流体力学3 一元流体动力学基础

牛顿第二定律
r


g

r
(z

2g
)0
三、压强沿流线主法线方向的变化 （水平面内的流动）
分析流线主法线方向所受的力： 端面压力： pA ( p p)A 重力分量： 0 法线方向的加速度： u 2 / r
p+p
A M 压强分布
速度分布
B'
z
p
r
W
z
rA
流场(固定空间点)
3.运动描述 u x u x ( x, y, z , t ) 流速场： u u ( x, y, z , t ) y y u u ( x, y, z , t ) z z
x、y、z、t 称为 欧拉变数
§3.2
恒定流动和非恒定流动
v v ( x, y, z ) p p( x, y, z ) ( x, y, z )
a、b、c、t 称为 拉格朗日变数
流体质点速度：
dx dy dz vx ， v y ， vz dt dt dt
二、欧拉法
1.方法概要 流场：充满运动流体的空间。
着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场 中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得 整个流场的运动特性。
2. 研究对象
一、恒定流动(定常流动) 流动参量不随时间变化的流动。
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数， 而与时间无关。
§3.2
恒定流动和非恒定流动
二、非恒定流动(非定常流动) 流动参量随时间变化的流动。
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
恒定流动 质量守恒定律
1v1 A1dt 2 v2 A2 dt 3v3 A3 dt vAdt
1v1 A1 2 v2 A2 3v3 A3 vA
不可压缩流体 1 2 3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 vA Q
同理： 任一元流断面：dA1，d A2， …… 对应流速： u1， u2， ……
流线充满整个流场，流线越密处流速越大，流线越稀 疏处流速越小。
2. 流线微分方程 v ds 0
dx dy dz vx v y vz
1
u6 u1 2 u2 3
流 线
u3
5
6 u5
u4
4
3. 流线的性质
交点
v1
v2
s1
（1）流线彼此不能相交。
s2
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。
Q3
Q2
1 d1 1
2 2
d2
例3-1 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速 解:
300 Q 0.3m3 / s 1000
Q Q 0.3 v1 4.24m / s 1 1 A1 d12 0.32 4 4
第三章 一元流体动力学基础
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 §3.9 §3.10 §3.11 §3.12 §3.13 描述流体运动的两种方法 恒定流动和非恒定流动 流线与迹线 一元流动模型--流管 流束 流量 连续性方程 恒定元流能量方程 过流断面的压强分布 恒定总流能量方程式 能量方程的应用 总水头线和测压管水头线 恒定气流能量方程式 总压线和全压线 恒定流动量方程
v1
折点
v2
（3）恒定流动时流线形状不变， 非恒定流动时流线形状发生变化。
s
4. 恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中流线与迹线不重合
浙大动画1 浙大动画2
§3.4
一元流动模型
问题：速度场u ( x, y, z, t ) u ( x, y, z)是恒定三元流
一元流
？
一、流管 流束
流管：在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线 上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。

4
2 0.0381 0.228 kg/s
d2 v2
（2）根据连续性方程得
Qm 0.228 v1 9.83 m/s 1 A1 4 0.07622 4
作业：3-4，7
§3.6 恒定元流能量方程
问题：如何求v的大小？ 一、理想流体恒定元流的能量方程 对象：元流内1，2断面间流体， 原理：能量守恒 dt时间后至1/ 2/。 / 1 1 u dt 压力做功： 1 p1 p1dA1u1dt p2dA2u2dt ( p1 p2 )dQdt 2 / dA1 2 动能增加： u2dt z1 2 2 2 2 u u u u dA2 2 1 2 1 p2 dQdt ( ) dQdt ( ) z2 2 2 2g 2g 0 0 位能增加： dQdt ( z 2 z1 )
v2 Q Q 0.3 9.55m / s 1 1 A2 2 d 2 0.2 2 4 4
Qm
例3-2 断面为（50×50）cm2的送风管，通过a,b,c,d四个 （40×40）cm2的送风口向室内输送空气（如图）。送风 口气流平均速度均为5m/s，求通过送风管1-1，2-2，3-3各 断面的流速和流量。 1 2 解：每一送风口流量 3
p1
hl1 2 称为水头损失
§3.7 过流断面的压强分布
思考： 静止液体压强分布
p z C g
运动液体压强分布？ 应与重力，粘性力，惯性力 处于动态平衡 直线惯性力，离心惯性力 一、流动分类 均匀流：流线平行的流动 不均匀流： 缓变流：流线近于平行的流动 急变流：流向变化显著的流动
急变流 缓变流 均匀流 缓变流 急变流 缓变流 急变流
γp 是压差计所用液体容重
考虑误差修正，引入流速系数
vB 2ghv
hv
v 2g (
p
1)hv
1
例3-4 用毕托管测量（1）风道中的空气流速；（2）管 道中水流速。两种情况均测得水柱h=3cm。空气的容重 γ=11.8N/m3； 值取1，分别求流速。
解：（1）风道中的空气流速为
dQm udA
3.平均流速
vQ A
Qm
udA
A A
流经过流断面的体积流量除以过流断面面积而得到的商
Q vA
v f (s)
简化为一元问题！
§3.5
连续性方程
问题：v(s)沿流向如何变化（规律）？
过流断面：A1， A2， A3，…… 对应平均流速：v1， v2， v3，……
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的 函数，而且与时间有关。
§3.3
一、迹线
1. 定义
流线与迹线
流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。
二、流线
1. 定义 在同一瞬时，线上任意点的切线方向与该点的速度方 向一致的假想曲线 。适于欧拉方法。
u6
u1 1 2 u2 3 4
流线
u3
6 u 5 5 u4
流束：流管内部的流体称为流束。 微元流管：封闭曲线无限小时所形成的流管 元流：微元流管内的流体称为元流，极限即为流线 元流的描述
u f ( s)
一元问题
总流：整个流动可看成无数元流组成的，称为总流 如何简化为一元问题？
二、过流断面 流量 平均流速
1.过流断面 处处与流线相垂直的流束的截面
2.流量 单位时间内流经某一过流断面的流体量 dQ udA Q udA
u ( p p)A pA pA r 1 p u 2 r r
C r
2
牛顿第二定律
r B
代入u

积分
C p C1 2 2r
四、均匀流动时压强沿流线主法线方向（过流断面）的变化
直线流动
r
r
z
流线
p2
u2 p (z ) gr r g
p 9807 v 2 g ( 1)hv 2 9.8( 1) 0.03 22.1 m/s 11.8
（2）管道中水流速为
v 2ghv 2 9.8 0.03 0.77 m/s
三、实际流体恒定元流的能量方程
实际流体存在粘性，粘性阻力做负功，故：
2 2 u1 p2 u 2 z1 z2 hl1 2 2g 2g
压力做功等于机械能增加：
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt ( ) dQdt ( z2 z1 ) 2g 2g
2 2 u1 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
2 2 u1 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
1u1dA1 2u 2 dA2
不可压缩流体 1 2
u1dA1 u 2 dA2
注：1、对于不可压管流 , 流速与断面积是反比关系，截面 小流速大, 截面大流速小 Q2 2、Q，v，A 知其二，由连续性方程可求其三 分流时：Q1 Q2 Q3 合流时：Q1 Q2 Q3 Q1 Q1 Q3
缓变流
缓变流
急变流
急变流
二、速度沿流线主法线方向的变化
分析流线主法线方向所受的力： 端面压力： pA ( p p)A 重力分量： W cos 法线方向的加速度： u / r
2
p+p
A
M
速度分布
B'
z
p
r
W
z
u2 rA ( p p)A pA W cos r z W grA cos r B 假设全场伯努 u2 p (z ) 利常数不变 积分 gr r g u u C 0 u r r r p u2
hv H0
p B H 0

p A ( H 0 h)
B
A
vB
2g ( p A p B ) 2 ghv
皮托管： 静压管与皮托管组合成一体，由差压计给出总压 和静压的差值，从而测出测点的流速。
p 2g v ( p A pB ) 2 g ( 1)hv
p (z )0 r g
Q 5 0.4 0.4 0.8 m3 /s
根据连续性方程得
Q0
3
a Q
b
c
d
Q1 3Q 3 0.8 2.4 m3 /s Q2 2Q 2 0.8 1.6 m /s Q3 Q 0.8 m3 /s
1
Q
2
Q
3
Q
各断面流速：
v1 v3 Q1 2.4 9.6 m/s A1 0.5 0 .5 Q3 0 .8 3.2 m/s A3 0 .5 0 . 5 v2 Q2 1.6 6.4 m/s A2 0.5 0.5
p2 / g
2
z1
a
z2
a'
方程中各项均有物理意义和几何意义，如下表：

u2 u2

二、皮托管--元流能量方程的应用 原理：弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向 来流，另一端的开口向上，管内液面高出水面h，水中 的A端距离水面H0。 由B至A建立伯努利方程
pB
2 vB pA 2g
§3.1
描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法
1.方法概要 着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历 程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个 流体运动的规律。
Leabharlann Baidu
2. 研究对象：
3.运动描述
流体质点坐标：
流体质点
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
例3-3 如图气流压缩机用直径d1=76.2mm的管子吸入密 度ρ1=4kg/m3的氨气，经压缩后，由直径d2=38.1mm的管子 以v2=10m/s的速度流出 ，此时密度增至ρ2=20kg/m3 。求（1） 质量流量；（2）流入流速。 v1 解：（1）质量流量为 d1
Qm Q 2 v2 A2 20 10
p1
即：
理想流体恒定元 流的能量方程 或称伯努利方程
翼型动画
u2 z H (常数) 2g p
马格努斯效应动画
总水头线
位 臵 水 头
压 强 水 头
速 度 水 头
总 水 头
u12 / 2 g
b c
2 u2 / 2g
b'
静水头线
p1 / g
c' H
1
不可压缩理想流体在重力 场中作定常流动时，沿流线单 位重力流体的总水头线为一平 行于基准线的水平线。