2.2、等差数列第一课时课件
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2.2 等差数列的概念、通项公式
思考题 2 (1)2 与－4 的等差中项为________．
(2)
1 5＋
与 3
1 5－
3的等差中项为________．
(3)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】
(1)－1
5 (2) 2
(3)A
解析 (3)因为 a1＋a9＝2a5，所以 a5＝5.
第36页
第二章 2.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】 设从海拔 1 km 到 10 km 的气温组成等差数列{an}， 则 a1＝8.5，a5＝－17.5，∴d＝a5－4 a1＝－6.5.
∴a2＝2(℃)，a4＝－11(℃)，a8＝－37(℃)．
第6页
第二章 2.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
1．下列说法正确的是( ) A．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个 数列就叫等差数列 B．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 这个数列就叫等差数列
第7页
第二章 2.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
【解析】 (1)设首项为 a1，公差为 d，则
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
解得ad1＝＝21. ，
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴通项公式为 an＝2n－1.
第24页
第二章 2.2 第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修5
(2)由等差中项公式，得 2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝54. ∴首项为 a＝54，公差为 2a－1－a＝a－1＝54－1＝14. ∴an＝54＋(n－1)×14＝n4＋1. ∴通项公式为 an＝n4＋1.
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和
答案:B
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和
为
.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
13(1 +13 )
∴S13=
=52.
2
2
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 32 + 82 +2a3a8=9,则它的前10项和
S10等于(
A.-11
).
B.-9 C.-15 D.-13
解析:∵32 + 82 +2a3a8=9,
∴(a3+a8)2=(a1+a10)2=9.
∵an<0,∴a1+a10<0.
10(1 +10 )
1, = 1,
故 an=
2 × 3-1 , ≥ 2.
【思想方法】
应用方程思想解决等差数列问题
【典例】 等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n的值.
1 + 9 = 30,
1 = 12,
解:(1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
2
2
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
4×3
4 = 41 + 2 × = 20,
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和
为
.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
13(1 +13 )
∴S13=
=52.
2
2
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 32 + 82 +2a3a8=9,则它的前10项和
S10等于(
A.-11
).
B.-9 C.-15 D.-13
解析:∵32 + 82 +2a3a8=9,
∴(a3+a8)2=(a1+a10)2=9.
∵an<0,∴a1+a10<0.
10(1 +10 )
1, = 1,
故 an=
2 × 3-1 , ≥ 2.
【思想方法】
应用方程思想解决等差数列问题
【典例】 等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n的值.
1 + 9 = 30,
1 = 12,
解:(1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组
2
2
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
4×3
4 = 41 + 2 × = 20,
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
2.2等差数列(一) 公开课一等奖课件
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若 A a b ,
2
Hale Waihona Puke 2思考2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
a2＋a4＝a1＋a5 a4＋a6＝a3＋a7
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
即a, A, b成等差数列.
A a b a, A, b 成等差数列. 2
等差中项：
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列，这时，A叫做 a与b的等差中项.
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
分析：由a, A, b成等差数列得：
A a b A, A a b .
反之，若
A
a
b
,
2 即A a
b
A,
2
即a, A, b成等差数列.
思考
2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使 a, A, b成等差数列，那么A应该满足什 么条件？
(2)对于数列{an}，若an－Aan－1 ＝d(d是与n 无关的数或字母)，C n≥2，B 则此数列是 等差数列，d 为公差；
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
人教A版数学必修5第二章2.2等差数列课件
解：由题意可知
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 ，解这个方程组，得
a1 2 d 3 还有什么方法，又能得到什么 即这个等差数列的结首论项，是让-２我，们公一差起是看３看。吧！
【精讲点拨】 知识延伸：
am a1 (m 1)d a1 am (m 1)d
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出
故 了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一 事 道很纷杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯
即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家 伙又在捣 乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃 惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数 加倒数第二个 数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未 曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇 报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
如果不是，请说明理由． (1)4,7, 10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
问题：上述题目中反应出公差的范围？公差 对数列的增减性有何影响？
➢课堂展示清单
【合作探究一】
公差d是每一项（第2项起）与它的前一 项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且 公差可以是正数，负数，也可以为0.
最低降至5m。那么从开始放水算起，到
可以进行清算工作的那天，水库每天的水
高三等差数列复习课件(第一课时).ppt
= 3（an+1- an）=3d
所以数列 { bn }是等差数列
二、【题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明
练习：已知数列{an}的通项公式 a n pn2 3n ( p R)
当 p 满足什么条件时，数列{an}是等差数列。
解：设{an}是等差数列即，
an1an p(n 1)23(n 1) ( pn23n) 2 pn p 3
d
a-d+a+a+d=18
2 a2 a d 2
118
练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列，试求其三边之比.
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为：
a,a+d,a+2d(a>0,d>0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， ∴a=3d(a=-d舍去)， ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， ∴它们的比为3:4:5.
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习：已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9 项和S9等于 （ C ）
A.18
na1
n(n 1) 2
d
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数
项的二次函数。Ｓn = An２+Bｎ (A∈R)
所以数列 { bn }是等差数列
二、【题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明
练习：已知数列{an}的通项公式 a n pn2 3n ( p R)
当 p 满足什么条件时，数列{an}是等差数列。
解：设{an}是等差数列即，
an1an p(n 1)23(n 1) ( pn23n) 2 pn p 3
d
a-d+a+a+d=18
2 a2 a d 2
118
练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列，试求其三边之比.
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为：
a,a+d,a+2d(a>0,d>0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， ∴a=3d(a=-d舍去)， ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， ∴它们的比为3:4:5.
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习：已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9 项和S9等于 （ C ）
A.18
na1
n(n 1) 2
d
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数
项的二次函数。Ｓn = An２+Bｎ (A∈R)
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因此， 4 0 5 1 ( n 1 ) ( 4 )
解得 n100
练一练
ana1(n1)d
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7， 10项；
a4 15, a7 27, a10 39
2. 100是不是等差数列2，9，16，…中 的项？
1 0 2 ( n 0 1 ) 7 n 15
( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, ( -0.5 )
anan1d
(n2它） 们的共同的规律是？
d=76
( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062） ( 2) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… ( 3) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,…
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
ana1(n1)d
等差数列｛an｝中， ⑴已知a1=2, d=3 求an an=3n-1 ⑵已知a1=3, an=21 ,d=2求n n=10 ⑶已知a1=8, a6=28求d d=4 ⑷已知 d=1, a7=8 求a1 a1=2
等差数列
在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出它在本 世纪回归的大致时 间吗？
天文学家陈丹说: 2062年左 右。
通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 根据下表估计一下珠 穆朗玛峰峰顶的温度
d=3 d=-2
( 4 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, （ -0.5 ）.
d=-6.5
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一的项 差等 于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
如果一个数列 a1，a2，a3， a4，…an-2，an-1，an，an+1 ….是等 差 数列，它的公差是d，那么
8844.43米
高度(km) 1
2
3
45
…
减少6.5
9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
…
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在括号内 填上合适的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986,( 2062) (2) 1，4，7，10，（ 13 ），16，… (3) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
( 2 ) 已 知 a 3 9 ,a 9 3 ， 求 a 1 2
a111,d1 a12 0
1.通过本节学习，首先要理解 与掌握等差数列的定义
2.要会推导等差数列的通项 公式,并掌握其基本应用.
3. -20是不是等差数列0，- 7 ，-7…中
的项；
2
2 0 0 (n 1 ) 7 n 4(7 舍 )
2
7
例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d.
解：由题意可知
ana1(n1)d
a1 4d 10 分析：a5 =a1 + 4d
(4) 2, 4, 7, 11, 16 …... ×
(5) -8，-6，-4，0，2，4 … ×
(6) 3, 0, -3, -6, -9 …. 公差 d= -3递减数列
(7) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…. ×
你会求它们的通项 公式吗？
(1) 1，4，7，10，13，16，…
用一下
ana1(n1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1=8, d=5-8=-3, n=20
a20=?
a 2 0 8 ( 2 1 ) 0 ( 3 ) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几
项 9 ( 5 ) 4 , a n 4 ,0
a5 – a4 =d则 a5 =a4+ d = (a1 + 3d) + d =a1 + 4d an= a1 + ( n - 1 ) d n=1时也满足上式
等差数 如果一个数列a1,a2,a3,a4,…an-2,an-1,an,an+1,an+2….是
列的通 项公式
等差数列，它的公差是d，那么
anan1d（n≥２）
或 an+1-an=d (n≥１）
观察下列数列，它们 从第2项起，每一项与它的前一
是等差数列吗？
项的差等 于同一个常数
（1）1，2，4，6，8，10…… ×
(2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ……. 公差 d=1 递增数列 (3) 5，5，5，5，5，5… 公差 d=0 常数列
ana1(n1)d
求等差数列的通项公式需要知道a1和d (1) 1，4，7，10，13，16，…
an＝1 ＋ (n－1) × 3 =3n－2 (2) 2，0，-2，-4，-6，-8 …
an＝ 2 ＋ (n－1) ×(－2) = 4－2n
等差数列通项公式
ana1(n1)d
an a1 n d
(2) 2，0，-2，-4，-6，-8 …
等差数列的通项公式
如果一个数列 a 1 , a 2 , a 3 , …，a n , …
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 – a1 =d则 a2 =a1 + d a3 – a2 =d则 a3 =a2 + d = (a1 + d) + d=a1 + 2d a4 – a3 =d则 a4 =a3 + d = (a1 + 2d)+ d =a1 + 3d
a2 a1 d
a3a2 d
a4a3 d
累加得
…
an1an2d
anan1d
n-1个d
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+..…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=d+d+d+…+d+d
得an-a1=( n-1 )d
即 ana1(n1)d
求它们的通项公式
a1 11d 31
a12=a1 + 11d
这是一个以 a 1和 为d 未知数的二元一次方
程组，解这个方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
4. 在等差数列中
( 1 ) 已 知 a 4 1 0 ,a 7 1 9 ,求 a 1 与 d . a11,d3