最新指数与指数函数图像及性质(教师版)
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
指数函数的图像和性质1
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数 的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图 象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
人教版指数函数图象及其性质-高中数学(共40张PPT)教育课件
• 【答案】C
13
探究一 指数函数的概念
• 【练】已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
14
解析：
• 【解析】由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
•
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
15
探究二 指数函数的图象问题
• 【例】若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
全
没
有
用
他
会
不
开
心
。
•
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■电 你 是 否有 这 样 经历 ， 当 你在 做 某 一项 工 作 和学 习 的 时候 ， 脑 子里 经 常 会蹦 出 各 种不 同 的 需求 。 比 如你 想 安 心 下来 看 2 小时 的 书 ，大 脑 会 蹦出 口 渴 想喝 水 ， 然后 喝 水 的时 候 自 然的 打 开 电视 。 。 。。 。 。 ，一 个 小 时过 去 了 ， 可能 书 还 没看 2 页 。很 多 时 候甚 至 你 自己 都 没 有意 思 到， 你 的 大脑 不 停地 超 控你 的 注 意力 ， 你就 这 么 轻易 的 被你 的大 脑 所 左右 。 你已 经 不知 不 觉 地变 成 了大 脑 的 奴隶 。 尽管 你 在 用它 思 考， 但 是你 要 明 白你 不 应该 隶 属 于你 的 大 脑， 而 应 该是 你 拥有 你 的大 脑 ， 并且 应 该是 你 可 以控 制 你的 大 脑 才对 。 一切 从 你意 识 到 你可 以 控制 你 的 大脑 的 时 候， 会 改 变你 的 很多 东 西。 比 如 控制 你 的情 绪 ， 无论 身 处何 种 境 地， 都 要明 白 自己 所 面 临的 痛 苦并 没 有 自己 所 感 受的 那 么 强烈 ， 我们 当 前再 痛 苦 ，在 目 前这 个 阶 段自 己 也不 是 最 痛苦 的 人， 尝 试着 运 用 心智 将 注意 力 转 移到 其 他 的地 方 ， 痛苦 就 会自 动 消失 ， 在 你重 新 注意 到 它 的时 候 ，它 不 会 回来。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第5节指数与指数函数教师用书
第五节 指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．( × )(2)(－1)＝(－1)＝．( × )(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝2x 是指数函数．( √ )(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________． 解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－ 解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1 指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD 解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－ 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2 指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A 解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD 解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤ 解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3 指数函数的性质及应用——应用性考向1 比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A 解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2 解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0} 解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3 指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1] 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞) 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4 指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－ 解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C 解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。
指数函数的图象和性质教案
4.2.2 指数函数的图象和性质4号一、【教学目标】1.采用“疑、探、导、练”教学法，根据观察指数函数底数对指数函数图象的影响，并通过图象归纳指数函数的性质；2.通过画指数函数图象、归纳指数函数性质与运用过程，培养学生的观察能力及数形结合、特殊--一般、分类讨论的数学思想。
3.让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，发展学生逻辑推理、直观想象的核心素养。
二、【教学重、难点】教学重点：理解指数函数的图象及性质。
教学难点：指数函数性质的归纳与运用。
三、【教学方法】我校学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。
本节课探究性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。
因此本节课通过结合计算机软件工具，让学生更直观形象地理解指数函数的图象和性质，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。
四. 【教学过程设计】二、合作探究，探索新知6、将这四个函数图象放在同一个坐标系中图象关于和xxayay)1(== y轴对称7、归纳指数函数的性质：通过前面对图象特征的充分认识，引导学生一起将这些图象特征转化成数学语言，即得到指数函数的性质。
xy a=a＞1 0＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1非奇非偶函数非奇非偶函数在R上是增函数在R上是减函数教师：现在我把刚刚画的四个函数放在同一个坐标系，你有什么发现？教师：引导学生去观察底数互为倒数的两个指数函数图象关于Y轴对称。
教师：观察上面函数图象，你能归纳出指数函数y=a x(a＞0,且a≠1)的图象特征和性质吗？教师引导学生观察图象，填写表格，讨论交流，概括总结出指数函数的基本性质。
通过让学生动眼观察、动脑思考，并引导他们对所发现的知识进行归纳、分类，目的在于让学生成为数学课堂的主人，在这一过程中不仅让学生的主体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会数形结合及分类讨论的数学思想，从而有效的达到对知识的理解，进一步发展学生的数学抽象、直观想象的数学核心素养。
指数函数图像及其性质说课稿ppt课件
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
（七）作业布置 推陈出新
（1）必选作业：
（2）选修作业：0<a<b<1时，讨论 ab和 ba大 小 关 系
（3）小组作业：
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
四. 教学方法分析
（一） 根据“教师为主导，学生为主体”的新课 程理念，采用启发式的教学方法。引导学生经 历：回顾--观察--比较--归纳--应用--剖析--反思 的学习过程，体验从特殊到一般，从具体到抽 象的数学认知过程
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗 • 比较下列数的大小
（1） （2） （3）
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
（六）小组讨论 归纳总结
操作流程： （一）小组讨论，选取小组H派代表进行总结； （二）选取小组G派代表对上诉总结进行补充； （三）教师对以上以上流程进行点评，对整节课进行总结。
（1）重视课堂小结，让课堂前后呼应； （2）切实发挥学生主观能动性，能进行自我 反思，推陈出新； （3）教师发挥对整节课的主导型，对整节课 内容进行总结，并存在的问题提出整改方案。
4.2.2指数函数的图象和性质课件(人教版)(1)
一般地，函数y = ax (a > 0，且a ≠ 1)叫做指数函数，其中指数x是自
变量，定义域是R.
系数为1
y＝1 ·ax
注：
自变量
①指数函数的定义域是实数集；
②自变量是指数��，且指数位置只能有这一项；
③底数只能有一项，且其系数必须为1；
常数（大于0且不等于1）
④底数的范围是 > 0且 ≠ 1.
、、、与1的大小关系是（
）
、 < < 1 < <
、 < < 1 < <
、1 < < < <
、 < < 1 < <
【答案】：
练习2：f(x) = ax+5 + 1(a > 0且a ≠ 1)的图象恒过定点___________.
和性质吗？
新知探究
活动4：通过观察下图6个指数函数的图像，你发现指数函数图像有哪些
特点？小组讨论完成右侧表格.
0 a 1
a 1
图像
定义域
值域
单调性
=
与
=
1
关于
定点
R
(0，
)
在R上单调递减 在R上单调递增
（0，
1）
新知探究
通过观察图像，回答下列问题
思考1:在轴右侧，对于同一，图象的
y
y 2x
8
y ( 1 )x
2
7
6
5
4
3
2
1
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指数函数的图像与性质教案
指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。
2. 能够绘制和分析指数函数的图像。
3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。
2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。
(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。
(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。
3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。
(2) 指数函数的值域为正实数。
(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。
2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。
3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。
四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。
2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。
3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。
五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。
2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。
3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。
六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。
2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。
3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。
指数函数的图像及性质第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
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[解析] 当 x − 2 = 0 时， x = 2, y = a0 + 7 = 8 ， ∴ 函数 y = ax−2 + 7 的图象恒过定点 A(2,8) . 又点 A 在幂函数 f(x) = xα 的图象上， ∴ 2α = 8, 解得 α = 3, ∴ f(x) = x3, ∴ f(3) = 33 = 27 .
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变式训练：
1. 指数函数① y = ax, ②y = bx, ③y = cx, ④y = dx 的图象如图所示，则 a ， b
， c ， d 与1的大小关系为( B )
A. a＜b＜1＜c＜d C. 1＜a＜b＜c＜d
B. b＜a＜1＜d＜c D. a＜b＜1＜d＜c
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探究点二 指数函数的定义域和值域
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变式训练：
1. 已知函数 f(x) = 4 + ax−1(a＞0, 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 P ，则定点 P
的坐标是_（_1_，_5_）___.
[解析] 令 x = 1, y = 4 + a0 = 4 + 1 = 5 ，故函数 f(x) 的图象恒过定点 P(1,5) .即点 P 的坐标为(1,5).
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[答案] 要使函数有意义，则 1 − 3x ≥ 0, 即 3x ≤ 1 = 30, 因为函数 y = 3x 在 R 上是增函数，所以 x ≤ 0 .故函数 y = 1 − 3x 的定义域为 (−∞, 0] . 因为 x ≤ 0, 所以 0＜3x ≤ 1, 所以 0 ≤ 1 − 3x＜1 ， 即函数 y = 1 − 3x 的值域为 [0,1) .
初升高数学暑假衔接(人教版)第14讲 指数函数及其性质(教师版)
第14讲指数函数及其性质1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小；3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
一、指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．二、指数函数的图象与性质1>a 10<<a 图象性质定义域R 值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数三、比较指数幂的大小比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．四、简单指数不等式的解法1、形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；2、形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；3、形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=xy a ，=xy b 的图象求解。
考点一：指数函数的概念辨析例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3xy =-B ．()12112x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．231x y =⋅-D ．(0x y m m =>且1)m ≠【答案】AD【解析】由指数函数的定义知，A 、D 选项是指数函数.选项B ：111333x xy -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，不是指数函数.选项C ：231x y =⋅-不是指数函数.故选：AD.考点二：利用指数函数的概念求参例2．若函数()()1xf x a =-为指数函数，则a 的取值范围是________【答案】12a <<或2a >，【解析】()()1xf x a =-为指数函数，则011a <-<或11a ->，解得：12a <<或2a >，故答案为：12a <<或2a >.【变式训练】若函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则（）A ．1a =或3a =-B ．0a >且1a ≠C ．1a =D ．3a =-【答案】C【解析】因为函数()()()2224xf x a a a =+-+为指数函数，则222140a a a ⎧+-=⎨+>⎩，且41a +≠，解得1a =，故选：C考点三：指数函数过定点问题例3．函数()()2630,1x f x aa a -=+>≠恒过定点（）A ．()0,1B ．()3,4C ．()3,3D ．()3,1【答案】B【解析】由题设，当260x -=，即3x =时，0(3)34f a =+=，所以函数过定点()3,4.故选：B【变式训练】函数x m y a n +=+(0a >且)1a ≠恒过定点(1,2)-，m n +=__．【答案】4-【解析】令0x m +=可得x m =-，此时有1y n =+.由题意可得1m -=，12n +=-，所以1m =-，3n =-，所以4m n +=-．故答案为：4-．考点四：指数函数的图象辨析例4．若()x bf x a -=的图像如图，（a ，b 是常数），则（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以01a <<，则11a>，所以1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，又()01bf a-=<，即0111b a a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b <.故选：D 【变式训练】函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【解析】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>.故选：C ．考点五：利用单调性比较指数幂的大小例5．已知103307321123..,.,b c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将a ，b ，c 按照从小到大的顺序排列为（）A ．c ，b ，aB ．b ，a ，cC ．c ，a ，bD ．b ，c ，a【答案】C【解析】因函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则()0303322101233..,a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==<=⇒∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()132210133,c c ⎛⎫⎛⎫=<=⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又10.33>，则10332233.⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >.因函数 1.1x y =在R 上单调递增，则07111..b =>.所以b ＞a ＞c ．故选：C ．【变式训练】（多选）下列结论正确的是（）A ． 2.531.7 1.7<B ． 2.530.80.8<C ．220.90.8--<D ．0.3 3.11.70.8>【答案】ACD【解析】对于A ， 1.7x y =在定义域上是增函数， 2.532.53, 1.7 1.7<∴< ，故A 正确；对于B ，0.8x y =在定义域上是减函数， 2.532.53,0.80.8∴ ，故B 错误；对于C ，2y x -=在()0,+∞上是减函数，220.80.9,0.90.8--<∴< ，故C 正确；对于D ，0.33.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故D 正确；故选：ACD.考点六：解指数型不等式例6．不等式2821()33x x--＞的解集是（）A ．()2,4-B ．(),2-∞-C ．()4,+∞D ．()(),24,-∞-+∞ 【答案】A【解析】∵228211()333xx x --⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴x 2﹣8＜2x ，解得﹣2＜x ＜4．故选：A ．【变式训练】解关于x 的不等式143237x x ≤-⋅+≤．【答案】(][],01,2-∞ 【解析】由143237xx≤-⋅+≤得4323714323x x x x⎧-⋅+≤⎨≤-⋅+⎩，即()()()()2421021220x x x x⎧-+≤⎪⎨--≥⎪⎩，解得224x ≤≤或21x ≤，可得12x ≤≤或0x ≤.所以不等式的解集为(][],01,2-∞ .考点七：指数型函数的单调性例7．函数1(2y =）A ．(],1-∞-B ．[2，＋∞）C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令220x x -++≥，则12x -≤≤，故函数的定义域为[]1,2-，设22192()24t x x x =-++=--+，12x -≤≤，则当11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为增函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22t x x =-++为减函数，此时90,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.而w =90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故w =11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时30,2w ⎡⎤∈⎢⎣⎦.而12wy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故12y ⎛= ⎪⎝⎭在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.故选：C.【变式训练】函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】[1,)+∞【解析】令()22u x x x =-+，根据二次函数的性质，可得函数()u x 在(,1]-∞单调递增，在[1,)+∞单调递递减，又由15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的性质，可得函数15uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数2215x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.考点八：指数型函数的奇偶性例8．函数()2121x x f x -=+的奇偶性是（）A ．是奇函数，不是偶函数B ．是偶函数，不是奇函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，()()11211221211212xxx xxxf x f x ------====-+++，()f x ∴是奇函数，不是偶函数.故选：A.【变式训练】已知3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，则实数k =（）A ．1B ．-1C ．0D ．e【答案】B【解析】因为3()(e e )x x f x x k -=+为偶函数，3y x =为奇函数，故()e e x xg x k -=+为奇函数，()010g k ∴=+=，1k ∴=-.经检验成立，故选：B.考点九：指数型函数的值域例9．函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为______.【答案】[]3,0-【解析】∵[]2,0x ∈-，且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减，且20114,122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则[]11,42x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得[]14,12x⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴[]113,02x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数()()11202xf x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]3,0-.故答案为：[]3,0-.【变式训练】函数22221x x y =+⋅-在区间［-1，1］上的最大值为___________.【解析】令[],12,1xx t ∈-=，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以22221x x y =+⋅-即为21,22,21y t t t ⎡⎤∈+-⎢⎣=⎥⎦.因为对称轴为1t =-，所以221y t t =+-在.1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当2t =时，222217y =+⨯-=为最大值.故答案为：71．如果函数()23xf x a =⋅和()()32x bg x -+=都是指数函数，则b a =（）A ．18B ．1C ．9D ．8【答案】D【解析】根据题意可得1212a a =⇒=，(3)03b b -+=⇒=-，则3182ba -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D2．函数()33xf x =-的图像不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】函数3x y =经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数()33xf x =-，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B3．函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，则m n +=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】函数()x mf x a n -=+（其中0a >，1a ≠，m 、n 为常数）的图像恒过定点()3,2，即32man -=+恒成立，则有3012m n -=⎧⎨+=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩，所以4m n +=.故选：B.4．函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出()232f x x x =-+的单调递减区间，其中()23124f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D5．如图所示：曲线1C ，2C ，3C 和4C 分别是指数函数x y a =，x y b =,x y c =和x y d =的图象,则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．1a b c d <<<<B ．1a b d c <<<<C ．1b a c d <<<<D ．1b a d c<<<<【答案】D【解析】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：11c d >，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故选：D6．已知有三个数22a -=，0.94b =，0.258c =，则它们的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】B【解析】0.9 1.842b == ，0.250.7582c ==，又2x y =在R 上单调递增，20.75 1.8222-∴<<，即a c b <<.故选：B.7．不等式224xx->的解集为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(1,)-∞⋃-+∞【答案】C 【解析】因为222222422220xxxxx x x x -->⇔>⇔->⇔-->，所以(2)(1)0x x -+>，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集为：(,1)(2,)-∞-⋃+∞.故选：C.8．（多选）已知函数()22x x f x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】由题意得：函数()22x x f x -=-的定义域为R对于选项A ：函数()f x 是一条连续的曲线，当x 趋向于负无穷时，2x -趋近于正无穷，2x 趋近于零，所以22x x --趋近于负无穷，当x 趋向于正无穷时，2x -趋近于零，2x 趋近于正无穷，所以22x x --趋近于正无穷，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于选项B ：因为函数2x -在R 上单调递减，函数2x 在R 上单调递增，所以()f x 是R 上的增函数，故B 正确；对于选项C ：()f x 的定义域关于原点对称，又()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，故C 正确；对于选项D ：()f x 是R 上的增函数，无最值，所以D 错误.故选：ABC9．（多选）函数()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．方程()0f x =在R 上有解C ．函数()f x 的图象过定点()0,1D ．当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数【答案】ABD【解析】()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()11xxx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎝-=-⎭⎭，故()f x 为定义域，A 正确；()001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ，故方程()0f x =在R 上有解，B 正确，C 错误；当1a >时，函数xy a =在R 上单调递增，11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()1xxf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，D 正确.故选：ABD10．函数y =__________．（结果写成集合或区间）【答案】(,1]-∞【解析】由题设550x -≥，则55x ≤，即1x ≤，所以定义域为(,1]-∞.故答案为：(,1]-∞11．已知函数()42x x m f x +=，若()f x 为奇函数，则()2f =______.【答案】154【解析】法一：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即4422x x x xm m --++=-，化简得()()1220x x m -+⋅+=，解得1m =-，故()412x x f x -=，所以()224115224f -==；法二：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，故()004002m f +==，解得1m =-，经检验满足题意，故()412x x f x -=，()224115224f -==.故答案为：15412．函数211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R 的值域为_________.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为211()()2x f x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R ，由复合函数的单调性可得，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以max 1()(0)2f x f ==，又21102x +⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.13．若函数()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为__________.【答案】[)4,8【解析】要使函数()f x 为R 上的增函数，应有114024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[)4,8.14．已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a ∈R 且0a ≠）是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()()2y f x f x =+的值域．【答案】（1）1a =；（2）[)4,+∞.【解析】（1）()412228x x xx x a f x a a ⋅+=+⋅=⋅，因为()f x 为偶函数，所以对R x ∀∈都有()()0f x f x --=，即1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭恒成立，即112102x x a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭-⎭恒成立，110a∴-=，解得1a =.（2）由（1）可知1()22x xf x =+，所以()()221122222x x x x y f x f x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭，令1222x x t =+≥=（当0x =时取等号），则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，所以所求函数为2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭，则函数2219224y t t t ⎛⎫=-⎝+=+- ⎪⎭在[)2,+∞上单调递增，所以4y ≥，即函数()()2y f x f x =+的值域为[)4,+∞.15．已知集合A 为不等式49280x x -⋅+≤的解集，（1）若集合{}21R B x m x m m =≤≤-∈，且B A B = ，求m 的取值范围；（2）求函数()1114·242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在定义域A 上的值域.【答案】（1）(],2-∞；（2）[]1,2【解析】（1）49280x x -⋅+≤，即()229280x x -⋅+≤∴128x ≤≤，即[]0,3A =又∵B A B = ，∴B A ⊆，∴①当B =∅时，21,1m m m >-∴<②当B ≠∅时,213121m m m -≤⎧∴≤≤⎨≥⎩，∴综上所述：m 的取值范围为：(],2-∞.（2）()211111424424222x x x x f x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,3是单调减函数∴1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2442g t t t =-+在11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调减函数，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调增函数∴当t =１２时，()min 1f x =当1t =时，()max 2f x =∴()f x 在定义域A 上的值域为[]1,21．给出下列函数：①13y x ＝；②3x y -＝；③3x y -＝；④π3x y -＝.其中指数函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，函数13y x ＝的自变量x 在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数3x y -＝的底数30-<，故不是指数函数；对于③，函数3x y -＝中的指数式3x 的系数不为1，故不是指数函数；对于④，函数π3x y -＝的底数满足π30<-<1，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C 【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.3．若函数()f x 是指数函数，且()123f -=，则（）A ．()3x f x =B ．()x f x =C ．()13x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()3xf x ⎛= ⎝⎭【答案】B【解析】()f x 为指数函数，∴可设()(0x f x a a =>且)1a ≠，()221123f a a -∴-===，解得：a =()x f x ∴=.故选：B.4．函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C 【解析】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥．故选：C.5．对任意实数1a <且0a ≠关于x 的函数()14x y a =-+图象必过定点()A ．()0,4B ．()0,1C ．()0,5D ．()1,5【答案】C 【解析】∵1a <且0a ≠，∴1－a ＞0且1－a ≠1，故函数()1x y a =-是指数函数，过定点(0，1)，则()14xy a =-+过定点(0，5).故选：C.6．函数()1x f x a a =-（0,1a a >≠）的图象可能是（）A．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，()10,1a ∈，因此()10101af <=-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递增，故A 、B 均不符合；当01a <<时，11a >，因此()1010f a =-<，且函数()1x f x a a=-在R 上单调递减，故C 符合，D 不符合．故选：C ．7．函数21()5x ax f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．{}4a a ≤-∣B ．{2}a a ≤-∣C ．{}2a a ≥-∣D ．{4}a a >-∣【答案】C 【解析】设222()24a a g x x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，其图象开向上，对称轴为直线2ax =-．函数21()5x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[1,2]上是减函数，()g x ∴在区间[1,2]上是增函数，又()g x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12a∴-≤，解得2a ≥-．故选：C.8．定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，有（）A ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()11f x f x -=+，所以3122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当1x ≥时，()31x f x =-为单调递增函数，定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以当1x <时，()f x 单调递减，因为112323<<，所以211323⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，即231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.9．不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2x x x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-10．函数()21222x x f x +=-+的定义域为M ，值域为[]1,2N =，则M =______．【答案】(],1-∞（答案不唯一）【解析】因为函数的值域为[]1,2N =，所以2112222x x +≤-+≤，所以21212202210x x x x ++⎧-≤⎨-+≥⎩，即22(22)0(21)0x x x ⎧-≤⎨-≥⎩，故022x <≤，所以1x ≤，则函数的定义域为(],1M =-∞．实际上，只要[]0,1x ∈即可满足条件，即M 可以为[]0,1并上任意一个(),0-∞的子集均可.故答案为：(],1-∞（答案不唯一）11．函数()1421x x f x +=--的单调递增区间是_________．【答案】[)0,∞+【解析】()()214212221x x x x x f +=--=-⋅-令20x t =>，()()222112f t t t t =--=--，当1t ≥时，即0x ≥，()f t 单调递增；当01t <<时，即0x <，()f t 单调递减；因为2x t =单调递增，所以函数()1421x x f x +=--的单调递增区间为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+12．函数()2235x x f x --=的单调减区间是_________.【答案】(),1-∞/(),1-∞【解析】令()225,2314,t y t x x x ==--=--，根据复合函数单调性可知，内层函数在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在(),1x ∈-∞上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增.故答案为：(),1-∞.13．函数23()2x ax f x --=是偶函数．（1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域．【答案】（1）0a =，23()2x f x -=；（2）证明见解析；（3）1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由函数()f x 是偶函数，得(1)(1)f f -=，即131322a a +---=，解得0a =．所以23()2x f x -=.（2）由（1）知，23()2x f x -=，令120x x <<，则2212x x >，()()2212102221x x f x f x -=>=，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.（3）由（2）知，23()2xf x -=在(,0)-∞上是减函数，所以23()2x f x -=在[2,0]-上也是减函数，则(0)()(2)f f x f ≤≤-，所以1()28f x ≤≤．即函数23()2x ax f x --=的值域为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．已知函数()x f x a =（a >0且a ≠1），且函数f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差为32．（1）求实数a 的值；（2）若()()()g x f x f x =--，当a >1时，解不等式22())2(1g x x g x +>-．【答案】（1）a =2或12a =；（2）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）当a >1时，f (x )在[－1，1]上是增函数，所以13(1)(1)2f f a a ---=-=，解得a =2；当0<a <1时，f (x )在[－1，1]上是减函数，所以13(1)(1)2f f a a ---==-，解得12a =．综上，a =2或12a =．（2）由（1）知a =2，则()22x x g x -=-，所以g (x )是严格增函数，由22())2(1g x x g x +>-，得2221x x x +>-，解得12x >-．所以，不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．。
4.2指数函数的图象与性质课件(人教版)
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数1.2指数函数的性质与图像课件新人教B版必修第二册
∴2x= 1 ,解得x=-2.
4
2.(☆)解下列不等式.
(1)
1 2
3
x 1
≤2;
(2) ax2 3x1< ax2 6(a>0,且a≠1).
解析
(1)∵2=
2
≤ 3x-1
1 2
-1.
∵y=
1 2
x
在R上是减函数,
∴3x-1≥-1,解得x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.函数y=2x+1是指数函数. ( ✕ ) 提示:因为指数x+1不是自变量,所以函数y=2x+1不是指数函数.
2.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为(0,+∞).
(√)
提示:由题意可知2a+1>1,解得a>0.
拔高问题 3.求与指数函数有关的复合函数的值域时要注意什么? 提示:要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合,同时注意 指数函数的值域为(0,+∞),求解时要准确运用指数函数的单调性.
1.(☆)(1)函数f(x)= A.(-3,0]
1+ 2x 的1定义域为 ( A )
x3
B.(-3,1]
问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的函数关系式是什 么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的函数关系式中,x的范围是什么?值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0且a≠1): (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同; (2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函 数y=af(x)的值域; (3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值 域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得到y=f(ax)的定义域; (4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围, 再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.
指数与指数函数图像及性质（教师版）
指数与指数函数图像及性质（教师版）指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次⽅根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开⽅数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
(4),||,a n a n ?=?为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n ma a =()1,,,0>∈>*n N n m a(2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另⼀种表⽰形式；②根式与分数指数幂可以进⾏互化；③0的正分数指数幂等于0；④0的负分数指数幂⽆意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sra a a +=?()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.⽆理数指数幂(1)⽆理数指数幂的值可以⽤有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适⽤于⽆理数指数幂。
4．指数函数的概念：⼀般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第⼀课时【典例精讲】题型⼀根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a2.(1,)n a n n N+=>∈,,||,a na n=?为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a a（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2；（3；（4)a b>.正确解析：（18 =-；（2|10|10 =-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||() a b a b a b =-=->.温馨提醒：中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.【变式1】求下列各式的值：（1（*1,n n N>∈且）；（2.【例2】计算)213010.027256317----+-+【答案】)213013411479 0.027256310.349641 7330 ----+-+=-+-+=【变式2】化简34]的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234，故选B【变式3】1332-?×76- ?0＋148422323??- ________.【答案】2【解析】原式＝1323?? ???×1＋342×142－13223??= .题型⼆根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;ba > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平⽅得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平⽅得22249a a -++=，所以2247a a -+=. （3）由（1）（2）可得2216.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b是⽅程2640x x-+=的两根，且0,a b>>求a ba b-+的值.【答案】5【⽅法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，⼀般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代⼊，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy+==且x y<，求11221122x y-+的值.【答案】3【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答⼀是难以想到应⽤“⽴⽅差”公式，⼆是应⽤“⽴⽅差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++?=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进⼀步代⼊计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）121217++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---???? ??；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()2733362213421313a a aa a a ===? C.⽆理数指数幂na (n 是⽆理数)不是⼀个确定的实数 D. ()()()?≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131--???? ??+--a a a a 为 ( )A.3232-+a a C. 3232--a a D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简???? ??+????+ ++???? ??+-----2141811613212121212121的结果是 ( ) A.13212121--???? ??- B.132121--- C.32121-- D. --3212121第⼆课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
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指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，na x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn,1,00。
(4),||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。
2. 分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m nma a=()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ①根式与分数指数幂可以进行互化； ①0的正分数指数幂等于0； ①0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sraa a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；① ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；①()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一根式、指数幂的化简与求值1.n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：1a a=；2.(1,)n a nn N+=>∈,,||,a na n⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3.1(0,,,)nmnmna a m n Nma-+=>∈且为既约分数，=a aαβαβ（）.【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b>.正确解析：（18=-；（2|10|10=-=；（3|3|3ππ=-=-；（4||()a b a b a b =-=->.温馨提醒：(1) n 中实数a 的取值由n的奇偶性确定，只要n 有意义，其值恒等于a，即n a =；(2)n 的奇偶性限制，a R ∈n 的奇偶性影响.【变式1】 求下列各式的值：（1（*1,n n N >∈且）； （2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【答案】)213134114790.027256310.3496417330--⎛⎫--+-+=-+-+=⎪⎝⎭【变式2】化简34]的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148________.【答案】2【解析】原式＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫= ⎪⎝⎭.题型二 根式、指数幂的条件求值1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r s a a =则r s =； 4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>；5.11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>.【例3】已知11223a a -+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6.【解析】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=.（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【答案】【方法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；①化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x yx y -+的值.【答案】3-【变式3】已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a aa a a a a a a aa a--------++⋅=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.【变式4】 （1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-； （2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n Λ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】 化简或计算出下列各式：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是( )A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是( )A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a aa a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ( )A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
【变式1】若函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______.【解析】依题意可知212a =，解得2a =，所以()2x f x =，所以1()2f x -==【变式2】已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】()()()11,112f f a =-∴=--=Q ，故选B.题型四 指数函数的单调性【例2】比较下列各题中的两个值的大小:(1)1.72.5与1.73; (2)0.8-0.1与0.8-0.2; (3)1.70.3与0.93.1.【变式1】比较0.20.71.5,1.3,-132()3的大小。
【变式2】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【例3】指数函数()(1)xf x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．2a >C ．01a <<D ．12a << 【答案】B【解析】对于指数函数xy a =，当1a >时，函数在R 上是增函数，当01a <<时，函数在R 上为减函数.由题意可知：11a ->即，2a >，选B . 【变式3】使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(13，＋∞)D ．(－13，＋∞)【变式4】若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)【例4】函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[12]－，， 所以22t x x ＝－＋＋在1[1,]2-上递增，在1[2]2，递减．根据“同增异减”的原则， 函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是1[2]2，.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.题型三 指数型函数的图像【例5】如下图所示是指数函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象，试判断x=1,,,a b c d 与１的大小关系。
【变式1】当a ≠0时，函数y a x b=+和y b ax=的图象只可能是 ( )【变式2】已知函数()22xf x =-，则函数|()|y f x =的图象可能是( )【答案】B【解析】|f(x)|=|2x -2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B. 题型四 指数函数的性质应用【例6】求下列函数的定义域、值域。
(1)y =0.411-x ; (2)y =315-x ; (3)y =2x +1; (4)y =1222+-x x .【变式1】求下列函数的定义域与值域。