解一元二次方程习题课件 - 副本
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一元二次方程的应用(习题课)精品PPT教学课件
成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32）
=
2020/12/6
18
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方 成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
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b=180
x
7
方法四
a=100
80
b=180
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8
方法五
a=100
80
b=180
2020/12/6
9
方法六
a=100
80
b=180
2020/12/6
10
方法七 a=100
80
b=180
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方法八
a=100
80
b=180
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12
=
当修建2公顷大棚时：
75000×10 －27000×10 +9000 × (10 ) 2
3
3
3
=
所以修建２公顷与10 公顷大棚效益没有差别． 3
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拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方
（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32）
=
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拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方 成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均 收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚 而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
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b=180
x
7
方法四
a=100
80
b=180
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方法五
a=100
80
b=180
2020/12/6
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方法六
a=100
80
b=180
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方法七 a=100
80
b=180
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方法八
a=100
80
b=180
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12
=
当修建2公顷大棚时：
75000×10 －27000×10 +9000 × (10 ) 2
3
3
3
=
所以修建２公顷与10 公顷大棚效益没有差别． 3
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拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬 菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜 等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设 备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2
长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古． 赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
《一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 ×
（1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
2
75
（1 x）
108.
化简，整理得
25x 2 50 x 11 0.
4x2-140x+325=0
25 x 50 x 11 0.
的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它
们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
3x 2 − 8x − 10 = 0
3x 2 + 2x − 6 = 2(x − 3)
解： 3 2 + 2 − 2 − 6 + 6 = 0
2
2
2 − 75 + 350 = 0
一元二次方程
概念：只含有一个未知数（元），并且未知数最高次数是2，等号两边都是整
式，这样的方程叫一元二次方程。
二次项系数 一次项系数
一元二次方程的一般式：ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
二次项 一次项 常数项
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程
一元一次方程知识点回顾
概念：只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般式：
+ = 0
(a,b为常数， a≠0)
情景思考
问题1: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四
（1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
2
75
（1 x）
108.
化简，整理得
25x 2 50 x 11 0.
4x2-140x+325=0
25 x 50 x 11 0.
的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它
们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
3x 2 − 8x − 10 = 0
3x 2 + 2x − 6 = 2(x − 3)
解： 3 2 + 2 − 2 − 6 + 6 = 0
2
2
2 − 75 + 350 = 0
一元二次方程
概念：只含有一个未知数（元），并且未知数最高次数是2，等号两边都是整
式，这样的方程叫一元二次方程。
二次项系数 一次项系数
一元二次方程的一般式：ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
二次项 一次项 常数项
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程
一元一次方程知识点回顾
概念：只含有一个未知数（元），未知数次数都是1，等号两边都是整式，
这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般式：
+ = 0
(a,b为常数， a≠0)
情景思考
问题1: 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四
解一元二次方程PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第3页
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）形 式； （5）用直接开平方法求得方程解．
第4页
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法处理一元二次方程求根问 题呢？
第10页
3．归纳公式法解方程步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
第11页
4．练习巩固公式法
回到本章引言中问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x2 + 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程： （1）假如雕像高度设计为 3 m，那雕像下部 应是多少？4 m 呢？ （2）进而把问题普通化，这个高度比是多少？
第5页
2．推导求根公式
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都能够 转化为普通形式
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 你能用配方法得出它解吗？
第6页
2．推导求根公式
此时能够用开平方法求解吗？
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac b b2 4ac
2a 2a
2a
第7页
2．推导求根公式
普通地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）根 由方程系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程根：
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程方法叫做公式法．
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）形 式； （5）用直接开平方法求得方程解．
第4页
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法处理一元二次方程求根问 题呢？
第10页
3．归纳公式法解方程步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
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4．练习巩固公式法
回到本章引言中问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x2 + 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程： （1）假如雕像高度设计为 3 m，那雕像下部 应是多少？4 m 呢？ （2）进而把问题普通化，这个高度比是多少？
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2．推导求根公式
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都能够 转化为普通形式
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 你能用配方法得出它解吗？
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2．推导求根公式
此时能够用开平方法求解吗？
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac b b2 4ac
2a 2a
2a
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2．推导求根公式
普通地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）根 由方程系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程根：
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程方法叫做公式法．
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
用一元二次方程解决问题4(共12张PPT)
问题5.如图，某海关缉私艇在C处发现在正
北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测 得它正以60km/h的速度向正东方向航行， 缉私艇随即以75km/h的速度前往拦截，在 B处将可疑船只拦截.缉私艇从C处到B处需 航行多长时间？
60x
30km 75x
问题6.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点
P从点A出发沿AB向点B以1cm/s的速度移动;
同时,点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的
速度移动.
(1)几秒后,△PBQ的面积 D
C
等于5cm2？
12cm
(2)几秒后,△PDQ的面积
Q
等于28 cm2？
2t
2秒或4秒
A t P 6-t B
6cm
练习：1.如图,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm， BC=3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向 点B移动,点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向 点C移动.如果点P、Q分别从点A、B同时出发， 几秒后PQ之间的的距离等于 4 2 cm?
超过30人 每增加1人，人均收费降低10元， 但人均收费不低于500元.
根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一 批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元 ，你能确定参加这次旅游的人数吗？
【动动脑，认真思考】
某商店销售一批运动鞋，零售价每双240 元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双， 所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于 150元，一位顾客购买这种运动鞋支付了 3600元，这位顾客买了多少双？
1.4 用一元二次方程解决问题(4)
【温故知新】
某商场将进价为每件8元的商品按每件 10元售出，每天可售出200件，每件的售价 每提高0.5元，其销售量就减少10件．商店 希望每天盈利640元且价格尽可能惠及顾客， 那么应将每件售价定为多少元？
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件4 (共21张PPT)
x 6 x 4 0
2
x 6 x 4
2
2 2
移项
x 6 x 3 4 3
2
两边加上32,使左边配 成完全平方式 左边写成完全平方的形式
变成了(x+h)2=k 的形式
(x3 ) 5
2
开平方
x3 5
得 : x 3 5 , x 3 5 1 2
①移项 ②化1 ③配方 ④降次 ⑤定解
小结：解一元二次方程的基 本思路
二次方程 一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。 当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k<0时，原方程的解又如何？ 2 例：
x 2 x 4 0
拓展：
2 把方程x -3x+p=0配方得到
2
2
它们之间有什么关系?
总结归律:
p 2 p ( ) 2 2 x px ____ ( x ____ 2 2
对于x +px,再添上一次项系数一 半的平方,就能配出一个含未知数的 一次式的完全平方式.
2
体现了从特殊到一般的数学思想方法
课本P9练习：1填空
体 现 了 转 化 的 数 学 思 想
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
一元二次方程应用题(面积问题)1 - 副本
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
练习：
7.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计? 解:设苗圃的一边长为xm, 则
40 - 2 x 厘米 宽等于_________
60 2x 厘米， 则图中虚线部分长等于 ______
解：设截去正方形的边长x厘米，
依题意得： 60- 2x 40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40
经检验, x2 40不合题意,应舍去. x 10
2
例6：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.ห้องสมุดไป่ตู้AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2
x(18 x) 81 化简得，x2 18 x 81 0 2 ( x9) 0 x x 9
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
(32 2 x)(20 x) 570 化简得， 2 36 x 35 0
解:设道路宽为x米，则
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
x ( x 35)( x 1) 0 x1 35, x2 1
练习：
7.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该 怎么设计? 解:设苗圃的一边长为xm, 则
40 - 2 x 厘米 宽等于_________
60 2x 厘米， 则图中虚线部分长等于 ______
解：设截去正方形的边长x厘米，
依题意得： 60- 2x 40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40
经检验, x2 40不合题意,应舍去. x 10
2
例6：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.ห้องสมุดไป่ตู้AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2
x(18 x) 81 化简得，x2 18 x 81 0 2 ( x9) 0 x x 9
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
(32 2 x)(20 x) 570 化简得， 2 36 x 35 0
解:设道路宽为x米，则
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
x ( x 35)( x 1) 0 x1 35, x2 1
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x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
一二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、判断下面哪些方程是一元二次方程：
2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
例2：关于x的二次方程（k 1)x2 2 k x 3 0 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.
解：∵ 原方程是关于x的二次方程
∴ k – 1 ≠0，即k ≠ 1.又由 得k k≥0
∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ （2 k）2 4 （ 3 k 1) 12 8k 0 ∴k3
2 ∴ 满足k 1且0 k 3的最大正整数是0
(1)x2 -3x+4=x2 -7 (×)
(2) 2X2 = -4
(√ )
(3)32X+5X-1=0 (×)
(4)
3x2 -
1 x
2
0
( ×)
(5) x2 1 3 (×)
(6)
y 4
y2
0
(√ )
（7）ax2 bx c 0 (×)
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： 2_x_2_-_3_x_-_1_=_0__, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
两不相等实根 两相等实根 无实根
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
练习：
1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0
有实数根，则m的取值范围是_______ ．
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （ C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
2
例3：已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
ax2 2 b2 c2 x 2(b c) 2a
有两个等根，试判断△ABC的形状.
解：∵ 方程有两个等根 ∴ （2 b2 c2）2 4 a （ 2 b c a) 0 即 4b2 + 4c2 – 8ab – 8ac + 8a2 = 0 4（a – b）2 + 4（a – c)2 = 0 ∴ a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
则整数a的最大值是_______.
例1：已知关于x的方程 1 x2 （t 2)x t2 0
4
（1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ （t 2）2 4 1 t2 4t 4 0 4
∴ t < 1时，方程有两个不相等的实数根.
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
一二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、判断下面哪些方程是一元二次方程：
2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
例2：关于x的二次方程（k 1)x2 2 k x 3 0 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.
解：∵ 原方程是关于x的二次方程
∴ k – 1 ≠0，即k ≠ 1.又由 得k k≥0
∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ （2 k）2 4 （ 3 k 1) 12 8k 0 ∴k3
2 ∴ 满足k 1且0 k 3的最大正整数是0
(1)x2 -3x+4=x2 -7 (×)
(2) 2X2 = -4
(√ )
(3)32X+5X-1=0 (×)
(4)
3x2 -
1 x
2
0
( ×)
(5) x2 1 3 (×)
(6)
y 4
y2
0
(√ )
（7）ax2 bx c 0 (×)
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： 2_x_2_-_3_x_-_1_=_0__, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
两不相等实根 两相等实根 无实根
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
练习：
1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0
有实数根，则m的取值范围是_______ ．
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （ C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
2
例3：已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
ax2 2 b2 c2 x 2(b c) 2a
有两个等根，试判断△ABC的形状.
解：∵ 方程有两个等根 ∴ （2 b2 c2）2 4 a （ 2 b c a) 0 即 4b2 + 4c2 – 8ab – 8ac + 8a2 = 0 4（a – b）2 + 4（a – c)2 = 0 ∴ a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
则整数a的最大值是_______.
例1：已知关于x的方程 1 x2 （t 2)x t2 0
4
（1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ （t 2）2 4 1 t2 4t 4 0 4
∴ t < 1时，方程有两个不相等的实数根.