一、静电场力所做的功
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大学物理-电势
Va E dl a E dl
讨论
a
a
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
10
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
V
W q
L2 MT
3I
1
3)电势是一个长程物理量
b b
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E dl
Wa
Wb
a
q
q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
E dl Va Vb
a
称 a b两点电势差
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
势能零点
势能零点
VA VB
11
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
VA VB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
20
（3）r R 令 rB V 0
Q 1 1
VA VB
（4）r R
()
4πε0
rA R
q
x2 R2
x
R，VP
q 4πε0 x
V
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
Px
o
x
静电场力做功与路径无关静电场力是保守力(精)
•电势差和电势的单位相同
国际单位制(SI制)单位为：焦耳/库仑 记作: J C1 也称为: 伏特 (Volt,V) 1J C1 1V
二、点电荷的电场的电势 ～用场强分布和电势的定义直接积分。
p E
E
q
4 0r 2
rˆ
r
q
V
v v E dl
r
p
电场所做的功为：
A r rA r
r
L
q0
r E
r
qg
rr '
dl
dr
r
rB
B
W
B
dW
A
rB rA
q0q dr
40r 2
q0q
4 0
1 ( rA
1 rB
)
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
vv v
v
由场强叠加原理: E E1 E2 L En
q
4 0 r
2
dr
q
4 0 r
•电势的正负与源电荷q正负有关
①正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电 势越低。
②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电 势越高。
•场强总是从电势高处指向电势低处。
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V地球 0
2. 叠加法
①将带电体划分为电荷元 dq
国际单位制(SI制)单位为：焦耳/库仑 记作: J C1 也称为: 伏特 (Volt,V) 1J C1 1V
二、点电荷的电场的电势 ～用场强分布和电势的定义直接积分。
p E
E
q
4 0r 2
rˆ
r
q
V
v v E dl
r
p
电场所做的功为：
A r rA r
r
L
q0
r E
r
qg
rr '
dl
dr
r
rB
B
W
B
dW
A
rB rA
q0q dr
40r 2
q0q
4 0
1 ( rA
1 rB
)
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
vv v
v
由场强叠加原理: E E1 E2 L En
q
4 0 r
2
dr
q
4 0 r
•电势的正负与源电荷q正负有关
①正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电 势越低。
②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电 势越高。
•场强总是从电势高处指向电势低处。
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V地球 0
2. 叠加法
①将带电体划分为电荷元 dq
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
静电场的环路定理
解：1) 用迭加法，各点在o点的电势
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
V1 V2 V3 V4
V0 4V1 q 4 0 r
q
4 0 r 28.8 102V
2) 由定义知，电场力做的功
A
o
q0Vo 28.8 1011 J
o F l q0 E l q0 E l d d d
6
即：a、b两点的电势差 = A/q0
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
U
A q(V V )
(e )(U )
R2
R1
1 mv 2 0 2 即 eU 1 mv 2 2
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields 电场力 → 高斯定理 → 有源场 电场力做功 → 环路定理 → 无旋场 一、静电场力做功
由电场强度的定义可知，在静电场 E 中，电荷q0 受到电场力 F q0 E 的作用。当q0在电场中的位 移为 dl 时，电场力 F 做功： dA F dl q0 E dl 在力 F 作用下，q0从a点经某路径L到达 b点，电场力做的总功为 a A F dl q0 E dl q0 E dl L L L 电场强度 E 沿路径L的线积分 A E dl 积分取决于电场强度 E 的分布 L q0
o
14
例 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。已知电偶极子中 两点电荷+q、-q的距离为l。
解：用迭加法
P
VP Vi ( P )
i
第五章-3 电势
v ∞ v E PA VA = = ∫ E ⋅ dl A q0
E PA = ∫
∞
A
v v q0 E ⋅ dl
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
v VA只与场强 E 有关，与q0无关，所以可以用来描述 有关， 无关， 电场的性质 VA是标量，没有方向只有大小 标量， 点电荷及有限系统而言 而言， =0；实际应用中， 对点电荷及有限系统而言，取V∞=0；实际应用中， 一般取V 一般取V地=0
v B dl v dr θ E rB
v r
r
Q
∫
桂林电子科技大学十院
clc2000@
第五章 静电场
2. 点电荷系的电场
n
§5-3 静电场的环路定理 电势
n
W = W1 + W2 + L + Wn = ∑ Wi = ∑
i =1 i =1
Qi q0 1 1 ( − ) 4πε 0 rAi rBi
l
v E
clc2000@
桂林电子科技大学十院
第五章 静电场
2. 环路定理的验证
§5-3 静电场的环路定理 电势
q0沿闭合路径L回来原处，静电场力作功为零 沿闭合路径L回来原处，
W=
讨论
Q q0 ≠ 0
∴
∫ E ⋅ dl
l
∫v v
L
v v F ⋅ dl =
∫
L
v v q0 E ⋅ dl = 0
桂林电子科技大学十院 clc2000@
第五章 静电场
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 求电偶极子电场中任一点P 由叠加原理
6-3静电场的环路定理电势
dV
dE
10
红
已知场强分布 Ex, y, z ，求场中任一点P 的电势时，
可先作不定积分
V E dl C
选择使积分常量 C 0 的点为零电势的参考点，再
电
子 工 程 学 院
作积分，可求 P 点的电势 VP
对于有限电荷分布情况，可直接选无限远为零势能
点，作积分可得
VP
E dl
P
x
1 qdl
dVP 4π 0r 2π R
x
院
杨 VP
小
1
4π 0r
qdl q
q
2π R
4π 0r
4π 0
x2
R2 13
红
VP
4π 0
q x2 R2
电 讨论
子 工 程 学 院
杨
x
0，V0
q
4π 0R
x
R，VP
q
4π 0x
小
红
q
V
4π 0 R
o
x
q
4π 0 (x2 R2 )1 2
14
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
点
电
电荷
子的
工 程 学 院
等 势 面
杨 小 红
dl2 dl1 E2 E1
dl1 dl2
21
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电 子 工 程 学 院
杨
小
22
红
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
电
子 工
+
程
学
物理静电学3
r dr dr E
1 .点电荷的场中电场力做的功： q q
r
q0
b
dW q0E dr q0Edr q0 40r2 dr
W
b
dW
a
b a
q0q
4 0 r
2
dr
q
q0q ( 1 1 )
rb
ra
a
q0
dr
4 0 ra rb
做功与路径无关
2. 任意静电场中电场力做的功：
b
b
Wab a q0E dl q0 a (E1 E2 En ) dl
2、利用电势定义
电势零点
V
E dl
任一位置
3、利用电场力做功（电势差）
U ab
Wab q0
例：已知某空间的电势函数V=x2+2xy，求(1)电场强度 函数；(2)坐标(2,2,3)点的电势及其与原点的电势差。
Ex
V x
2(x y)
Ey
V y
2x
E Exi Ey j 2(x y)i 2xj
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线
p 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为r 的 点的电势：
p'
p0
p0
V E dl E dl 0
dr
p
p'
p' 20r
rp
20 ln r 20 ln r0 20 ln r C
即 V (x, y, z) C的空间曲面称为等势面。
等势面的性质：
除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
证明： dWMN E dl Edl cos 0
电场6
三、电势能 电势 电势差
静电力是保守力， 的概念。 静电力是保守力，可引入电势能 的概念。
电势能增量的负值。 静电场力的功 = 电势能增量的负值。 br r A = q0 E⋅ dl = − (W −W ) ab b a a
∫
1. q0 在电场中某点的电势能 在电场中某点的电势能
= 把 q0 从该点移至电势能零点的过程中电场力的功。 点移至电势能零 电势能零点 过程中电场力的功。
r ∂V r ∂V r ∂V r i+ j+ k) ∴ E = −( ∂x ∂y ∂z r 负电势梯度 ∴ E = − ∇V = − grad V (负电势梯度 )
r 的空间变化率有关， 值本身无关！ 说明： ★ 说明： E只与 V 的空间变化率有关，与 V 值本身无关！
例：
o + Vo⋅= 0
-
+
p i i p
1 4πε 0
∑r
i
n
qi
i
3.任意带电体产生电场中任意一点的电势 任意带电体产生电场中任意一点的电势
dq Vp = 4πε 0 ∫ r
1
五、电势计算举例
计算方法： ★ 计算方法： (1) 用电势的定义: 用电势的定义: (2) 用电势叠加原理： 用电势叠加原理：
V =∫ a
∞
a
r r E⋅ dl
q
(1) 球面外 r > R 球面外: 沿半径方向积分，则 P 点的电势为 沿半径方向积分，
∞
∞
++ + P• ++ + + Ro r + + r++ + ++ +
1.4电位及其梯度讲解
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EVpBB
E
10
电势差
U AB VA VB
E dl
AB
将单位正电荷从A移到B时电场力作的功
几种常见的电势差（V）
生物电
10-3
普通干电池 1.5
汽车电源 12
家用电器 110或220
高压输电线 已达5.5105
VP
rB
E
dr
r
rB dr r 2 π ε0r
ln rB
2 π ε0 r
讨论：能否选 V 0?
oBP
rB
r
r
23
七 等势面
电场中电势相等的点所构成的面.
电荷沿等势面移动时，电场力做功为零.
b
WAB q(VA VB )
6
讨论
• 在证明Gauss定理中，电场力必须与r2成反比， 在环路定理的证明中是否也要求与r2成反比？
• 答：不一定
如弹性力 f kr 也有类似性质
哪些力具有做功与路径无关这种性质？
引力
引入引力势能
重力
引入重力势能
势函数
弹性力
引入弹性势能
（位）
静电力
引入静电势能
例1 一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是 3000V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 设电子从阴极出发时初速为零。
15
计算电势的方法
（1）利用
VA
AB
E dl
VB
已知在积分路径上 E的函数表达式
有限大带电体，选无限远处电势为零.
（2）利用点电荷电势的叠加原理
静电场力做功的公式
静电场力做功的公式
静电场力做功的公式可以表示为：功 = 电荷Q × 电势差ΔV。
静电场力是一种由电荷间相互作用而产生的力。
当一个电荷在电场中移动时，电场力会对其做功。
做功的大小由电荷和电势差共同决定。
电荷是物体所带的电量，可以是正电荷或负电荷。
电荷的大小由元素的原子结构决定。
当电荷在电场中移动时，电场力会对其做功。
电势差是指在电场中两点之间的电势能差异。
电势差的大小与电场强度和两点之间的距离有关。
当电荷在电场中从一个点移动到另一个点时，电场力会对其做功，功的大小就等于电荷乘以电势差。
静电场力做功的公式为功 = 电荷Q × 电势差ΔV。
这个公式告诉我们，当电荷在电场中移动时，电场力所做的功等于电荷乘以电势差。
换句话说，功就是电荷在电场中获得或失去的能量。
静电场力做功的公式的应用非常广泛。
例如，在静电机中，通过摩擦或摩擦电机的方式，可以将机械能转化为电能，这个过程中静电场力会对电荷做功。
又如，我们常见的电池，通过化学反应将化学能转化为电能，也是利用了静电场力做功的原理。
静电场力做功的公式功 = 电荷Q × 电势差ΔV 揭示了电荷在电场中移动时的能量变化，对于理解静电现象和应用静电力有很重要的意义。
第8章 静电场02
i
结论：静电场力做功与路径无关，静电场力是保守力， 静电场是保守场。。
二、静电场的环路定理
q0
A1B
E dl q0
A2 B
E dl
1
B
2
q0 E dl E dl 0 A1B B2 A
A
E
l
E dl 0
静电场是无旋场
11
三、电势能
q 4 π 0 r
（2） r R 时
U内(r ) E1 dr
r
（3） r
R
R
q E2 dr 4 π 0 R
+ A + R + + + + + + rA
R
rB U A U B E2 dr rA
rB r0 dr q 2 r 4 π 0 A r rB dr q 2 r 4 π 0 A r
R
1 U P dU (q) 4 π 0
2 πrdr
x2 r 2
0
2 2 ( x R x) 2 0 22
例3 真空中，有一带均匀带电球壳，带电量为 q ，半径为 R 。
试求（1）球壳外任意点的电势；（2）球壳内任意点的电势；
（3）球壳外两点间的电势差；（4）球壳内两点间的电势差。 解：
14
说明：
（1）单位： V （伏特）；
1J 1V 1C
W U q0
（2）电势零点的选择：有限带电体以无穷远为电势零点。
（实际问题中常常选择地球为零电势体） 令
U B 0
则
U A E dl
结论：静电场力做功与路径无关，静电场力是保守力， 静电场是保守场。。
二、静电场的环路定理
q0
A1B
E dl q0
A2 B
E dl
1
B
2
q0 E dl E dl 0 A1B B2 A
A
E
l
E dl 0
静电场是无旋场
11
三、电势能
q 4 π 0 r
（2） r R 时
U内(r ) E1 dr
r
（3） r
R
R
q E2 dr 4 π 0 R
+ A + R + + + + + + rA
R
rB U A U B E2 dr rA
rB r0 dr q 2 r 4 π 0 A r rB dr q 2 r 4 π 0 A r
R
1 U P dU (q) 4 π 0
2 πrdr
x2 r 2
0
2 2 ( x R x) 2 0 22
例3 真空中，有一带均匀带电球壳，带电量为 q ，半径为 R 。
试求（1）球壳外任意点的电势；（2）球壳内任意点的电势；
（3）球壳外两点间的电势差；（4）球壳内两点间的电势差。 解：
14
说明：
（1）单位： V （伏特）；
1J 1V 1C
W U q0
（2）电势零点的选择：有限带电体以无穷远为电势零点。
（实际问题中常常选择地球为零电势体） 令
U B 0
则
U A E dl
1.4 电位的梯度
l l cos θ ) − ( r − cos θ ) q l cos θ 2 2 = l l 4πε 0 r 2 − ( l cos θ ) 2 ( r − cos θ )( r + cos θ ) 2 2 2
1.4.3 电位叠加原理 电位叠加原理
U =
∫
∞ P
r r E ⋅ dl =
∫
R r
Edr + ∫ Edr = 0 +
R
∞
q 4πε 0
∫
∞ R
dr 1 q = r 2 4πε 0 R
1.4.2 电位差与电位
由此可见，在球壳外的电位分布与点电荷情形一样，在球壳内电位到处与球壳表面 的值一样，是个常数。由图可见，U 和 E不同，它的数值没有跃变。 U 上面两个例题都是由已知的场强分布求电位的分布，我们也可以由已知的电位分布 来计算电场力的功。将式（1.22）改写为 （1.22）
点电荷q0从P到Q点，电场所做的功为：
A PQ = r r F ⋅ dl =
q 4πε 0 r
2
dr
∫
Q P
∫
rQ rP
q0q q 0 Edr = 4 πε 0
∫
rQ rP
dr r2
1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
即
APQ = q0q 1 1 ( − ) 4 π ε 0 rP rQ
上式表明， 只和路径 的起点 、终点 到 的距离 、 有关。由此可见，单个 单个 A PQ 点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关， 点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关， rP rQ L P Q O 的大小成正比。 此外它还与试探电荷 的大小成正比。 （2）任意带电体系产生的电场 q0 在一般情况下，电场并非由单个点电荷产生，但是我们总可以把产生电场的带电体划 分为许多带电元每一带电元可以看作是一个点电荷，这样就可以把任何带电体系视为点 电荷组。总场强Ｅ是各点电荷 、 、…、 单独产生的场强 、 、…、 的矢量和： r r r q q qk 从而当试探电荷 由 点沿任意路径 到达 点时，电场力所做的功为 E k E1 E 2 r 1r 2 r r
电场力的功场强与电势的关系电势环路定理
B
rB
dl
dr
r
E
q rA q0
A
电场力的功、电势、环路定理、等势面、场强与电势梯度的关系
任意电荷的电场（视为点电荷的组合）
E Ei
i
A q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功只与路径的起点和终点位
置有关，与路时，
q0 E dl q0 E dl
a
① Aab 0
Wa Wb
② Aab 0
Wa Wb
q 0 则 ua ub
q 0 则 ua ub
q 0 则 ua ub
q 0 则 ua ub
静电力做功的正、负可以确定电势能是增加了， 还是减少了。但是不能确定电势是增加了，还是 减小了。
电场力的功、电势、环路定理、等势面、场强与电势梯度的关系
A1B
B2A
q0 0
E dl 0
l
1
B
E
A
2
在静电场中，电场强度的环流
恒为零。这说明静电场是保守场(conservative field)
注意
如果描述场强度的物理量环流（安培定理）恒为零， 就称该场为“无旋场”；否则称为“有旋场”。
如果描述场强度的物理量闭合曲面积分（高斯定理） 恒为零，就称该场为“无源场”；否则称为“有源 场”。
A1B A2B q0 ( E dl E dl ) 0
A
A1B
B2A
势能函数
1B
2E
电场力的功、电势、环路定理、等势面、场强与电势梯度的关系
静电场的环路定理 （circuital theorem of electrostatic field）
求电场力做功的四种方法
求电场力做功的四种方法电场力是一个物体所受到的电场作用力，当一个物体在电场中移动时，电场力会对其做功。
电场力做功的四种方法如下：1.均匀电场中的直线运动：当一个带电粒子在均匀电场中进行直线运动时，电场力始终沿着物体的运动方向，不会改变物体的速度方向。
在这种情况下，电场力所做的功等于电场力与物体位移的点积。
假设带电粒子的电荷为q，电场强度为E，物体位移为d，则电场力做功为W=qEd。
2. 非均匀电场中的直线运动：当一个带电粒子在非均匀电场中进行直线运动时，电场力不再沿着物体的运动方向。
在这种情况下，电场力做功等于电场力在物体位移方向上的分量乘以位移。
假设带电粒子的电荷为q，电场强度在物体位移方向上的分量为Epar，物体位移为d，则电场力做功为W=qEpar*d。
3.均匀电场中的曲线运动：当一个带电粒子在均匀电场中进行曲线运动时，电场力始终垂直于物体的速度方向，不会改变物体的速度大小。
在这种情况下，电场力对物体不做功。
4.非均匀电场中的曲线运动：当一个带电粒子在非均匀电场中进行曲线运动时，电场力不再垂直于物体的速度方向。
在这种情况下，电场力对物体做的功等于电场力与物体速度的矢量积。
假设带电粒子的电荷为q，电场强度为E，物体的速度为v，则电场力做功为W=qE·v。
总结起来，电场力做功的四种方法是：均匀电场中的直线运动、非均匀电场中的直线运动、均匀电场中的曲线运动和非均匀电场中的曲线运动。
在直线运动中，电场力做功等于电场力与物体位移的点积或者电场力在位移方向上的分量乘以位移。
在曲线运动中，电场力对物体的功等于电场力与物体速度的矢量积。
3)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度
1
例2 无限大均匀带电平面的电场强度 §9.2 高斯定理 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度. 解 对称性分析：E垂直平面 选取闭合的柱形高斯面
r
E
S＇ E×d S = e 0 底面积 S
S＇ 2S＇ E = e0 E= 2 e0
S＇
§9.4
电偶极子
y
r
A
r
q
q x r0
27
r
§9.4
电偶极子
三、 电偶极子轴线延长线上的场强：
dU d P 2P = (k 2 ) = k 3 E= dr dr r r
其场强分布的特点：场强与电矩成正比，说 明电偶极矩决定着电偶极子的电场性质。
28
§9.4
电偶极子
四、 电偶层
§9.4
电偶极子
膜外空间各点电势为零，而膜内 空间各点的电势为： 若闭合曲面电偶层不均匀，或其同 一面的不同部分带有异号电荷，则 其闭合电偶层外部空间各点的电势 一般不为零。
34
-4πkτ
。
§9.5
静电场中的电介质
• 一. 电介质及其结构 • 二. 电介质的极化 • 三. 均匀电介质中的静电场
35
Q
Q
-
Q S C = = e0 U d
42
二、 电容器的能量
1.
一个电容器的能量可由整个放电过程中电场 力所做的功来量度。 2. 公式：
2 Q 1 1 2 = QU = CU 电容器贮存的电能 W e= 2 C 2 2
3.
讨论：
（1）无论电容器结构如何，以上结论均正确。 （ 2 ） Q 、 UAB
单个点电荷产生的电场
+ P1 + + + + +
对球内一点P1： u内 P E dr
1
E1dr E2dr
r R
R
q 8 0 R
3
(3R r )
2 2
R
例 求电荷线密度为的无限长带电直线空间中的电势分布 解 取无穷远为势能零点
E 2π 0 x
(a)
(ln lnxP ) uP dx 2π 0 x 2 0 x
(3) 选电势能零点原则：
• 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。
• 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。
• 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生 的静电场中，有一带电量为q 的点电荷 求 q 在a 点和 b 点的电势能 解 选无穷远为电势能零点 Qdr qQ Wa a qE dl q a 2 4 0 r 4 0 ra qQ Wb b qE dl 4 0 rb Q
r1
1 q1 1 q2 q2 dr dr 2 2 r2 4 r 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r 0
q1
对n 个点电荷:
qi ua i 1 4 0 ri
n
dq 对连续分布的带电体： ua Q 4 r 0
结论 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
6.3
1.静电力的功
单个点电荷产生的电场
b
电势
6.3.1.静电场力所做的功与路径无关
对球内一点P1： u内 P E dr
1
E1dr E2dr
r R
R
q 8 0 R
3
(3R r )
2 2
R
例 求电荷线密度为的无限长带电直线空间中的电势分布 解 取无穷远为势能零点
E 2π 0 x
(a)
(ln lnxP ) uP dx 2π 0 x 2 0 x
(3) 选电势能零点原则：
• 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。
• 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。
• 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生 的静电场中，有一带电量为q 的点电荷 求 q 在a 点和 b 点的电势能 解 选无穷远为电势能零点 Qdr qQ Wa a qE dl q a 2 4 0 r 4 0 ra qQ Wb b qE dl 4 0 rb Q
r1
1 q1 1 q2 q2 dr dr 2 2 r2 4 r 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r 0
q1
对n 个点电荷:
qi ua i 1 4 0 ri
n
dq 对连续分布的带电体： ua Q 4 r 0
结论 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
6.3
1.静电力的功
单个点电荷产生的电场
b
电势
6.3.1.静电场力所做的功与路径无关
5电势18
r ∞ r E PA UA = = ∫ E ⋅ dl A q0
电势的单位是伏特， 电势的单位是伏特，符号为 V ． 电势零点选择方法： 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电 势零点，实际问题中常选择地球电势为零. 势零点，实际问题中常选择地球电势为零. 物理意义 把单位正试验电荷从点 A 移到无穷 远时，静电场力所作的功. 远时，静电场力所作的功.
1 dq （２）dU = 4πε 0 r 1 dq （３）U = ∫ dU = 4πε 0 ∫ r
求均匀带电直线上延长线一点上的电势． 例1 求均匀带电直线上延长线一点上的电势． 解 建立如图所 示坐标系， 示坐标系，电荷元 dq = λ dx 在 P 点产生 的电势为
o
A
d
x
dx
B
P
x
1 λdx dq Q dU = = 4πε 0 d + l − x 4πε 0 d + l − x
v E3 v E2
A
v E1
点电荷系
∞ v v v v VA = ∫ E ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl
∞ A
i A
qi VA = ∑VAi = ∑ i i 4π ε 0 ri
——电势的叠加原理（代数和） 电势的叠加原理（代数和） 电势的叠加原理 电势的叠加原理： 电势的叠加原理：点电荷系产生的电场中 任意一点的电势是各个点电荷单独存在时的电 场在该点的电势的代数和． 场在该点的电势的代数和．
当试验电荷在任何静电场中移动时， 当试验电荷在任何静电场中移动时 ， 电 场力所做的功只与试验电荷的电量以及起点 和终点的位置有关， 而与路径无关． 和终点的位置有关 ， 而与路径无关 ． 这表明 静电场力是保守力，静电场是保守力场． 静电场力是保守力，静电场是保守力场．
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Q
4π 0 r
或
2(r)
r E2 dr
Q
r 4π 0r 2 dr
Q
4π 0r
5.4 电势
（4） r R
由
2 (r )
Q
4π 0r
可得
(R) Q 4π 0 R
1
或 1(r)
R
r E1 dr
R E2 dr
Q
4π0 R
2 (r )
Q
4π 0r
1 (r )
Q
4π 0 R
Q
4π 0 R
四、电势的计算
1) 若已知在积分路径上电场 E 的分布函数，
由定义：
E dl
P
范围：能用高斯定理求场强的场。
2) 利用点电荷电势
q 4 0r
及电势叠加原理
dq
4 0r
、
i
qi
4 0ri
条件：有限大带电体，选无限远处电势为零。
5.4 电势
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为R 的细圆环上。求圆环 轴线上距环心为 x 处点 P 的电势。
真空中，有一带电为Q，半径为R的带电球壳.
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点
间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳
内任意点的电势.
解
r r
R，E1 R，E2
0 q
4π 0r 2
er
（1） a b
rb ra
E2
dr
+
+ +
R
o
Q+ +
++
+
+er+
+
ra
a
r
dr
rb
L
P1 ( L1 )
P2 ( L2 )
L1
P2 E dl P2 E dl
P1 ( L1 )
P1 ( L2 )
P1
P2
L2 E
L E dl 0
P2 E dl P2 E dl
P1 ( L1 )
P1 ( L2 )
5.4 电势
5.4.2 电势差和电势
一、电势能
静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场力所做 的功就等于电荷电势能的减少量（增量的负值）。
b
Aab a q0E dl W (a) W (b) W
0, W (b) W (a) Aab 0, W (b) W (a)
b
二、电势
b
W (a) W (b)
E dl
a
q0
a q0
E
a b 电势之l b
a
电势零点
E dl
q r
4
1
π 0
q r
4
q
π 0
r r r r
l r
r r l cos
q
r r r 2
y
P
r
r
r
q x
l
5.4 电势
4
q
π 0
r r r r
q l cos
4π 0
r2
1
4π 0
p cos
r2
pr
4π 0r 3
0 π π/2
4
1
π 0
p r2
1
4π 0
p r2
0
5.4 电势
y
dl +
+
+
+ +
+R o +
+
+
++
z +++
r
x
dq dl qdl
2 πR
P
x
d dq 4 0r
1 dq q
q
4 0r
4 0r 40 x2 R2
5.4 电势
讨论
q
40 x2 R2
+ ++ + R+ +O +
+ ++
x
0，0
q
4 0 R
q
4 0 R
x R， q 4 0 x
b
dr dl
E
rb
r
q
ra
q0
a
r dl rdl cos rdr
5.4 电势
2. 任意电荷的电场（视为点电荷系）
E Ei
i
A q0
E dl
l
q0 l Ei dl
i
结论：静电场力做功与路径无关——保守力
二、静电场的环路定理
E dl P2 E dl P1 E dl
5.4 电势
E
dl dr
二、点电荷系的电势
E Ei
i
E dl P
P Ei dl
i
i
i
i
qi
4 0ri
三、连续带电体的电势
d dq 4 0r
dq
4 0r
电势的叠加原理
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dq dV
dqq
r
P
dE
5.4 电势
♦ 静电场力的功
Aab q0 a b
♦ 单位：伏特 ( V )
原子物理中能量单位： 1 eV 1.6021019 J
5.4 电势
5.4.3 电势的计算
一、点电荷的电势
q
E 4 0r 2 er
令 0
r E dl r Edr
q
r 4 0r 2 dr
qr
q 4 0r
q 0, 0 q 0, 0
y
P
r
r
r
q q x
l
5.4.4 等势面 电势梯度
一、等势面（电势图示法） 空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面.
规定任意两相邻等势面间的电势差相等. 1. 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
b
Aab q0 (a b ) a q0 E dl 0
oR
Q
4π 0r
r
5.4 电势
例4 “无限长”带电直导线的电势
解
P
P0 P
E dl
P0
令 P0 0
P
r0 E dr r
r0 r
2
π
0r
er
dr
o P0 P
r0
r
r
ln r0 2π0 r
能否选 0 ？
5.4 电势
例5 求电偶极子 p ql 电场的电势分布.
解
1
4π 0
5.4.1 静电场力做功 静电场的环路定理
一、静电场力所做的功
1. 点电荷的电场
dA q0 E dl
qq0
4 0r 3
r dl
qq0
4 0r 2
dr
A q0
E dl qq0
L
4 0
rB dr r rA 2
qq0 ( 1 1 )
4 0 ra rb
结果: W 仅与q0的始末位置有关， 与路径无关。
o
x
5.4 电势
例2 均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr dq 2 rdr
x2 r2
ro
R
P
x
d
x
dq
40 x2 r 2
1
R 2 rdr
( x2 R2 x)
4 0 0 x2 r 2 2 0
x R
x2 R2 x R2 2x
5.4 电势
（点电荷电势）
Q 40 x
例3 均匀带电球壳的电势
a
♦ 物理意义：把单位正试验电荷从点 a移到电势零点 时，静电场力所作的功。
电势零点的选择方法
(1) 电荷分布在有限空间
令 0 则 a
E dl
a
b
(2) 电荷为无限大、长分布
令 b 0
则 a
E dl
a
(3) 实际问题中常选择地球电势为零。
5.4 电势
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。
b
r
Q
4π 0
rb dr ra r 2
er er
Q
4π 0
1 ( ra
1 )
rb
5.4 电势
（2） r R
a b
rb ra
E1
dr
0
（3） r R
令 rb , 0
+
+ +
R
o
+
Q
+
++
+ +er+r+A
A r
dr
rB
B
r
由
a
b
Q
4π 0
1 ( ra
1 rb
)
可得
2(r)