线面平行证明常用方法

线面平行证明的常用方法

方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平

行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。

（08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.

分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG

与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG

证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE 为矩形，

又ABCD 为矩形，

所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥．

因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，

所以AE ∥平面DCF ．

方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,

使得所作平面与已知平面的交线。

（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC .

分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.

证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点

又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB.

又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.

方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,

关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖

分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。

证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖

又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖