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中，tan∠PAC=，同〔1〕的方法得，△ABP∽△PQF，∴，设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b〔a＞0，b＞0〕，∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，∴△ABP∽△CQF，∴，∴CQ==2a，〔3〕在Rt△ABC中，sin∠BAC=，如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴，同〔1〕的方法得，△ABG∽△BCH，∴=，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC=．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图1中的相似三角形模型是解此题的关键．24．如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．〔1〕证明：四边形OEFG是平行四边形；〔2〕将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①假设OE=，OG=1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．〔不要求证明〕【来源】湖南省邵阳市 2022年中考数学试卷【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕①；②添加AC=BD.【解析】【分析】〔1〕连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE//GF，即可得证；〔2〕①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得；②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，假设要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的条件均可以满足此条件．【详解】〔1〕如图1，连接AC，〔2〕①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴，∴△OGM∽△OEN，∴；②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，【点睛】此题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．25．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形〞．〔1〕假设△ABC是“准互余三角形〞，∠C＞90°，∠A=60°，那么∠B= °；〔2〕如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．假设AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形〞．试问在边BC上是否存在点E〔异于点D〕，使得△ABE也是“准互余三角形〞？假设存在，请求出BE的长；假设不存在，请说明理由．〔3〕如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形〞，求对角线AC的长．【来源】江苏省淮安市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕15°；〔2〕BE=．〔3〕AC=20．【解析】分析：〔1〕根据“准互余三角形〞的定义构建方程即可解决问题；〔2〕只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；〔3〕如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，那么有：x〔x+7〕=122，推出x=9或﹣16〔舍弃〕，再利用勾股定理求出AC即可；详解：〔1〕∵△ABC是“准互余三角形〞，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°；〔2〕如图①中，〔3〕如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．那么有：x〔x+7〕=122，∴x=9或﹣16〔舍去〕，∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=．点睛：此题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形〞的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．26．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点〔不与A、B、C重合〕．〔1〕如图1，假设EF∥BC，求证：〔2〕如图2，假设EF不与BC平行，〔1〕中的结论是否仍然成立？请说明理由；〔3〕如图3，假设EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．【来源】湖北省黄石市 2022年中考数学试卷【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕详解：〔1〕∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴==；〔2〕假设EF不与BC平行，〔1〕中的结论仍然成立，分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，∵FN⊥AB、CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴，∴==；〔3〕连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，而==a，∴+ a =a，解得：a=，∴=×=．点睛：此题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．27．〔1〕〔发现〕如图①，等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上〔点D不与点B、C重合〕，使两边分别交线段AB、AC于点E、F.①假设AB=6，AE=4，BD=2，那么CF =________；②求证：△EBD∽△DCF.〔2〕〔思考〕假设将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.〔3〕〔探索〕如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处〔其中∠MON=∠B〕，使两条边分别交边AB、AC于点E、F〔点E、F均不与△ABC的顶点重合〕，连接EF.设∠B=α，那么△AEF与△ABC的周长之比为________〔用含α的表达式表示〕.【来源】江苏省盐城市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕①4；②证明见解析；〔2〕存在；〔3〕1-cosα.〔1〕①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，【解析】分析：另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型〞，根据“AA〞判定相似；〔2〕【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等〞，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，那么DM=DG=DN，从而通过证明△BDM≅△CDN可得BD=CD；详解：〔1〕①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，那么BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，那么∠CDF =∠C=60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，∴∠BED=∠CDF，又∵∠B=∠C，∴△EBD∽△DCF〔2〕存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，〔 3 〕连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，那么∠BGO=∠CHO=90°，∵AB=AC，O是BC的中点∴∠B=∠C，OB=OC，∴△OBG≅△OCH，∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，那么∠GOH=180°-〔∠BOG+∠COH〕=2α，∵∠EOF=∠B=α，那么∠GOH=2∠EOF=2α，由〔2〕题可猜测应用EF=ED+DF=EG+FH，那么 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设AB=m，那么OB=mcosα，GB=mcos2α,.点睛：此题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识点．难度较大.28．如图①，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．〔1〕如图②，当BC=4，DE=5，tan∠FMN=1时，求的值；〔2〕假设tan∠FMN=，BC=4，那么可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；〔3〕连接CM，DN，CF，DF．试证明△FMC与△DNF全等；〔4〕在〔3〕的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．【来源】山东省威海市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕；〔2〕可求线段AD的长；〔3〕证明见解析；〔4〕△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．〔3〕根据△ABC和△ADE都是直角三角形，M，N分别是AB，AE的中点，即可得到BM=CM，NA=ND，进而得出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；〔4〕由BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．详解：〔1〕∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，NF都是△ABE的中位线，∴MF=AE=AN，NF=AB=AM，∴四边形ANFM是平行四边形，又∵AB⊥AE，∴四边形ANFM是矩形，又∵tan∠FMN=1，∴FN=FM，∴矩形ANFM是正方形，AB=AE，〔2〕可求线段AD的长．由〔1〕可得，四边形MANF为矩形，MF=AE，NF=AB，∵tan∠FMN=，即=，∴=，∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，∴△ABC∽△EAD，∴==，∵BC=4，∴AD=8；〔3〕∵BC⊥CD，DE⊥CD，∴△ABC和△ADE都是直角三角形，〔4〕在〔3〕的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．点睛：此题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．29．〔1〕某学校“智慧方园〞数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题〔如图2〕．请答复：∠ADB= °，AB= ．〔2〕请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．【来源】山东省东营市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕75；4；〔2〕CD=4．详解：〔1〕∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=3，∴OD=AO=，∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=4．〔2〕过点B作BE∥AD交AC于点E，如下图．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴．∵BO：OD=1：3，∴．∵AO=3，∴EO=，∴AE=4．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．点睛：此题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：〔1〕利用相似三角形的性质求出OD的值；〔2〕利用勾股定理求出BE、CD的长度．30．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点〔DP＜CP〕，∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．〔1〕求证：AD2=DP•PC；〔2〕请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；〔3〕如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．假设=，求的值．【来源】云南省昆明市 2022年中考数学试题【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕四边形PMBN是菱形，理由见解析；〔3〕〔3〕由于，可设DP=k，AD=2k，由〔1〕可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．详解：〔1〕过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD=PG，DP=AG，GB=PC∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，∴∠APG=∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；〔2〕∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,∴∴，∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，∴.点睛：此题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．41。

2023年中考数学一轮专题练习 图形的相似(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 图形的相似(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的相似3一、单选题（本大题共11小题）1. （云南省2022年）如图，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ）A ．12 B ．14 C ．34 D ．782. （广西百色市2022年）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1 3. （广西贺州市2022年）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35 4. （广西贺州市2022年）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm5. （广西梧州市2022年）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OAOA ，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．186. （贵州省毕节市2022年）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB =，6BC =，则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．1857. （贵州省贵阳市2022年）如图，在ABC 中，D 是边上的点，，，则与的周长比是（）AB B ACD ∠=∠:1:2AC AB =ADC ACB △A ．B ．C ． D．8. （海南省2022年）如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABCBC AB ∠=︒=，则点D 的坐标是（ ）A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)9. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．8310. （黑龙江省哈尔滨市2022年）如图，相交于点E ，，则的长为（ ）A ．32B ．4C ．D ．611. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；②45OPA ∠=︒；③AP BP -=；④若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；⑤四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ） 1:21:31:4,,AB CD AC BD ∥1,2,3AE EC DE ===BD 92A ．①②④⑤B ．①②③⑤C ．①②③④D ．①③④⑤二、填空题（本大题共11小题）12. （浙江省湖州市2022年）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是 ．13. （浙江省温州市2022年）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2∶3，则点O ，M 之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．14. （北京市2022年）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为 ．15. （江苏省泰州市2022年）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠===中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为 .16. （山东省潍坊市2022年）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为 ．17. （陕西省2022年）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分，其中E 为边AB 的黄金分割点，即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米，则线段BE 的长为 米．18. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．ABCD19. （浙江省杭州市2022年）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB = m ．20. （黑龙江省省龙东地区2022年）在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为 ．21. （江苏省宿迁市2022年）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．22. （安徽省2022年）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，△BEF 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G ．连接DF ，请完成下列问题：H（1）FDG ∠= °；（2）若1DE =，DF =MN = ．三、解答题（本大题共8小题）23. （湖南省常德市2022年）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．24. （湖北省武汉市2022年）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB =，延长ED 交AB 于点F ，探究AF AB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC ∠=︒时，直接写出AF AB的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC =，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，()12CG n BC n=<，延长BC 至点E ，使DE DG =，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF AB的值（用含n 的式子表示）． 25. （甘肃省金昌市2022年）如图，AB 是O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，过O 上一点E 作直线DC ，分别交AM 、BN 于点D 、C ，且DA ＝DE ．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）求证：2OA DE CE =⋅26. （湖北省宜昌市2022年）已知菱形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边AD 上一点．(1)如图1，连接CE ，CF ．CE AB ⊥，CF AD ⊥．①求证：CE CF =；②若2AE =，求CE 的长；(2)如图2，连接CE ，EF ．若3AE =，24EF AF ==，求CE 的长．27. （浙江省温州市2022年）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ．①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 28. （江苏省泰州市2022年）已知：△ABC 中，D 为BC 边上的一点.(1)如图①，过点D 作DE ∥AB 交AC 边于点E ，若AB =5，BD =9，DC =6，求DE 的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC 边上做点F ，使∠DFA =∠A ；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F 在AC 边上，连接BF 、DF ，若∠DFA =∠A ，△FBC 的面积等于12CD AB •，以FD 为半径作⊙F ，试判断直线BC 与⊙F 的位置关系，并说明理由. 29. （江苏省苏州市2022年）（1）如图1，在△ABC 中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若1DE =，32BD =，求BC 的长； ②试探究AB BE AD DE-是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，CBG ∠和BCF ∠是△ABC 的2个外角，2BCF CBG ∠=∠，CD 平分BCF ∠，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为1S ，△CDE 的面积为2S ，△BDE 的面积为3S ．若2132916S S S ⋅=，求cos CBD ∠的值．30. （浙江省湖州市2022年）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ．①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S 与S 之间的等量关系，并说明理由．参考答案1. 【答案】B【分析】先判定EBD ABC ，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．【详解】解：∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点， ∴12BE BD AB BC ==， 又∵B B ∠=∠， ∴EBD ABC ，相似比为12， ∴22114S BE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故选：B ．2. 【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．3. 【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ， ∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．4. 【答案】B【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ，可得CD =DE ，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm 3，圆锥的体积为72πcm 3，设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：如图，作圆锥的高AC ，在BC 上取点E ，过点E 作DE ⊥AC 于点D ，则AB =6cm ，AC =6cm ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD =DE ，圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD =x cm ，则DE =CD =（6-x ）cm ，∴， ∴，解得：x =3，即此时“沙漏”中液体的高度3cm ．故选：B ．5. 【答案】D【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选：D ．6. 【答案】D【分析】 连接BF 交AE 于点G ，根据对称的性质，可得AE 垂直平分BF ，BE =FE ，BG =FG =12BF ，根据E 为BC 中点，可证BE =CE =EF ，通过等边对等角可证明∠BFC =90°，利233763cm ππ⨯⨯=2316672cm 3ππ⨯⨯=21(6)(6)72633x x πππ⋅-⋅-=-3(6)27x -=ABCD ''''A B C D ''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ABCD ''''A B C D用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据FC=算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将ABE△沿AE折叠得到AFE△∴ABE△与AFE△关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12 BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=13 2BC=∴5 AE=∵sinBE BG BAEAE AB ∠==∴341255BE ABBGAE⋅⨯===∴1224 2225 BF BG==⨯=∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=18090 2︒=︒∴185FC故选 D7. 【答案】B【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，12AC AD CDAB AC BC===12AC AD CDAB AC BC++=++AC AD CDAB AC BC==∵， ∴， ∴， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．8. 【答案】D【分析】先过点C 做出轴垂线段CE ，根据相似三角形找出点C 的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的坐标．【详解】如图过点C 作轴垂线，垂足为点E ，∵∴∵∴在和BCE ∆中，90ABO BCE AOB BEC =⎧⎨==︒⎩∠∠∠∠ ， ∴ABO BCE ∆∆∽，∴ ， 则 ,22EC OB ==∵点C 是由点B 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D 同样是由点A 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A 坐标为(0，3)，∴点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意，故答案选D9. 【答案】A【分析】12AC AB =12AC AD CD AB AC BC ===12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++x x 90ABC ∠=︒90ABO CBE ∠+∠=︒90CBE BCE +=︒∠ABO BCE ABO ∆12AB AO OB BC BE EC ===26BE AO ==令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH=，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，52x y A G -'=， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又为公共角，∴，∴， 则，整理，得，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH =， EH =-(舍)，∴AB =x ，∴．故选：A ．GCA '∠CGA CFB ''△∽△CG AG CF B F'='53232x yx x y x-=+()()30x y x y +-=AD AB ==10. 【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵∴∴ ∵， ∴∵∴ 故选：C ．11. 【答案】B【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明得到EC =FD ，再证明得到∠EAC =∠FBD ，从而证明∠BPQ =∠AOQ =90°，即；②通过等弦对等角可证明；③通过正切定义得，利用合比性质变形得到，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；④作EG ⊥AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；⑤将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，∴OC =OD ，OC ⊥OD ，∠ODF =∠OCE =45°∵OE OF ⊥∴∠DOF +∠FOC =∠FOC +∠EOC =90°∴∠DOF =∠EOC在△DOF 与△COE 中//AB CD ABE CDE ∽AE BE EC DE=1,2,3AE EC DE ===32BE =BD BE ED =+92BD =()DOF COE ASA ≌()EAC FBD SAS ≌AE BF ⊥45OPA OBA ∠=∠=︒tan BE BP BAE AB AP ∠==CE BP AP BP BE ⋅-=ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DOF COE ASA ≌∴EC =FD∵在△EAC 与△FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()EAC FBD SAS ≌∴∠EAC =∠FBD又∵∠BQP =∠AQO∴∠BPQ =∠AOQ =90°∴AE ⊥BF所以①正确；②∵∠AOB =∠APB =90°∴点P 、O 在以AB 为直径的圆上 ∴AO 是该圆的弦∴45OPA OBA ∠=∠=︒所以②正确； ③∵tan BE BP BAE AB AP ∠== ∴AB AP BE BP = ∴AB BE AP BP BE BP --= ∴AP BP CE BP BE-= ∴CE BP AP BP BE⋅-= ∵,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒ ∴∴ ∴ ∴ ∵1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ∴AE BP AB BE ⋅=⋅∴OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以③正确；AOP AEC ∽OP AO CE AE =OP AE CE AO⋅=OP AE BP AP BP AO BE ⋅⋅-=⋅④作EG ⊥AC 于点G ，则EG ∥BO ， ∴EG CE CG OB BC OC== 设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ∴233BE CE CE ++= ∴35CE BC =∴35CE EG OB BC =⋅= ∵EG ⊥AC ，∠ACB =45°，∴∠GEC =45°∴CG =EG∴3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠===- 所以④错误；⑤∵()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF ∴S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD ∵S △COD =∴S 四边形OECF =所以⑤正确；综上，①②③⑤正确，④错误， 故选 B12. 【答案】6【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据DE =2，进而得到BC 长． 【详解】 14ABCD S 正方形14ABCD S正方形13DE AD BC AB ==解：根据题意，∵，∴△ADE ∽△ABC ，∴， ∵DE ＝2， ∴， ∴；故答案为：6．13. 【答案】 10 ；10【分析】过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，求出CH 的长度，根据23EF OM FG MH ==，求出OM 的长度，证明BIO JIB ∽，得出23BI IJ =，49OI IJ =，求出IJ 、BI 、OI 的长度，用勾股定理求出OB 的长，即可算出所求长度．【详解】如图，过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI ⊥OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，由题意可知，点O 是AB 的中点，∵OH AC BD ，∴点H 是CD 的中点，∵13m CD =， ∴1 6.5m 2CH HD CD ===， ∴8.5 6.515m MH MC CH =+=+=，又∵由题意可知：23EF OM FG MH ==， ∴2153OM =，解得10m =OM ， ∴点O 、M 之间的距离等于10m ，∵BI ⊥OJ ，∴90BIO BIJ ∠=∠=︒，∵由题意可知：90OBJ OBI JBI ∠=∠+∠=︒，又∵90BOI OBI ∠+∠=︒，∴BOI JBI ∠=∠，∴BIO JIB ∽，DE BC ∥13DE AD BC AB ==213BC =6BC =∴23BI OI IJ BI ==， ∴，， ∵， ∴四边形IHDJ 是平行四边形，∴，∵， ∴，，，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴叶片外端离地面的最大高度等于，故答案为：10，14. 【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC ==， ∴144AE =， ∴1AE =，故答案为：1．15. 【答案】2或##或2 23BI IJ =49OI IJ =,OJCD OH DJ 6.5m OJ HD ==4 6.5m 9OJ OI IJ IJ IJ =+=+=4.5m IJ =3m BI =2m OI =Rt OBI △222OB OI BI =+OB =OB OK ==(10m MK MO OK =+=(10m 101212【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵，∴∵O 为的内心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE ，∵O 为的内心，∴，∴∴∴②如图，作，由①知，，，∵∴ ∴ ∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯=== //DE BC OF BC OG AB ⊥⊥，//DE BC OBF BOE ∠=∠ABC ∆OBF OBE ∠=∠BOE OBE ∠=∠BE OE =CD OD=10AB =ABC ∆OF OD OG CD ===BF BG AD AG ==，6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=2CD =DE AB⊥4BE =6AE =ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，ABCADE ∆∆AB AD AC AE=∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE == ∴19422DE BE CD =+=+= ∴12CD = 故答案为：2或12．16. 【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；【详解】解：正方形ABCD 的面积为4，，，，所求周长；故答案为：．17. 【答案】##【分析】根据点E 是AB 的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E 是AB 的黄金分割点，∴． ∵AB=2米，∴米．）．18. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间2AB =4A B ''=∴2AB =:2:1A B AB ''=∴4A B ''=∴A C ''==1)15AE BE BE AB ==AE BE BE AB ==1BE =）1的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．19. 【答案】9.88【分析】根据平行投影得AC ∥DE ，可得∠ACB =∠DFE ，证明Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，然后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ． ∴AC ∥DE ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =∠DEF =90°，∴Rt △ABC ∽△Rt △DEF ，∴，即， 解得AB =9.88，∴旗杆的高度为9.88m ．故答案为：9.88．20. 【答案】313或154或6 【分析】分三种情况讨论：当∠APE =90°时，当∠AEP =90°时，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，∠BAD =∠B =∠BCD =∠ADC =90°，如图，当∠APE =90°时，∴∠APB +∠CPE =90°，∵∠BAP +∠APB =90°，∴∠BAP =∠CPE ，∵∠B =∠C =90°，∴△ABP ∽△PCE ， ∴AB BP PC CE =，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当∠AEP =90°时，AB BC DE EF =8.722.47 2.18AB=∴∠AED +∠PEC =90°，∵∠DAE +∠AED =90°，∴∠DAE =∠PEC ，∵∠C =∠D =90°，∴△ADE ∽△ECP ， ∴AD DE CE PC =，即12944PC-=， 解得：53PC =， ∴313BP BC PC =-=； 如图，当∠PAE =90°时，过点P 作PF ⊥DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得∠BAF =∠ABP =∠F =90°，∴四边形ABPF 为矩形，∴PF =AB =9，AF =PB ，∵∠PAF +∠DAE =90°，∠PAF +∠APF =90°，∴∠DAE =∠APF ，∵∠F =∠D =90°，∴△APF ∽△EAD ， ∴AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6． 故答案为：313或154或621.【分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且 点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ 及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN ，则四边形ABNM 是矩形，∴MN =AB =6，AM =BN =AD ==4，根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∴ ∴ ∴ 当点E 与点A 重合时，则NF =， ∴BF =BN +NF =4+2=6，∴AB =BF =6∴是等腰直角三角形，∴∵BP ⊥AF ，∴由题意得，点H 在以BQ 为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ 中点O ，连接PO ，NO ，∴∠PON =90°，又∴， AQM FQN ∆∆，:1:2,NQ MQ =PN PN PN M N AD BC 12AQMFQN ∆∆，12NF NQ EM MQ ==123NQ MN ==122AM =ABF ∆45,AFB ∠=︒45PBF ∠=︒PN PN 90,BNQ ∠=︒BQ ===∴， ∴故答案为： 22. 【答案】 45 ；2615【分析】 （1）先证△ABE ≌△GEF ，得FG =AE =DG ，可知△DFG 是等腰直角三角形即可知FDG ∠度数．（2）先作FH ⊥CD 于H ，利用平行线分线段成比例求得MH ；再作MP ⊥DF 于P ，证△MPF ∽△NHF ,即可求得NH 的长度，MN =MH +NH 即可得解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =90°，AB =AD ，∴∠ABE +∠AEB =90°，∵FG ⊥AG ，∴∠G =∠A =90°，∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =FE ，∠BEF =90°，∴∠AEB +∠FEG =90°，∴∠FEG =∠EBA ，在△ABE 和△GEF 中，A G ABE GEF BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△GEF （AAS ），∴AE =FG ，AB =GE ，在正方形ABCD 中，AB =ADAD GE ∴=∵AD =AE +DE ，EG =DE +DG ，∴AE =DG =FG ，∴∠FDG =∠DFG =45°．故填：45°．（2）如图，作FH ⊥CD 于H ，12ON OP OQ BQ ===PN∴∠FHD =90°∴四边形DGFH 是正方形，∴DH =FH =DG =2，∴AG FH , ∴=DE DM FH MH， ∴DM =23，MH =43， 作MP ⊥DF 于P ，∵∠MDP =∠DMP =45°，∴DP =MP ，∵DP 2+MP 2=DM 2，∴DP =MP=∴PF∵∠MFP +∠MFH =∠MFH +∠NFH =45°，∴∠MFP =∠NFH ，∵∠MPF =∠NHF =90°，∴△MPF ∽△NHF , ∴=MP PF NH HF，即=NH 332， ∴NH =25， ∴MN =MH +NH =43+25=2615． 故填： 2615． 23. 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）①证明ADG AEG ≌△即可；②连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；②的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．(1)证明：①证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =②证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BO BE GC GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ (2)作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅ 24. 【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2）见解析 (2)[问题拓展]24n - 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得30ADF ADB ∠=∠=︒，90AFD ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，可得111,222AF AD AD AC AB ===，即可求解； （2）取BC 的中点H ，连接DH ．证明DBH DEC △≌△，可得BH EC =，根据DH AB ∥，证明EDH EFB △∽△，根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ==，进而可得14AF AB =；[问题拓展]方法同（2）证明DBH DEC△≌△，得出，GH EC，证明EDH EFB△∽△，得到2+2FB EB nDH EH==，进而可得AFAB=24n-．(1)[问题探究]：（1）如图，ABC中，AB AC=，D是AC的中点，60BAC∠=︒，ABC∴是等边三角形，12AD AB=30ABD DBE∴∠=∠=︒，60A∠=︒，DB DE∴=，30E DBE∴∠=∠=︒，180120DCE ACB∠=︒-∠=︒，18030ADF CDE E DCE∴∠=∠=︒-∠-∠=︒，60A∠=︒，90AFD∴∠=︒，12AF AD∴=，1124ADAFAB AB∴==．（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB=．∵AB AC=，∴DH DC=，∴DHC DCH ∠=∠．∵BD DE =，∴DBH DEC ∠=∠．∴BDH EDC ∠=∠．∴DBH DEC △≌△．∴BH EC =． ∴32EB EH =． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴32FB EB DH EH ==． ∴34FB AB =． ∴14AF AB =． (2)[问题拓展]如图，取BC 的中点H ，连接DH ．∵D 是AC 的中点，∴DH AB ∥，12DH AB =． ∵AB AC =，∴DH DC =，∴DHC DCH ∠=∠．∵DE DG =，∴DGH DEC ∠=∠．∴GDH EDC ∠=∠．∴DGH DEC ≌．∴GH EC ． HE CG ∴=()12CG nBC n=<BC nCG ∴=()1BG n CG ∴=-，()1111222n CE GH BC BG nCG n CG CG ⎛⎫==-=--=- ⎪⎝⎭∴1221+22nCG EB BC CE n n EH EH n C CG G ⎛⎫-+++==== ⎪⎝⎭． ∵DH AB ∥，∴EDH EFB △∽△． ∴2+2FB EB n DH EH ==． ∴24FB n AB +=． ∴42244AF n n AB ---==． ∴AF AB =24n -． 25. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，OE ，证明△OAD ≌△OED ，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD 是切线；（2）连接OC ，得AM ∥BN ，得,DEOOEC ∆∆，再证明2.OE DE CE =•，进而得出结论2.OA DE CE =•．【详解】解(1)如图,连接,OE OD 、 DA 是O 的切线，90OAD ︒∠= 在AOD ∆和EOD ∆中, , ,,OA OE DA DE OD OD ===()AOD EOD SSS ∴∆∆≌90,OAD OED ︒∴∠=∠=,OE CD ∴⊥CD ∴是O 的切线.(2)连接,OC AM BN DC 、、是O 的切线，90OAD OBC DEO OEC ︒∴∠=∠=∠=∠=//,AM BN ∴180ADE BCE ︒∴∠+∠=又AM BN DC 、、是O 的切线，CE CB ∴=,OD 平分,ADE OC ∠平分, .BCE ∠()111809022ODE OCE ADE BCE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=⨯=又90ODE DOE ︒∠+∠=,OCE DOE ∴∠=∠又90DEO OEC ︒∠=∠=,,DEO OEC ∴∆∆OE DE CE OE∴= 2.OE DE CE ∴=•又,OA OE =2.OA DE CE ∴=•26. 【答案】(1)①见解析；②CE =(2)6EC =【分析】（1）①根据AAS 可证得：BEC DFC ≌△△，即可得出结论； ②连接AC ，可证得ABC是等边三角形，即可求出CE =（2）延长FE 交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长． (1)（1）①∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴()BEC DFC AAS ≌，∴CE CF =.②如图，连接AC .∵E 是边AB 的中点，CE AB ⊥，∴BC AC =，又由菱形ABCD ，得BC AB =，∴ABC 是等边三角形，∴60EAC ∠=︒，CB M AAS AEF BEM ≌4ME =2BM =8MC =MB ME =12ME MC =MEB MCE △∽△EC CE AB ⊥CF AD ⊥90BEC DFC ∠=∠=︒ABCD B D ∠=∠BC CD =在Rt AEC 中，2AE =，∴tan 60EC AE =︒=∴CE =(2)如图，延长FE 交CB 的延长线于点M ，由菱形ABCD ，得AD BC ∥，AB BC =，∴AFE M ∠=∠，A EBM ∠=∠，∵E 是边AB 的中点，∴AE BE =，∴()AEF BEM AAS △≌△，∴=ME EF ，MB AF =，∵3AE =，24EF AF ==，∴4ME =，2BM =，3BE =，∴26BC AB AE ===，∴8MC =， ∴2142MB ME ==，4182ME MC ==， ∴MB ME ME MC=，而M ∠为公共角. ∴MEB MCE △∽△， ∴24BE MB EC ME ==， 又∵3BE =，∴6EC =.27. 【答案】(1)(2) (3)①或；② 【分析】 （1）连接OD ，设半径为r ，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP =AP 十AC ，用含x 的代数式表示 AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE 是矩形，当 ∠PQR ＝90°时，过点P 作PH ⊥BE 于点H ， 则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF 的长度，从而解决问题．(1)解：如图1，连结．设半圆O 的半径为r ．∵切半圆O 于点D ，∴．∵，∴，∴，∴， 即， ∴，即半圆O 的半径是． (2) 由（1）得：． 1585544y x =+972111199△∽△COD CBE OD CO BE CB =90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒,AF QF ',45QF QF F QR EQR ∠∠'=='=︒BF 'OD CD OD CD ⊥BE CD ⊥OD BE ∥△∽△COD CBE OD CO BE CB =535r r -=158r =1581555284CA CB AB =-=-⨯=∵， ∴． ∵，∴． (3)①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2．∵，∴．∵，∴四边形为矩形，∴．∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P 作于点H ，如图3，则四边形是矩形，∴．∵，∴．5,4AP BQ x BQ ==54AP x =CP AP AC =+5544y x =+90PRQ ∠<︒90RPQ ∠=︒PR CE ⊥90ERP ∠=︒90E ∠=︒RPQE PR QE =333sin 544PR PC C y x =⋅==+33344x x +=-97x =90PQR ∠=︒PH BE⊥PHER ,PH RE EH PR ==5,3CB BE ==4CE ==∵， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-， 由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111． ②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠' ∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ， ∵PR ∥BE ， ∴CPR CBE △∽△， ∴CP CB CR CE=， 即：x CR +=555444， 解得：CR =x +1， ∴ER =EC -CR =3-x ， 即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°， ∴45F QR EQR ∠=∠='︒ ∴90BQF ∠='︒， 4cos 15CR CP C y x =⋅==+∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 28. 【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线BC 与⊙F 相切，理由见详解【分析】（1）由题意易得23CD BD =，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；（2）作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；（3）作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，证明四边形ABRF 是等腰梯形，推出AB =FR ，由CF ∥BR ，推出，推出CD ⊥DF ，然后问题可求解．(1)解：∵DE ∥AB ，∴，∴， ∵AB =5，BD =9，DC =6，∴， ∴；(2)解：作DT ∥AC 交AB 于点T ，作∠TDF =∠ATD ，射线DF 交AC 于点F ，则点F 即为所求；如图所示：点F 即为所求，25CD CB =1122CFB CFR SS AB CD FR CD ==⋅=⋅CDE CBA ∽DECD AB CB 6569DE =+2DE =(3)解：直线BC 与⊙F 相切，理由如下：作BR ∥CF 交FD 的延长线于点R ，连接CR ，如图，∵∠DFA =∠A ，∴四边形ABRF 是等腰梯形，∴，∵△FBC 的面积等于， ∴， ∴CD ⊥DF ，∵FD 是⊙F 的半径，∴直线BC 与⊙F 相切．29. 【答案】（1）①94BC =；②AB BE AD DE -是定值，定值为1；（2）3cos 8CBD ∠= 【分析】（1）①证明CED CDB ∽，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE AC ∥，可得AB BC AD DE =，由①同理可得CE DE =，计算AB BE AD DE-1=； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得12S AC BC S DE BE==，又32S BE S CE =，则1322S S BC S CE ⋅=，可得916BC CE =，设9BC x =，则16CE x =．证明CDB CED ∽△△，可得12CD x =，过点D 作DH BC ⊥于H ．分别求得BD BH ，，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD 平分ACB ∠，AB FR =12CD AB •1122CFB CFR S S AB CD FR CD ==⋅=⋅2∵2ACB B ∠=∠，∴ACD DCB B ∠=∠=∠． ∴32CD BD ==． ∵DE AC ∥，∴ACD EDC ∠=∠．∴EDC DCB B ∠=∠=∠．∴1CE DE ==．∴CED CDB ∽． ∴CE CD =CD CB． ∴94BC =． ②∵DE AC ∥， ∴AB BC AD CE=． 由①可得CE DE =， ∴AB BC AD DE=． ∴1AB BE BC BE CE AD DE DE DE DE-=-==． ∴AB BE AD DE -是定值，定值为1． （2）∵DE AC ∥，BDE BAC ∴∽△△BC AB AC BE BD DE ∴== ∴12S AC BC S DE BE==． ∵32S BE S CE=， ∴1322S S BC S CE⋅=． 又∵2132916S S S ⋅=， ∴916BC CE =． 设9BC x =，则16CE x =．∵CD 平分BCF ∠，2∵2BCF CBG ∠=∠，∴ECD FCD CBD ∠=∠=∠．∴BD CD =．∵DE AC ∥，∴EDC FCD ∠=∠．∴EDC CBD ECD ∠=∠=∠．∴CE DE =．∵DCB ECD ∠=∠，∴CDB CED ∽△△． ∴CD CB CE CD=． ∴22144CD CB CE x =⋅=．∴12CD x =．如图，过点D 作DH BC ⊥于H ．∵12BD CD x ==， ∴1922BH BC x ==． ∴932cos 128x BH CBD BD x ∠===． 30. 【答案】(1)①6；②见解析 (2)2114S S S -=，理由见解析 【分析】（1）①将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可②利用AN 公共边，发现△FAN ∽△AN B ，利用FA AN AN NB=，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论（2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，△ABC ≌△FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，∠FEB ＝∠ACB ＝90°，从而得到∠FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，cos30FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论 (1)∵19S =，216S =∴b ＝3，a ＝4∵∠ACB ＝90° ∴11S ab 34622==⨯⨯= ②由题意得：∠FAN ＝∠ANB ＝90°，∵FH ⊥AB∴∠AFN ＝90°－∠FAH ＝∠NAB∴△FAN ∽△AN B ∴FA AN AN NB = ∴a b a a b+=， 得：22ab b a +=∴122S S S +=．即212S S S -= (2)2114S S S -=，理由如下： ∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形∴AB ＝FB ，∠ABC ＝60°－∠FBC ＝∠FBE ，CB ＝EB∴△ABC ≌△FBE （S A S ）∴AC ＝FE ＝b∠FEB ＝∠ACB ＝90°∴∠FEC ＝30°∵EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a∴cos30b FE a CE ==︒=∴b =∴212S ab ==由题意得：21S ，22S =∴22221S S -== ∴2114S S S -=。

专题21图形的相似(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)02【解析版】

专题21图形的相似(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)02【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题21图形的相似（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解析】∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．2．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54B．36C．27D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解析】方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，＝27；∴C△DEF故选：C．3．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解析】在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△BED∽△BAC，∵＝，∴＝，即＝，故选：B．4．（2022•武威）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到，然后根据BC＝6，EF＝4，即可得到的值．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴，∵BC＝6，EF＝4，∴＝，故选：D．5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x 的值．【解析】∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故选：B．6．（2022•台湾）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE ＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（）A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8：【分析】证明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF•CB，推出AC＝4，可得＝＝，推出S△ACF S△ACB＝5：16，同法S△BDE：S△ABC＝5：16，由此可得结论．【解析】∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴CA2＝CF•CB，∴CA2＝5×16＝80，∵AC＞0，∴AC＝4，∴＝＝，：S△ACB＝5：16，∴S△ACF同法可证△BDE∽△BCA，∵BD＝AC，∴＝，：S△ABC＝5：16，∴S△BDE：S△ABC＝（16﹣5﹣5）：16＝3：8，∴S四边形ADEF7．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．【解析】∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∴当a2＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．8．（2022•孝感）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解析】根据题意知，BF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，∵S四边形AECF故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．9．（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．【解析】∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，又黄金分割比为≈0.618，∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，故选：D．10．（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解析】在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，：S△ABC＝＝．∴S△ADE故选：D．11．（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解析】设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．12．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明△GBH∽△EDC，得到，即，利用△HEC是等腰直角三角形，求出，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF＝3可知③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，求出，再证明∠DEC＝∠EFC，即可知④正确．【解析】∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．13．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，利用相似三角形的性质求出CF″可得结论．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，＝2，∵BC＝2，S△ABC∴×2×AH＝2，∴AH＝EC2，∵∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解析】如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM＝＝＝2．故选：C．15．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的旋转得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．【解析】∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合题意；故选：D．16．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是＝S△ABC，其中正确结论的个数是（）菱形；④S△BOEA．4B．3C．2D．1【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【解析】∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA＝OC，又∵点E为BC的中点，＝S△BOC＝S△ABC，故④正确；∴S△BOE正确的结论由4个，故选：A．17．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．【解析】如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+6＝14，故选：A．18．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤．【解析】由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．19．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．20．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．设BF＝2k，CG＝3k．则AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，因为C，A′，B′共线，GA′∥FB′，推出＝，推出＝，可得y2﹣12ky+32k2＝0，推出y＝8k或y ＝4k（舍去），推出AE＝DE＝4k，再利用勾股定理求出GT，可得结论．【解析】连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF ＝2，CG ＝3，连接CE ，则Rt △CA 'E ≌Rt △CDE ，推出A 'C ＝CD ＝AB ＝A 'B '，＝＝1，推出GF ＝CG ＝3，BC ＝8，在Rt △CB 'F ，勾股得CB '＝4则A 'B '＝2，故选：A ．21．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是（）A ．B ．1C ．D ．2【分析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，则＝，即＝2，解得：BC ＝，故选：C ．22．（2022•重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．23．（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的周长．【解析】∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．：C△DEF＝2：3，∴C△ABC∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．24．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC 交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，可得△ABG≌△CBE（SAS），即得∠BAG＝∠BCE，即可证明∠POC＝90°，可判断①正确；取AC的中点K，可得AK＝CK＝OK＝BK，即可得∠BOA＝∠BCA，从而△OBP∽△CAP，判断②正确，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得A、O、C、D四点共圆，而AD＝CD，故∠AOD＝∠DOC＝45°，判断④正确，不能证明OB平分∠CBG，即可得答案．【解析】∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．二．填空题（共17小题）25．（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝．【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，∴，∴EF＝，故答案为：．26．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一），使△ADE∽△ABC．【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．【解析】∵∠A＝∠A，∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．27．（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？是（填“是”或“否”）；（2）AE＝．【分析】（1）证明△ACM≌△CFD，得出∠CAM＝∠FCD，由∠CAM+∠CMA＝90°，得出∠FCD+∠CMA＝90°，进而得出∠CEM＝90°，即可得出AB⊥CD；（2）先利用勾股定理求出AB＝2，再证明△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质即可求出AE的长度．【解析】如图1，在△ACM和△CFD中，，∴△ACM≌△CFD（SAS），∴∠CAM＝∠FCD，∵∠CAM+∠CMA＝90°，∴∠FCD+∠CMA＝90°，∴∠CEM＝90°，∴AB⊥CD，故答案为：是；（2）如图2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，∵AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AE＝，故答案为：．28．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．【解析】连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，由勾股定理得：OA＝＝＝，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴＝，即＝，解得：ME＝，同理可得：NF＝，∴ME+NF＝，故答案为：．29．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【分析】通过证明△BAQ∽△PFD，可得，即可求解．【解析】如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．30．（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案为：．31．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为﹣1+米．【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．【解析】∵BE2＝AE•AB，设BE＝x，则AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴线段BE的长为（﹣1+）米．故答案为：﹣1+．32．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝9.88m．【分析】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．【解析】∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．33．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【分析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根据SAS判断△ACD≌△ABD′；根据∠BAC＝∠D′AD＝θ，＝，即可判断△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出＝（）2，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD＝CD，则AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．34．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈0.618DE．（精确到0.001）【分析】根据黄金分割的定义可得＝≈0.618，再根据题意可得EG＝AE，即可解答．【解析】∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由题意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．35．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【分析】如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出AM（用k表示），可得结论．【解析】如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，故答案为：．36．（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，＝．若DE＝2，则BC的长是6．【分析】由平行线的旋转得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋转得出，代入计算即可求出BC的长度．【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∵＝，DE＝2，∴，∴BC＝6，故答案为：6．37．（2022•武威）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，从而可得∠ABD＝∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG＝BG，从而可得∠BEG＝∠ABD，进而可得∠BEG＝∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．38．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于10米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于（10+）米．【分析】解法一：作平行线OP，根据平行线分线段成比例定理可知PC＝PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论；解法二：作辅助线，构建直角△CND，证明△HMC∽△EFG，根据垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，列比例式可得HM的长，由三角函数的定义可得CN的长，从而得OA＝OB＝，由此可解答．【解析】解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴＝＝，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，∴＝＝，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．39．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【分析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假设BT＝k，CT＝3k，证明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，构建方程求解即可．【解析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE ＝BT +ET ＝k +10﹣2k ＝10﹣k ＝5或，故答案为：5或．40．（2022•达州）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．a ＝，b ＝，记S 1＝+，S 2＝+，…，S 100＝+，则S 1+S 2+…+S 100＝5050．【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1＝1，S 2＝2，S 100＝100，…，利用规律求解即可．【解析】∵a ＝，b ＝，∴ab ＝×＝1，∵S 1＝+＝＝1，S 2＝+＝＝2，…，S 100＝+＝＝100，∴S 1+S 2+…+S 100＝1+2+…+100＝5050，故答案为：5050．41．（2022•成都）如图，△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形．若OA ：AD ＝2：3，则△ABC 与△DEF 的周长比是2：5．【分析】先根据位似的性质得到△ABC 和△DEF 的位似比为OA ：OD ，再利用比例性质得到OA ：OD ＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解析】∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．三．解答题（共9小题）42．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到∠OCD＝90°，从而可以证明结论成立；（2）根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得DE和CD的长，从而可以得到EC的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵EF⊥AB，AB为⊙O的切线，∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠AGF＝∠ABC，∵EG＝EC，OC＝OB，∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，又∵∠AGF＝∠EGC，∴∠ECG＝∠BCO，∵∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠ECG+∠ACO＝90°，∴∠ECO＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，∴＝，即＝，解得OC＝2，∴OD＝6，∴DC＝＝＝4，∵点E为OA的中点，OA＝OC，∴OF＝1，∴DF＝7，∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，∴△EFD∽△OCD，∴，即，解得DE＝，∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，即EC的长是．43．（2022•常德）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）过点D作DH⊥BC于H，根据勾股定理求出ED，根据矩形的性质、勾股定理求出BC，再根据相似三角形的性质求出EF．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠OAD，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点D作DH⊥BC于H，∵ED∥BC，∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，则四边形EBHD为矩形，∴BH＝ED，DH＝BE＝7，∵AB＝8，AE＝1，∴OE＝3，∴ED＝＝＝，∵CB、CD是⊙O的切线∴CB＝CD，设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣）2＝x2，解得：x＝4，即BC＝4，∵ED∥BC，∴＝，即＝，解得：EF＝．44．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，CD，根据已知可得∠ACD+∠DCB＝90°，利用等腰三角形的性质可得∠OCD ＝∠ODC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE ＝CE，进而可得∠DCE＝∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可证△ACB∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AC的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．45．（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF 的中点，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG ＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出＝，可得结论；（2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出＝，可得结论．【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(28)图形的相似-精练精析(1)及答案解析

中考数学专卷2020届中考数学总复习(28)图形的相似-精练精析(1)及答案解析

图形的变化——图形的相似1一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．52．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A． B． C． D．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P46．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣69．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2二．填空题（共7小题）10 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= _________ ．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是_________ ．12．若，则= _________ ．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是_________ ．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为_________ ．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________ ．16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= _________ ．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．图形的变化——图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．5考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．专题：几何图形问题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．解答：解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：考点：相似多边形的性质．专题：计算题．分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D．点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．C D•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；D、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P4考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．解答：解：∵∠BAC=∠PED，而=，∴=时，△ABC∽△EPD，∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处．故选：C．点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．解答：解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选D．点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；直角梯形．分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．解答：解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G 分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A． 1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．解答：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故选：A．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题（共7小题）10．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= 2 ．考点：比例线段．分析：根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．解答：解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．点评：本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是36 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．解答：解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．故答案为：36．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．若，则= ．考点：比例的性质．分析：先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵ =，∴a=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是12 ．考点：相似三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=，∴△DEF的周长=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x ．考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：数形结合．分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．解答：解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED（答案不唯一）．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．解答：解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE=S四边形BCDE，∴，∴，故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，再利用三角形面积解得t即可．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=10﹣2t，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以=，解得t=（秒），②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以=，解得t=（秒）；∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，sin∠BAO==，在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，S△APQ=AP•QE=t•（8﹣t），=﹣t2+4t=，解得t=2（秒）或t=3（秒）．∴当t为2秒或3秒时，△AP Q的面积为个平方单位点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．考点：相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．专题：综合题．分析：（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∵∠ABE=∠CBP，∴∠ABM=∠APB．又∵∠A=∠A，∴△ABM∽△APB，∴=，∴=，∴y=x﹣．∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5；（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，∴MP=3，AM=1，∴BM==，BP==2．∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，∴MH==，∴BH==，∴tan∠EBP==；（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，∴∠AMB=∠DPC．在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DP C，∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5，解得：x1=1，x2=4．∵2＜x≤5，∴AP=x=4；②若CE=CB，则∠EBC=∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，∴PC=EC﹣EP=5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，整理得：3x2﹣10x﹣4=0，解得：x3=，x4=（舍负）．∴AP=x=．终上所述：AP的值为4或．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x 与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．考点：相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．解答：（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．点评：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题；动点型．分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；（2）由AB∥F C，可证明△GBD∽△GCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．解答：（1）证明：∵AB∥FC，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF，∴GB：GC=BD：CF，∵GB=2，BC=4，BD=1，∴2：6=1：CF，∴CF=3，∵AD=CF，∴AB=AD+BD=4．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=∴当PA=时，△PFD∽△BFP．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND 求解．解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO===3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．。

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xx中考数学专题复习题：图形的相似
一、选择题
1.长度为下列各组数据的线段单位：cm中，成比例的是
A. 1，2，3，4
B. 6，5，10，15
C. 3，2，6，4
D. 15，3，4，10
2.已知，则下列比例式成立的是
A. B. C. D.
3.按如下方法，将的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、
CO，并取它们的中点D、E、F，得，则下列说法正确的个数是
与是位似图形与是相似图形
与的周长比为1：2 与的面积比为4：1．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.已知在中，、都是锐角，，则的度数是
A. B. C. D.
5.如图，在中，，AD：：3，若
的面积等于3，则的面积等于
A. 9
B. 15
C. 18
D. 27
6.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是
A. 4或
B. 3或
C. 2或4
D. 1或6
7.如图，在网格中，小正方形边长为1，将ABC的三
边分别扩大一倍得到顶点均在格点上，若
它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标
是
A.
B.
C.
D.
8.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的
树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长
是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落
在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为
，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是
A. B. C. D.
9.如图，在中，，于D，，
，设，那么的值是
A.
B.
C.
D.
10.已知五边形ANCDE∽五边形，五边形ABCDE的最短边为2，最长边为6，
五边形的最长边是12，则五边形的最短边是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
二、填空题
11.如图所示，，AC与BD相交于点E，若
，，，则的值是______．
12.用科学计算器计算： ______ ．
13.如图，在半径为3的中，直径AB与弦CD相交于点E，连
接AC，BD，若，则 ______ ．
14.如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长米，宽米，为方便
游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口
A到出口B所走的路线图中虚线长为______米
15.如图，是边长为1的等边三角形取BC边中点E，
作，，得到四边形EDAF，它的面积记作
；取BE中点，作，，得到四边
形，它的面积记作照此规律作下去，则
______
16.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反
比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若的面积为20，则k的值等于______．
17.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交
叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比
例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方即同时使
，，然后张开两脚，使A、B两个尖端分别
在线段l的两个端点上，若，则AB的长为______cm．
18.已知在中，，，E是边AB上一点，且，若F是AC边上
的点，且以A、E、F为顶点的三角形与相似，则AF的长为______．
19.如图，在和中，若，
与的周长差为10 cm，则的周长为
______ cm；
若与
的面积之和为170 ，则的面积是______ ．
20.下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容再解答问题，
三角函数中常用公式，求的值，即
试用公式
，求出的值是______ ．
三、计算题
21.计算：．
22.如图，在中，，D是AC中点，BE平分交AC于点E，点O是
AB上一点，过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
判断直线AC与的位置关系，并说明理由；
当，时，求的半径．
23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D
的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．
求的度数．
求教学楼的高结果精确到，参考数据：，
24.如图，AB是的直径，C是AB延长线上一点，且
，CE与交于点D，过点A作，垂足为E，连接AD，．
Ⅰ求证：直线CE是的切线．
Ⅱ求的值．
答案和解析
【答案】
1. C
2. B
3. C
4. C
5. D
6. B
7. D
8. C
9. D10. A
11.
12.
13.
14. 98
15. 表示为亦可
16.
17.
18. 或
19. 25；45
20.
21. 解：
．
22. 解：与相切理由如下：
连结OE，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，D是AC中点，
，
，
与相切；
设半径为r，则，
由知，，
∽，
，即，
，
即半径是．
23. 解：过点C作，则有，
，
；
由题意得：，
在中，，
在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．
24. 解：Ⅰ为圆O的直径，
，
h
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
则直线CE是圆O的切线；
Ⅱ由第一问得到，
又，
，
，
，，
．
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