直线和平面所成的角练习题

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直线与平面所成的角

直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。

线面夹角知识点及试题与答案(整理)

B
O
的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 ⑶射影 BO 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂
王新敞
奎屯新疆
足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影
王新敞
奎屯新疆
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定
空间角-求线面夹角
一、线面夹角的定义： 1、定义：平面的斜线和它在这平面内的射影所夹的锐交叫做这条斜线和这个平面所成的角。【斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）】 2、直线与平面所成的角的范围是 [0,
] 。平面的垂线和这平面所成的角规定为直角。在平面内的直线或与平面 2
C
∠SBA=45°,∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。解: （1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面 SAB；故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。（2）连结 SM,CM，则 SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM；过 S 作 SH⊥CM 于 H, ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 sin∠SCH= 则 SH⊥平面 ABC

∴ a ⊥平面 POA
(1)三垂线定理描述的是 PA(斜线),AO(射影), a (直线)之间的垂直关系. (2) a 与 PA 可以相交,也可以异面.
1
(3)三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理. 关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线. 至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明 a⊥b 的一个程序:一垂, 二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线，定理中四条线均针对同一平面而言第二,找射影线,这时 a,b 便成平面上的一条直线与一条斜线. 第三,证明射影线与直线 a 垂直,从而得出 a 与 b 垂直. 总结：一面四线三垂直（2）三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 【如图即：若 AB⊥BD，DC⊥BC，得 AB⊥BC（三垂线定理的逆定理）】 6. 求线面夹角的步骤如下： ①找出或作出线面夹角； ②证明其确实是所求的线面夹角； ③计算角的值，一般均在三角形中进行。

专题5：向量法做立体几何的线面角问题(解析版)

专题5：理科高考中的线面角问题（解析版）求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅== 1．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =,且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22 【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证．（2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m ADm AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =, 因为6BD =所以2AD =．又222BD AB AD =+,所以2AB =．则23AE =,6ED =．以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -, 则6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,向量361AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =,设直线AD 与平面BCD 所成的角为θ,则2cos ,221m ADm AD m AD ⋅〈〉===-⨯,2sin |cos ,|2m AD θ=〈〉= 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为22．【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.2．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）105 【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。

3.1.1(二课时)直线和平面所成的角

3.1.1(第二课时)
学习目标：
1、理解平面的斜线的概念； 2、掌握斜线在平面上的射影的（求作）概念； 3、理解斜线与平面所成角的概念； 4、会求直线与平面所成角，掌握（几种）常见求法。
知识探究（一）：平面的斜线
思考1:当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足. 那么过一点作一个平面的斜线有多少条？
PA 又 BC
PA BC
拓展训练：
P
M
C
E A
O
D N B
课堂小结与练习：
P67 练习： 1. P74习题2.3B组：2，4.
问题的提出:
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系
直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交
直线与平面直交------线面垂直
直线与平面相交
直线与平面斜交------线面角
平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 2、斜线和平面所成角
Def : 把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所
成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°.
（2）推理模式
3、三垂线定理及其逆定理的精髓：（三组垂线）
二、三垂线定理及逆定理：
O
C1
A1
B1
D1
C
A
D
B
课堂练习 B
2、矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA垂直面ABCD，且
PA=1.则P点到对角线BD的距离是（ A ）

平面几何练习题及解答

平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。

而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。

因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。

由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。

2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。

已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。

二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。

解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。

解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。

直线和平面所成的角

直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、如图，在正方体AC 1中，（1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1）求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。

利用向量方法求空间角知识点+例题+练习

教学内容利用向量方法求空间角教学目标1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．重点1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．难点1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．教学准备教学过程自主梳理1．两条异面直线的夹角①定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_____________________．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝_______________.2．直线与平面的夹角①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________．③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．自我检测1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则l1与l2所成的角等于________．3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于________．4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为_______________________________________．5．(2010·铁岭一模)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．教学效果分析教学过程探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．变式迁移1如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图，已知平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值．变式迁移2如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成的角的正弦值．教学效果分析教学过程探究点三利用向量法求二面角例3如图，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝12，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小．变式迁移3如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角A—SC—B的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．教学效果分析教学过程变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1．求两异面直线a、b的所成的角θ，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．)一、填空题(每小题6分，共48分)1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1→，CM→〉的值等于________．2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为________．3．如图，在正四面体ABCD中，E、F分别是BC和AD的中点，则AE与CF所成的角的余弦值为________．教学效果分析教学过程4．(2011·南通模拟) 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为________．5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为________．6．(2011·无锡模拟)已知正四棱锥P—ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．7．如图，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°且P A＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．二、解答题(共42分)9．(14分) 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．10．(14分)(2011·大纲全国，19)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．教学效果分析教学过程11．(14分)(2011·湖北，18)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值．自主梳理1．②⎝⎛⎦⎤0，π2③|cos φ|⎪⎪⎪⎪a·b|a|·|b| 2.②⎣⎡⎦⎤0，π2 3.(1)[0，π]教学效果分析自我检测 1．45°或135° 2.90° 3.30° 4.60° 5.60° 课堂活动区例1 解题导引 (1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确．(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成的角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2 解如图所示，以C 为原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设CA ＝CB ＝CC 1＝2，则A 1(2,0,2)，C (0,0,0)，B (0,2,0)，D (0,1,2)， ∴BD →＝(0，－1,2)，A 1C →＝(－2,0，－2)，∴cos 〈BD →，A 1C →〉＝BD →·A 1C →|BD →||A 1C →|＝－105.∴异面直线BD 与A 1C 所成角的余弦值为105.变式迁移1 解 ∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →， ∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0， BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2， ∴BA 1→·AC →＝－a 2. 又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ×2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.例2 解题导引在用向量法求直线OP 与α所成的角(O ∈α)时，一般有两种途径：一是直接求〈OP →，OP ′→〉，其中OP ′为斜线OP 在平面α内的射影；二是通过求〈n ，OP →〉进而转化求解，其中n 为平面α的法向量．解设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M (1,0,2)，N (0,1,0)，可得MN →＝(－1,1，－2)．又DA →＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量，可得cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63.所以MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值为|cos 〈MN →，DA →〉|＝63.变式迁移2 解以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)，F (1,0,1)． ∴BD →＝(0,2,1)，DF →＝(1，－2,0)．设平面BDF 的一个法向量为 n ＝(2，a ，b )，∵n ⊥DF →，n ⊥BD →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0，n ·BD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(2，a ，b )·(1，－2，0)＝0，(2，a ，b )·(0，2，1)＝0. 解得a ＝1，b ＝－2.∴n ＝(2,1，－2)．设AB 与平面BDF 所成的角为θ，则法向量n 与BA →的夹角为π2－θ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝BA →·n |BA →||n |＝(2，0，0)·(2，1，－2)2×3＝23，即sin θ＝23，故AB 与平面BDF 所成的角的正弦值为23.例3 解题导引图中面SCD 与面SBA 所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解．解建系如图，则A (0,0,0)， D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)， B (0，1,0)，S (0,0,1)， ∴AS →＝(0,0,1)，SC →＝(1,1，－1)，SD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1，AB →＝(0,1,0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0. ∴AD →·AS →＝0，AD →·AB →＝0. ∴AD →是面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·SC →＝0且n ·SD →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，12x －z ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2×126×12＝63.故面SCD 与面SBA 所成的二面角的余弦值为63. 变式迁移3 (1)证明由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA . 连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA .从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO . 又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC . (2)解以O 为坐标原点，射线OB 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O －xyz ，如图．设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)， A (0,1,0)，S (0,0,1)．SC 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，0，12， MO →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－12， SC →＝(－1,0，－1)， ∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉等于二面角A —SC —B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，所以二面角A —SC —B 的余弦值为33.例4 解题导引立体几何中开放性问题的解决方式往往是通过假设，借助空间向量建立方程，进行求解．(1)证明作AH ⊥面BCD 于H ，连结BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH ＝1，将其补形为如图所示正方体．以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．则B (1,0,0)，C (0,1,0)，A (1,1,1)． BC →＝(－1,1,0)，DA →＝(1,1,1)， ∴BC →·DA →＝0，则BC ⊥AD .(2)解设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥BC →知：n 1·BC →＝－x ＋y ＝0，同理由n 1⊥AC →知：n 1·AC →＝－x －z ＝0，可取n 1＝(1,1，－1)，同理，可求得平面ACD 的一个法向量为n 2＝(1,0，－1)．由图可以看出，二面角B －AC －D 即为〈n 1，n 2〉，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1＋0＋13×2＝63.即二面角B －AC －D 的余弦值为63. (3)解设E (x ，y ，z )是线段AC 上一点，则x ＝z >0，y ＝1，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，DE →＝(x,1，x )，要使ED 与平面BCD 成30°角，由图可知DE →与n 的夹角为60°，所以cos 〈DE →，n 〉＝DE →·n |DE →||n |＝x 1＋2x 2 ＝cos 60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，则CE ＝2x ＝1.故线段AC 上存在E 点，且CE ＝1时，ED 与面BCD 成30°. 变式迁移4(1)证明方法一因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以∠EGF ＝90°， △ABC ∽△EFG . 由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG . 连结AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，方法二因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以∠EGF ＝90°， △ABC ∽△EFG . 由于AB ＝2EF ，所以BC ＝2FG .取BC 的中点N ，连结GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形，所以GN ∥FB .在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连结MN ，则MN ∥AB .因为MN ∩GN ＝N ，所以平面GMN ∥平面ABFE .又GM ⊂平面GMN ，所以GM ∥平面ABFE .(2)解方法一因为∠ACB ＝90°，所以∠CAD ＝90°. 又EA ⊥平面ABCD ，所以AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，则由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，所以AB →＝(2，－2,0)，BC →＝(0,2,0)．又EF ＝12AB ，所以F (1，－1,1)，BF →＝(－1,1,1)．设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1＝z 1，取z 1＝1，得x 1＝1，所以m ＝(1,0,1)．设平面向量ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ·AB →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 2，z 2＝0，取y 2＝1，得x 2＝1.则n ＝(1,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.因此二面角A －BF －C 的大小为60°.方法二由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD . 取AB 的中点H ，连结CH . 因为AC ＝BC ，所以CH ⊥AB ，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连结CR ，则CR ⊥BF ，所以∠HRC 为二面角A －BF －C 的平面角．由题意，不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，在直角梯形ABFE 中，连结FH ，则FH ⊥AB . 又AB ＝22，所以HF ＝AE ＝1，BH ＝2，因此在Rt △BHF 中，HR ＝63.由于CH ＝12AB ＝2，所以在Rt △CHR 中，tan ∠HRC ＝263＝ 3.因此二面角A －BF －C 的大小为60°. 课后练习区 1.21015 2．90°解析 ∵E 是BB 1的中点且AA 1＝2，AB ＝BC ＝1， ∴∠AEA 1＝90°，又在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，∴A 1D 1⊥AE ，∴AE ⊥平面A 1ED 1. ∴AE 与面A 1ED 1所成的角为90°. 3.23解析设四面体的棱长为a ， AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r ，则AE →＝12(p ＋q )，CF →＝12(r －2q )．∴AE →·CF →＝－12a 2.又|AE →|＝|CF →|＝32a ，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →，CF →|AE →|·|CF →|＝－23.即AE 和CF 所成角的余弦值为23.4.64 5．90° 解析不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ，如图：∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°，∴PE ＝22a ，PF ＝22b ，∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0， ∴EM →⊥FN →，∴二面角α—AB —β的大小为90°. 6.255解析如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则PB ＝2，OB ＝1，OP ＝1. ∴B (1,0,0)，D (－1,0,0)， A (0,1,0)，P (0,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12， N ⎝⎛⎭⎫－12，0，12， AM →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，12， AN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，12，设平面AMN 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·AM →＝12x －y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－12x －y ＋12z ＝0，解得x ＝0，z ＝2y ，不妨令z ＝2，则y ＝1.∴n 1＝(0,1,2)，平面ABCD 的法向量n 2＝(0,0,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝25＝255.7. 2解析 PB →＝P A →＋AB →，故PB →·AC →＝(P A →＋AB →)·AC →＝P A →·AC →＋AB →·AC →＝0＋a ×2a ×cos 45°＝a 2.又|PB →|＝3a ，|AC →|＝a .∴cos 〈PB →，AC →〉＝33，sin 〈PB →，AC →〉＝63，∴tan 〈PB →，AC →〉＝ 2. 8.45解析不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2.则CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2，CB 1→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45.9．解 (1)∵AD 与两圆所在的平面均垂直， ∴AD ⊥AB ，AD ⊥AF ，故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角．(2分) 依题意可知，ABFC 是正方形，∴∠BAF ＝45°. 即二面角B —AD —F 的大小为45°.(5分)(2)以O 为原点，CB 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O (0,0,0)，A (0，－3 2，0)，B (3 2，0,0)，D (0，－3 2，8)，E (0,0,8)，F (0,3 2，0)，(8分)∴BD →＝(－3 2，－3 2，8)， EF →＝(0,3 2，－8)．cos 〈BD →，EF →〉＝BD →·EF →|BD →||EF →|＝0－18－64100×82＝－8210.(12分)设异面直线BD 与EF 所成角为α，则cos α＝|cos 〈BD →，EF →〉|＝8210.即直线BD 与EF 所成的角的余弦值为8210.(14分) 10.方法一 (1)证明取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2，连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3.又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2，所以∠DSE 为直角，即SD ⊥SE .(4分) 由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD .由SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直，所以SD ⊥平面SAB .(7分)(2)解由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .(10分)作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ·SE DE ＝32.作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC ＝1. 连结SG ，又BC ⊥FG ，BC ⊥SF ，SF ∩FG ＝F ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .FH ＝SF ·FG SG ＝37，则F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 为217.(12分)设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin α＝d EB ＝217，即AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为217.(14分)方法二以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0)．(2分) 又设S (x ，y ，z )，则x >0，y >0，z >0.(1)证明 AS →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )， DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS →|＝|BS →|得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，故x ＝1. 由|DS →|＝1得y 2＋z 2＝1.①又由|BS →|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4，即y 2＋z 2－4y ＋1＝0.②联立①②得⎩⎨⎧y ＝12，z ＝32.(4分)于是S (1，12，32)，AS →＝(－1，－32，32)，BS →＝(1，－32，32)，DS →＝(0，12，32)．因为DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS .又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(7分) (2)解设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，a ·BS →＝0，a ·CB →＝0.又BS →＝(1，－32，32)，CB →＝(0,2,0)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0,2)．(10分) 又AB →＝(－2,0,0)，cos 〈AB →，a 〉＝|AB →·a ||AB →||a |＝217，所以AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.(14分) 11．(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)．(2分)于是CA 1→＝(0，－4,4)， EF →＝(－3，1,1)．则CA 1→·EF →＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .(8分)(2)解设CF ＝λ(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)．(8分) AE →＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)．又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是由θ的锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2.(10分) 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63. 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63.(14分)。

2021_2022学年高中数学课时分层作业24直线与平面的夹角(含解析)新人教B版选修2_1

课时分层作业(二十四) 直线与平面的夹角(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( )A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1D ．∠C 1BOD [由线面垂直的判定定理，得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影，所以∠C 1BO 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，应选D.]2．PA ，PB ，PC 是由点P 出发的三条射线，两两夹角为60°，那么PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.12B.22C.33D.63C [设PC 与平面PAB 所成的角为θ，那么cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝33.] 3. 正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，那么AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23C [令正四棱锥的棱长为2，建立如下图坐标系，那么A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，SD →＝()－1，－1，－2，∴cos〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－33.∴AE ，SD 所成的角的余弦值为33.] 4．如果∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝60°，那么PA 与平面PBC 所成角的余弦值为( ) A.12 B.2626 C.63 D.33D [如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ，∵∠APB ＝∠APC . ∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ，即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°， ∴cos∠APO ＝33.] 5．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，假设AB ＝2BB 1，那么AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B．90° C．105°D ．75°B [建立如下图的空间直角坐标系，设BB 1＝1，那么A (0,0,1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎪⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝⎛⎭⎪⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.] 二、填空题6．等腰Rt△ABC 的斜边AB 在平面α内，假设AC 与α成30°角，那么斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，那么∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt△AOC 中，设CO ＝1，那么AC ＝2.在等腰Rt△ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt△CMO中，sin∠CMO ＝COCM＝12＝22. ∴∠CMO ＝45°.]7．如下图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角是________．30° [连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a . 易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， ∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12， ∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°.]8．在正四棱锥S ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，那么直线BC 与平面PAC 所成的角为________．30° [以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n 可求得n ＝(0,1,1)，那么cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.] 三、解答题9．如下图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成角的正弦值．[解] 取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，那么AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz ，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，那么CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量． ∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0. ∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a23a ·32a ＝－12.∴AC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为12.10．如下图，点P 在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] 如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标Dxyz .那么DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，由〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得m ＝122m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.[能力提升练]1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，那么A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 2B [建立如下图的空间直角坐标系，设棱长为1，那么A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B 1(1,1,1)．A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63，即线面角的正弦值为63.] 2．如下图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，那么PG 与底面ABCD 所成的角θ满足( )A ．θ＝π4B ．cos θ＝23417C ．tan θ＝223D ．sin θ＝33B [建立如下图的空间直角坐标系，那么P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，PG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，－1.又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，那么cos 〈PG →，n 〉＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋(－1)2＝－31717，所以PG 与平面ABCD 所成角的余弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－317172＝23417.]3．三棱锥S ABC 中，底面为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．34[建立如下图的空间直角坐标系，那么S (0,0,3)，A (0，0,0)， B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)， SC →＝(0,2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，那么z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与平面SBC 所成的角为θ，那么sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.]4．如下图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，那么直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．155[取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如下图的空间直角坐标系Oxyz .设BC ＝1，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D 32，0,0，所以BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BD →＝0所以⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋32z ＝032x ＋12y ＝0，取x ＝1，那么y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.] 5．如下图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：AC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． [解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC . ∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB . (2)建立如下图的空间直角坐标系，设AB ＝1，那么A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，22. 由(1)知AC →＝(－1,1,0)为平面PDB 的一个法向量．设AE 与平面PDB 所成的角为θ，那么sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝|AC →·AE →||AC →||AE →|＝12×1＝22.∴AE 与平面PDB 所成的角为45°.。

历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（学生版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离．2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =．（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD中，ABC∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，2AB=，23AD=，90∠=︒．BAD（Ⅰ）求证：AD BC⊥；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．5．（2018•天津）如图，//=，//CD FGEG AD且EG ADAD BC⊥，//AD BC且2=，AD CD且2===．DA DC DG=，DG⊥平面ABCD，2CD FG（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：//MN平面CDE；（Ⅱ）求二面角E BC F--的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60︒，求线段DP的长．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，17BB =E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（教师版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离．解：（1）依题意：1AA ⊥平面ABCD ，连接AC ，则1A C 与平面ABCD 所成夹角为1ACA ∠，15AA =Q ，22345AC =+=，∴△1ACA 为等腰三角形， 14ACA π∴∠=，∴直线1A C 和平面ABCD 的夹角为4π，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则(0A ，0，0)，(3C ，4，0)，1(0A ，0，5)，(3M ，0，2)， ∴(3AC =u u u r ，4，0)，1(3A C =u u u u r ，4，5)-，(0MC =u u u u r，4．2)-，设平面1A MC 的法向量(n x =r，y ，)z ，由3450420n AC x y z n MC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，可得(2n =r ，1，2)， ∴点A 到平面1A MC 的距离222||10||3212AC n d n ===++u u u r rg r ． 2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =．（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/Q 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ．（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，依题意得DN PC ⊥，又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ．解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，PCD ∆Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN DA ∠==． ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．方法一：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥， 1//A F AB Q ，90ABC ∠=︒，1BC A F ∴⊥，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =，3EG =， O Q 是1A G 的中点，故1152AG EO OG ===2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，在平面ABC 中，过E 作AC 的垂线为x 轴， EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AC =，则1(0A ，0，，B，1B，32F ，(0C ，2，0)，32EF =u u u r，(BC =u u u r ，由0EF BC =u u u r u u u rg ，得EF BC ⊥．解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，由（Ⅰ）得(BC =u u u r ，1(0A C =u u u u r，2，-，设平面1A BC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则100BC n y AC n y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u u r rg ，取1x =，得n =r ， ||4sin 5||||EF n EF n θ∴==u u u r rg u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC35=．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，23AD =，90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥，得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M Q 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故2213DM AD AM =+，AD ⊥Q 平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故2213DN AD AN =+在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得1132cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD 13（Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆Q 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，3CM =，又Q 平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，224CD AC AD =+=，在Rt CMD ∆中，3sin CM CDM CD ∠==． ∴直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为3．5．（2018•天津）如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．（Ⅰ）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA u u u r 、DC u u u r 、DG u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0C ，2，0)， (2E ，0，2)，(0F ，1，2)，(0G ，0，2)，(0M ，32，1)，(1N ，0，2)．设0(,,)n x y z =u u r为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u r g ，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)n =-u u r ；又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00MN n =u u u u r u u r g ．又Q 直线MN ⊂/平面CDE ， //MN ∴平面CDE ；（Ⅱ）解：依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设(,,)n x y z =r为平面BCE 的法向量，则0220n BC x n BE x y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，不妨令1z =，可得(0,1,1)n =r ．设(,,)m x y z =r为平面BCF 的法向量，则020m BC x m CF y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，不妨令1z =，可得(0,2,1)m =r ．因此有cos ,||||m n m n m n <>==r rg r r r r gsin ,m n <>=r r．∴二面角E BC F --；（Ⅲ）解：设线段DP 的长为h ，([0,2])h ∈，则点P 的坐标为(0，0，)h ，可得(1,2,)BP h =--u u u r ，而(0,2,0)DC =u u u r为平面ADGE 的一个法向量，故|||cos ,|||||BP CD BP DC BP DC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r gsin 60=︒=，解得[0h ，2]． ∴线段DP．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．()I 证明：1A A ⊥Q 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ， 11//AA BB ∴，14AA =Q ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴+-，又221122AB AB BB +2221111AA AB A B ∴=+， 111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥，又11111A B B C B =I ， 1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ， AB BC =Q ，OB OC ∴⊥，2AB BC ==Q ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==，以O 为原点，以OB，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0A ，3-，0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C ，3，1)， ∴(1AB =u u u r ，3，0)，1(0BB =u u u r ，0，2)，1(0AC =u u u u r，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，∴3020x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =-r ，1，0)， 1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>===⨯u u u u r r u u u ur g r u u u u r r ．设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则139sin |cos ,|n AC θ=<>=u u u ur r ．∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值为39．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（1）证明：由题意，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则12AE AD =，12BF BC =，由于四边形ABCD 为正方形，所以EF BC ⊥．由于PF BF ⊥，EF PF F =I ，则BF ⊥平面PEF ．又因为BF ⊂平面ABFD ，所以：平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）在平面PEF 中，过P 作PH EF ⊥于点H ，连接DH ，由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH EF ⊥，则PH ⊥面ABFD ，故PH DH ⊥．在三棱锥P DEF -中，可以利用等体积法求PH ，因为//DE BF 且PF BF ⊥，所以PF DE ⊥，又因为PDF CDF ∆≅∆，所以90FPD FCD ∠=∠=︒，所以PF PD ⊥，由于DE PD D =I ，则PF ⊥平面PDE ，故13F PDE PDE V PF S -∆=g ，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ，所以DA ⊥面PEF ，所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a = 在PDE ∆中，3PE a ，所以23PDE S ∆，故33F PDE V a -=，又因为2122DEF S a a a ∆==g ，所以233F PDE V PH a a -==，所以在PHD ∆中，3sin PH PDH PD ∠==，即PDH ∠为DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：3．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．∴三棱柱111ABC A B C -的体积：1ABC V S AA ∆=⨯112AB AC AA =⨯⨯⨯ 1425202=⨯⨯⨯=．（2）连结AM ，Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5，M 是BC 中点， 1AA ∴⊥底面ABC ，11164522AM BC ==+=， 1A MA ∴∠是直线1A M 与平面ABC 所成角，11tan 55AA A MA AM ∠===， ∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连结EF ，CF ，E Q 为PD 的中点，//EF PA ∴，在四边形ABCD 中，//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点， //CF AB ∴，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂Q 平面EFC ， //EC ∴平面PAB ．解：（Ⅱ）连结BF ，过F 作FM PB ⊥于M ，连结PF ，PA PD =Q ，PF AD ∴⊥，推导出四边形BCDF 为矩形，BF AD ∴⊥，AD ∴⊥平面PBF ，又//AD BC ，BC ∴⊥平面PBF ，BC PB ∴⊥，设1DC CB ==，由22PC AD DC CB ===，得2AD PC ==，22413PB PC BC ∴=-=-=，1BF PF ==，12MF ∴=，又BC ⊥平面PBF ，BC MF ∴⊥，MF ∴⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12， 12MF =Q ，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， E ∴到平面PBC 的距离为14，在,2,1,2PCD PC CD PD ∆===中，由余弦定理得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则124sin CE θ==．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知//AD BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥．在Rt PDA ∆中，由已知，得225AP AD PD += 故5cos AD DAP AP ∠==．所以，异面直线AP 与BC 5．证明：（Ⅱ）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥．又因为//BC AD ，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD ⊥平面PBC ．解：（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于//AD BC ，//DF AB ，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=．又AD DC ⊥，故BC DC ⊥，在Rt DPF ∆中，可得5sin PD DFP DF ∠==．所以，直线AB 与平面PBC 5．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示：Q 平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥；AC ∴⊥平面BCK ，BF ⊂平面BCK ； BF AC ∴⊥；又//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =； BCK ∴∆为等边三角形，且F 为CK 的中点； BF CK ∴⊥，且AC CK C =I ；BF ∴⊥平面ACFD ；（Ⅱ）BF ⊥Q 平面ACFD ；BDF ∴∠是直线BD 和平面ACFD 所成的角； F Q 为CK 中点，且//DF AC ； DF ∴为ACK ∆的中位线，且3AC =；∴32DF =；又3BF =∴在Rt BFD ∆中，92134BD =+=，3212cos 21DF BDF BD ∠===；即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为2112．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N Q 为PC 的中点， //NG BC ∴，且12NG BC =，又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =，则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂Q 平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ，//MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +-∠==⨯⨯，//AD BC Q ， 2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==Q ，1322AE AC ==，由余弦定理得：32EM ==， 2233()()4122cos 339222AEM +-∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +-∠==⨯⨯，cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠， //AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ． NE EM E =Q I ，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；（2）解：在AMC ∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=g g ． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥Q 底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ==，在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =g g ，得224245542PA AM AF PM ⨯===+g ，45855sin 5252AF ANF AN ∴∠===．∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD 的中点为O ，连接OE ，OG ，在BCD ∆中， G Q 是BC 的中点，//OG DC ∴，且112OG DC ==，又//EF AB Q ，//AB DC ， //EF OG ∴，且EF OG =，即四边形OGEF 是平行四边形，//FG OE ∴，FG ⊂/Q 平面BED ，OE ⊂平面BED ，//FG ∴平面BED ；（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=︒，由余弦定理可得BD =90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥，又Q 平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED ⋂平面ABCD AD =， BD ∴⊥平面AED ， BD ⊂Q 平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED ．（Ⅲ）//EF AB Q ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED ⋂平面AED ED =，由（2）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，sin ADE ∴∠=，AH AD ∴=，在Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==，∴直线EF 与平面BED14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接1A B ，在△1A BC 中，E Q 和F 分别是BC 和1A C 的中点，1//EF A B ∴，又1A B ⊂Q 平面11A B BA ，EF ⊂/平面11A B BA ， //EF ∴平面11A B BA ；（Ⅱ）证明：AB AC =Q ，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥， 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//BB AA ，1BB ∴⊥平面ABC ，1BB AE ∴⊥，又1BC BB B =Q I ，AE ∴⊥平面1BCB ，又AE ⊂Q 平面1AEA ，∴平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ， N Q 和E 分别为1B C 和BC 的中点，NE ∴平行且等于112B B ，NE ∴平行且等于1A A ，∴四边形1A AEN 是平行四边形， 1A N ∴平行且等于AE ，又AE ⊥Q 平面1BCB ，1A N ∴⊥平面1BCB ， 11A B N ∴∠即为直线11A B 与平面1BCB 所成角，在ABC ∆中，可得2AE =，12A N AE ∴==， 1//BM AA Q ，1BM AA =，1//A M AB ∴且1A M AB =，又由1AB BB ⊥，11A M BB ∴⊥，在RT △11A MB 中，2211114A B B M A M =+=，在RT △11A NB 中，111111sin 2A N AB N A B ∠==， 1130A B N ∴∠=︒，即直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小为30︒15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图：（2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则： 10EH EF BC ===，18EM AA ==；∴226MHEH EM =-=，10AH ∴=；以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)； ∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-u u u r u u u r；设(,,)n x y z =r为平面EFGH 的法向量，则： 100680n EF x n EH y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取3z =，则(0,4,3)n =r ；若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==u u u r r g ； ∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为45．。

直线和平面所成的角的求法(学生版)

直线和平面所成的角的求法例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，ABBC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．变式练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥DC,AD=DC=2，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，M是PB的中点。

（1）求证：CM∥侧面PAD，(2)求直线CM与底面ABCD所成角D C BPAM例2 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.强化训练：1．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB 上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．11．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．答案1．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．，即，=2H==所成的角的正弦值是．2．（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．．3．（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．，，，﹣，﹣，解得x=﹣z，y=0．故可取n=（，0，﹣3）．于是cos＜n，A＞═=﹣．由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为．4．（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．EF=（，∴所成角的大小是5．（2005•黑龙江）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥面PAB；（2）若，求AC与面AEF所成的角．EFPDa PA=a=EF，∴∴所成角的正弦值为所成角为，，∴，，∴）解：由可得，所成的角为，∴所成的角为所成的角为6．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．的法向量为锐角时，所求的角即为它的余角；当AD==MD=，（，的一个法向量为，，的一个法向量为=，＞=∴＜＞=arcsin7．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，代入公式的法向量的法向量可得AO=OC=，，﹣，所以=|，设的法向量=所以，的法向量所以的法向量所以，．10．（2009•江西）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．距离的，的一个法向量，结合然后求出距离的，可求得，则，，由PN=距离的）可知所求距离为的一个法向量，由可得：．，则，所以所求角的大小为，所以，则，距离的所以所求距离为11．（2008•海南）如图，已知点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．求出（Ⅰ）利用，求出的一个法向量是，得到．即可．，．连接，由已知可得．解得，所以（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为，所以．，，，则，由已知，，，∴（Ⅰ）因为，所以的一个法向量是因为．射影O在AB上．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．OP=与平面OP===OCP==．arctan为原点，建立空间直角坐标系．则=，，的一个法向量为=得出即﹣，所以=，的一个法向量为．故二面角arccos．OP=，，所以，），），==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=）=2的一个法向量为=，则由即，=（﹣的一个法向量为=arccos20．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A1C1的中点；（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）求证：直线A1D⊥平面BDC1；（Ⅲ）求直线A1C1与平面BDC1所成的角．D=，22．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．DC中，DC，可得，∴的大小为24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求点B到平面CDB1的距离；（Ⅲ）求二面角B﹣B1C﹣D的大小．（Ⅰ）求出，推出．通过，求相关向量，计算，求二面角，∴，∴，且（易求得．的距离是易知=的大小是。

直线和平面所成的角与二面角

直线和平面所成的角与二面角知识要点1．直线与平面所成角的范围若θ表示直线与平面所成的角，则0°≤θ≤90°。

2．公式cosθ=cosθ1·cosθ2。

斜线AB与平面α所成的角为θ1，A为斜足，AC在α内，且与AB的射影成θ2角，∠BAC=θ, 则有cosθ=cosθ1·cosθ2。

3．公式。

如图所示，在二面角α-l-β中，A∈平面β，B∈平面α，AD⊥l于D，BC⊥l于C，AD=m,BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ，则有：。

4．公式S'=Scosθ。

如果平面多边形所在平面与平面所成角为，这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S、S'，那么S'=Scosθ。

5. 向量知识(1)；(2)(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a与b的夹角)(4)若a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则：a·b=x1x2+y1y2+z1z2。

典型题目例1．如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。

(1)求证：A'F⊥C'E；(2)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF'B的大小。

（结果用反三角函数表示）。

(1)证明：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。

∵，∴ A'F⊥C'E。

(2)解：记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF的体积，当且仅当，时，取得最大值。

过B作BD⊥EF交EF于D，连B'D,B'D⊥EF,∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角。

2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第3章3.6直线与平面、平面与平面所成的角含答案

3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l -β. (2)二面角的平面角过二面角α-l -β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角α-l -β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l -β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°. [小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)．设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫0，12，0＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)．设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55，故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.求二面角如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角，所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 由图知，二面角E -BC -A 为钝角，故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝⎛⎭⎫12，22，12. 又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13.∴E ⎝⎛⎭⎫34，24，34，EA ―→＝⎝⎛⎭⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－24×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝12. ∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′. 令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P -ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ，故cos ∠PDC ＝PD DC ＝33.答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角，又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝(0，0，3)·(8，9，2)382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)．则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝(1，2，3)·(2，1，1)1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A -Ox -B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析：过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A -PB -C 的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B -PA -C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B -PA -C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A -PC -B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A -BD -C 的正弦值为255. 答案：2557．已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.A 1(1，0，2).建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ，则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66，即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66. 答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角，因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.。

第8章立体几何专题7 线面角的求解常考题型专题练习——【含答案】

线面角的求解【方法总结】1、线面角的范围：[0°,90°]2、线面角求法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；找线在面外的一点B，过点B向平面α做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：1）线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面α，无需再做辅助线；2）题中已知有与面α垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；3）过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面α（这两个垂直平面一个是面α，另一个是过点B且与α垂直的平面）。

3、线面角求法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

114、线面角求法（三）利用空间向量进行求解，高二再学。

【巩固练习】1、已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为162，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,23，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2 B.3 C.12D.13【答案】A【解析】易知22AB =；连接1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算22112C P CP CC =-=；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，2tan 2CO CPO PO ∠== .2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．B．C．D．[来源网ZXXK]【答案】C【解析】如图所示，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C.3、如图，在三棱锥P-ABC中，,PA AB⊥PC BC⊥，,AB BC⊥22,AB BC==5PC=，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.【答案】45︒【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形．由BC CD⊥，BC PC⊥，PC CD C=，∴BC⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴BC PD⊥，同理可得AB PD⊥，又AB BC B⋂=，∴PD⊥平面11ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,5CD AB PC ===得1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．4、已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心O ，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．23B ．13C ．33D ．23【答案】A【解析】作1A H ⊥面ABC 于点H ,延长11B A 到D ,延长BA 到E 使得111B A A D =，,BA AE =如图则有11A EAB ，又因为1A O ⊥面ABC ，故1A EO ∠为所求角，且111sin AO A EO A E∠=已知底面为正三角形，且O为底面中点，解三角形可知：111336,333AO AB AA A O AA==∴=又在AEO∆中运用余弦定理，150EAO∠=︒则()()22212cos3EO EA AO EA AO EAO AB=+-⋅∠=故由勾股定理可得22113A E AO EO AB=+=则1623sin33A EO∠==故选A5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且13AD DB=，点C为圆O上一点，且3BC AC=.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．【答案】（1）见解析；（2）301旗开得胜1【解析】(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB. 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO. 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝3. 在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以3tan 3CD CPD PD ∠==，∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.16、如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.1又,AB BC⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）高一学生可以用等体积法求解。

直线和平面所成的角与二面角

直线和平面所成的角与二面角一、选择题(共45题，题分合计225分)1.过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是A.相等B.互补C.相等或互补 C.不能确定3.在直二面角α- l-β中,直线m⊂α,直线n ⊂β,且m 、n 均不与l 垂直,则A. m 与n 不可能垂直,但可能平行B. m 与n 可能垂直,但不可能平行C. m 与n 可能垂直,也可能平行D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行4.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:(1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a . (3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β//a . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.35.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，正确结论的序号是①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④6.在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1C 1上取一点E ,使AE 与AB 、AD 所成的角都为60°,则AE 的长等于 A.35 B.46C.2 D.37.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/28.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠CPD的大小为A.45°B.60°C.120°D.60°或120°9.若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则A.各格侧棱长相等B.各侧棱与底面成等角C.各侧面与底面线等角D.每组相对棱互相垂直10.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l ,AC ⊆α,BD ⊆β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于A.2B.3C.2D.511.60°的二面角α- l-β,直线a⊂α,直线b ⊂β,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是A.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1,23B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.[]1,0 D.[)1,0 12.二面角α- l-β的大小为θ，直线a⊂α，直线b ⊂β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是A. φ＜θB. φ＞θC. φ=θD.以上三种关系均有可能13.直线l 与平面α或60°角，A l =α ，直线a A a ∉⊂且α，设l 与a 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 14.如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于A.45°B.60°C.90°D.120°15.二面角α-ＭＮ-β＝60º，直线AB 与α、β分别交于A 、B ，AB ⊥MN ，若AB 与α、β所成角分别是θ1、θ2，则A.θ1＋θ2=120ºB.θ1＋θ2>120ºC.θ1＋θ2<120ºD.以上都不对16.正方形纸片ABCD ,沿对角线AC 对折,使D 点在面ABC 外,这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于A.30°B.45°C.60°D.9017.a 、b 表示直线，α、β、γ表示平面，有下列四个命题：(1)若α∩β=a ,b ⊂α，a ⊥b ,则α⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ=a ,β∩γ=b ,则a ⊥b ;(3)若a 不垂直于平面α，则a 不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若a ⊥α，b ⊥β,a ∥ｂ，则α∥β，其中不正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.418.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个结论作为条件，另一个论断作为结论，则所得命题正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.419.正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角为A.30°B.45°C.60°D.9020.对于直线m 、n 和平面α、β、γ，下列命题中，正确命题的个数为①若m ∥α，n ⊥m ,则n ⊥α②若m ⊥α，n ⊥m ,则n ∥α③若α⊥β,γ⊥β，则α∥γ④若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥βA.1B.2C.3D.421.平面α与平面β相交，m 是α内的一条定直线，则下列结论正确的是A.在β内必存在与m 平行的直线B.在β内必存在与m 垂直的直线C.在β内必不存在与m 平行的直线D.在β内不存在与m 垂直的直线22.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则()A.直线a 必垂直于平面βB.直线b 必垂直于平面αC.直线a 不一定垂直于平面βD.过a 的平面与过b 的平面垂直23.下列命题中错误的是A.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βB.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βC.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ24.如图，四边形BCEF 、AFED 都是矩形，且平面AFED ⊥平面BCEF ，则下列式子中正确的是A.cos α＝cos β·cos θB.sin α＝sin β·cos θC.cos β＝cos α·cos θD.sin β＝sin α·cos θ25.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为θ和ϕ，则θ＋ϕA.≤90°B.≠90°C.≥90°D.无法确定26.过正方形ABCD 的顶点A 作线段⊥'A A 平面ABC D.若AB B A ='，则平面AB A '与平而CD A '所成角的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°27.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：⑴若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；⑵若a ∥α，a ∥β，则α∥β； ⑶若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.328.在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有 A.SG ⊥△EFG 所在平面 B.SD ⊥△EFG 所在平面 C.GF ⊥△SEF 所在平面 D.GD ⊥△SEF 所在平面SG 1G2G3 EFD29.设直线m、n和平面α、β,则下列命题中，正确的是A.m∥n,m⊂α,n⊂β⇒α∥βB.m⊥α,m⊥n,n⊂β⇒α∥βC.m∥n,n⊥β,m⊂α⇒α⊥βD.m∥n,m⊥α,n⊥β⇒α⊥β30.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题①若a∥α,b∥α,则a∥b；②若a∥α,a∥β,则α∥β；③若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.331.下列命题正确的是A.若直线a∥平面α，直线b⊥a，b⊂平面β，则α⊥βB.若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直32.已知二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c的角为60°的是A.b∥α，c⊥βB.b∥α，c⊥βC.b⊥α，c⊥βD.b⊥α，c∥β33.设平面α⊥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a⊥b，则A.a⊥βB.b⊥αC.a⊥β与b⊥α中至少有一个成立D.a⊥β与b⊥α同时成立34.如图:过正方形ABCD的顶点A，引P A⊥平面AC，若P A＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是A.30°B.45°C.60°D.90°35.设二面角α-AB-β面上一点D，DP在α内与AB成45°，与平面β成30°角，则二面角α-AB-β的度数是A.15°B.30°C.45°D.60°36.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是A.相等B.互补C.相等或互补D.无关37.一个直角三角形的两个直角边长为a、b，沿斜边高折成直二面角，则两个直角边所夹角的余弦值为A.22b a ab +B.222b a ab+ C.22b a ab+ D.22b a ab +38.过平面外的两个点A 、B 有无穷多个平面都与α垂直，则一定有A.直线AB ∥αB.直线AB 与α成60°角C.A 、B 两点在α的一条垂线上D.A 、B 两点到α的距离相等39.A 为直二面角α－l －β的棱上的一点，两条长度都等于a 的线段AB 、AC 分别在α、β内并且都与l 成45°角，则BC的长为 A.a B.a 或3a C.a 或2a D.a 或5a40.如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有A. α⊥γ且l ⊥mB. α⊥γ且m ∥βC. m ∥β且l ⊥mD. α∥β且α⊥γ41.有不同的直线a ､b 和不同的平面α､β､γ,给出下列三个命题:(1)若a ∥α,b ∥α,则a ∥ B. (2)若a ∥α,α∥β,则α∥β.(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.342.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能43.已知直线a 、b 和平面α、β、γ，可以使α∥β的条件是A.a ⊂α，b ⊂β，a ∥bB.a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥βC.α⊥γ，β⊥γD.a ⊥α，a ⊥β44.下列三个命题，其中正确命题的个数为①平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ ②平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ ③平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ A.1 B.2 C.3 D.045.如图,四边形ABCD 中,AD //BC ,AD=AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A-BC D.则在三棱锥A-BCD ,下列命题正确的是 A.平面ABD ⊥平面ABC B.平面ADC ⊥平面BDC C.平面ABC ⊥平面BDC D.平面ADC ⊥平面ABC二、填空题(共5题，题分合计20分)1.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 和BF 所成角的余弦值为____________________________.2. 已知m 、l 是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥α; ②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线; ③若m ⊂α, l ⊂β,且l ⊥m , 则α⊥β; ④若l ⊂β,且 l ⊥α,则α⊥β; ⑤若m ⊂α, l ⊂β,且α∥β,则m ∥l.其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)3.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等； ②直线a ∥b ,a ⊥平面α，b ⊥β；③a 、b 是异面直线，βα⊂⊂b a ,，且ａ∥β，ｂ∥α；④平面α内距离为d 的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线，其中能推出α∥β的条件有.(填写所有正确条件的代号)4.一条直线与平面α相交于点A ，在平面α内不过A 点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.5.在空间，下列命题正确的是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b ②如果一条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β ③如果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ三、解答题(共10题，题分合计110分)1.已知:二面角α- l -β等于120°，AB =10，A ∈α，B ∈β. A 、B 到l 的距离分别等于2和4.(1)求直线AB 和平面β所成角的大小;(2)求异面直线AB 和l 所成角的大小.2.已知M 、N 分别是正方体ABCD - A ′B ′C ′D ′的棱BB ′和B ′C ′的中点，求（1）MN 和CD ′'所成的角（2）MN 和AD 所成的角.3.已知:正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM = BN = a ,)20(<<a(1)求MN 的长(2)当a 为何值时, MN 的长最小(3)当MN 长最小时,求面MNA 与MNB 所成二面角α的大小4.边长为1的正方形ABCD , P A ⊥平面ABCD(1)求证:平面P AD ⊥平面PCD ;(2)若P A =PB ,求AC 与平面PCD 所成的角.5.已知△ABC ，P A ⊥平面ABC ，P A = AB = BC = AC .AH ⊥平面PBC ，H 为垂足，求证：H 不是△PBC 的垂心.6.已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°角,且侧面ABB 1A 1⊥底面ABC .(1)求证: B 1C ⊥C 1A ;(2)求二面角C 1-AB -C 的大小.7.将一副三角板如图拼接,∠BAC =∠BCD =90°,AB =AC ,∠BDC =60°,且平面ABC ⊥平面BCD ,(1)求证:平面ABD ⊥平面ACD ;(2)求二面角A -BD -C 的正切值;(3)求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值是多少?9.如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为.10.两个正方形ABCD, CDEF拼接成直二面角,点M在BD上,N点在CE上,且BM=CN，CD=l.(1)求证: MN∥平面BCF,(2)设BM=t，MN= f (t),求函数f (t)的解析式,(3)求函数f (t)的定义域及最小值.1.(2003北京春,19)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.。

专题18直线与平面所成的角-解析版

专题18直线与平面所成的角空间直线与平面所成的角,在复杂空间图形中隐藏得比较深,不易发现或作出,再加上参数渗透其中,导致思维痛点产生.空间线面角计算问题是高考数学命题中的必选项,必须寻找排除卡壳点的有效途径.补形后找到重要位置关系以利于寻找到“垂足”或“射影”.平面化可以将复杂的线面位置关系转化为线线位置关系,使问题简单化.没有掌握此技术,或不熟悉此技术都将导致思维障碍,形成痛点.一、平面化挖掘隐藏的线面角问题1:如图1,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90∘.侧棱AA1=2,D,E分别是CC1,A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G,求A1B与平面ABD所成角的正弦值.【解析】卡壳点:找不到隐藏的“垂足”.应对策略:面对复杂的空间图形,要䓊于把其中重要的平面图形拿出来分析.问题解答:将这个几何体补上关于平面ABB1A1的对称图形,即直三棱柱ABF−A1B1F1,就得到正四棱柱AFBC−A1F1B1C1,如图2ΔABD的重心G与点E都在正四棱柱AFBC−A1F1B1C1的对角面CFF1C1内,如图3. 记AB的中点为O,由OD=3GO,EO2=GO⋅DO,得EO=√3GO.又DC=EO=1,所以DO=√3EO=√3,GO=√33,CO=BO=√2,GE=EO⋅DEDO=1×√2√3=√63,EB=C1E=DO=√3.所以sin∠EBG=EGEB =√63⋅1√3=√23,故A1B与平面ABD所成角的正弦值为√23,【反思】(1)将三棱柱补形得到四棱柱,把最主要的数量关系线段所在的平面拿出来,这样便于直观地再现线段间的数量关系,这一过程就像电视节目中的特写镜头,突出重点.（2）通过补形使线面垂线的“垂足”易找、易求，这是一个智慧点.二、巧妙寻找直线在平面上射影问题2:如图4,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=2π3,E为线段AB的中点,将ΔADE沿直线DE翻折成ΔA1DE,使平面A1DE⟂平面BCD,F为线段A1C的中点.设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A1DE所成角的余弦值.【解析】卡壳点:不会在复杂图形中寻找直线在平面上的射影.应对策略:在FM上找一点,从该点向平面A1DE引垂线,或找FM在平面A1DE上的射影.问题解答:解法1将点F投影到平面A1DE上,其射影为点N,可证点N在A1E上. 因为CE⟂DE,CE⟂A1M,所以CE⟂平面A1DE.又FN//CE,N为A1E的中点,所以∠FMN为直线FM与平面A1DE所成的角.设BC=1,所以MN=12,FN=√32,FM=1,cos∠FMN=12.解法2 将直线FM投影到平面A1DE上,其射影是MN,同解法1,∠FMN为直线FM 与平面A1DE所成的角.设BC=1,所以MN=12,FN=√32,FM=1,cos∠FMN=12.【反思】(1)求直线与平面所成角的关键是寻找平面的垂线、找斜线在平面内的射影,因此投影法就有了用武之地,要特别说明的是此题最容易出错的地方就是认为点F 在平面A 1DE 上的投影在A 1M 上.(2)由点、线、图形的投影来寻找空间图形问题的突破口,一是需要基本的空间想象能力;二是可以训练或提升学生的空间想象力;三是要能将寻找到辅助线或图形与给定的问题有机结合,突破几何量的计算关，而这又涉及平面几何的基本功.三、平面化寻找线面垂直关系问题3:如图5,在单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BC,CD 的中点,平面A 1EF 交BB 1于点M ,交DD 1于点N .(I)画出几何体A 1MEFN −ABEFD 的直观图与三视图;(II)设AC 的中点为O ,在CC 1上存在一点G ,使CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且OG⟂平面A 1EF ,求λ;(III)求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值.【解析】卡壳点:一是画不出截面图;二是不会计算.应对策略:利用平面的性质切割正方体,要熟悉“三公理”“三推论”及其实际应用,会用一个平面切割正方体,找截面形状.问题解答:(I)几何体的直观图如图6,三视图如图7.(II)解法1由已知在CC 1上存在一点G ,使CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且OG⟂平面A 1EF ,如图8,取OC 的中点H ,CG 的中点I ,则ΔA 1HI 为直角三角形.在Rt ΔHCI 中,HI =√18+λ24.在Rt ΔA 1AH 中,A 1H =√344.在Rt ΔA 1C 1I 中,A 1I =√2+(1−λ2)2,于是在Rt ΔA 1HI 中,由A 1I 2=A 1H 2+HI 2得λ=0.75.解法2选择A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,则E (1,0.5,0),F (0.5,1,0),A 1(0,0,1),G (1,1,λ),O (0.5,0.5,0),从而OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.5,0.5,λ),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0.5,−1).由OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得0.5+0.25−λ=0,解得λ=0.75.当λ=0.75时,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OG⟂平面A 1EF .(III)解法1因为A 1C 与HI 均在平面A 1ACC 1上,设它们相交于点J ,则A 1J 在平面A 1EF 上射影为A 1H ,从而∠CA 1H 为直线A 1C 与平面A 1EF 所成的角.在ΔCA 1H 中,cos ∠CA 1H =3+3416−2162×√344×√3=100102,sin 2∠CA 1H =1−5051=151,sin ∠CA 1H =√5151 解法2由(II)知,平面A 1EF 的一个法向量是OG⃗⃗⃗⃗⃗ =(0.5,0.5,0.75),又A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1),所以A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值为sin ∠CA 1H =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5151. 【反思】(1)正方体的截面将正方体分割成两个几何体,研究它们的直观图与三视图,这是检测空间想象能力的极好素材,看似简单的图形中蕴藏着学生极易犯错的种种情况,如不能准确画出直观图,三视图.（2）虽然是在简单的正方体中,但计算直线与平面所成的角时,射影难找.四、平面图形翻折中寻找线面角问题4:如图9,四边形ABCD 为正方形,E,F 分别为AD,BC 的中点,以DF 为折痕把ΔDFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF⟂BF .(I)证明:平面PEF⟂平面ABFD ;(II)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.【解析】卡壳点:空间模型比较泽楚,计算中出现错误导致失败.应对策略:平面图形翻折后,要看哪些线段位置关系变了,度量关系有哪些变化. 问题解答:(I)由已知可得BF⟂PF,BF⟂EF ,所以BF⟂平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ,所以平面PEF⟂平面ABFD .(II)作PH⟂EF ,垂足为H .由(I)得PH⟂平面ABFD .以H 为坐标原点,HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向,|BF⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长度,建立如图10所示的空间直角坐标系H −xyz .由(I)可得,DE⟂PE ,又DP =2,DE =1,所以PE =√3. 又PF =1,EF =2,故PE⟂PF ,可得PH =√32,EH =32. 从而得H (0,0,0),P (0,0,√32),D (−1,−32,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,√32),易知HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则sinθ=|HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=34√3=√34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为√34.【反思】(1)用传统的逻辑推理方法求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值,只要求出PH 的值,设正方形氻长为2,则PF =1,EF =2,PE =√22−1=√3,PH =√32,PD =2,sinθ=sin ∠PDH =PH PD =√34. （2）第(I)问为寻找射影做了铺垫,只需要从点P 向棱EF 引垂线即可,给定的图形也非常直观,所以通过传统逻辑推理方法求直线与平面所成的角更容易些.（3）此题可以用硬纸折叠构造模型,增加空间直观,观察线面位置关系,为计算各线段长度奠定基础.五、选择最佳途径探求线面角问题5:如图11,棱雉P −ABCD 的底面是菱形,AB =2,∠DAB =π3,侧面PAB 垂直于底面ABCD ,且ΔPAB 是正三角形.PD⟂AB ,求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.【解析】卡壳点:建立空间坐标系计算时失误多.应对策略:根据题设条件建立空间坐标系求解运算量较大,根据线面角概念,利用体积转化法运算量较小.问题解答:设点C 到平面PBD 的距离为ℎ,直线PC 与平面PBD 所成角为θ,则sinθ=ℎPC .已知侧面PAB 垂直于底面ABCD ,设O 为AB 中点,则PO⟂AB .所以PO⟂平面ABCD,PD =√PO 2+DO 2=√6.由PD⟂AB 得PD⟂CD,PC =√PD 2+CD 2=√10.由V C−PBD =V P−BCD ,得13S ΔPBD ℎ=13×√3×√3,故ℎ=2√155,因此sinθ=ℎPC =√65. 故直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√65.【反思】(1)此题也可以建立空间坐标系,利用向量坐标法解决,立体几何解答题一般都有多种解法与思路,复习训练强化一题多解,有利于增加获胜的可能性.(2)上述求解中,体积转化法较易,运算量较少,而向量坐标法是比较麻烦的,涉及线性方程组求解,数字运算中,稍微出一点错,就会前功尽弃.(3)此题给出的直观图,必须运用逻辑推理来思考.六、提升线面所成角的运算力问题6:如图12,AC =2r 为圆的直径,B 为圆周上不与点A,C 重合的点,PA 垂直于圆所在的平面,∠PCA =45∘.(I)点B 在AC 上的投影为点D ,求证:BD⟂平面PAC ;(II)设PB 与平面PAC 所成的角为θ,求sinθ的最大值.【解析】卡壳点:不会寻找线面垂直条件;不会求复杂函数最值.应对策略:直线与平面垂直关系采取推理方式,训练空间图形中的逻辑推理能力.问题解答:(I)连接PD .解法1{PA⟂平面ABC,PA⊂平面PAC⇒{平面PAC⟂平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,⇒BD⟂平面PAC.BD⟂AC解法2{PA⟂平面ABC,BD⊂平面ABC⇒{BD⟂AC,BD⟂PA,AC∩PA=A⇒BD⟂平面PAC.(II)由(I)知∠BPD为PB与平面PAC所成的角θ.设∠ACB=α,0<α<π2,则BD=2rcosαsinα.因为∠PCA=45∘,PB=√AB2+PA2=2r√1+sin2α,所以sinθ=BDPB =√1+sin2α出现根式,需化为整式,平方得sin2θ=sin2αcos2α1+sin2α(∗),函数名统一,即sin2θ=sin2α(1−sin2α)1+sin2α.换元结构简化:令sin2α=t,得sin2θ=t(1−t)1+t.令u=t(1−t)1+t,得u(1+t)=−t2+t.整理得t2+(u−1)t+u=0,由Δ=(u−1)2−4u⩾0,u2−6u+1⩾0,解得u⩽3−2√2,故sinθ⩽√2−1.【反思】引人一个角作为桥梁,建立线段间数量关系.求(∗)式最值的方法很多,且这是学生的一个运算障碍点.强化练习1.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知二面角A1−BD−A的大小为π6,若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为π4,则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是A.[π12,7π12] B.[π12,π2] C.[π12,5π12] D.[0,π2].【解析】采用特殊化思想,考虑正方体情形,设棱长为1,线面所成角的范围是[0,π2],首先可以排除选项A;符合条件的直线不可能平行于平面A1BD,也不会垂直于平面A1BD,所以排除选项D,B,最后选择C.【反思】(1)若将此题作为解答题思考,如答图1,过点A作AO⊥BD,连接A1O,则∠AOA1为二面角A1−BD−A的平面角,所以∠AOA1=π6.把直线l平移到AM,则∠A1AM=∠MAO=π4.过点A作AP⊥A1O,则AP⊥平面A1BD,所以AM(即直线l)与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA=π4+π6=5π12.假设∠A1AN=π4,AN与直线OP相交于点N,则AN(即直线l)与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A−∠A1AN=π3−π4=π12,选择C.第1题答图1第1题答图2(2)若将此题设计为填空题,也需要按照上述思维进行求解.(3)为了清晰地挖掘直线与平面所成角的变化范围,将重要的平面拿出来分析是求解立体几何问题的一个重要手段,如答图2.2.如图,设E为长方形ABCD的边CD的中点,沿AE折叠,设AB=2,BC=1,折D叠后,BD1=√3.(I)证明:平面AD1E⟂平面ABCE;(II)求CD1与平面ABCE所成角的正弦值.,【解析】(I)如答图所示,取AE的中点G,连接D1G,BG,则AG=D1G=√22BG=√AG2+AB2−2AG⋅AB⋅cos⁡45∘=√10,2BD12=D1G2+BG2,所以BG⊥D1G.又D1G⊥AE,所以D1G⊥平面ABCE,且D1G⊂平面AD1E,所以平面AD1E⊥平面ABCE.第2题答图(II)由(I)知,D1G⊥平面ABCE,所以∠D1CG为CD1与平面ABCE所成的角,D1G=√22,CG=√CE2+GE2−2CE⋅GE⋅cos⁡135∘=√102,所以CD1=√3.故CD1与平面ABCE所成角的正弦值sin⁡∠D1CG=√66.【反思】折叠问题最重要的就是分析折叠前后线与线、线与面的位置关系变化情况.3.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,已知二面角A1−BD−A的大小为π6.(I)若C1C,C1B1,C1D1的中点分别为R,S,T,求证:平面RST//平面A1BD;(II)若空间一直线l与直线CC1所成的角为π4,求直线l与平面A1BD所成角的取值范围.【解析】(I)已知C1C,C1B1,C1D1的中点分别为R,S,T,所以RS//A1D,RT//A1B,所以平面RST//平面A1BD.(II)如答图,过点A作AO⊥BD,连接A1O,由三垂线定理可得BD⊥A1O,则∠AOA1为二面角A1−BD−A的平面角,所以∠AOA1=π6.把直线l平移到AM,则∠A1AM=∠MAO=π4.过点A作AP⊥A1O,则AP⊥平面A1BD.第3题答图所以AM(即直线l)与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA=π4+π6=5π12.假设∠A1AN=π4,AN与直线OP相交于点N,则AN(即直线l)与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A−∠A1AN=π3−π4=π12.故直线l与平面A1BD所成角的取值范围是[π12,5π12].【反思】将直线l与平面A1BD所成角转化到平面A1AO内思考是一个智慧点.4.如图,四棱雉P−ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120∘,∠PBC=90∘.(I)求证:平面PAD⟂平面PAB;(II)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(I)证明:由题意得AD ⊥AB 且AD//BC .又BC ⊥PB ,则DA ⊥PB ,从而DA ⊥平面PAB .故平面PAD ⊥平面PAB .(II)以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系,如答图所示,第4题答图则D(0,0,1),C(0,2,1),P (√32,−12,0), 可得CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−52,−1). 平面ABCD 的单位法向量为m ⃗⃗ =(1,0,0). 设直线PC 与平面ABCD 所成所角为θ,则cos⁡(π2−θ)=m ⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∣m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√321×√34+254+1=√68. 于是sin⁡θ=√68,即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为√68. 【反思】由于空间图形中垂直关系明显,建立空间直角坐标系来求线面所成角是一个智慧点.5.如图,已知圆O 的直径AB 的长度为4,D 为线段AB 上一点,且AD =13DB,C 为圆O 上一点,且BC =√3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D,PD =BD . (I )求证:CD⟂平面PAB ;(II)求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值.【解析】(I)连接CO ,由3AD =DB 知,D 为AO 的中点. 又AB 为圆O 的直径,所以AC ⊥AB .由√3AC =BC 知∠CAB =60∘,所以△ACO 为等边三角形,从而CD ⊥AO . 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,所以PD ⊥平面ABC . 又CD ⊂平面ABC ,所以PD ⊥CD . 由PD ∩AO =D 得CD ⊥平面PAB .(II)解法1过点D 作DH ⊥平面PBC ,交平面PBC 于点H ,连接PH ,则∠DPH 即为所求的线面角.由(I)可知CD =√3,PD =DB =3,所以V P−BDC =13S △BDC ⋅PD =13⋅12DB ⋅DC ⋅PD =13×12×3×√3×3=3√32.又PB=√PD2+DB2=3√2,PC=√PD2+DC2=2√3,BC=√DB2+DC2= 2√3,所以△PBC为等腰三角形,则S△PBC=12×3√2×√12−92=3√152由V P−BDC=V D−PBC得DH=3√55,所以sin⁡∠DPH=DHPD =√55.解法2由(I)可知CD=√3,PD=DB=3.如答图所示,过点D作DE⊥CB,垂足为E,连接PE.再过点D作DF⊥PE,垂足为F.因为PD⊥平面ABC,又CB⊂平面ABC,所以PD⊥CB.第5题答图又PD∩DE=D,所以CB⊥平面PDE.又DF⊂平面PDE,所以CB⊥DE.又CB∩PE=E,所以DF⊥平面PBC. 故∠DPF为所求的线面角.在Rt△DEB中,DE=DB⋅sin⁡30∘=32,PE=√PD2+DE2=3√5 2sin⁡∠DPF=sin⁡∠DPE=DEPE =√55.【反思】解法1用体积法寻找线面角的正弦值,解法2找射影,然后求线面角的正弦值,两种思路都是常规思路,需要有良好的逻辑推理基本功.6.如图,在平面四边形PACB中,∠PAB为直角,ΔABC为等边三角形,现把ΔPAB沿着AB折起,使得ΔAPB与ΔABC垂直,且M为AB的中点.(I)求证:平面PAB⟂平面PCM;(II)若2PA=AB,求直线PB与平面PMC所成角的余弦值.【解析】(I)证明:因为平面APB⊥平面ABC且交线为AB,又∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,故AP⊥CM.又△ABC为等边三角形,M为AB的中点,所以CM⊥AB.因为PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB.因为CM⊂△ABC,所以平面PAB⊥平面PCM.（II)假设PA=a,则AB=2a.解法1(等体积法)V P−MBC=V B−PMC,13PA⋅S△MBC=13ℎB⋅S△PMC,而△PMC为直角三角形,故面积为√62a2,故ℎB=√22a.所以直线PB与平面PMC所成角的正弦值sin⁡θ=ℎBPB =√1010所以余弦值cos⁡θ=3√1010. 解法2(向量坐标法)以M 点为坐标原点,以MB 为x 轴,以MC 为y 轴建立如答图所示的空间直角坐标系.第6题答图设PA =a ,则M(0,0,0),P(−a,0,a),B(a,0,0),C(0,√3a,0). 故MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3a,0),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0,a),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2a,0,a). 假设平面PMC 的法向量为n ⃗⃗ =(x,y,z),则y =0,x =z . 令x =1,则n⃗ =(1,0,1). 直线PB 与平面PMC 所成角的正弦值sin⁡θ=√1010,所以余弦值cos⁡θ=3√1010.【反思】解法1运用体积法显示简洁运算智慧;解法2建立空间直角坐标系,运用向量工具,需要数学运算能力支摚.7.如图.,在三棱锥P−ABC中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(I)证明:PO⟂平面ABC;(II)若点M在棱BC上,且二面角M−PA−C为30∘,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【解析】(I)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2√3.AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=连接OB,因为AB=BC=√221AC=2.2由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O−(II)如答图所示,以O为坐标原点,OBxyz.⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3). 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,−2,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3),则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0).取平面PAC的法向量OB第7题答图设M(a,2−a,0)(0<a ⩽2),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,4−a,0).设平面PAM 的法向量n ⃗⃗ =(x,y,z).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ =0,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ =0,得{2y +2√3z =0,ax +(4−a)y =0,可取n⃗ =(√3(a −4),√3a,−a), 所以cos⁡⟨OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=√3(a−4)2√3(a−4)2+3a 2+a 2.由已知得cos⁡⟨OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=√32, 所以√3|a−4|2√3(a−4)2+3a 2+a 2=√32. 解得a =−4(舍去),或a =43.所以n ⃗ =(−8√33,4√33,−43). 又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2√3),所以cos⁡⟨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=√34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为√34.【反思】建立空间直角坐标系,运用向量工具求直线与平面所成的角,可避免在立体图形中寻找的苦恼.8.如图,正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上,E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD绕CD 旋转时,求直线AE 与平面a 所成最大角的正弦值.【解析】建立空间直角坐标系,如答图1所示,设棱长为2,点A,B 在平面yOz 上的以O 为圆心√3为半径的圆上,故可设A(0,√3cos⁡φ,√3sin⁡φ),B(0,√3cos⁡θ,√3sin⁡θ),C(−1,0,0),E (−12,√32cos⁡θ,√32sin⁡θ).第8题答图1在△AOB 中,用余弦定理可得cos⁡(θ+φ)=13,于是AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√36cos⁡θ+2√63sin⁡θ,√36sin⁡θ−2√63cos⁡θ).设直线AE 与平面α所成角为β,n ⃗⃗ =(0,0,1),则sin⁡β=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=|√36sin⁡θ−2√63cos⁡θ|√3=|16sin⁡θ−2√23cos⁡θ|⩽√336【反思】(1)审题的第一阶段,建立空间直角坐标系后,就想把向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用θ表示,并没有注意到点A,B 均在以O 为圆心,√3为半径的圆上,运算太繁,思维停滞不前.(2)审题的第二阶段,发现点A,B 均在以O 为圆心,√3为半径的圆上.设A(0,√3cos⁡φ,√3sin⁡φ),B(0,√3cos⁡θ,√3sin⁡θ)后,为消去φ大费周章,计算繁杂到算不下去.(3)计算sin⁡β=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |时,求|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|(−12,√36cos⁡θ+2√63sin⁡θ,√36sin⁡θ−2√63cos⁡θ)|=√14+(√36cos⁡θ−2√632+(√36sin⁡θ+2√63cos⁡θ)2太花时间,此时忽略了|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ∣是一个定值. 启示:利用空间坐标系解决立体几何中的度量关系,离不开计算,但是计算也要时时关注几何条件,不能一味地“死”算!事实上,给定模型等价于正四面体不动,而平面α围绕CD 旋转,CD ⊥平面ABMCD ⊂平面α}⇒平面α⊥平面ABM ⇒平面α的法向量n ⃗ ⊂平面ABM ,故法向量n⃗ 围绕点A 旋转. 如答图2,作EH ⊥平面ABM ,连接AM .第8题答图2所有n⃗与AE⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角中,∠EAH最小,故余弦值取最大.设CM=1,则EH=12,AE=√3,AH=√112,故cos⁡∠EAH=√112√3=√336.。

空间角(空间线线、线面、面面成角问题)练习题(答案)

空间角练习题1．二面角是指（ D ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（ D ）A 1条或2条交线B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( B )A 5B 20 CD4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB 与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（ A ）A 300B 450 C600 D 12005．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=，则弧度数为的二面角是（ A ）A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（B）A S△A1B1C1=S△ABC·sinθB S△A1B1C1=S△ABC·cosθC S△ABC =S△A1B1C1·sinθD S△ABC=S△A1B1C1·cosθ7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（ B ）A sinα=sinβsinγB sinβ=sinαsinγC sinγ=sinαsinβD 以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 7cm 。

9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为。

高中数学直线与平面所成的角精选题

直线与平面所成的角精选题29道一．选择题（共11小题）1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．82．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．6．正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°8．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．10．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0B．C．D．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}二．填空题（共16小题）12．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．13．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为．14．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．15．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF ＝＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．16．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为．17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为．18．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面ABCD⊥平面P AD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是．21．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．22．如图：二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成角为45°，则AB与平面β所成角的正弦值是．23．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为．24．如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是．25．已知正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为．26．已知A∈α，p∉α，＝（﹣，，），平面α的一个法向量＝（0，﹣，﹣），则直线P A与平面α所成的角为．27．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是．三．解答题（共2小题）28．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．29．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面P AB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．直线与平面所成的角精选题29道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8B．6C．8D．8【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B＝30°，可得BC1＝＝2．可得BB1＝＝2．所以该长方体的体积为：2×＝8．故选：C．【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB＝2．在Rt△AOA1中，＝＝．sin∠C1OA1＝sin（π﹣2∠AOA1）＝sin2∠AOA1＝2sin∠AOA1cos∠AOA1＝，＝1．∴sinα的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设＝（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），＝（1，1，0），＝（1，0，﹣2），＝（1，0，0），设＝（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取＝（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞＝＝．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意得ED∥BF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF 与平面BB1C1C所成的角．利用几何体的结构特征得到∠FBG＝．即可得到答案．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF＝CC1＝BB1＝BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．过点F作FG垂直于BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB＝1，AC＝2，BC＝，所以∠ABC＝，∠BCA＝，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF＝AC＝CF，所以∠FBG＝∠BCA＝．故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟悉线面角的作法，即由线上的一点作平面的垂线再连接斜足与垂足则得到线面角．6．正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以P为原点，P A为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，∴以P为原点，P A为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝PB＝PC＝2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（1，1，0），F（0，1，1），＝（0，2，0），＝（1，1，0），＝（0，1，1），设平面PEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设PB与平面PEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴PB与平面PEF所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．20°B．40°C．50°D．90°【分析】由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点A处的水平面所成角．【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面，由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又∠OAO'为40°且OA⊥AH，在Rt△OHA中，O'A⊥OH，∴∠OHA＝∠OAO'＝40°，另解：画出截面图，如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线．l是点A处的水平面的截线，由题意可得OA⊥l，AB是晷针所在直线．m是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m，由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于∠OAG+∠GAE＝∠BAE+∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与A处的水平面所成角为∠BAE＝40°，故选：B．【点评】本题是立体几何在生活中的运用，考查空间线面角的定义和求法，属于基础题．8．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD＝S△ABD×EC＝××2×2×＝在三棱锥A﹣BDE中，BD＝2，BE＝，DE＝，∴S△EBD＝×2×＝2∴V A﹣BDE＝×S△EBD×h＝×2×h＝∴h＝1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题9．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．【分析】以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．【解答】解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），＝（﹣，﹣1，3），＝（0，2，0），＝（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为＝（x，y，z）则即，取z＝1，则得＝（，0，1），∵cos＜，＞＝＝＝，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选：A．【点评】本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．10．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0B．C．D．【分析】由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①点E是线段AC的中点，BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．利用反证法可以证明．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为，．【解答】解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①∵点E是线段AC的中点，∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．反证法：若直线BE与平面α所成角是，则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线BE与平面α所成角不可能是90°．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．则E，O，D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．∴θ＞．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为，．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是．故选：D．【点评】本题考查了正四面体的性质、线面垂直性质定理、正三角形的性质、线面角，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点．分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN∥平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F 与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN ∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ＝＝2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ＝＝2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D．【点评】本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点F满足A1F∥平面D1AE，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围，着重考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识，属于中档题．二．填空题（共16小题）12．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB＝＝．△SAB的面积为5，可得sin∠ASB＝5，即×＝5，即SA＝4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：＝2．则该圆锥的侧面积：＝40π．故答案为：40π．【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为8π．【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA＝4，SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V＝＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．14．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD＝30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD＝2，则AC＝，CD＝1AB＝＝4∴sin∠ABC＝；故答案为．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．15．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．【分析】由面面垂直的性质证明CB⊥AG，用勾股定理证明AG⊥BG，得到AG⊥平面CBG，从而面AGC⊥面BGC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，故∠BGH是GB与平面AGC所成的角，解Rt△CBG，可得GB与平面AGC所成角的正弦值．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG＝BG＝a，AB＝2a，∴AB2＝AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC＝B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC 所成的角．在Rt△CBG中，BH＝＝，BG＝a，∴sin∠BGH＝＝．故答案为：．【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为．【分析】如图，先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．【解答】解：如图，连接B1D易证B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则可得AD＝＝CD，由等面积法算得AG＝＝所以直线AD与面DCB1的正弦值为；故答案为．【点评】考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为．【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算出此角的正弦值即可．【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．在△AC1A1中，sin∠AC1A1＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系，属于中档题．18．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为4．【分析】建立空间直角坐标系，设棱柱的高为a，求出平面ACD1的一个法向量，令，求出a的值即可．【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，故，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，∴，解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的运用，考查计算能力，属于基础题．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则可得∠C1BO为BC1与平面BBD1B1所成角，利用正弦函数，即可求得结论．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2∴C1O⊥平面BDD1B1∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角∵C1O＝A1C1＝，BC1＝∴sin∠C1BO＝＝＝故答案为：【点评】本题考查线面角，解题的关键是正确作出线面角，属于中档题．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面ABCD⊥平面P AD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是．【分析】以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值．【解答】解：以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，2，0），P（0，0，2），C（﹣1，2，0），M（﹣，1，1），O（0，0，0），，，设平面PCO的法向量＝（x，y，z），，可得＝（2，1，0），设直线BM与平面PCO所成角为θ，则sinθ＝|os|＝||＝故答案为：【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出C1A与平面ABCD所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C1（0，1，1），＝（﹣1，1，1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设C1A与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴C1A与平面ABCD所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．如图：二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成角为45°，则AB与平面β所成角的正弦值是．【分析】根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝，Rt△ABD中，AB＝，∴Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识．23．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为．【分析】取A1B1中点D，连结C1D，AD，推导出C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，从而AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，由此能求出AC1与面ABB1A1所成的角．【解答】解：取A1B1中点D，连结C1D，AD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，∵C1D＝＝，AD＝＝3，∴tan∠DAC1＝＝，∴∠DAC1＝．∴AC1与面ABB1A1所成的角为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24．如图，在棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P与底面ABCD所成角的正切值的取值范围是．【分析】取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，利用面面平行的判定定理可证得面B1DN ∥面A1BM，从而确定点P在线段DN上运动；连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，而tan∠C1PC＝＝，于是求出线段CP的取值范围即可得解．【解答】解：如图所示，取BC的中点N，连接DN、B1N、B1D，则B1N∥A1M，DN∥BM，∵B1N∩DN＝N，B1N、DN⊂面B1DN，A1M∩BM＝M，A1M、BM⊂面A1BM，∴面B1DN∥面A1BM，∵B1P∥平面A1BM，且点P在底面ABCD上，∴点P在线段DN上运动．连接CP、C1P，则∠C1PC为直线C1P与面ABCD所成的角，∴tan∠C1PC＝＝．在Rt△CDN中，当点P与点D重合时，CP最长为2；当CP⊥DN时，CP最短为，即CP∈[，2]，∴tan∠C1PC∈[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查空间中直线与平面的夹角问题、线面平行关系，熟练运用面面平行的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．25．已知正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为45°．【分析】由已知条件推导出棱锥的高h＝a，侧棱长为a，由此能求出侧棱与底面所成的角的大小．【解答】解：∵正六棱锥的底面边长为a，∴S底面积＝6×＝a2，∵体积为a 3，∴棱锥的高h＝a，∴侧棱长为a∴侧棱与底面所成的角为45°，故答案为：45°．【点评】本题考查侧棱与底面所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意正六棱锥的结构特征的合理运用．26．已知A∈α，p∉α，＝（﹣，，），平面α的一个法向量＝（0，﹣，﹣），则直线P A与平面α所成的角为60°．【分析】设直线P A与平面α所成的角为θ．利用sinθ＝|cos＜，＞|，即可得出．【解答】解：设直线P A与平面α所成的角为θ．则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝．∵θ∈[0°，90°]．∴θ＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求线面角、数量积运算及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是8．【分析】设直角三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，根据直角三棱锥的性质可知，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由V C﹣C′PQ＝V C′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值．【解答】解：设直角三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，根据直角三棱锥的性质可知：，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝2＝，∴＝，，∴xy≥8，再由体积可知：V C﹣C′PQ＝V C′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8．故答案为：8．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．三．解答题（共2小题）28．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC 折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故V F﹣PDE＝，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a在△PDE中，，所以，故V F﹣PDE＝，又因为，所以PH＝＝，所以在△PHD中，sin∠PDH＝＝，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．29．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面P AB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG＝，再由已知得AM∥BC，且AM＝BC，得到NG∥AM，且NG＝AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面P AB；法二、证明MN∥平面P AB，转化为证明平面NEM∥平面P AB，在△P AC中，过N作NE ⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知P A⊥底面ABCD，可得P A∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面P AB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面P AD，在平面P AD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG＝，又AM＝，BC＝4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM＝BC，则NG∥AM，且NG＝AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面P AB，NM⊄平面P AB，∴MN∥平面P AB；法二、。

直线和平面所成的角附答案

B1D1 与面 A1BCD1 所成角的正弦值为 4 41 41
直线与平面所成的角 1
例2.
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD//BC,∠BAD=90°, PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点。（1）求证：PB⊥DM；（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角。
B1D1
A1B
A1B12 A1D12
AB 2 AA12
42 32 5 52 42 41
由等面积法可得， B1E AA1 AB 5 4 20 41
A1B
41 41
20 41 41 4 41 5 41
在in ∠ B D E B1E 1 1 B1D1 即
直线与平面所成的角 2
AB 2 AD 2
1 1 BP 2 2
22 22 2 2
1 2 2 22 2 2
AB 2 AP 2
∴在 Rt△BDN 中， sin ∠ BDN
BN 2 1 BD 2 2 2
又∠BDN (0, ),∴∠BDN=60° 2
即 BD 与平面 ADMN 所成的角为 60°.
解：如图，过点��1 做��1 E⊥��1 B 交��1 B 于点 E，连接��1 E ∵CB⊥平面 AB��1 ��1 ,��1 �� 平面 AB��1 ��1 ∴CB⊥��1 ��，又��1 E⊥��1 B，��1 B∩CB=B ∴��1 ��⊥面 A1BCD1 ∴∠��1 ��1 �� 即为 B1D1 与面 A1BCD1 所成角

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《直线和平面所成的角
》练习题2
1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。

) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点，
(1)求EF 和底面ABCD ）
(2)求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值,） (3)求1B O 和底面ABCD ）
(4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,
(1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°）
4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥,PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =
(1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 5、长方体中,2,AB BC ==11AA =,求1BC 和平面11BB D D A B
C D 1B 1C 1D A B
C D 1A 1
B 1
C 1
D O A C
E F
6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点,求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°）
7、正方体中,求1A B 和面11BB D D 所成角的大小
（30°）
8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中
心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°）
(2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°）
９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面
内，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，
ＤＦ的中点，AD DF ⊥
１０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30
１１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB ===,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925
） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面求:(1)PB 与底面ABCD 所成角的正切值（2
） (2)异面直线PA 和BD 所成角大小是多少（6015、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。

A B
C D
1A 1
B 1
C 1
D
E 11A
１6、已知空间四边形ＡＢＣＤ的各边及对角线都相等，求ＡＣ和平面ＢＣＤ所成角的余弦
20、在正三棱柱中，ＡＢ＝１，ＢＤ＝１，求ＡＤ与平面
11
AAC C所成的角的正弦值
A
B C
D
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B。

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