条件概率及全概率公式练习题
高中试卷-专题30 条件概率与全概率公式(含答案)
专题30 条件概率与全概率公式一、单选题1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率详解：在下雨条件下吹东风的概率为，选C2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有，解得，故选D.3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形，其内切圆与各边分别切于点，，、，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】93011308302589811911¸8830=11113045351312353443=55P ×34P =ABCD I E F G H EF FG GH HE ABCD A I B EFGH ()P B A =2π21π-12π142-由题意，设正方形的边长为，则圆的半径为，面积为；正方形，面积为；所求的概率为．故选：B ．4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】“第一次出现正面”：,“两次出现正面”: ,则故选A5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知，，等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.ABCD 2a I r a =2a p EFGH 22a \22222(|)1a a P B A a p p p-==-A B ()P B A 121416182(1)P A =111()=224P AB =´()1()14|==1()22P AB P B A P A =()1P B|A 2=()35P A =()P AB 56910310110()()0(|),()P AB P A P B A P A >=当时，()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=8．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】(|)P B A =3813401345345()9P A =A B I 223313´+´=1313()9872P A B ==´I ()13(|)()40P A B P B A P A ==I A =B =()|P A B 10115115185361011A B ()P B A =56351225设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：.故选：B.二、多选题9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】由已知，，由已知有，，，所以，则A 正确；，则B 正确；事件、、不相互独立，故错误，即C 错误，则D 正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD ．10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白A B ()()31333==，==626510P A P A B ´()()3()5P AB P B A P A ==A B C ()()()P A P B P C ==()()()P BC P AC P AB ==1()8P ABC =1()()()8P A P B P C ××=22221()44442P A =´+´=21()()42P B P C ===1()()()4P AB P A P B ==1()4P AC =1()4P BC =()()()P A P B P C ==()()()P BC P AC P AB ==A B C 1()8P ABC =1()()()8P A P B P C ××=1A 2A 3A球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．事件与事件相互独立D ．、、两两互斥【答案】BD 【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D 正确；因为，所以，故B 正确；同理，所以，故AC 错误；故选：BD11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD 【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率，故A 不正确；B 2()5P B =15()11P B A =B 1A 1A 2A 3A 1A 2A 3A ()()()123523,,101010p A p A p A ===11155()51011()5()1110P BA P B A P A ´===3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ´´======1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=´+´+´=13115536122142P ==B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含，则概率为，故B 正确；C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含，共5种，所以点数之和为6的概率，故C 正确；D.由题意可知取出的产品全是正品的概率，故D 正确.12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.()3,11261115P C ==()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1536P =232412C P C ==358024325262721423635C C p C ==2163p ==4226218033243p C æöæö==ç÷ç÷èøèø1143114535C C C C =4263p ==3031261327p C æö=-=ç÷èø故选：ABD.三、填空题13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.【答案】【解析】故答案为：14．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种故.故答案为：15．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论35()()235(|)253P AB P B A P A ===35141444C A ×2444A A ×()14244444n A C A A A =×+×1444C A ×()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ×===×+×141A 2A 3A中正确的是___________．①；②；③事件B 与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件【答案】②④【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；因为，所以，故②正确；同理，所以，故①③错误.故答案为：②④16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则＝_______，＝__________【答案】 【解析】由已知，，，∴ ， 故答案为，求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示()25P B =()1511P B A =1A 1A 2A 3A 1A 2A 3A ()()()123523,,101010P A P A P A ===11155()51011()5()1110P BA P B A P A ´===3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ´´======1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=´+´+´=415215110A B ()P B A ()P A B 3438()415P A =()215P B =()110P AB =()()()3|8P AB P B A P A ==()()()3|4P AB P A B P B ==3438n AB n A （）（）事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．四、解答题17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为18．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为和，两地同时下雨的比例为，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少【答案】（1）0.67（2）0.60【解析】（1）设 “甲地为雨天”， “乙地为雨天”，则根据题意有，，.所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是.（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是.p AB p A （）（）20521411941941920%18%12%A =B =()0.20P A =()0.18P B =()0.12P AB =()()0.12|0.67()0.18P AB P A B P B ==»()()0.12|0.60()0.20P AB P B A P A ===19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）两次都取得白球的概率；（2）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，则， ，利用条件概率的计算公式，可得.20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为.（1）设向量，，求的概率；（2）求在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2的概率.【答案】（1）；（2）【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.（1）记“向量，，且”为事件，由得：，从而事件包含共3个基本事件，故.（2）设“点数之和不大于5”为事件，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，1935221669P =´=A B 452()653P A ´==´432()655P AB ´==´()233(|)()525P AB P B A P A ==´=,a b (,)m a b =u r (2,1)n =-r 1m n ×=u r r,a b ,a b 11212,a b (,)m a b =u r (2,1)n =-r 1m n ×=u r rA 1m n ×=u r r21a b -=B (1,1),(2,3),(3,5)31()3612P A ==,a b B(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“中至少有一个为2”为事件，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2” 的概率：.21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）设“甲中奖”为事件，则（2）设“乙中奖”为事件，则又，所以（3）因为，所以22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.,a b C ,a b ,a b ()51()102n BC P n B ===31031013A ()310P A =B ()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+()32110915P AB =´=()73710930P AB =´=()()()179315303010P B P AB P AB =+=+==()710P A =()730P AB =()()()7130|7310P AB P B A P A ===【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为，，，，共有5种，故．（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，不妨设女生乙为，则，又由（1）知，故．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，，故．131512AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab AB AC AD Aa Ab ()51153P M ==M N b ()115P MN =()13P M =()()()15P MN P N M P M ==S ()815P S =N ()415P SN =()()()12P SN P N S P S ==。
高中试卷-专题7.1 条件概率与全概率公式(含答案)
专题7.1 条件概率与全概率公式姓名：班级：重点条件概率的公式及其应用。
难点全概率公式的应用。
例1-1．同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两个骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则=)|(A B P （ ）。
A 、61B 、41C 、31D 、21【答案】D 【解析】21)(=A P ，若A 、B 同时发生，则蓝色骰子向上点数为偶数，则412121)(=⨯=AB P ，∴21)()()|(==A P AB P A B P ，故选D 。
例1-2．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则=)|(A B P （ ）。
A 、31B 、74C 、32D 、43【答案】A【解析】由已知得73)(272324=+=C C C A P 、71)(2723==C C AB P ，则31)()()|(==A P AB P A B P ，故选A 。
例1-3．某市气象台统计，2022年3月1日该市市区下雨的概率为154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，则=)|(B A P （ ）。
5B 、83C 、21D 、43【答案】D【解析】由题意可知154)(=A P 、152)(=B P 、101)(=AB P ，利用条件概率的计算公式可得：43)()()|(==B P AB P B A P ，故选D 。
例1-4．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则=)|(B A P （ ）。
A 、92B 、83C 、43D 、98【答案】A【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，∴其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，∴其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，∴92434)()()|(43433===A B P AB P B A P ，故选A 。
高中数学高二专题14条件概率与全概率公式
专题14条件概率与全概率公式一、单选题1．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.42．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45二、填空题3．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为4．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关三、解答题5．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.四、单选题6．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A =“甲参加跳高比赛”，事件B =“乙参加跳高比赛”，事件C =“乙参加跳远比赛”，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 为互斥事件 C ．()512P C A =D ．()19P B A =7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ） ①事件1A 与2A 相互独立；②1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件； ③24(|)11P B A =；④()922P B =； ⑤14(|)9P A B = A ．5B ．4C ．3D ．2五、多选题8．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A ．()16P AB =B ．()34P B A =C ．()()P B P B A =D ．()712P AB AB +=9．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ） A ．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为16B ．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为13C ．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为13D ．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为5810．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）A ．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B ．该零件是次品的概率为0.03C ．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D ．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为13六、解答题11．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题： (1)请直接写出()0P 与()P B 的数值．(2)证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．12．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立： (1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n的概率记为n P，求n P.13．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.14．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.15．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.参考答案：1．A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+-=， 记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==， 所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣. 故选:A . 2．A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 考点：条件概率． 3．1221117【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B ,第二次抽到A 的事件为C , 则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BC P BC P B P C B P B P =⨯======. 故答案为：1221；117. 4．②④【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,A A A 事件发生的条件下B 事件发生的概率，即可判断②；然后由()()()123()P B P A B P A B P A B =++，判断①和⑤；再比较11()()()P A B P A P B ，的大小即可判断③.【详解】由题意可知事件123,,A A A 不可能同时发生，则123,,A A A 是两两互斥的事件，则④正确；由题意得()()()123544|,|,|111111P B A P B A P B A ===，故②正确； ()()()()()()()()()123133122()|||P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=,①⑤错； 因为11559()()()104492222P A B P A P B ==⨯=，，所以事件B 与事件A 1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.5．(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【详解】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）． （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．6．C【分析】根据条件求出(),(),(),()P A P B P AB P AC ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可【详解】对于A ，每项比赛至少一位同学参加，则有2113421322C C C A 36A ⋅=不同的安排方法， 事件A =“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有33A 6=种方法；若跳高比赛安排1人，则有212312C C A 6=种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有6612+=种，则121()363P A ==，同理121()363P B ==， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有22A 2=种不同的安排方法，所以21()3618P AB ==， 因为()()()P AB P A P B ≠，事件A 与B 不相互独立故A 错误；对于B ，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A 与C 可以同时发生，故事件A 与C 不是互斥事件，故B 错误；对于C ，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有1132C +C 5=种，所以5()36P AC =，所以()5()5361()123P AC P C A P A ===，故C 正确； 对于D ，()1()1181()63P AB P B A P A ===，故D 错误. 故选：C 7．C【分析】先判断出1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且不满足()()()1212P A A P A P A =⋅，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论. 【详解】显然，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且 ()1515232P A ==++，()2215235P A ==++，而()()()12120P A A P A P A =≠⋅，①错误，②正确；()2215235P A ==++，()214451155P A B =⨯=，所以24(|)11P B A =，③正确；()()()()()()()1122331541349211115101122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=④正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C 8．BCD【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-， 所以()112P AB =，故A 错误； 对于B ：()()()P AB P AB P A +=Q ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =， ()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确. 对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+， ()()()P B P AB P AB =+Q ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =，∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确. 故选：BCD. 9．BC【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有111432C C C 种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有111432C C C 种抽法， 其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有12C 种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为12111432C 1C C C 12= ，A 错误； 对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A , 则1132111432C C 1()C C C 4P A ==,小张抽到小王写的贺卡为事件B ,则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为1()112(|)1()34P AB P B A P A === ,B 正确； 对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有14C 2⨯种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为14111432C 21C C C 3⨯= ，C 正确；对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有13C (12)9+=种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为13111432C (12)93C C C 248+==，D 错误， 故选：BC 10．BC【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A ，B ；利用条件概率公式、对立事件即可判断C ，D ．【详解】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =， 对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误；对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为()()()()3333(|)2%50%21(|)1110.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-=-=-=，故D 错误．故选：BC ．11．(1)()01P =，()0P B = (2)证明见解析；1d B=-(3)200B =时，()50%P A =，当1000B =时，()90%P A =，统计含义见解析【分析】（1）明确0n =和n B =的含义，即可得答案； （2）由全概率公式可得11()(1)(1)22P n P n P n =-++，整理为()()()()11P n P n P n P n --=+-，即可证明结论；（3）由（2）结论可得()1AP A B=-，即可求得200B =，1000B =时，()P A 的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.【详解】（1）当0n =时，赌徒已经输光了，因此()01P =.当n B =时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率()0P B =. （2）记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元且下一场赢的事件, ()()(|)()(|)P M P N P M N P N P M N =+,即11()(1)(1)22P n P n P n =-++， 所以()()()()11P n P n P n P n --=+-， 所以(){}P n 是一个等差数列，设()()1P n P n d --=，则()()()()12,10P n P n d P P d ---=-=L ，， 累加得()(0)P n P nd -=，故()(0)P B P Bd -=，得1d B=-， （3）100A =，由()()0P n P nd -=得()()0P A P Ad -=,即()1A P A B=-, 当200B =时，()50%P A =， 当1000B =时，()90%P A =，当B →∞时，()1P A →，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确11()(1)(1)22P n P n P n =-++，即可求解, 12．(1)89；(2)141118227n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）分析试验过程，分别求出()P A 和()P AB ，利用条件概率的公式直接计算； （2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为2n ,分为：i.进行2n 次，均不触发技能二；前面的21n -次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的n 1-次触发技能一，第n 次未触发技能一；iii. 前面的()2,1,2,1k k n =-次未触发技能二，然后接着的第21k +次触发技能二；前面的1n k +-触发技能一，第n k +次未触发技能一. 分别求概率.即可求出n P .【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；所以()111111*********2222222222222264P A =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=. ()111111111222222228P AB =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.所以()1889964P B A ==.（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n ,分为：i. 记事件D ：进行2n 次，均不触发技能二；前面的21n -次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：()221411112222n n nP D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ii. 记事件E ：第一次触发技能二，然后的n 1-次触发技能一，第n 次未触发技能一.其概率为：()1111112222n n P E -+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭iii. 记事件k F ：前面的()2,1,2,1k k n =-次未触发技能二，然后接着的第21k +次触发技能二；前面的1n k +-触发技能一，第n k +次未触发技能一. 其概率为： ()21311111122222kn k n k k P F +-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则事件121,n F F F -L 彼此互斥，记121n F F F F -=+++L ， 所以()()()()121n F F F P P P F P -=++L ()31321311111222n n n n +++⨯++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()131131311112222112n n n n ++-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭141111822172n n n +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭. 所以()()()n F P P D P E P =++141411118221112272n n n n n ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭141411822127n n n++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⎪⎝⎭1481317272n n+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解 13．(1)47(2)2235【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可； （2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.【详解】（1）依题意，记事件i A 表示第i 次从第一个盒子里取出红球，记事件B 表示两次取球中有红球，则()()3237111541010P B P B =-=-⨯=-=，()()()()()()1212222132454547710P A A P A A P A B P A B P B P B ⨯⨯++⨯⨯====. （2）记事件1C 表示从第一个盒子里取出红球，记事件2C 表示从第一个盒子里取出白球，记事件D 表示从第二个盒子里取出红球，则()()()()()1122253422575735P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=. 14．(1)316(2)1380(3)913【分析】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件j A =“甲队第j 局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）讨论M 上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员M 上场的概率. 【详解】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件jA =“甲队第j 局获胜”，其中1,2,3,4,j =j A 相互独立.又甲队明星队员M 前四局不出场，故()1,1,2,3,42j P A j ==，123412341234B A A A A A A A A A A A A =++，所以()41313C 216P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛， 由全概率公式知，()()()()()||P C P C D P D P C D P D =⋅+⋅，因为每名队员上场顺序随机，故()234335C A 3A 5PD ==，()321,55P D =-= ()()2313311|,|241628P C D P C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()3312131658580P C =⨯+⨯=. （3）由（2），()()()()()()33|9165|131380P CD P C D P D P D C P C P C ⨯⋅====. 15．(1)1120(2)①19；②方案二中取到红球的概率更大.【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“试验结果为红球”为事件1B ，“试验结果为白球”为事件2B ，（1）()()()()()111121219121121021020P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=. 所以试验一次结果为红球的概率为1120. （2）①因为1B ，2B 是对立事件，()()219120P B P B =-=， 所以()()()()()()2111212221111029920P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====， 所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①得()()2212181199P A B P A B =-=-=， 所以方案一中取到红球的概率为：()()()()1121122121982591091018P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=， 方案二中取到红球的概率为：()()()()22211121289123791091045P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，因为3754518>，所以方案二中取到红球的概率更大.。
条件概率与全概率公式-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练(解析版)
专题30 条件概率与全概率公式一、单选题1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A．25B．89C．811D．911【答案】C【解析】分析：在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷下雨的概率详解：在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（）A．13B．12C．35D．34【答案】D 【解析】设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43=55P⋅，解得34P=，故选D.3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则()P B A=（）A．2πB．21π-C．12D．π142-【答案】B 【解析】由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π； 正方形EFGH 2a ，面积为22a ；∴所求的概率为22222(|)1a a P B A a πππ-==-． 故选：B ．4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()P B A =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】A 【解析】“第一次出现正面”：2(1)P A =, “两次出现正面”: 111()=224P AB =⨯,则()1()14|==1()22P AB P B A P A =故选A5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2=，()35P A =，()P AB 等于（ ） A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】C 【解析】根据条件概率的定义和计算公式：()()0(|),()P AB P A P B A P A >=当时，把公式进行变形，就得到()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，，故选C.6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．34【答案】B 【解析】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）A ．1011B ．511C ．518D ．536【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10118．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，则概率()P B A =（ ） A ．56B ．35C ．12D ．25【答案】B 【解析】设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，()()31333==，==626510P A P AB ⨯， 第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：()()3()5P AB P B A P A ==.故选：B.二、多选题9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C == B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC = D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD 【解析】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =，所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．2()5P B =B ．15()11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD 【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率2142P ==，故A 不正确；B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含()3,11，则概率为261115P C ==，故B 正确； C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5种，所以点数之和为6的概率536P =，故C 正确； D.由题意可知取出的产品全是正品的概率232412C P C ==，故D 正确.12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 则其中正确命题的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是21423635C C p C ==故正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为2163p ==，则恰好有两次白球的概率为4226218033243p C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为1143114535C C C C =，故错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为4263p ==：则至少有一次取到红球的概率为3031261327p C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故正确.故选：ABD. 三、填空题13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________. 【答案】35【解析】()()235(|)253P AB P B A P A ===故答案为：3514．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________． 【答案】14【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”， 对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一 个给甲，再将余下的4个人全排列有1444C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有2444A A ⋅种，故总的有()14244444n A C A A A =⋅+⋅.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有1444C A ⋅种故()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：1415．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________． ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 【答案】②④ 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故④正确；因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故②正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=， 故①③错误. 故答案为：②④16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______， ()P A B ＝__________【答案】3438【解析】 由已知()415P A =，()215P B =，()110P AB =， ∴ ()()()3|8P AB P B A P A ==，()()()3|4P AB P A B P B == 故答案为34，38求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．四、解答题17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【答案】（1）14；（2）119；（3）419.【解析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可． （3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为41918．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少 【答案】（1）0.67（2）0.60 【解析】（1）设A = “甲地为雨天”， B = “乙地为雨天”，则根据题意有()0.20P A =，()0.18P B =，()0.12P AB =.所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()()0.12|0.67()0.18P AB P A B P B ==≈. （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()()0.12|0.60()0.20P AB P B A P A ===.19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1）19（2）35【解析】（1）两次都取得白球的概率221669P =⨯=； （2）记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球， 则452()653P A ⨯==⨯， 432()655P AB ⨯==⨯， 利用条件概率的计算公式，可得()233(|)()525P AB P B A P A ==⨯=.20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率. 【答案】（1）112；（2）12【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ， 由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件， 故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.【答案】（1）310；（2）310；（3）13 【解析】（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A = （2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+ 又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯= 所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+== （3）因为()710P A =，()730P AB = 所以()()()7130|7310P AB P B A P A=== 22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15；（3）12．【解析】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故()51 153P M==．（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则()1 15P MN=，又由（1）知()13P M=，故()() ()15 P MNP N MP M==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S，则()8 15P S=，“女生乙被选中”为事件N，()415P SN=，故()() ()12 P SNP N SP S==．。
高中数学试题含答案-课时规范练53 随机事件的独立性、条件概率与全概率公式
课时规范练53 随机事件的独立性、条件概率与全概率公式基础巩固组1.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.5122.(多选)已知事件A ,B ,且P (A )=0.5,P (B )=0.2,则下列结论正确的是( ) A.如果B ⊆A ,那么P (A ∪B )=0.2,P (AB )=0.5 B.如果A 与B 互斥,那么P (A ∪B )=0.7,P (AB )=0 C.如果A 与B 相互独立,那么P (AB )=0D.如果A 与B 相互独立,那么P (AB )=0.4,P (A B )=0.43.甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( ) A.29 B.49C.23D.794.设有一批同规格的产品,由三家工厂生产,其中甲厂生产12,乙、丙两厂各生产14,而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%,现从这批产品中任取一件,则取到次品的概率为 ( )A.0.025B.0.08C.0.07D.0.1255.(2020黑龙江实验中学高三月考)吸烟有害健康,远离烟草,珍惜生命.据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02,一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,则他在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( ) A.67 B.2125C.4950D.不确定6.掷一枚质地均匀的骰子2次,每个结果以(x 1,x 2)记之,其中x 1,x 2分别表示掷第一次与掷第二次骰子的点数,设A={(x 1,x 2)|x 1+x 2=6},B={(x 1,x 2)|x 1>x 2},则P (B|A )=( ) A.18B.13C.25D.127.一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13,而乱猜正确的概率为23.在乱猜时,4个答案都有机会被他选择,如果他答对了,则他确实知道正确答案的概率是( ) A.13B.23C.34D.148.(2020天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 9.一袋中装有大小、形状均相同的5个球,其中2个黑球,3个白球,从中先后不放回地任取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .10.事件A ,B ,C 相互独立,如果P (AB )=16,P (B C )=18,P (AB C )=18,则P (B )= ;P (A B )= . 11.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A 与B 的独立性: (1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩.综合提升组12.(2020辽宁大连一模)《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则P (A|B )=( )后天八卦图A.15B.16C.17D.31413.某台举办闯关答题比赛,共分两轮,每轮共有4类题型,选手从前往后逐类回答,若中途回答错误,立马淘汰,若全部回答正确,就能获得一枚复活币并进行下一轮答题,两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币,系统会在下一轮答题中自动使用,即下一轮重新进行闯关答题时,在某一类题型中回答错误,自动复活一次,视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910、89、34、13,则该选手进入第二轮答题的概率为;该选手最终获得奖金的概率为.14.为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围,提高学生的阅读兴趣,某校开展了“朗读者”闯关活动,各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼,第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为0.8,在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为0.5,则该同学两关均通过的概率为.15.已知从A地去B地有①或②两条路可走,并且汽车走路①堵车的概率为14,汽车走路②堵车的概率为p,若现在有两辆汽车走路①,有一辆汽车走路②,且这三辆车是否堵车相互之间没有影响.(1)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716,求走路②堵车的概率;(2)在(1)的条件下,求这三辆汽车中被堵车辆的辆数ξ的分布列.创新应用组16.(多选)(2020辽宁沈阳实验中学高三月考)在如图所示的电路中,A、B、C、D、E是5个保险盒.其中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是()A.AB所在线路畅通的概率为16B.ABC所在线路畅通的概率为56C.DE所在线路畅通的概率为130D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为293617.某仓库有同样规格的产品12箱,其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三个厂的次品率分别为110,114,118.现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品.(1)则取得的一个产品是次品的概率为.(2)若已知取得一个产品是次品,则这个次品是乙厂生产的概率是.(精确到0.001)参考答案课时规范练53随机事件的独立性、条件概率与全概率公式1.D根据题意,恰有一人获得一等奖可以分成甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖,则所求概率是2 3×(1-34)+34×(1-23)=512,故选D.2.BD如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.5,P(AB)=0.2,故A错误;如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0,故B正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=0.1,故C错误;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)·P(B)=0.4,P(A B)=P(A)·P(B)=0.4,故D正确.3.D甲不跑第一棒共有A31·A33=18(种)情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:①乙跑第一棒,共有A33=6(种)情况;②乙不跑第一棒,共有A21·A21·A22=8(种)情况,∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为6+818=79,故选D.4.A设A1,A2,A3分别表示事件“取到甲厂的产品”,“取到乙厂的产品”,“取到丙厂的产品”,B表示事件“取到次品”,则P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04,由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.02+0.25×0.02+0.25×0.04=0.025.5.A记事件A为“某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病”,记事件B为“某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病”,则事件B|A为“某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病”,则B⊆A,AB=B,P(A)=1-0.02=0.98,P(B)=1-0.16=0.84,因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.840.98=67.6.C根据题意A={(x1,x2)|x1+x2=6},则集合A包含的样本点为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),B={(x1,x2)|x1>x2},则集合AB包含的样本点为(4,2),(5,1),根据条件概率求法可得P(B|A)=25.7.B设A=“考生答对”,B=“考生知道正确答案”,由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=13×1+23×14=12.所以P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=1312=23.8.1623两球都落入盒子中的概率为12×13=16,设A=“两球至少一个落入盒子”,对立事件为A =“两球都未落入”,P (A )=(1-12)×(1-13)=12×23=13,则P (A )=1-P (A )=23.9.25 设事件A ,B 分别表示第一、二次取到的是黑球,由古典概型可知P (A )=25,P (B|A )=14,P (B|A )=12.则P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B|A )+P (A )P (B|A )=25×14+(1-25)×12=25. 10.12 13 由题意得{P (A )P (B )=16,P (B )P (C )=18,P (A )P (B )P (C )=18,得P (A )=13,P (B )=12.所以P (A B )=P (A )P (B )=23×12=13. 11.解(方法1)利用定义(1)有两个小孩的家庭,考虑男孩、女孩的可能情形为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),共有4个元素,由等可能性知概率均为14.这时A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)}, AB={(男,女),(女,男)},于是P (A )=12,P (B )=34,P (A ∩B )=12. 由此可知P (A ∩B )≠P (A )P (B ), 所以事件A ,B 不相互独立.(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女),由等可能性知这8个元素的概率均为18,这时A 中含有6个元素,B 中含有4个元素,AB 中含有3个元素.于是P (A )=68=34,P (B )=48=12,P (AB )=38,显然有P (AB )=38=P (A )P (B )成立.从而事件A 与B 是相互独立的.(方法2)利用条件概率与独立性的关系 (1)由题意可知P (B|A )=1, 又P (B )=34,故P (B|A )≠P (B ). 所以A 与B 不相互独立. (2)由题意可知P (B|A )=36=12,又P (B )=48=12,故P (B|A )=P (B ),所以A 与B 相互独立.12.B 由八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个,两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件A 所包含的情况可分为两种,即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴;第二种是两卦中均为一阳两阴;而事件A ∩B 中只包含后者,即P (A ∩B )=C 32C 82=328,事件B 的概率P (B )=1-C 52C 82=914,所以P (A|B )=328914=16.13.152571 800选手进入第二轮答题,则第一轮中答题全部正确,概率为910×89×34×13=15;第二轮通过的概率为15+110×89×34×13+910×19×34×13+910×89×14×13+910×89×34×23=15+145+140+115+25=257360, 该选手最终获得奖金的概率为15×257360=2571 800.14.0.4 设该学生通过第一关为事件A ,通过第二关为事件B ,在通过第一关的前提下通过第二关的概率为P (B|A ),因为P (B|A )=P (AB )P (A ),所以P (AB )=P (B|A )P (A )=0.5×0.8=0.4.15.解(1)由已知条件得C 21×14×34×(1-p )+(34)2×p=716,即3p=1,∴p=13.即走路②堵车的概率为13.(2)由题意得ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=34×34×23=38,P (ξ=1)=716,P (ξ=2)=14×14×23+C 21×14×34×13=16,P (ξ=3)=14×14×13=148. ∴随机变量ξ的分布列为16.BD 由题意知,A ,B ,C ,D ,E 保险闸被切断的概率分别为P (A )=12,P (B )=13,P (C )=14,P (D )=15,P (E )=16,所以A 、B 两个盒子畅通的概率为12×23=13,故A 错误;A 、B 、C 三个盒子混联后畅通的概率为1-23×14=1-16=56,故B 正确;D 、E 两个盒子并联后畅通的概率为1-15×16=1-130=2930,故C 错误;根据上述分析可知,当开关合上时,电路畅通的概率为2930×56=2936,故D 正确.17.(1)0.083 (2)0.287 (1)设A={取得一个产品是次品},B 1={取得一箱是甲厂的},B 2={取得一箱是乙厂的},B 3={取得一箱是丙厂的}.三个厂的次品率分别为110,114,118,∴P (A|B 1)=110,P (A|B 2)=114,P (A|B 3)=118.12箱产品中,P (B 1)=612,P (B 2)=412,P (B 3)=212,由全概率公式得P (A )=∑k=13P (A|B k )P (B k )=612×110+412×114+212×118≈0.083.(2)依题意,已知A 发生,要求P (B 2|A ),此时用贝叶斯公式:P (B 2|A )=P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287.。
2022届高考数学一轮复习专练53条件概率全概率公式相互独立事件的概率含解析
专练53 条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率[基础强化]一、选择题1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现反面”为事件B ，则P (B |A )＝( )A.12B.14C.16D.182．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”；则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.123．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )A.35B.34C.1225D.14254．[2021·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A ，B ，C 三人单独解出的概率依次为12，13，14，则三人独立解答仅有1人解出的概率为( )A.124B.1124C.724D ．1 5．[2021·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.326．5G 指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G 项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( )A ．0.56B ．0.86C ．0.94D ．0.96 7．[2021·山东新高考预测卷]甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人只能报一项，记事件A ＝“四名同学所报比赛各不相同”，事件B ＝“甲同学独报一项比赛”，则P (A |B )＝( )A.59B.49C.13D.298．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19B.16 C.13D.7189．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方．但打到10平以后，先多得2分者为胜方，在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为1010后甲先发球的情况下，甲以1311赢下此局的概率为( )A.225B.310C.110D.325 二、填空题10．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为________．11．[2020·天津卷]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．[能力提升] 13．[2021·全国新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )A ．2个球都是白球的概率为16B ．2个球都不是白球的概率为23C ．2个球不都是白球的概率为56D ．2个球恰好有一个球是白球的概率为1215．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.1416．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A ＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B ＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C ＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (AB )＝P (AC )＝P (BC )C ．P (ABC )＝18D ．P (A )P (B )P (C )＝18专练53 条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率1.A P (A )＝12，P (AB )＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.2．B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.3．D 由题意可知甲中靶的概率P 1＝810＝45，乙中靶的概率P 2＝710，又两人中靶相互独立，∴他们都中靶的概率P ＝P 1P 2＝710×45＝1425.4．B 由题意知，仅有1人解出的概率为P ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13·⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13×14＝14＋18＋112＝1124.故选B. 5．B 设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A ，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B .则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4由于AB ＝B ，则P (AB )＝P (B )则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.故选B.6．C 设事件A 表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B 表示“乙部门攻克该技术难题”， P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为：P ＝1－(1－P (A ))(1－P (B ))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.7．D 由题可得P (AB )＝A 4444＝332，P (B )＝C 14×3344＝2764，根据条件概率公式可得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝29，故选D. 8．D 设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件A －BC ＋A B －C ＋AB C －的发生，故概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718.故选D. 9．C 设双方1010平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k ＝1,2,3，…)，则P (甲以1311赢)＝P (A －1A 2A 3A 4)＋P (A 1A －2A 3A 4)＝P (A －1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫1－12×25×12×25＋12×⎝⎛⎭⎫1－25×12×25＝110，故选C. 10．0.7解析：设A 1＝“第1天去A 餐厅用餐”， B 1＝“第1天去B 餐厅用餐”， A 2＝“第2天去A 餐厅用餐”， Ω＝A 1∪B 1，且A 1与B 1互斥． 根据题意得P (A 1)＝P (B 1)＝0.5，P (A 2|A 1)＝0.6，P (A 2|B 1)＝0.8. 由全概率公式得P (A 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (B 1)P (A 2|B 1) ＝0.5×0.6＋0.5×0.8 ＝0.7故王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7. 11.16 23解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23. 12.1528解析：记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528.即所求事件的概率是1528. 13．B P (甲)＝16，P (乙)＝16，P (丙)＝536，P (丁)＝636＝16，P (甲丙)＝0≠P (甲)P (丙)，P (甲丁)＝136＝P (甲)P (丁)，P (乙丙)＝136≠P (乙)P (丙)，P (丙丁)＝0≠P (丁)P (丙)，故选B.14．ACD ∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为13×12＝16，∴2个球不都是白球的概率是1－16＝56，故A ，C 正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为23，乙口袋摸出的球不是白球的概率为12，故2个球都不是白球的概率为23×12＝13，B 错误；2个球恰有一个球是白球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD.15．C 记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C －)P (D －)[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316. ∴灯亮的概率为1－316＝1316.16．ABD 依题意P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，故AD 正确；P (AB )＝P (A )P (B )＝12×12＝14，P (AC )＝14，P (BC )＝14，故B 正确；事件A ，B ，C 不可能同时发生，所以P (ABC )＝0，故C 错误．故选ABD.。
高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1-3全概率公式分层作业北师大版选择性必修第一册
所以
(1 )(|1 )
P(A1|B)=
()
1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
0.25×0.05
0.038 5
=
25
.
77
8.有甲、乙两袋装有除颜色外,形状、大小完全相同的小球,甲袋中有3个
白球、2个黑球;乙袋中有4个白球、4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙
A1,A2,A3两两互斥,
设B为“任取一零件为次品”,
所以
5
7
8
P(A1)=
=0.25,P(A2)=
=0.35,P(A3)=
=0.4,
5+7+8
5+7+8
5+7+8
P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.03,
于是,由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
1
A.4
1
B.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,3,4,5 号 4
1
C.2
2
D.3
4.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的
四等种子.用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分
别为0.5,0.15,0.1,0.05,这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率
P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
4
所以 P(B)= ∑ P(B|Ai)P(Ai)=0.5×95.5%+0.15×2%+0.1×1.5%+0.05×1%=0.482 5.
高二期末复习之条件概率和全概率练习
条件概率和全概率公式1、条件概率（1）概念：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．（2）两个公式①利用古典概型，P (B |A )＝n (AB )n (A )；②利用概率的乘法公式：P (AB )＝P (A )P (B |A )．2、全概率公式一般地，设n A A A ,,, 21是一组两两互斥的事件，Ω=n A A A 21，且n i A P i ,,,,)( 210=>，则对任意的事件Ω⊆B ，有∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(，称为全概率公式.3、贝叶斯公式设n A A A ,,, 21是一组两两互斥的事件，Ω=n A A A 21，且n i A P i ,,,,)( 210=>，则对任意的事件Ω⊆B ，0>)(B P ,有ni A B P A P A B P A P B P A B P A P B A P knk ki i i i i ,,,,)|()()|()()()|()()|( 211===∑=题型一条件概率1．已知()0.4P B =，()0.8P B A =，()0.3P B A =，则()P A =（）．A ．34B ．38C ．13D ．152．已知A ，B 为互斥事件，事件C 满足：1()12P BC =，1()6P A C =，1(())2P A B C ⋃=，则()P C =（）A ．13B ．14C ．16D ．1123．某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．4．甲、乙、丙、丁4人分别到A 、B 、C 、D 四所学校实习，每所学校一人，在甲不去A 校的条件下，乙不去B 校的概率是______．5．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件A 为“五名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选安全防范服务”，则()P A B =_________.6．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件A ，“第二次取得白球”为事件B ，则()()P AB P B A +=（）A ．79B ．23C ．56D ．897．红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________．8．某汽车4S 店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t （单位：元），绩效工资如下表：月售车台数012345≥绩效工资0.1t0.3t 0.5t 0.8t 1.2t根据以往销售统计，该4S 店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：月售车台数012345≥概率0.320.280.130.120.090.06(1)求该4S 店一名销售员的绩效工资大于0.4t 的概率；(2)若已知该4S 店一名销售员上个月工资大于1.2t ，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；(3)根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S 店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？（精确到百位）1．D【详解】()()()()()()P B P AB AB P A P B A P A P B A =+=+,()()0.40.80.31P A P A ⎡⎤=+-⎣⎦，解得()10.25P A ==.故选：D.2．B【详解】因为A ，B 互斥，所以1(()|)(|)(|)2P A B C P A C P B C =+=⋃，因为1(|)6P A C =，所以1(|)3P B C =，又因为()(|)()P BC P B C P C =，所以1()3()4P C P BC ==．故选：B ．3．13【详解】设事件A 表示“男生甲被选中”，事件B 表示“女生乙被选中”，则21653377C C 15351(),()C 357C 357P A P AB =====，所以()1(|)()3P AB P B A P A ==，即男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为13.故答案为：13.4．79【详解】由题意，甲不去A 校的概率为331443A 3A 4P ==，甲不去A 校且乙不去B 校的概率为13123322244C A C A 7A 12P ⨯-⨯==，则在甲不去A 校的条件下，乙不去B 校的概率217712394P P P ===．故答案为：79．5．332【详解】事件AB ：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在其它4个项目，且互不相同，为44A ，事件B ：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它4个项目，可以安排在相同项目，为44，()()()44545A 354325P AB P A B P B ===.故答案为：332.6．A【详解】545()9818P AB =⨯= ，5()118()5()29P AB P BA P A ===∣，7()()9P AB P B A ∴+=∣．故选：A.7．41513【详解】设A =“甲调配出绿色”，B =“乙调配出紫色”，因为等量的黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶，所以112226C C 4()C 15P A ⋅==，因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶，因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以112124C C 1()C 3P B ⋅==.故答案为：415，138．(1)0.27(2)0.3(3)6300元【详解】（1）设事件“该4S 店一名销售员的绩效工资大于0.4t ”为A ，则事件A 等价于“该销售员月售车台数不小于3”，()0.120.090.060.27P A =++=．（2）设事件“该4S 店一名销售员上个月工资大于1.2t ”为B ，事件“该销售员上个月卖出去3台车”为C ，则()()0.12P BC P C ==，()0.130.120.090.060.4P B =+++=，故()()()0.3P BC P C B P B ==．（3）该4S 店一名销售员月工资X 的分布列为X t 1.1t1.3t1.5t1.8t2.2tP0.320.280.130.120.090.06所以()0.320.28 1.10.13 1.30.12 1.50.09 1.80.06 2.2 1.271E X t t t t t t t =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由1.2718000t ≥，得6300t ≥，即基础工资至少应定为6300元．题型二概率的乘法公式9．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________.10．【多选】箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用A 表示“第一次取到正品”，用B 表示“第二次取到正品”，则（）A ．()()P A PB =B ．()()()P AB P A P B =C ．()0.9P A B +=D ．(|)0.5P B A =11．【多选】已知事件,A B 满足()()0.5,0.2P A P B ==，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若()0.2P BA =∣，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =9．13【详解】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”记事件1R 表示第一次取到红球，2R 表示第二次取到红球，1G 表示第一次取到绿球，则()114P R =，()()()12121111|4312P G R P G P R G ==⨯，∴没有取到黄球的概率为1114123P =+=.故答案为：13.10．ACD【详解】对A ，()35P A =，()3235410P AB =⨯=，()2335410P AB =⨯=，()()()33310105P B P AB P AB =+=+= ，故A 选项对；对B ，()()()3355P A P B P AB =⨯≠ ，故B 选项错；对C ，()()()()0.9P A B P A P B P AB +=+-= ，故C 选项正确；对D ，()()310(|)0.535P AB P B A P A === ，故D 选项正确．故选：ACD 11．BC【详解】对A ，因为B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，错误；对B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.7P A B P A P B +=+=，正确；对C ，因为()()()0.2P AB P BA P A ==∣，所以()0.1P AB =，而()()0.5,0.2P A P B ==，所以()()()0.1P AB P A P B ==，正确；对D ，因为A 与B 相互独立，所以A 与B 相互独立，所以，()()()()()10.50.80.4P AB P A P B P A P B ⎡⎤==⨯-=⨯=⎣⎦，错误．故选：BC.题型三全概率公式12．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.13．北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（）A ．0.45B ．0.14C ．0.75D ．0.814．有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球和1个红球，乙袋中有2个红球和中1个白球，这6个球手感上不可区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（）A ．34B ．712C ．12D ．4715．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.16．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6，如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n 种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X ，求n 的值使得()1P X =取得最大值.17．为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：（i ）求该同学有购买意向的概率；（ii ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.12．0.0315【详解】因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为：15%0.0520%0.0430%0.0335%0.020.0315P =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：0.0315.13．C【详解】设1A =“第1天去智能餐厅用餐”，1B =“第1天去人工餐厅用餐”，2A =“第2天去智能餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =，由全概率公式得()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，故选：C ．14．B【详解】设1A =“从甲袋放入乙袋的是白球”，2A =“从甲袋放入乙袋的是红球”B =“从乙袋中任取一球是红球”，则()()()()()112222317434312P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故选：B.15．(1)1130(2)该球取自乙箱的可能性更大【详解】（1）记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212||2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得：()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+111211232530=⨯+⨯=.（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率()()()()11|523|111130P A P B A P A B P B ⨯===，该球取自乙箱的概率()()()()12|625|111130P A P B A P A B P B ⨯===，因为()()||P A B P A B <，所以该球取自乙箱的可能性更大.16．(1)0.7(2)9或10【详解】（1）设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6P A A =∣，()210.8P A B =∣，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣，所以，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0,1,2,3，由超几何分布可知()()()()()125351511543nn n n C C P X C n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，又 N n ∈，所以1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，解得9n ≤，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.17．(1)（i ）2263；（ii ）722(2)0.75.【详解】（1）（i ）设事件A =“该同学有购买意向”，事件i B =“该同学来自i 班”()1,2,3i =.由题意可知()()()231678,212121P B P B P B ===，()()()123111,,234P A B P A B P A B ===，所以，由全概率公式可得：()()()()()()()112233P A P B P A B P B P A B P B P A B =⋅+⋅+⋅6171812221221321463=⨯+⨯+⨯=.（ii ）由条件概率可得()()()()()()2222717213222263P B P A B P B A P B A P A P A ⨯⋅====.（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为23，每次叫价增加2元的概率为13.设叫价为()310n n ≤≤元的概率为n P ，叫价出现n 元的情况只有下列两种：①叫价为1n -元，且骰子点数大于2，其概率为123n P -；②叫价为2n -元，且骰子点数小于3，其概率为213n P -.于是得到()1221333n n n P P P n --=+≥，易得123P =，222173339P =⨯+=由于()()112121113333n n n n n n P P P P P P n ------=-+=--≥，于是当2n ≥时，数列{}1n n P P --是以首项为19，公比为13-的等比数列，故()2111293n n n P P n --⎛⎫-=⨯-≥ ⎪⎝⎭.于是()()()()101213298109P P P P P P P P P P =+-+-+⋅⋅⋅+-+-9101119323110.751344313⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+⨯≈ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.题型四贝叶斯公式18．学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______．19．一堆苹果中大果与小果的比例为9:1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）A．855857B．8571000C．171200D．91020．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________；若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为_______________.21．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，求它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.22．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.18．511【详解】设事件B 为“拿的苹果是次品”，()1,2i A i =为“拿的苹果来自第i 份”，则()10.4P A =，()1|0.05P B A =，()20.6P A =，()2|0.04P B A =，所以()()()()()11220.40.050.60.040.044||P B P A P B A P A P B A ⨯+⨯==+=，所求概率为()()()()()()1111|0.40.0550.04411|P BA P A P B A P A B P B P B ⨯====．故答案为：51119．A【详解】记事件1:A 放入水果分选机的苹果为大果，事件2:A 放入水果分选机的苹果为小果，记事件:B 水果分选机筛选的苹果为“大果”，则()1910P A =，()2110P A =，()11920P B A =，()2150P B A =，由全概率公式可得()()()()()112291911857102010501000P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=，()()()11191985510201000P A B P A P B A ==⨯=，因此，()()()1185510008551000857857P A B P A B P B ==⨯=.故选：A.20．0.18/9500.86/43502743【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为12C 0.90.10.18⋅⨯=；设A =“购买一个甲厂灯泡”，B =“购买一个一厂灯泡”，C =“灯泡是合格品”，则()0.6P A =，()0.4P B =，(|)0.9P C A =，(|)0.8P C B =，则()()(|)()(|)P C P A P C A P B P C B =⋅+⋅0.60.90.40.80.86=⨯+⨯=.即若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.86；()(|)(|)()P A P C A P A C P C ⋅=0.60.90.86⨯=54278643==.即若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为2743.故答案为：0.18；0.86；2743.21．(1)0.0525(2)37【详解】（1）设B =“任取一个零件是次品”，A 甲=“零件为甲车床加工”，A 乙=“零件为乙车床加工”，A 丙=“零件为丙车床加工”，则A A A Ω=甲乙丙U U ，且A 甲，A 乙，A 丙，两两互斥，根据题意得()0.25,()0.3,()0.45,P A P A P A ===甲乙丙()|0.06,(|)(|)0.05P B A P B A P B A ===甲乙丙.由全概率公式得()()()|()(|)()((|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++甲甲乙乙丙丙0.250.060.30.050.450.050.0525.=⨯+⨯+⨯=（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”就是计算在B 发生的条件下事件A 丙发生的概率.()()(|)0.450.053(|).()()0.05257P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====丙丙丙丙22．(1)316(2)1380(3)913【详解】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件jA =“甲队第j 局获胜”，其中1,2,3,4,j =j A 相互独立.又甲队明星队员M 前四局不出场，故()1,1,2,3,42j P A j ==，123412341234B A A A A A A A A A A A =++，所以()41313C 216P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，()()()()()||P C P C D P D P C D P D =⋅+⋅，因为每名队员上场顺序随机，故()234335C A 3A 5PD ==，()321,55P D =-=()()2313311|,|241628P C D P C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()3312131658580P C =⨯+⨯=.（3）由（2），()()()()()()33|9165|131380P CD P C D P D P D C P C P C ⨯⋅====.。
高中数学选择性必修三 7 1 条件概率及全概率(精练)(含答案)
7.1 条件概率及全概率（精练）【题组一 条件概率】1．（2020·天津高二期末）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______ 【答案】15【解析】若A 为一位医生是男医生，B 为另一位医生也是男医生，∴23271()7C P A B C ⋅==，而211334275()7C C C P A C +==， ∴()1(|)()5P A B P B A P A ⋅==，故答案为：152．（2020·吕叔湘中学高二期末）已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为_____. 【答案】0.75【解析】记使用寿命超过1年为事件B ，超过2年为事件A ，()()0.6,0.8P AB P B ==，()()()0.60.750.8P AB P A B P B === 故答案为：0.75.3．（2020·全国高三专题练习（理））小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =________. 【答案】29【解析】小赵独自去一个景点共有4333108⨯⨯⨯=种情况，即()108n B =，4个人去的景点不同的情况有4424A =种，即()24n AB =，所以()()242()1089n AB P A B n B ===. 故答案为：29. 4．（2020·全国高二课时练习）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 【答案】67【解析】设事件A 为“一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D B C =⋃，且B 与C 互斥，又()11223225710C C C P A C +==，()122515C P AB C ==，()11222525C C P AC C ==， 故()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=. 故答案为：67. 5．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.【答案】1543【解析】由已知得()22682144391C C P A C +==，()262141591C P AB C ==， 则()()()151591|434391P AB P B A P A ===. 故答案为：15436（2020·全国高三专题练习（理））夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________. 【答案】13【解析】解析设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知()0.15P A =，()0.05P AB =，()0.051(|)()0.153P AB P B A P A ===. 故答案为：13. 7（2020·江西高二期末（文））口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为______. 【答案】15【解析】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个， 甲从中不放回的逐一取球，()2163P A ==，()2116515P AB =⨯=， ()()()1115153P AB P B A P A ===.故答案为：15.8．（2020·陕西西安市·交大附中高二期末（文））从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________； 【答案】34【解析】由题意，从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数所包含的基本事件有()2,1，()2,3，()2,4，()2,5，()4,1，()4,2，()4,3，()4,5；共8个基本事件；第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有()2,1，()2,3，()2,5，()4,1，()4,3，()4,5；共6个基本事件，因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为6384P ==. 故答案为：34. 9．（2020·全国高三专题练习）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P A 和(|)P B A ．【答案】（1）45；（2）1()2P A =，2(|)5P B A =． 【解析】（1）某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有3620C =种，男生甲或女生乙都没有被选中的选法：344C =则男生甲或女生乙被选中的选法有20416-=种， ∴男生甲或女生乙被选中的概率为164205P ==； （2）总的选法有3620C =种，男生甲被选中的选法有121510C C ⋅=种，∴1()2P A =， 男生甲被选中、女生乙也被选中选法有1111144C C C ⋅⋅=种，∴1()5P AB =， ∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为()2(|)()5P AB P B A P A ==．10．（2020·全国高三专题练习）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为12345,,,,a a a a a ，女青年志愿者3人，记为123,,b b b .现从这8人中选4人参加某项公益活动. （1）求男青年志愿者1a 或女青年志愿者1b 被选中的概率；（2）在男青年志愿者1a 被选中的情况下，求女青年志愿者1b 也被选中的概率. 【答案】（1）1114；（2）37. 【解析】（1）设“男青年志愿者1a 和女青年志愿者1b 都不被选中”为事件C ，则46483()14C P C C ==，所以所求概率为311()1()11414P C P C =-=-=.（2）记“男青年志愿者1a 被选中”为事件A ，“女青年志愿者1b 被选中”为事件B ，则3276448813(),()214C C P A P AB C C ====，所以()3()()7P AB P BA P A ==∣.所以在男青年志愿者1a 被选中的情况下，女青年志愿者1b 也被选中的概率为37. 11．（2020·河北高三月考）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序. （1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率； （3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）. 【答案】（1）13；（2）12；（3）16.【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为1T 、2T 、3T ， 齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为1W 、2W 、3W ， 并且用马的记号表示该马上场比赛.（1）设事件Ω=“第一局双方参赛的马匹”，事件A =“在第一局比赛中田忌胜利”， 由题意得()()()()()()()(){()}111213212223313233,,,,,,,,TW TW TW T W T W T W T W T W T W Ω=，()()(){}121323,,A TW TW T W =，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是()3193P A ==. （2）设事件B =“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”， 事件C =“田忌获得本场比赛胜利”， 由题意得()()()(){}311223311322312213312312,,,,,,,,,,,B TW TW T W TW TW T W TW T W TW TW T W TW =，()(){}311223312312,,,,,BC TW TW T W TW T W TW =，则本场比赛田忌胜利的概率是()21|42P C B ==. （3）16. 12．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率. 【答案】（1）13；（2）311. 【解析】（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率41483p ==+. （2）记“第一次抽取出球是白球”为事件A ，“第二次抽取出球是白球”为事件B ，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率431()()()121111P AB P A P B ==⨯=，4()12P A =, 所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率1()311()4()1112P AB P B|A P A ===. 【题组二 全概率公式】1．（2021·北京高二期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①378P =； ②41516P =；③当2n ≥时，1n n P P +<； ④123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥. 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④【解析】当3n =时，33171()28P =-=，①正确； 当4n =时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正， 所以4311313()216P =-⨯=，②错误； 要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率， 分类进行讨论，若第n 次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；若第n 次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：所以123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥，④正确； 由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++ 1121233111111111(2481)()22482216n n n n n n n n n n P P P P P P P P P P +------=+++-=+--，所以130,(114)6n n n P P P n +-<=--≥， 又13241,713,816P P P P ====，满足当2n ≥时，1n n P P +<，③正确. 故答案为：①③④.2．（2021·北京房山区·高二期末）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求： （Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （Ⅲ）第二次摸到红球的概率. 【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）29；（Ⅲ）310.【解析】设事件A ：第一次摸到红球；事件B ：第二次摸到红球， 则事件A ：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种， 所以 3()10P A =. （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以2 (|)9P B A=.（Ⅲ）32733 ()()(|)()(|)10910910 P B P A P B A P A P B A=+=⨯+⨯=.所以第二次摸到红球的概率3 ()10 P B=.。
条件概率及全概率公式练习题
二、计算题1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,,∴P(A|B)=9/14.2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式,,∴P(A|B)=1/2.3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 .由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意: P(B|A)=5/12 ,,P(A)=1/2.∴.5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意P(A)=1/10 , P(A1)=3/5 ,P(A2)=3/10 ;P(B|A)=2/5 , P(B|A1)=1/2 ,P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,,且P(B|A)=1/(N-1),;∴=1/(N-1)×1/N+1/N ×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一球,不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球;(2)取出的两只球都是黑球;(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;(4)第二次取出的是红球.解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,,P(A2|A1)=7/9,∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根据题意:,,∴.(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.,,,, ∴.(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.由全概率公式:=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B 4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,且A1、A2、A3构成一完备事件组.又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A 3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.0 31.10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少? 解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.P(A1)=0.02, P(A2)=0.03,P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便,我们求其对立事件的概率=(1 -0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求(1)射击三次皆中目标的概率;(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;(3)射击三次至少有二次命中目标的概率. 解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3). 由独立性:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B 表示. 显然,又根据独立性得到:.(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C 表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C =B +A 1A 2A 3P (C )=P (B )+P (A 1A 2A 3)=0.384+0.512=0.896.12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率.解.设事件A i 表示“第i 人能译出密码”, i =1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P (A 1+A 2+A 3).已知P (A 1)=1/3, P (A 2)=1/4, P (A 3)=1/5,而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.∴P (A 1+A 2+A 3)=1-0.4=0.6.13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概解.设事件A i 表示“第i 次命中目标”, i =1,2,3. 设事件B i 表示“目标被命中i 弹”, i =0,1,2,3. 设事件C 表示“目标被摧毁”. 由已知P (A 1)=0.4, P (A 2)=0.5, P (A 3)=0.7; P (C |B 0)=0, P (C |B 1)=0.2, P (C |B 2)=0.6, P (C |B 3)=0.8. 又由于三次射击是相互独立的,所以率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧,毁的概率.=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0 .36,=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7 =0.41,.由全概率公式得到P(C)=P(C|B)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B)3=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.。
考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(七大经典题型)(原卷版)
考向40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式经典题型一：条件概率经典题型二：相互独立事件的判断 经典题型三：相互独立事件概率的计算 经典题型四：相互独立事件概率的综合应用 经典题型五：全概率公式及其应用 经典题型六：贝叶斯公式及其应用经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用（2022·全国·高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）知识点1、条件概率 （一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么()|)(P B P B A ≠； （2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅． （2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =． （3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+ （2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．1、两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．2、贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．经典题型一：条件概率1．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI ()()22kg m =体重单位：身高单位：来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3100；女员工中，肥胖者的占比为2100，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ） A ．3100B ．9200 C ．35D ．342．（2022·山东日照·三模）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率3．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以12,A A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()2411P B A = B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()312P A B =D ．3()10P B =4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（ ） A ．1920B ．910C ．919D ．18195．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的使用率=能使用的水仙花球茎数采摘的水仙花球茎总数）.(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望；(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.经典题型二：相互独立事件的判断6．（2022·湖北·模拟预测）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，①，①，①四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A ：“医生乙派往①医院”记为事件B ；“医生乙派往①医院”记为事件C ，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 相互独立 C ．()110P B A =D ．()110P C A =7．（2022·全国·模拟预测（文））一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A 为“第一次记下的数字为奇数”，事件B 为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．()14P B A =D ．事件A 与事件B 相互独立8．（2022·湖南常德·一模）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，①，①三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往①村庄”，则（ ） A ．事件A 与B 相互独立 B ．事件A 与C 相互独立 C ．5(|)12P B A =D ．5(|)12P C A =9．（2022·上海金山·一模）设,M N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若,M N 为互斥事件，且()15P M =，()14P N =，则()920P M N =；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16P MN =，则,M N 为相互独立事件；（5）若()12P M =，()13P N =，()56P MN =，则,M N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4经典题型三：相互独立事件概率的计算10．（2022·福建·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）A．1375B．375C．815D．87511．（2022·天津和平·二模）已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A．0.18B．0.3C．0.24D．0.36 12．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A景区旅游去B景区旅游去C景区旅游甲0.40.2乙0.30.6D．0.52 13．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（）A．2518B．19C．16D．11814．（2022·河南开封·三模（理））生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（）A．127B．116C．18D．1415．（2022·广东韶关·二模）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1和元件2同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均为34，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为（）A．764B．1532C．2732D．5764经典题型四：相互独立事件概率的综合应用16．（2022·辽宁鞍山·一模）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.17．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为23，选择乙方案测试合格的概率为12，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.18．（2022·江西九江·三模（理））电子竞技（Electronic Sports）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知A战队每场比赛获胜的概率为23，且各场比赛互不影响.(1)估计A战队获得冠军的概率；(2)某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.19．（2022·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k (1k >，*k ∈N )局，谁便赢得全部奖金a 元．每局甲赢的概率为()01p p <<，乙赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P 甲乙分配奖金． (1)规定如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P 甲乙分配奖金．若3k =，2m =，1n =，34p =，求:P P 甲乙．(2)记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4k =，2m =，2n =时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当617p ≤<时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．20．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p ，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知0.9p =，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为0.6.工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p 的最小值？经典题型五：全概率公式及其应用21．（2022·全国·高三专题练习）“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ） A ．29B ．18C ．112 D ．5822．（2022·黑龙江·绥芬河市高级中学高三阶段练习）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（ ）A．0.48B．0.66C．0.70D．0.75 23．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）某地区居民的肝癌发病率为0.1%，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（）A．0.999B．0.9C．0.5D．0.1 24．（2022·全国·模拟预测）书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书．已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为__________．25．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是__________.经典题型六：贝叶斯公式及其应用26．（2022·全国·高三专题练习）某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示到家时间5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05回家的概率为______．27．（2022·山东青岛·高三开学考试）北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金､32银､18铜､打破4项世界纪录､创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查·（1）从混合的乒乓球中任取1个.（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.28．（2022·全国·高三专题练习）设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？29．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用30．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B = 31．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．32．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（i ）()0P X =；（ii ）X 的分布列及数学期望．1．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3 .故答案为：16；23.3．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.4．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（①）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（①）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（①）的结果给出R的估计。
专题-条件概率与全概率公式(解析版)(人教A版选择性必修第三册)
专题03条件概率与全概率公式一、单选题1．（2021·全国高二课时练习）已知1()2P BA =∣，3()8P AB =，则()P A 等于（）A ．316B ．1316C ．34D ．14【答案】C 【详解】由()()()P AB P BA P A =∣，可得()3()()4P AB P A P B A ==∣.故选：C.2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知某种产品的合格率是79，合格品中的一级品率是45.则这种产品的一级品率为（）A ．2845B ．3536C ．45D ．23【答案】A 【详解】设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则()79P A =，()4|5P B A =，则()()()4728|5945P B P A P B A ==⨯=.故选：A.3．（2021·全国高三专题练习（理））现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（）A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A 【详解】解：由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===，则()P B A =()173()37P AB P A ==，故选：A4．（2020·全国高二课时练习）2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（）A ．0.99%B ．99%C ．49.5%.D ．36.5%【答案】C 【详解】设A 为“某人检验呈阳性”，B 为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为|B A ，又()()()99%0.1%|49.5%0.2%P AB P B A P A ⨯===，故选：C.5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼，6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（）A ．34B ．130C ．12D ．16【答案】D 【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A ，“都是五仁月饼”为事件B ，“在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼”为事件|B A3431041()12030C P AB C ∴===，3343106420241(20105)12C C P A C +====+()130(|)1()65P AB P B A P A ∴===所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为16故选：D6．（多选）（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B ．任取一个零件是次品的概率为0.0525C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27【答案】BC 【详解】记i A 为事件“零件为第()1,2,3i i =台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为次品”则()10.25P A =，()20.3P A =，()30.45P A =对于A ，即()()()1110.250.060.015P A B P A P B A =⋅=⨯=，A 错误.对于B ，()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅=0.250.060.30.05+0.450.05=0.0525⨯+⨯⨯，B 正确.对于C ，()()()()2220.30.0520.05257P A P B A P A B P B ⋅⨯===，C 正确.对于D ，()()()()3330.450.0530.05257P A P B A P A B P B ⋅⨯===，D 错误.故选：BC7．（多选）（2020·全国高一课时练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A ．()25P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件【答案】BD 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010P A P A P A ===，所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======，所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误；故选：BD8．（多选）（2020·山东济宁市·高二期末）为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是（）A ．某顾客抽奖一次中奖的概率是25B ．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是98125C ．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是310D ．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是12【答案】ABD 【详解】顾客抽奖一次中奖的概率为222325132105C C C ++==，故A 选项正确.顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是33232798111155125125⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项正确.对于CD 选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是21222=+，故C 选项错误，D 选项正确.故选：ABD 二、填空题9．（2021·全国高三专题练习（理））如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．【答案】14【详解】由题意可得，事件A 发生的概率()221EFGH O S P A S ππ===⨯；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则()22111212EOHOS P AB S ππ⨯===⨯ ；故()()()11224P AB P B A P A ππ===．故答案为：1410．（2021·全国高三专题练习（理））已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________．【答案】0.6【详解】设事件A ：第一个路口遇到红灯，事件B ：第二个路口遇到红灯，则()0.5P A =，()0.3P AB =，()()0.6()P AB P B A P A ∴==，故答案为：0.6.11．（2021·全国高二课时练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①378P =；②41516P =；③当2n ≥时，1n n P P +<；④123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【详解】当3n =时，33171()28P =-=，①正确；当4n =时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，所以4311313()216P =-⨯=，②错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第n 次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；若第n 次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：第n 次n -1次n -2次概率反面112n P -正面反面214n P -正面正面反面318n P -所以123111(4)248n n n n P P P P n ---=++≥，④正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++1121233111111111(2481)()22482216n n n n n n n n n n P P P P P P P P P P +------=+++-=+--，所以130,(114)6n n n P P P n +-<=--≥，又13241,713,816P P P P ====，满足当2n ≥时，1n n P P +<，③正确.故答案为：①③④.12．（2021·北京房山区·高二期末）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为____；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为____.【答案】1549【详解】共有人数为810101240+++=，男生且有参加滑雪运动打算的人有8人，概率为81405P ==，记抽到的是男生为事件A ，有滑雪打算的为事件B ，由题意189()4020P A ==，由（1）1()5P AB =，∴1()45(|)9()920P AB P B A P A ===．故答案为：15；49．三、解答题13．（2021·山东德州市·高二期末）现有一堆颜色不同，形状一样的小球放入两个袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球.（1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（2）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率；（3）将两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）3163；（2）55126；（3）分布列见解析.【详解】解：（1）设事件A 为“从甲袋中取出红球”，事件B 为“从乙袋中取出红球”，事件C 为“两球颜色不同”，则()59P A =，()47P B =所以()()()()()534431979763P C P A P B P A P B =+=+⨯=.（2）设事件D 为“取出为白球”，事件1E 为“取到甲袋”，事件2E 为“取到乙袋”，则()()1212P E P E ==，()149P D E =，()237P D E =则()()()()()()()1211221413552927126P D P DE P DE P E P D E P E P D E =+=+=⨯+⨯=（3）合为一袋后，有9个红球和7个白球，则X 的取值范围应为{}0,1,2,3()03973161016C C P X C ===；()129731627180C C P X C ===；()21973169220C C P X C ===；()30973163320C C P X C ===X0123P116278092032014．（2020·全国高二课时练习）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，湖北除武汉以外的地市，医疗资源和患者需求之间也存在矛盾.国家卫健委宣布建立16个省支援武汉以外地市的一一对口支援关系，以“一省包一市”的方式，全力支持湖北省加强对患者的救治工作.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴湖北新冠肺炎防治一线.（1）设所选3人中女医生人数为X ，求X 的分布列及期望；（2）设“男医生甲被选中”为事件A ，“女医生乙被选中”为事件B ，求()P B 和(|)P B A .【答案】（1）分布列见解析，()1E X =（人）；（2）12，25.【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2.()3436105C P X C ===，()214236315C C P X C ===，()124236125C C P X C ===.所以X 的分布列为：X012P153515X 的期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=（人）.（2）()253612==C P B C ，14361()5C P AB C ==,()1()25|1()52P AB P B A P A ===.15．（2020·河北唐山市·高三一模（理））甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为()01p p <<.（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若12p =，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望()E X ；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围.【答案】（1）2p ；（2）详见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）设:A 甲在第一局失利，:B 甲获得了比赛的胜利，则()()()()2211P AB p p P B A p P A p-===-；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值为0、1、2，则()()21014P X p ==-=，()()2121114P X C p p ==-=，()()21221212P X p C p p ==+-=.随机变量X 的分布列如下：X12P141412则()11150124424E X =⨯+⨯+⨯=；（3）甲获得该场比赛胜利的概率为()21221p C p p +-，则()21221p C p p p +->.即22310p p -+<，解得112p <<，所以p 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.16．（2020·江西宜春市·上高二中高二期末（理））小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：:1A 个黑球2个红球；:3B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；:3E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.【答案】(1)中一至四等奖分别对应的情况是,,,B A E C .(2)118;(3)194.【详解】（1）()233103112040C P A C ===；()31011120P B C ==，()126431036312010C C P C C ===，()21643106011202C C PD C ===，()363102011206C P E C ===∵()()()()()P B P A P E P C PD <<<<，∴中一至四等奖分别对应的情况是,,,B A E C .（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则12291(|)18C P G F C ==.（3）X 的取值为3,7,2,2,3a ---，则分布列为由题意得，若要不亏本，则()()()11131372230120406102a ⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯≥，解得194a ≤，即a 的最大值为194.。
高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版
高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版1.单选题1.在下雨的条件下吹东风的概率为9/308，既吹东风又下雨的概率为8/3030.求在下雨条件下吹东风的概率。
解析：根据条件概率公式，P(吹东风|下雨) = P(吹东风且下雨) / P(下雨) = (8/3030) / (9/308) = 1111/30，所以选C。
2.某酒店商务房间1天有客人入住的概率为4/5，连续2天有客人入住的概率为3/51.在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为多少？解析：设第二天也有客人入住的概率为P，根据条件概率公式，P(第二天有客人入住|第一天有客人入住) = P(第一天和第二天都有客人入住) / P(第一天有客人入住) = (3/51) / (4/5) = 254/5，所以选D。
3.在正方形ABCD内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE。
现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P(B|A)等于多少？解析：圆I的半径为正方形边长的一半，面积为πa^2，正方形EFGH的面积为2a^2.根据条件概率公式，P(B|A) = P(B且A) / P(A) = (2a^2 - πa^2) / (πa^2) = 1 - 2/π，所以选B。
4.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于多少？解析：根据条件概率公式，P(B|A) = P(A且B) / P(A) =P(两次出现正面) / P(第一次出现正面) = (1/4) / (1/2) = 1/2，所以选A。
5.已知P(B|A) = 13/25，P(A) = 13/25，P(AB) = 9/25，求P(B)。
解析：根据全概率公式，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，其中A'表示事件A的补集。
小题训练-条件概率与全概率公式(1)(原卷版)-高三数学二轮复习
小题训练-条件概率与全概率公式（1）一、单选题1．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为13，并且每人是否猜对相互独立在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为（ ）A ．57B ．56C ．527D ．472．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ）A ．0.75B ．0.7C ．0.56D ．0.383．高二某班共有50名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的15，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）A ．118B ．110C ．16D ．354．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件A 为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件B 为“取到的两张均为假钞”，则()|P B A =（ ）A ．119B ．1718C ．419D ．2175．盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率（ ）A ．49B ．23 C ．59 D ．5126．全国上下团结一致、共同抗疫，很快疫情过后，阳光灿烂，甲乙两位游客通过某同学的介绍来到鹭岛厦门旅游，分别从鼓浪屿、植物园、环岛路和曾厝峖共4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择鼓浪屿，事件B:甲和乙选择的景点不同，则条件概率()|P B A =（ ）A ．716B ．78C ．37D ．677．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中机会均等），则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一个人被选中的概率是（ ）A ．35B ．59C ．12 D ．348．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.75 二、多选题9．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．12,A A 两两互斥B ．()257P B A =C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．9()14=P B 10．设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数．用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．定义事件：事件A 为“x y +为奇数”，事件B 为“xy 为奇数”，事件C 为“x 为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 C ．1()2P B C = D ．A 与C 相互独立12．下列关于说法正确的是（ ）A ．抛掷均匀硬币五次，出现正面的次数是随机变量B ．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击二次必命中一次C ．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B = D ．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为{}1,2,3,4,5,6Ω=，令事件{}2,3,5A =，事件{}1,2B =，则事件A ，B 独立三、填空题13．在10张百元纸币中混有3张假币，从中任意抽取2张，将其中1张在验钞机上检验发现是假币，则这2张都是假币的概率是____________.14．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6.乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为__________.15．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．16．在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有333,,5010040的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为6:5:4，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______________.。
条件概率与全概率公式常考题型训练 高二下学期数学 人教版(2019)选择性必修第三册
《条件概率与全概率公式》常考题型一、条件概率题型一：求条件概率：1. 若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另一件是一等品的概率为__________.2. 某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为________.3. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()M N P 等于___________.4. 甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获得胜利的概率均为43，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为_________.5. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是_______.6.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题则通过；若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率_________.题型二：正确区分条件概率与简单随机事件的概率1. 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，取两次.求：（1）两次都取得一等品的概率；（2）第二次取得一等品的概率；（3）已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得二等品的概率.2. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次后还能继续使用到15000次的概率是________.3. 现从4名男医生和3名女医生中抽取两个加入某医疗队，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()=A B P ________.4.从编号为102,1，，⋅⋅⋅的10个大小相同的球中任取4个，在已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________.综合训练:1. 已知()31=A B P ，()52=A P ，则()=AB P _______. 2. 一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为________.3. 某电视台的夏日水上闯关节目的前三关的过关率分别为65，54，53，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为________.4. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取出1个球（每个球取得的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次.设事件A 为“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不同”，事件B 为“三次取到的球颜色都不相同”，则()=A B P ________.5.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为1513，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为__________.6.甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品.（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.二、全概率公式1. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1,2车间生产的成品比列为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.2. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌甲 乙 其它 市场占有率50％ 30％ 20％ 优质率 95％ 90％ 70％3. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡拾白色垃圾活动，参加活动的甲、乙两班的人数之比为3∶2，其中甲班中女生占31，乙班中女生占21，则该社区居民遇到一位进行捡拾白色垃圾活动的同学恰好是女生的概率是_________.4. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回.求：（1）第一次摸到红球的概率；（2）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；第二次摸到红球的概率.。
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第7章 7.1.2A 级——基础过关练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )A ．35B ．1949C ．2049D ．25【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球}，B ＝{第二个人取到黄球}，则P (B )＝P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A )，由题意知P (A )＝2050，P (A )＝3050，P (B |A )＝1944，P (B |A )＝2049，所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝25.2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%，而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那它由甲车间生产的概率约为( )A ．0.013B ．0.362C ．0.468D ．0.035【答案】B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )A ．0.012 3B ．0.023 4C ．0.034 5D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )A ．512B ．37C ．2041D ．2141【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球}，B 1＝{来自甲袋}，B 2＝{来自乙袋}，则P (B 1)＝P (B 2)＝12，P (A |B 1)＝610，P (A |B 2)＝814，由贝叶斯公式得P (B 1A )＝P B 1P A |B 1B 1P A |B 1＋P B 2P A |B 2＝12×61012×610＋12×814＝2141. 5．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )A ．14B ．12 C ．25 D ．35【答案】B6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．【答案】7375 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，那么第一台机床生产的零件占据总零件的比例是23，第二台机床生产的零件占据总零件的比例是13，由全概率公式，得所求概率为(1－0.03)×23＋(1－0.02)×13＝7375.7．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P (A |B )＝0.95，P (A －|B )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被实验的人患有癌症的概率为0.005，则P (B |A )＝________(保留两位有效数字)．【答案】0.087 【解析】P (A |B )＝1－P (A |B )＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P (B )＝0.005，由贝叶斯公式，得P (B |A )＝P B P A |BP B P A |B ＋PBP A |B＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 8．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知道是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为________．【答案】38 【解析】设事件A 表示从箱中任取2件都是一等品，事件B i 表示丢失的为i等品，i ＝1,2,3，那么P (A )＝P (B 1)·P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋210×C 25C 29＝29.所以P (B 1|A )＝P B 1P A |B 1P A ＝38.9．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解：用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω.由题意知P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12. 10．有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．B 级——能力提升练11．某试卷只有1道选择题，但有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )A ．14 B ．119 C ．1116D ．1924【答案】B 【解析】设A ＝{不知道正确答案}，B ＝{猜对此题}，则P (A )＝14，P (A )＝1－14＝34，P (B |A )＝16.∴P (A |B )＝P A P B |A P A P B |A ＋PAP B |A＝14×1614×16＋34×1＝119. 12．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________； (2)从乙箱中取出白球的概率是________．【答案】25 825【解析】设A ＝“从甲箱中取出白球”，B ＝“从乙箱中取出白球”，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B |A )＝25，P (B |A )＝15，利用全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝35×25＋25×15＝825.13．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求没人抓得有物之阄的概率．解：设A ，B 分别为甲、乙抓得有物之阄的事件． ∴P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B )P (A |B ) ＝210×19＋810×29＝15， P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝210×19＋810×29＝15. ∴1－P (A )－P (B )＝1－15－15＝35.C 级——探究创新练14．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解：设A ＝{第一次抽出的是黑球}，B ＝{第二次抽出的是黑球}． 由全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意P (A )＝ba ＋b，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b，P (B |A －)＝b a ＋b ＋c.所以P (B )＝b b ＋ca ＋b a ＋b ＋c ＋ab a ＋b a ＋b ＋c ＝ba ＋b.。
(完整word版)习题与解答2条件概率+全概率贝叶斯概率
习题2：条件概率与全概率、贝叶斯概率一、 条件概率与乘法公式 P20:A3,4；B5；1.据统计，某市发行A ，B ，C ，3种报纸，订阅情况为:()0.6,(|)0.5,(|)0.3(|)0.5,P C P B C P A BC P A C ====， 求订阅A 和C 报但不订阅B 报的概率. 解：()()(|)0.3,()()1(|)0.3P AC P C P A C P BC P C P B C ⎡⎤===-=⎣⎦()()(|)0.30.50.15.P ABC P BC P A BC ==⨯=()()()0.30.150.15.P ABC P AC P ABC =-=-=2. 已知()1/4,(|)1/3,(|)1/2,P A P B A P A B ===求(|)P A A B U .解：1()1()()(|).().12(|)6P AB P AB P A P B A P B P A B ====1()()34(|)111()()()()44612P A P A P A A B P A B P A P B P AB ====+-+-U U 二、 全概率P23:A5,6；4. 某人去外地参加会议，乘火车，汽车，飞机的概率分别为0.3,0.2,0.5 . 若乘飞机，不会迟到，若乘火车和汽车，则迟到的概率分别为0.1和0.2，求最终不迟到的概率.解：设A 1=“乘火车”，A 2=“乘汽车”，A 3=“乘飞机”，B=“不迟到”，123123()0.3,()0.2,()0.5,(|)0.9,(|)0.8,(|)1.P A P A P A P B A P B A P B A ======31()()(|)0.30.90.20.80.510.93.i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑5. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收为 B 的概率为 0.02，B 被误收为A 的概率为0.01,信息 A 与 B 传递的频繁程度比为3:2. 求接收站收到的信息为B 的概率为多少？解：设A=“发送信息A ”，B=“接收信息B ”，()0.6,(|)0.02,(|)0.01,P A P B A P B A ===()()(|)()(|)0.60.020.40.990.408.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=三、 贝叶斯概率P26:A2, 3，5；6. 一批零件，合格品占92%，一检验员随机地取一件进行检验，合格品误检为不合格品的概率是0.05，而不合格品误检为合格的概率是0.1，求当产品检为合格时，实际取的是不合格品的概率.解：设A=“取到合格品”，B=“检验为合格品”，()0.92,(|)0.05,(|)0.1,P A P B A P B A ===()(|)0.080.1(|)0.009.0.920.950.080.1()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+ 7. 某公司从四家厂购入同一产品，数量之比为9:3:2:1，已知四家厂次品率分别为1%，2%，3%，1%，现随机取到一件次品，问该次品是哪家的责任最大？解：设A i =“第i 家厂的产品”，B=“次品”，123412349321(),(),(),(),15151515(|)0.01,(|)0.02,(|)0.03,(|)0.01.P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========41932122()()(|)0.010.020.030.01.151515151500i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 111234()(|)9661(|),(|),(|),(|).()22222222P A P B A P A B P A B P A B P A B P B ===== 答：由四个贝叶斯概率可知第一家责任最大。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝
“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则
()
A．A与C相互独立
B．B与D相互独立
C．A与D相互独立
D．B与C相互独立
研题型 能力养成 举题说法
【解析】袋中 5 个球，有放回地随机取两次，每次取 1 个，样本空间 Ω＝{(x，y)|1≤x≤5，
点击对应数字即可跳转到对应题目
1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 激活思维
5．(人A 选必三P52练习4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红
球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1
或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球. 7
k＝1
研题型 能力养成
研题型 能力养成 举题说法
举题说法
目标 1 相互独立事件的判断
1 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙
＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁
总结 提炼
求条件概率的常用方法： (1) 定义法：P(B|A)＝PP((AAB)).(2) 样本点法：P(B|A)＝nn((AAB)).(3) 缩样法：去掉第一次抽 到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
研题型 能力养成 举题说法
变式 某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名
相互独立，A 错误；
专题10 条件概率与全概率公式(2月)(人教A版2019)(原卷版)
专题10 条件概率与全概率公式一、单选题1．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球．在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是A．12B．310C．35D．252．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A=A．13B．47C．23D．343．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为A．89B．25C．911D．8114．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是A．34B．23C．12D．135．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830．则在下雨条件下吹东风的概率为A．25B．89C．811D．9116．已知1()2P B A =∣，3()8P AB =，则()P A 等于 A ．316 B ．1316C ．34D ．147．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市为雨天的概率为 A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8D ．0.668．设A ，B 为两个事件，且()0P A >，若12(),()33P AB P A ==，则()|P B A 等于 A ．49B ．19C ．29D ．129．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 A ．47B ．27C ．12D ．1310．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为A ．35 B ．25 C ．23D ．31011．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =A ．89B ．29C ．38D ．3412．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A = A ．16 B ．13C ．23D ．5613．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为 A ．3/5 B ．3/4 C ．1/2D ．3/1014．盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是A ．15 B ．29C ．79D ．71015．当()0P A >时，若()()1P B A P B +=，则事件A 与B A ．互斥 B ．对立 C ．独立D ．不独立16．一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S ．在已知S 为偶数的情况下，S能被3整除的概率为A ．14 B ．13 C ．512D ．2317．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于 A ．23B ．59 C ．12D ．1318．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1000次的概率为36%．若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为A．0.324B．0.36C．0.4D．0.5419．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数都不相同”，B=“至少出现一个5点”，则概率()P A B=A．1011B．511C．518D．53620．2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝A．29B．13C．49D．5921．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是A．335B．338C．217D．以上都不正确22．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是2 3和12，在这个问题至少被一个人正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为A．27B．25C．15D．1923．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于 A ．49B ．29C ．12D ．1324．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．23B ．35 C ．12D ．2525．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B = A ．12B ．34C ．25D ．38二、多选题1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 A ．()25P B =B ．()15|11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件2．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为 A ．()12P M =B ．()1611P M A =C ．事件M 与事件1A 不相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件三、填空题1．一个袋中装有外形相同的6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，记第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，则()P B A =__________．2．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是__________．3．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为__________．4．夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为__________．5．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是__________． 6．若()34P A =，()14P B =，()12P AB =，则()P B A =__________． 7．已知,A B 独立，若()0.66P AB =∣，则()P A =__________． 8．小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =__________． 9．已知()12P B A =，3()10P AB =，则()P A =__________． 10．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为__________．11．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为________．12．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为__________．13．袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球．不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________．14．袋中有a 个白球和b 个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸到白球的概率为_________． 15．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI 芯片“思元270”､赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为__________．16．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为__________． 17．一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是__________．18．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．19．伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =__________．20．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为__________． 四、双空题1．小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8．则小明能准时到达的概率为__________；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为__________．（结果保留两位小数） 2．根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是35，刮风的概率为12，既刮风又下雨的概率为110，则在刮风天里，下雨的概率为__________，在下雨天里，刮风的概率为__________． 3．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r 个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r ，其中3r ≥），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余1r -个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的1r -个外卖店取单．设事件k A ={第k 次取单恰好是从1号店取单}，()k P A 是事件k A 发生的概率，显然()11P A =，()20P A =，则()3P A =__________，()1k P A +与()k P A 的关系式为__________（*k N ∈）4．甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1 个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以1A ，2A ，3A 表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P ()1|P B A =__________，()P B =__________． 5．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示．从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为__________；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为__________． 五、解答题1．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i (i ＝1，2，3)台车床加工的概率． 2．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P A 和(|)P B A ． 3．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）第一次摸到红球的概率；（2）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （3）第二次摸到红球的概率．4．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：（1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率．5．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求： （1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β．。
7.1条件概率与全概率公式—2020-2021学年高二人教A版
条件概率与全概率公式1．已知P (B |A )＝13 ，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A ．56B ．910C ．215D ．1152．10张奖券中有3张是有奖的，若某人从中依次抽取两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( )A ．27B ．29C ．310D ．133．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.454．一个盒子中有20个大小、形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．135．“端午节”这天，小明的妈妈煮了五个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅．则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A ．14B ．34C ．110D ．3106．从装有形状、大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于( )A ．15B ．14C ．13D ．127．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．8．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________．9．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为________．10．抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．能力提高11．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055.连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( )A ．67B ．335C ．1135D ．0.1912．某校自主招生面试共有7道题，其中4道理科题，3道文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为( )A ．17B ．15C ．37D ．4513．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930 ，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为415，则在吹东风的条件下下雨的概率是________．14．甲袋中有5个白球，7个红球；乙袋中有4个白球，2个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是________．15．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．16．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过考试；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．1．解析：由P(B|A)＝P （AB ）P （A ） 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，因为P(B|A)＝13 ，P(A)＝25 ，所以P(AB)＝13 ×25 ＝215.故选C .答案：C2．解析：在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率P ＝29，故选B .答案：B3．解析：设事件A 为“某天的空气质量为优良”，事件B 为“随后一天的空气质量为优良”，根据条件概率的计算公式得，P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75 ＝0.8，故选A . 答案：A4．解析：设事件A 为“取出的球不是红球”，事件B 为“取出的球是绿球”．则P(A)＝1520 ＝34 ，P(AB)＝1020 ＝12 ，∴P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23 .故选C . 答案：C5．解析：设事件A 为“取到的两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取到的两个粽子都是腊肉馅”，由题意知，P(A)＝C 22 ＋C 23 C 25 ＝410 ，P(AB)＝C 22C 25 ＝110 ，∴P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝14.故选A . 答案：A6．解析：设“第二次抽得黑球”为事件A ，“第三次抽得白球”为事件B ，则P(B|A)＝n （AB ）n （A ） ＝C 13 C 12 C 13 C 13 A 24＝12 .故选D .答案：D7．解析：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P ＝23.答案：238．解析：P(AB)＝323 ＝38 ，P(A)＝1－123 ＝78 ，所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝3878 ＝37 .答案：379．解析：设“第一道工序出废品”为事件A ，则P(A)＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B ，则根据题意可得P(AB)＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝0.5.答案：0.510．解析：抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件总数为6×2＝12，∴P(A)＝1236 ＝13.由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8，6＋6>8， ∴事件B 的基本事件总数为4＋3＋2＋1＝10， ∴P(B)＝1036 ＝518.又∵4＋5>8，4＋6>8，6＋3>8，6＋4>8，6＋5>8，6＋6>8，∴事件AB 的基本事件总数为6， ∴P(AB)＝636 ＝16.(1)P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝1613 ＝12 .(2)P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝16518＝35 .11．解析：设事件A 为“连续熬夜48小时诱发心脏病”，事件B 为“连续熬夜72小时诱发心脏病”，由题意可知P(A)＝0.055，P(B)＝0.19，则P(A － )＝0.945，P(B －)＝0.81，由条件概率公式可得P(B － |A － )＝P （A － B －）P （A －） ＝P （B －）P （A －）＝0.810.945 ＝67 .故选A .答案：A12．解析：设事件A 为“第一次抽到理科题”，事件B 为“第二次和第三次均抽到文科题”，由已知得P(A)＝C 14 ×A 26 A 37 ，P(AB)＝C 14 ×A 23A 37，所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝C 14 ×A 23A 37 C 14 ×A 26 A 37＝C 14 A 23C 14 A 26＝15 .故选B . 答案：B13．解析：设事件A 表示“该地四月份吹东风”，事件B 表示“该地四月份下雨”，则P(A)＝930 ，P(B)＝1130 ，P(AB)＝415 ，所以在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝415930＝89 . 答案：8914．解析：设事件A 为“取出甲袋”，事件B 为“取出白球”，分两种情况进行讨论．若取出的是甲袋，则P 1＝P(A)·P(B|A)，依题意可得P(A)＝12 ，P(B|A)＝512 ，所以P 1＝12 ×512＝524 ；若取出的是乙袋，则P 2＝P(A － )·P(B|A － )，依题意可得P(A － )＝12 ，P(B|A － )＝46 ＝23 ，所以P 2＝12 ×23 ＝13 .综上所述，取到白球的概率P ＝P 1＋P 2＝1324. 答案：132415．解析：设B i ＝“从这批种子中任选一颗是i 等种子”，i ＝1，2，3，4， A ＝“在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒”． 则P(A)＝ i ＝14P (B i )P (A |B i )＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05 ＝0.482 5.16．解析：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另1道题答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型概率的计算公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C 610 C 620 ＋C 510 C 110 C 620 ＋C 410 C 210C 620 ＝12 180C 620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A ∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P （A ）P （D ） ＋P （B ）P （D ） ＝C 610 C 620 12 180C 620 ＋C 510 C 110 C 62012 180C 620＝1358 .故所求的概率为1358 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、计算题1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,,∴P(A|B)=9/14.2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式,,∴P(A|B)=1/2.3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,到黑球的概率. 由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意: P(B|A)=5/12 ,,P(A)=1/2.∴.5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意P(A)=1/10 , P(A1)=3/5 ,P(A2)=3/10 ;P(B|A)=2/5 , P(B|A1)=1/2 ,P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,,且P(B|A)=1/(N-1),;∴=1/(N-1)×1/N+1/N ×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7. 袋中装有8只红球, 2解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球;(2)取出的两只球都是黑球;(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;(4)第二次取出的是红球.设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,,P(A2|A1)=7/9,∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根据题意: ,,∴.(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.,,,, ∴.(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.由全概率公式:=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B 4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,且A1、A2、A3构成一完备事件组.又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A 3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.0 31.10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少? 解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.P(A1)=0.02, P(A2)=0.03,P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便,我们求其对立事件的概率=(1 -0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求(1)射击三次皆中目标的概率;(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;(3)射击三次至少有二次命中目标的概率. 解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3). 由独立性:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.显然,又根据独立性得到:.(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C 表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C =B +A 1A 2A 3P (C )=P (B )+P (A 1A 2A 3)=0.384+0.512=0.896.12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率.解.设事件A i 表示“第i 人能译出密码”, i =1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P (A 1+A 2+A 3).已知P (A 1)=1/3, P (A 2)=1/4, P (A 3)=1/5,而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.∴P (A 1+A 2+A 3)=1-0.4=0.6.13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧解.设事件A i 表示“第i 次命中目标”, i =1,2,3.设事件B i 表示“目标被命中i 弹”, i =0,1,2,3. 设事件C 表示“目标被摧毁”.由已知P (A 1)=0.4, P (A 2)=0.5, P (A 3)=0.7; P (C |B 0)=0, P (C |B 1)=0.2, P (C |B 2)=0.6, P (C |B 3)=0.8.又由于三次射击是相互独立的,所以 ,毁的概率.=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0 .36,=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7 =0.41,.由全概率公式得到P(C)=P(C|B)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B)3=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。