积分第二中值定理证明

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到

Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt

= Φ(x) + ∫f(t)dt

即

Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt

应用积分中值定理，可以得到

Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx

其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即

lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）

因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为

Φ'(x) = f(x)

证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得f(x)-ε

由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε

f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε

由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到

f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε

即|μ-f(x)|<=ε

由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，

Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)

命题得证。

由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到

Φ(x)=F(x)+C

当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时

Φ(a)=0=F(a)+C

即C=-F(a)

得到

Φ(x)=F(x)-F(a)

则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx，得到

Φ(b)=∫f(x)dx = F(b)-F(a)