正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)

正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性）

三维目标

1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.

2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点

教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.

教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕.

正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),

(1)当且仅当x=

2π

+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π

+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.

对于余弦函数y=cosx(x∈R ),

(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.

正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究：

正弦、余弦函数的奇偶性

正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数. 例、判断下列函数奇函性：

正弦、余弦函数的单调性：

通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-

2π,2

3π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.

图3

图4

这个变化情况也可从下表中显示出来

:

(1)sin 3()

(2)sin cos ()(3)1sin ()

y x

x R y x x

x R y x

x R =-∈=+∈=+∈

就是说,函数y=sinx,x∈［-2,2

］. 当x∈［-

2π,2π

］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π

］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1.

类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].

图5

引导学生列出下表:

结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2

π

+2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π

+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数,其

值从1减小到-1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.

例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:

(1)sin(-

18π)与sin(-10

π

);(2)cos(523π-)与cos(417π-).

解:(1)因为2π-<10π-<18

π

-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所

以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π

.

因为0<4π<5

3π

<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,

所以cos 4

π

>cos 53π,即cos(523π-)

例3 函数y=sin(21x+3

π

),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.

解:令Z =21x+3π

.函数y=sin Z 的单调递增区间是

［2π-+2kπ,2

π

+2kπ］.

由-2π+2kπ≤21x+3π≤2π+2kπ,得35π-+4kπ≤x≤3

π

+4kπ,k∈Z .

由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是121-≤k≤12

5

,

由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3

π

］［-2π,2π］,

因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π

］.

小结：

1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.

2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业：同步练习 课后反思：

1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,