高中数学第4章-4.2.1-等差数列的概念(第1课时)

4.2等差数列4.2.1等差数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解等差数列及等差中项的概念．2．掌握等差数列的通项公式．(重点) 3．掌握等差数列的判定方法.1.数学运算；2．逻辑推理情境导学姚明刚进N BA一周训练罚球的个数：第一天：6 000；第二天：6 500；第三天：7 000；第四天：7 500；第五天：8 000；第六天：8 500；第七天：9 000.得到数列：6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000 1．等差数列、等差中项的概念等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(×)(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(×)(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(√) 2．等差数列的通项公式(1)首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)第n 项与第m 项的关系为a n ＝a m ＋(n －m )d ，从而可得变形公式：d ＝a n －a m n －m.(1)等差数列{a n }的递推公式如何表示？提示：已知公差d ，a n －a n －1＝d (n ≥2)是递推公式．(2)数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b (k ，b ∈R )，能否判定{a n }是等差数列？ 提示：∵a n ＝kn ＋b ，∴a n －a n －1＝kn ＋b －[k (n －1)＋b ]＝k ，k 为常数． ∴{a n }是等差数列．1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列A 解析：∵a n －a n －1＝2n ＋5－(2n ＋3)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝5，公差d ＝3，则当a n ＝2 021时，n 等于( ) A ．671 B ．672 C ．673D ．674C 解析：∵a 1＝5，d ＝3，∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2. 令3n ＋2＝2 021，得n ＝673.3．若a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两根，则a ，b 的等差中项为( ) A ．－1 B ．－32C ．1D ．32C 解析：∵a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两根， ∴a ＋b ＝2.∴a ，b 的等差中项为a ＋b2＝1.4．在等差数列{a n }中，若a 5＝11，a 8＝5，则其通项公式为a n ＝______________.－2n ＋21 解析：∵d ＝a 8－a 53＝－2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝11＋(n －5)×(－2)＝－2n ＋21. 5．已知公差d ＝－13，a 7＝8，则a 1＝________.10 解析：∵a 7＝a 1＋6d ＝8，∴a 1＝8－6×⎝⎛⎭⎫－13＝10.【例1】下列说法正确的是( )A ．若a －b ＝b －c ，则a ，b ，c 成等差数列B ．若a n －a n －1＝n (n ∈N *且n >1)，则{a n }是等差数列C ．等差数列是相邻两项中的后项与前项之差等于非零常数的数列D ．等差数列的公差是该数列中任意两项的差A 解析：对于A ，由a －b ＝b －c ，可得b －a ＝c －b ，因此a ，b ，c 成等差数列，所以A 正确；对于B ，n 不是固定常数，该数列不是等差数列，所以B 错误；对于C ，公差d 可以等于0，所以C 错误；对于D ，应为相邻两项．【例2】已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别是________． 5，－1，－4 解析：依据等差中项的定义，且8，a,2是等差数列， 得2a ＝8＋2， 解得a ＝5.①由a,2，b 是等差数列， 得2×2＝a ＋b ，②同理，由2，b ，c 是等差数列，得2b ＝2＋c .③ ①②③联立，解得b ＝－1，c ＝－4.(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒．(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”． (4)常数列都是等差数列，公差为0.1．若数列{a n }是等差数列，且a n ＝an 2＋n ，则实数a ＝________. 0 解析：∵{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝常数，∴[a (n ＋1)2＋(n ＋1)]－(an 2＋n )＝2an ＋a ＋1＝常数，∴2a ＝0，∴a ＝0.2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 3 解析：由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3.【例3】在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10＝________. 1 解析：(方法一)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋(5－1)d ，a 8＝a 1＋(8－1)d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21(n ∈N *)． ∴a 10＝－2×10＋21＝1. (方法二)设公差为d ， ∵a 8＝a 5＋(8－5)×d ，∴d ＝a 8－a 53＝－2，∴a 10＝a 8＋(10－8)×d ＝1. (方法三)设a n ＝A n ＋B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝5A ＋B ，a 8＝8A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11＝5A ＋B ，5＝8A ＋B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－2，B ＝21， ∴a n ＝－2n ＋21，∴a 10＝1.求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a 1，d 的值，再利用a n ＝a 1＋(n －1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d ＝a n －a m n －m 直接求得公差，再利用a n ＝a m ＋(n －m )d 写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a n 是关于n 的一次函数形式，列出方程组求解．1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d . 解：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 5＝10，a 12＝31，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴这个等差数列的首项a 1＝－2，公差d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．解：设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1.由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314.探究题1 判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{a n }中，a n ＝3n ＋2； (2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋n .解：(1)a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N *)，故该数列为等差数列． (2)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，故该数列不是等差数列．探究题2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．探究题3 已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明：因为1a ，1b ，1c 成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．而b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac ＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝c 2＋a 2＋2ac ac ＝c 2＋a 2＋2ac b (a ＋c )2＝2(a ＋c )b ，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．探究题4 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝12.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项1a 1＝12，公差d ＝12的等差数列．(2)由(1)可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，所以a n ＝2n.等差数列的三种判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：已知a n ＝pn ＋q ，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．(1)解：由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4.又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ， 得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．所以a nn＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .1．已知等差数列{a n }中，a 3＝9，a 9＝3，则公差d 的值为( )A ．12B ．1C ．－1D ．－12C 解析：等差数列{a n }中，a 3＝9，a 9＝3，则a 9＝a 3＋6d ，即3＝9＋6d ，解得d ＝－1.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3，a 3＋a 7＝7，则公差d ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B 解析：a 2＋a 6＋2d ＝a 3＋a 7＝7，即3＋2d ＝7，所以d ＝7－32＝2.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝1，d ＝3，若a n ＝295，则项数n 等于( ) A ．96 B ．99 C ．100D ．101B 解析：等差数列{a n }中，∵a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，.由a n ＝295，则3n －2＝295，解得n ＝99，故选B ．4．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋2(n >1)，则a 5的值( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12C 解析：∵a n ＝a n －1＋2，∴a n －a n －1＝2，{a n }为等差数列，d ＝2，a 5＝a 1＋4d ＝3＋8＝11.故选C ．5．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，试判断该数列从第几项开始为正数．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2，所以a n ＝－46＋(n －1)×2＝2n －48. 令a n >0，得2n －48>0⇒n >24，又n ∈N *，所以从第25项开始，各项为正数． 6. (1)证明：1，3， 5 不可能成等差数列；(2)证明：1，3，5不可能为同一等差数列中的三项． 证明：(1)假设1，3，5成等差数列， 则23＝1＋5，两边平方得 12＝6＋25，即6＝2 5. 因为6≠25，矛盾，所以1，3， 5 不可能成等差数列.(2)假设1，3，5为同一等差数列中的三项， 则存在正整数m ，n (m ≠n ), 满足⎩⎨⎧3＝1＋md ①，5＝1＋nd ②，①×n －②×m 得3n －5m ＝n －m ， 两边平方得3n 2＋5m 2－215mn ＝(n －m )2③，由于③式左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确， 即1，3，5不可能为同一等差数列中的三项．1．利用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列，关键是看a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是否等于同一个常数，或者看a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)是否对任意正整数n 都成立． 2．(1)等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中的四个量a 1，a n ，n ，d ，只要知道任意三个量，就可以求出第四个量．(2)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某特定数是否是该数列中的项． 3．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)，n ∈N *⇔{a n }为等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，n ∈N *⇔{a n }为等差数列． (3)通项法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }为等差数列．课时分层作业(三) 等差数列的概念(第1课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等差数列及等差中项的概念1．(5分)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°B 解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ．又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A ．14B ．12C ．13D ．23C 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝3x ，∴⎩⎨⎧b ＝32x ，a ＝12x .∴a b ＝13. 知识点2 等差数列的通项公式3．(5分)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．64A 解析：数列{a n }的首项为a 1，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＋a 1＋8d ＝16，a 1＋3d ＝1， 解得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，故a 12＝a 1＋11d ＝15.4．(5分)在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 4＋a 5＝163，a k ＝33，则k ＝( )A ．50B ．49C ．48D ．47A 解析：∵a 4＋a 5＝2a 1＋7d ＝23＋7d ＝163，∴d ＝23.∴a k ＝a 1＋(k －1)·d ＝13＋(k －1)×23＝23k －13＝33.∴k ＝50.5．(5分)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为( ) A ．34B ．－34C ．－67D ．－1B 解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2. ∴新公差d ′＝2－89－1＝－68＝－34.6．(5分)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 4等于( ) A ．15B ．23C ．7D ．29B 解析：∵a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7， ∴a 1＝47，d ＝－8，∴a 4＝a 1＋3d ＝23. 知识点3 等差数列的判定与证明7．(5分)已知数列{a n }，a 3＝2，a 7＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11＝( )A ．12B ．23C ．1D ．2A 解析：设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的公差为d .∵1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12，∴4d ＝12－13＝16，∴d ＝124，∴1a 11＋1＝13＋8×124＝23，∴a 11＝12.8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E 所得为( ) A ．23钱B ．43钱C ．56钱D ．32钱A 解析：由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得为a －d ，E 所得为a ，则⎩⎪⎨⎪⎧5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，解得a ＝23，故E 所得为23钱．9．(5分)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( )A ．34B ．1C ．43D ．32A 解析：依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项，13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，所以a 4＝34.10．(5分)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30C 解析：由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2.又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.能力提升练能力考点 拓展提升11.(5分)若等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10D ．a 11B 解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝70＋(n －1)×(－9)＝79－9n ， ∴a 8＝7，a 9＝－2，a 10＝－11，故绝对值最小的一项为a 9.12．(5分)已知在等差数列{a n }中，a 1＝－1，公差d ＝2，a n －1＝15，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10D 解析：a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝－1＋2(n －2)＝2n －5＝15，∴n ＝10. 13．(5分)等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24C 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16.故选C ．14．(5分)已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，1a 2n －1a 2n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 1 024＝( ) A ．216 B ．116C ．232D ．132D 解析：∵数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，1a 2n －1a 2n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是等差数列，公差为1，首项为1.∴1a 2n ＝1＋(n －1)＝n ，解得a n ＝1n . ∴a 1 024＝11 024＝132.故选D ．15.(5分)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若3a 6＝a 3＋a 4＋a 5＋12，则d ＝________.2 解析：∵3a 6＝a 3＋a 4＋a 5＋12＝3a 4＋12， ∴a 6－a 4＝4，即2d ＝4，∴d ＝2.16.(5分)若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝________.32解析：设两等差数列的公差分别为d 1，d 2， 则有b －a ＝4d 1＝6d 2，∴d 1＝32d 2.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝32. 17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 4＝70，a 21＝－100.(1)求首项a 1与公差d ，并写出通项公式； (2)数列{a n }中有多少项属于区间[－18,18]?解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝70，a 21＝a 1＋20d ＝－100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝100，d ＝－10. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝100＋(n －1)×(－10)＝－10n ＋110. (2)令－18≤a n ≤18，即－18≤－10n ＋110≤18， 得9.2≤n ≤12.8.∵n ∈N *，∴n ＝10,11,12. ∴有3项在[－18,18]之间.18.(10分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)， 整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以3为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。