功率谱密度和白噪声过程
matlab 正弦波 高斯白噪声 均匀白噪声 功率谱密度 自相关函数(word文档良心出品)
现代通信原理作业一姓名：张英伟学号：133320085208036 班级：13级理工部3班利用matlab完成：●产生正弦波信号、均匀白噪声以及高斯白噪声并分别将两种噪声叠加到正弦波信号上，绘出波形。
●分别求取均匀白噪声序列和高斯白噪声序列的自相关及功率谱密度，绘出波形。
一、白噪声区别及产生方法1、定义：均匀白噪声：噪声的幅度分布服从均匀分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
高斯白噪声：噪声的幅度分布服从正态分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
2、matlab仿真函数：rand函数默认产生是区间在[0,1]的随机数，这里需要利用公式：z2=a+(b-(a))*rand(m,n)............（公式1）randn函数默认产生均值是0、方差是1的随机序列，所以可以用其来产生均值为0、方差为1的正态分布白噪声，即N(0，12)。
利用公式：z1=a+b*randn(1,n).................（公式2）可以产生均值为a，方差为b2 高斯白噪声，即N(a，b2)。
二、自相关函数与功率谱密度之间的关系1、功率谱密度：每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。
2、自相关函数：描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
3、维纳-辛钦定理：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
4、平稳随机过程：是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。
（就是指得仅一个随机过程，中途没有变成另外一个统计特性的随机过程）二、源代码及仿真结果1、正弦波x=(0:0.01:2); %采样频率100Hzy1=sin(10*pi*x); %产生频率5Hz的sin函数plot(x,y1,'b');2、高斯白噪声+正弦波z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声（b=0.01/0.1/1）plot(x,z1,'b');y2=y1+z1; %叠加高斯白噪声的正弦波plot(x,y2,'b');3、均匀白噪声+正弦波z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声plot(x,z2,'b');y3=y1+z2; %叠加均匀白噪声的正弦波plot(x,y3,'b');4、高斯白噪声序列自相关函数及功率谱密度z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声[r1,lags]=xcorr(z1); %自相关函数的估计plot(lags,r1);f1=fft(r1);f2=fftshift(f1); %频谱校正l1=(0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100; %功率谱密度x轴y4=abs(f2);plot(l1,y4);5、均匀白噪声序列自相关函数及功率谱密度z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声[r2,lags]=xcorr(z2); %自相关函数的估计plot(lags,r2);f3=fft(r2);f4=fftshift(f3); %频谱校正l2=(0:length(f4)-1)*200/length(f4)-100; %功率谱密度x轴y5=abs(f4);plot(l2,y5);。
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
高斯白噪声的产生及误差分析
高斯白噪声的产生方案一 高斯白噪声的简介高斯白噪声通常定义为一个均值为零，功率谱密度为非零常数的平稳随机过程，且其噪声取值的概率分布服从高斯分布。
产生高斯噪声的过程可分为生成均匀分布随机信号和对均匀分布随机信号高斯化。
高斯噪声生成的原理图如下：高斯白噪声产生原理如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
而高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态分布。
热噪声和散粒噪声都是高斯白噪声。
而高斯白噪声序列在科学研究和工程领域有着非常广泛的应用。
例如，在电气工程领域中，有关信号定理算法的研究均涉及到高斯白噪声序列的应用；而在通用的计算机系统中均配置了用以产生均匀分布于高斯分布序列的软件，例如在BASIC ，FORTRAN ，C ，VB 以及VC++等程序设计语言软件包、以及功能强大的MATLAB 软件包中均配置了用以产生均匀分布与高斯分布随即序列的内建函数。
事实上，应用这些软件产生的随机数序列，其随机性和分布特性与所调用的函数名的含义相差甚远。
在下文将对高斯白噪声产生的两种典型方法进行介绍。
二 基于算法Marsaglia-Bray 白噪声的生成传统的广泛配置与计算机产生有限长高斯随机序列的方法，不能保证所得序列的N （0,1）分布序列的方法。
在随机序列产生方法与软件实现的研究中，独立同分布的均匀分布U （0,1）随机数的产生及其软件实现是最基本的研究内容。
因为高斯分布与其连续分布的随机序列一般可由U （0,1）随机序列经相应的变换而获得。
欲在计算机上获得具有良好独立同分布的U （0,1）标准随机序列并非一件易事，U （0,1）随机数序列产生的书序方法及其软件的研究已有较长的历史，至产生均匀分布随机信号 均匀分布随机信号的高斯化 均匀随机高斯白噪声输出今它仍然是一个十分活跃的研究领域，其发展历程是统计性能更好的发生器取代性能较差。
该算法主要由以下几个基本步骤组成。
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
通信原理之白噪声
§3.7通信原理之白噪声
通信原理之白噪声综述
1.1 白噪声
定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。
即：
双边谱密度：
单边谱密度：
其中：n0为常数，W/Hz。
一般默认白噪声为平稳的。
1.2 白噪声的功率
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大。
即或。
因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
2.1 带限白噪声
1.低通白噪声白噪声经理想低通滤波器| f |≤后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f |≤内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
式中：f c －中心频率，B－通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为：
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。
其统计特性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B。
通信原理之白噪声
谱密度为：
H
(
f
)
1
0
fc
B 2
f
fc
B 2
其他f
n0 / 2 Pn f
B
o
fc
fc
f
式中： fc － 中心频率，B － 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为
n0
Pn(f )
2
0
fc
B
2
f
fc
B
2
其它f
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相
低通白噪声，即其功率谱密度为：
Pn() Nhomakorabean0 2
,
0,
( fH , fH ) 其它
Pn ()
n0 / 2
fH 0 fH
f
H 0 H
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH 内，通常把这样的 噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系 统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间， 不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。其统计特 性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B
窄带高斯白噪声的功率谱密度
窄带高斯白噪声的功率谱密度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：窄带高斯白噪声是一种在通信系统和信号处理中经常遇到的噪声类型，它具有一些特定的特征和性质。
在研究通信系统中的噪声影响时，功率谱密度是一个重要的参数，它描述了信号在频率域上的能量分布。
本文将从窄带高斯白噪声的定义、特点以及功率谱密度的计算等方面进行详细介绍。
窄带高斯白噪声是一种在频率范围较窄且符合高斯分布的随机噪声过程。
它的特点是在所有频率上的功率谱密度是均匀的，即在频谱上呈现一条水平直线。
噪声信号的每个频率分量都是独立同分布的高斯变量，且具有零均值。
在实际的通信系统中，窄带高斯白噪声往往是由许多独立的随机过程叠加而成的。
窄带高斯白噪声的功率谱密度是描述其频率特性的重要参数。
功率谱密度是噪声信号在频率域上的功率分布情况，可以通过傅立叶变换来计算。
对于窄带高斯白噪声，其功率谱密度在频率范围内保持均匀，即在所有频率上的功率谱密度是相同的。
在实际应用中，可以通过测量信号的功率谱密度来评估噪声的强度和干扰程度。
在计算窄带高斯白噪声的功率谱密度时，可以利用以下公式：\[ S(f) = N_0 \]\( S(f) \) 表示在频率\( f \) 处的功率谱密度，\( N_0 \) 表示噪声信号在整个频率范围上的功率谱密度。
对于窄带高斯白噪声而言，其功率谱密度在所有频率上都是常数\( N_0 \)。
这表明在频率域上，窄带高斯白噪声的功率分布是均匀的，即在整个频率范围内的功率都是相等的。
窄带高斯白噪声的功率谱密度对于通信系统的设计和性能评估具有重要意义。
在数字通信系统中，噪声会对信号的解调和译码产生干扰，影响系统的性能和可靠性。
通过分析窄带高斯白噪声的功率谱密度，可以评估系统在不同信噪比条件下的性能表现，为系统参数设计提供参考依据。
第二篇示例：窄带高斯白噪声的功率谱密度是信号处理和通信领域中非常重要的概念。
在现代通信系统和传感器网络中，窄带高斯白噪声通常被作为被测信号中的不可避免的噪声成分。
功率谱密度和白噪声过程 PPT
R() 1
S()cos()d
0
Xtcosct
0, 2
R(
)
1 2
cosc
S()
R()ejd 1
2
cosce jd
1
e e j(c )
j(c )
d
4
2
(
c
)
(
c
)
R() e||
S() R()ejd e||ejd
2 e || 0
cosd222
S()4 1 20 4 29,求 R()
2） |SX Y()|2SX()SY()
3） Re[SXY()]Re[SXY()] 奇函数 Im[SXY()]Im[SXY()] 偶函数
1 ） S X Y() S Y * X () S Y X ()
先证明： R Y *X()R YX()
R YX()y(t)x*(t)f(x,t;y,t)dxdy
2 X
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
lim 1 T E[ X 2 (t)]dt T 2T T
P X2 1 T li m 2 1 TE [|F X(,T)|2]d
SX()T li m 2 1 TE|F X(,T)|2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
W s2 (t)d t ？ |s(t)|d t
E()| F()|2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2(t)dt21 |F()|2d
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps T li m 21T
白噪声
白噪声白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
所有频率具有相同能量密度的随机噪声称为白噪声。
从我们耳朵的频率响应听起来它是非常明亮的“咝”声（每高一个八度，频率就升高一倍。
因此高频率区的能量也显著增强）。
1概述白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
当你需要专心工作，而周遭总是有繁杂的声音时，就可以选用这两种声音来加以遮蔽。
一般来说，通常的情况下你可以选用白色噪音，而粉红色噪音则是特别针对说话声的遮蔽材料。
粉红色噪音又被称做频率反比(1/f) 噪音，因为它的能量分布与频率成反比，或者说是每一个八度音程(Octave) 能量就衰退3 dB。
高斯白噪声高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
白噪声
白噪声【定义】白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
White noise(白噪声)：指在宽频带内幅度(强度)均为随机的一类噪声，用来测试音箱的谐振和灵敏度。
白噪声并非"噪音",它是同一个单位,随机信号功率谱. 这是一个良好的信号频率或一听到一个温柔嘶,类似的飕偷盗通过树木、瀑布、广播或静态海洋草地. 这纯粹是一种理论建构. 用一个简单的比喻,包含全彩色白颜色的光频谱. 同样用白噪声是造成整个光谱频率,人类的耳朵可以听到.白噪声可以帮助一个人放松或睡眠工作作为援助. 人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗,吵邻打鼾困扰警报器、大喊大叫. 白噪声并不增加鼓噪噪音白色噪音而是包含所有同等频率的叫声. 研究表明,一个稳定、和平的声音一样流单调,如白噪声、可过滤和面具分散噪音. 不断完善推广这一温柔地帮你放松心情平静和/或睡着.为了谁是白噪声,它可以帮助减轻噪音分心己方自然环境. 这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠、集中越好. 不同的风光,更容易分散其周围加上个人/多动症、多动、冲动和其他类似士. 不相干的掩蔽音或情,白噪声可以非常有效的总体规划的一部分,旨在加深重点、集中、生产力以及改善人际关系的行为.白噪声往往作为行为矫正的工具,建议,帮助你管理宠物的行为,尤其是放宽他们. 许多狗主扮演白噪声作为反控树皮停止从狗叫声不断在心里张声或患分离焦虑或恐惧. 白噪声也有助于安抚你的宠物惊吓或紧张,尤其是如果它的经历某种形式的宠物恐惧.而宠物爱情睡着白噪音,就像人类!白噪声和海浪等不同形式的风力. 当然这些都不是真正的海浪,但风噪声洁白的怡人韵律格局浪风力强度或动态.。
理想白噪声和带限白噪声的产生与分析
理想白噪声和带限白噪声的产生与分析摘要 利用Matlab 仿真分析产生的高斯白噪声和均匀白噪声通过低通滤波器和带通滤波器后的时域及频域波形，以便更好地理解白噪声。
背景 在实际应用中，通信设备的各种电子器件、传输线、天线等都会产生噪声，伴随着信号的产生、传输和处理的全过程。
噪声也是一种随机过程，而白噪声具有均匀功率谱密度，在数学处理上具有方便、简单的优点。
电子设备中的起伏过程如电阻热噪声、散弹噪声等，在相当宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，可以当做白噪声处理，因而研究白噪声的特性显得非常重要。
实验特点与原理（1）随机信号的分析方法在信号系统中，把信号分为确知信号与随机信号两类。
在工程技术中，一般用概率密度、均值、均方值、方差、自相关函数、频谱、功率谱密度等描述随机过程的统计特性。
①均值均值E[x(t)](μ)表示集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示：∑-==10/)()]([N t N t x t x E均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
②均方值均方值E[x 2(t)](2ϕ)，或称为平均功率：N t x t x E N t /)()]([(1022∑-==均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。
③方差定义： N t x E t x N t /)]]([)([122∑-=-=σ可以证明，2ϕ=2σ+2μ。
其中：2σ描述了信号的波动量；2μ 描述了信号的静态量。
④自相关函数信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。
对于平稳随机过程x(t)和y(t)在两个不同时刻t 和t+τ的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。
在离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为：∑∑-=-+=101N t xy N /)t (y )t (x ),t (N R τττ τ,t=0,1，2,……N-1随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。
10 白噪声过程通过线性系统讲解
| H(j) |
C0
0 0
0
5、输出窄带噪声的总平均功率
输出窄带噪声的总平均功率为
RY
(0)
N 0 K 0 2 2
sin( /
/ 2) 2
cos 0
| 0
N 0 K 0 2 2
N 0 K 0 2 f
a(0)
输出窄带噪声总平均功率与系统带宽成正比
(0)
sin
相关时间0
sin d 1
0
2 4f
3、噪声通频带
由于输出噪声的功率谱为矩形，系统 的噪声通频带等于信号的通频带，即：
fe
f
2
,故有关系式
0fe 1/ 4,也即0与fe成反比。
若fe大，则
0
2
根据对称性：
Rh (
)
2
e| |
3、输出自相关函数
RY ( ) RX ( z)Rh (z)dz
N0
(
z)
e | z| dz
2
2
N0 ( z)e|z|dz 4
N0 e| |
4
4、相关系数和相关时间
0
cos cos0 sin sin 0 d
N0
K
2 0
2
0 0
e2 / 2
cos
cos0 d
N0
K
2 0
cos 0
0 e2 / 2 cos d
0
N0
产生白噪声的实验报告
一、实验背景白噪声是一种具有平坦频谱特性的噪声，其功率谱密度在所有频率范围内均相等。
白噪声在信号处理、通信、噪声控制等领域具有广泛的应用。
本实验旨在通过搭建实验装置，产生白噪声，并对其进行测量和分析。
二、实验目的1. 了解白噪声的产生原理；2. 掌握白噪声的产生方法；3. 学习白噪声的测量方法；4. 分析白噪声的特性。
三、实验原理白噪声的产生原理是通过随机信号源产生具有平坦频谱特性的噪声。
在实验中，我们可以通过以下方法产生白噪声：1. 采用随机噪声发生器，将随机信号经过滤波器处理后，得到具有平坦频谱特性的白噪声；2. 利用数字信号处理技术，通过随机信号生成算法产生白噪声。
四、实验仪器与设备1. 随机噪声发生器；2. 滤波器；3. 信号分析仪；4. 示波器；5. 数据采集卡；6. 计算机。
五、实验步骤1. 连接实验装置，将随机噪声发生器的输出信号输入滤波器；2. 调整滤波器参数，使滤波器输出信号具有平坦频谱特性；3. 将滤波器输出信号输入信号分析仪，进行频谱分析；4. 使用示波器观察白噪声的波形；5. 使用数据采集卡采集白噪声信号，进行进一步分析。
六、实验结果与分析1. 频谱分析通过信号分析仪对白噪声进行频谱分析，得到白噪声的功率谱密度。
从分析结果可以看出，白噪声的功率谱密度在所有频率范围内均相等，符合白噪声的特性。
2. 波形观察使用示波器观察白噪声的波形，可以看到白噪声的波形具有随机性，无明显规律。
3. 数据分析使用数据采集卡采集白噪声信号，进行进一步分析。
通过分析白噪声的时域特性、频域特性等，可以进一步了解白噪声的特性。
七、实验结论1. 成功搭建了白噪声产生实验装置，并产生了具有平坦频谱特性的白噪声；2. 掌握了白噪声的产生方法、测量方法和特性分析；3. 为后续白噪声在信号处理、通信、噪声控制等领域的应用奠定了基础。
八、实验总结本实验通过对白噪声的产生、测量和分析，使我们了解了白噪声的特性及其应用。
白噪声的产生与测试实验
⽩噪声的产⽣与测试实验实验课题：⽩噪声的产⽣与测试第⼆组⽩噪声的产⽣与测试⼀、实验⽬的了解⽩噪声信号⾃⾝的特性，包括均值、均⽅值、⽅差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。
掌握⽩噪声的分析⽅法。
熟悉常⽤的信号处理仿真软件平台matlab 软件仿真。
了解估计功率谱密度的⼏种⽅法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作⽤⼆、实验原理所谓⽩噪声是指它的概率统计特性服从某种分布⽽它的功率谱密度⼜是均匀的。
确切的说，⽩噪声只是⼀种理想化的模型，因为实际的噪声功率谱密度不可能具有⽆限宽的带宽，否则它的平均功率将是⽆限⼤，是物理上不可实现的。
然⽽⽩噪声在数学处理上⽐较⽅便，所以它在通信系统的分析中有⼗分重要的作⽤。
⼀般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度远⼤于它所作⽤的系统的带宽，并且在系统的带内，它的功率谱密度基本上是常数，就可以作为⽩噪声处理了。
⽩噪声的功率谱密度为： 2)(0N f S n =其中0N /2就是⽩噪声的均⽅值。
⽩噪声的⾃相关函数位：)(20τδτN R =）（⽩噪声的⾃相关函数是位于τ=0处、强度为20N 的冲击函数。
这表明⽩噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。
同时也意味着⽩噪声能随时间⽆限快的变化，因为它的带宽是⽆限宽的。
下⾯我们给出⼏种分布的⽩噪声。
随机过程的⼏种分布均匀分布随机信号、正态分布（⾼斯分布）随机信号、指数分布随机信号等。
三实验任务与要求⑴通过实验要求掌握⼏种分布的随机噪声共同点和不同点，以及从随机噪声的相关和功率普中得到⽩噪声的特征，重点在于系统测试与分析。
实验系统框图如图2-1、图2-2所⽰：图2-1 各种分布随机信号测试图2-2 随机信号叠加后的特性测试⑵⾃选matlab或c/c++软件之⼀产⽣⼏种概率分布的仿真随机信号：随机数的长度N=1024，这些随机数包括均匀分布、正态分布、指数分布、瑞利分布、2 ⽅分布。
并计算这些随机数的均值、均⽅值、⽅差，⾃相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。
噪声功率谱密度公式
噪声功率谱密度公式
噪声功率谱密度是描述信号中噪声能量随频率变化的参数，通
常用符号S(f)表示，其中f表示频率。
噪声功率谱密度的公式可以
根据不同类型的噪声进行推导。
对于白噪声，其功率谱密度是常数，可以用S(f) = N0表示，其中N0为噪声功率密度的常数。
对于其他
类型的噪声，例如高斯噪声、瑞利噪声等，其功率谱密度的表达式
会有所不同。
在频域上，噪声功率谱密度通常可以通过傅里叶变换来表示。
对于离散信号，可以使用离散傅里叶变换（DFT）来计算功率谱密度。
而对于连续信号，则可以使用连续傅里叶变换（FFT）来计算功率谱
密度。
另外，噪声功率谱密度还可以通过自相关函数来计算。
具体而言，根据维纳-辛钦定理，噪声功率谱密度可以表示为噪声的自相关
函数的傅里叶变换。
这种方法在实际工程中经常被使用。
总之，噪声功率谱密度的公式取决于所研究的具体噪声类型以
及所采用的数学工具。
不同的噪声类型可能有不同的功率谱密度表
达式，而计算方法也会有所不同。
因此，在具体问题中，需要根据实际情况来选择合适的公式和方法来计算噪声功率谱密度。
matlab-正弦波-高斯白噪声-均匀白噪声-功率谱密度-自相关函数
现代通信原理作业一利用matlab完成：●产生正弦波信号、均匀白噪声以及高斯白噪声并分别将两种噪声叠加到正弦波信号上，绘出波形。
●分别求取均匀白噪声序列和高斯白噪声序列的自相关及功率谱密度，绘出波形。
一、白噪声区别及产生方法1、定义：均匀白噪声：噪声的幅度分布服从均匀分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
高斯白噪声：噪声的幅度分布服从正态分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
2、matlab仿真函数：rand函数默认产生是区间在[0,1]的随机数，这里需要利用公式：z2=a+(b-(a))*rand(m,n)............（公式1）randn函数默认产生均值是0、方差是1的随机序列，所以可以用其来产生均值为0、方差为1的正态分布白噪声，即N(0，12)。
利用公式：z1=a+b*randn(1,n).................（公式2）可以产生均值为a，方差为b2 高斯白噪声，即N(a，b2)。
二、自相关函数与功率谱密度之间的关系1、功率谱密度：每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。
2、自相关函数：描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
3、维纳-辛钦定理：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
4、平稳随机过程：是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。
（就是指得仅一个随机过程，中途没有变成另外一个统计特性的随机过程）二、源代码及仿真结果1、正弦波x=(0:0.01:2); %采样频率100Hzy1=sin(10*pi*x); %产生频率5Hz的sin函数plot(x,y1,'b');2、高斯白噪声+正弦波z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声（b=0.01/0.1/1）plot(x,z1,'b');y2=y1+z1; %叠加高斯白噪声的正弦波plot(x,y2,'b');3、均匀白噪声+正弦波z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声plot(x,z2,'b');y3=y1+z2; %叠加均匀白噪声的正弦波plot(x,y3,'b');4、高斯白噪声序列自相关函数及功率谱密度z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声[r1,lags]=xcorr(z1); %自相关函数的估计plot(lags,r1);f1=fft(r1);f2=fftshift(f1); %频谱校正l1=(0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100; %功率谱密度x轴y4=abs(f2);plot(l1,y4);5、均匀白噪声序列自相关函数及功率谱密度z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声[r2,lags]=xcorr(z2); %自相关函数的估计plot(lags,r2);f3=fft(r2);f4=fftshift(f3); %频谱校正l2=(0:length(f4)-1)*200/length(f4)-100; %功率谱密度x轴y5=abs(f4);plot(l2,y5);。
fft变换白噪声功率
fft变换白噪声功率FFT变换是一种常见的信号处理方法，它可以将信号从时域转换到频域。
在信号处理领域中，FFT变换被广泛应用于频谱分析、滤波、信号识别等方面。
在FFT变换中，白噪声功率是一个重要的参数，它可以帮助我们了解信号中的噪声成分以及信号的能量分布情况。
首先，需要明确的是什么是白噪声。
白噪声是一种具有均匀功率谱密度的随机信号，它在所有频率上的功率密度都是相等的。
这意味着白噪声在频域上的能量分布非常均匀，没有明显的频率特征。
在实际应用中，白噪声常常被用作信号中的背景噪声参考，也被用于系统性能的测试和评估。
利用FFT变换可以很方便地对信号进行频谱分析，从而得到信号在频域上的能量分布情况。
对于白噪声信号，其频谱表现为均匀的平坦特性，即各频率上的能量密度相等。
通过对信号进行FFT变换，可以得到频谱图，从而直观地观察信号中的白噪声成分。
在频谱图中，可以通过计算频谱的功率密度来获取白噪声的功率。
由于白噪声在频域上的能量分布均匀，因此其功率密度在各个频率上都是相等的。
通过对频谱的功率密度进行积分，可以得到整个频域上的白噪声功率。
白噪声功率的计算可以帮助我们了解信号中噪声的能量分布情况，从而有助于信号的滤波和增强。
在实际应用中，我们可以通过对信号进行FFT变换和功率密度的计算来获取白噪声功率，从而更好地理解信号的特性，为后续的信号处理和分析提供依据。
总之，FFT变换可以帮助我们很好地了解信号中的白噪声功率，从而为信号处理和分析提供重要的参考。
通过对信号进行频谱分析和功率密度的计算，我们可以直观地观察信号中的噪声成分，并进一步进行信号处理和滤波，以满足不同应用场景的需求。
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信号的总能量限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件。 为了能够利用傅立叶变换给出平均
功率的谱表示式，构造截尾函数：
平均功率的谱表示
解：
的功 内均
例 2.4-2
随机电报信号自相关函数 求功率谱密度
例 2.4-3
已知功率谱
应用留数定理
留数和
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
三、互谱密度
1、互谱密度的定义 2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义 3、互谱密度的性质
1、互谱密度的定义
定义： 设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的 ，则定义互谱密度为
相当于《信号与系统》中的冲击响应函数
2、白噪声过程的自相关函数
根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的 自相关函数：
2、白噪声过程的自相关函数
白噪声的自相关函数和功率谱密度
3、白噪声过程的相关系数
白噪声的相关系数：
可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值 都不相关。还句话说，白噪声随时间的 起伏变化较快，频域来说频谱很宽。
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的 。
我们定义
为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数
平稳过程的功率谱密度
定义
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。 这样，Px又可以写成
平均功率 谱的表达式
平稳过程的功率谱密度
为双边功率谱密度，但在实际
1） 2） 3
）
奇函数 偶函数
先证明： 令：
互谱密度函数不是实的、正的偶函数
从定义 和施瓦茨不等式
四、白噪声过程
1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数
1、白噪声过程的定义
若一个均值为零的平稳过程 具有恒定功率谱密度
则称W(t)为白噪声过程。其中N0表 示单边功率谱密度。
sT(t)能够满足绝对可积条件。 sT(t) 的频域结构
sT(t)的平均功率：
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
平均功率的谱表示
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在 (-∞, ∞)上的平均功率可表示为
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简 称功率谱密度，定义为：
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它 们的互相关函数RXY(τ)的傅立叶变换 ：
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
此时有：
3、互谱密度的性质
功率谱密度和白噪声过 程
2020年4月24日星期五
第六讲：
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
• 主讲人：张有光 • 电 话：82314978 • 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
②
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统”
返回
中维纳辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
功率谱密度两种定义的等价条件
只要 则上式中第二项为零，故此时
也就是说，平稳随机过程在自相关 函数绝对可积的情况下，维纳-辛
注释：白噪声平均功率
白噪声是一种理想化的数学模型，在物 理上不可实现，因为按照白噪声的定义 它的平均功率是无限大。
由于白噪声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的 一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道 干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数 定律中随机序列推广到连续时间的情形。
应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数的关 系—维纳-辛钦公式
2、功率谱密度两种定义的等价条件 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
平稳随机过程的功率谱密度是它的自 相关函数的傅立叶变换：
①
由于
是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅立叶逆变换公式，有
4、非白噪声
非白噪声成为有色噪声，或相关噪 声，其功率谱密度：
其功率谱密度不再是均匀的，而是 频率ω的函数。
5、矢量白噪声
定义：若一个n维独立矢量随机过程
均值矢量为
本节课小结
1、平稳过程的功率谱密度 2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦
定理，计算功率谱的方法； 3、平稳过程的互谱密度 4、白噪声过程
钦公式成立。此时功率谱密度的两 种定义等价。
功率谱的意义
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函 数是实偶函数，因此功率谱密度也 是实偶函数，即
证明：
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维 纳-辛钦公式还可以写成：
例 2.4-1
设随机相位余波 率谱密度，其 是在区间 匀分布.
1、能量型信号 2、信号的频谱 3、信号的能谱 4、功率型信号 5、平均功率的谱表示和功率谱密度 6、平稳过程的功率谱密度
1、能量型信号
能量型信号
其中，s(t)为信号，W为总能量。
2、信号的频谱
在
的情况下，能量型
信号s(t)的傅立叶变换存在，即
称F(ω)为信号s(t)的频谱。
？
3、信号的能谱密度