静电场力所做的功与路径无关
静电场的环路定理
静电场的环路定理物理学第五版一、静电场力所做的功0d d A q E l=⋅l rrεqq d ˆπ4200⋅=020d d 4πqq A r εr= 点电荷的电场qq Ar ABBr Errˆl d θrd r θl l rd cos d d ˆ==⋅物理学第五版20d 4πBAr r qq r A εr=⎰)11(π400BA r r εqq -=结论: A 仅与q 0的始末位置有关，与路径无关20d d 4πqq A r εr=qq Ar ABBr Errˆl d θrd物理学第五版任意带电体的电场∑=iiE E 0d lA q E l =⋅⎰⎰∑⋅=li ilE qd 0结论：静电场力做功，与路径无关。
静电场力是保守力。
（点电荷的组合）++=+⋅+⋅=⎰⎰212010A A l d E q l d E q baba物理学第五版二、静电场的环路定理⎰⎰⋅=⋅ADCABCl E q l E qd d 000)d d (0=⋅+⋅⎰⎰CDAABCl E l E qd =⋅⎰ll E静电场是保守场结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.EABCD物理学第五版静电场的环流定理反映了静电场的一个重要性质。
它说明静电场是保守场（无旋场），可以引入势的概念，所以也叫势场。
根据斯托克斯公式s d E l d E ls⋅⨯∇=⋅⎰⎰)(0=⨯∇E静电场的旋度为零，静电场是无旋场物理学第五版例：用环流定理证明“静电场电力线不会闭合”。
证：用反证法证明：先假设电力线形成闭合线，则以此闭合线为路径应用环流定理El⎰⎰⎰>==⋅lEdl Edl l d E 0cos 0与 ⎰=⋅ll d E 0相矛盾说明：假设不正确，静电场的电力线不会闭合物理学第五版例：证明非无限大平行板电容器电力线不可能只分布内部。
带电平行板电容器的电场线+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - -物理学第五版+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 证：用反证法，假设外部 0=E 如图作一闭合回路 ⎰=⋅ll d E⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅DACD AB BC l d E l d E l d E l d E EL =与 ⎰=⋅l l d E 0相矛盾，A B CD说明：假设不正确。
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电力做功与路径无关的证明
) . 我们 可 以 再使q 沿任意曲线 ANB 从 A 移往 B ( 图２ 用无数组跟静电力垂直和平行的折线来逼 近 曲 线 ANB . 只 要q 的移动方向与静电力垂直 , 静电力都不做 功 . 只 要 q 的 移动方向与静电力 平 行 , 静 电 力 都 做 功, 而这些与静电力平 行的短折线的长度 之 和 等 于| 静电力所做的功 AM|. 因 此 , ������ . 还是 W ＝ E | AM | q
图２
这样的证明思路初一听 , 好像很 有 道 理 , 但细一想, 却是 不对的 . 要是这一老师的思路是正确 的 , 按照这一思路也可 以证明在感生电场 中 的 移 动 电 荷 , 电 场 力 做 功 与 路 径 无 关. 因为在感生电场中移动电荷 , 也可以把整 个 路 径 分 割 成 许 多 小段 , 每一 小 段 的 电 场 也 是 可 以 看 成 匀 强 电 场 的 . 可 实 际 上, 感生电场是磁场 变 化 时 在 空 间 激 发 的 一 种 电 场 , 它的电 场线是闭合的 , 试想将试探电荷q 沿着感生电 场 的 某 一 条 电 场线移动一周 , 电场力做的功为 W , 那么移动两周的话 , 电场 力做的功就会是 ２ 感生电场中 , 电场力做功 是 W . 也就是说 , 与路径有关的 . 那么, 到 底 如 何 证 明 非 匀 强 电 场 中, 静电力做的功与电 荷经过的路径无关呢 ? 大学物理教材中 , 在证明 静电场中电场力做功与路径 无关 的结论时 , 思路 是 从 库 仑 定 律 和 叠 加 原 理 出 发 来 证 明 电场力做功与路径无关 , 即先证明点电荷 产 生 的 电 场 中 电 场 力对试探电荷做功与路径无关 , 然后再证 明 任 意 带 电 体 产 生 的电场中电场力做功与路径无关 . 因为中学生没有学过微积分 , 照搬大 学 教 材 中 的 积 分 公 式, 学生可能听不懂 . 不过这一证明思 路 还 是 可 以 向 学 生 介 绍的 . 笔者在教学 中 , 借 鉴 高 中 教 材 中 的 推 导 方 法, 向学生 介绍大学教材中的这一推导思路 , 效果很好 . 参考文献 : [ ] 普通高中课程标 准 实 验 教 科 书 物 理 [ 北 京: 人民 １ M] ． 教育出版社 , ２ ０ １ ５． [ ] 张三慧 ． 大学物理学 ． 力 学㊁ 电磁学[ 北 京: 清华大 ２ M] ． 学出版社 , ２ ０ ０ ９, ２． 作者简介 : 项芳聪 , 浙江省温州市 , 浙江省苍南中学 .
一、静电场力所做的功
Q
4π 0 r
或
2(r)
r E2 dr
Q
r 4π 0r 2 dr
Q
4π 0r
5.4 电势
（4） r R
由
2 (r )
Q
4π 0r
可得
(R) Q 4π 0 R
1
或 1(r)
R
r E1 dr
R E2 dr
Q
4π0 R
2 (r )
Q
4π 0r
1 (r )
Q
4π 0 R
Q
4π 0 R
四、电势的计算
1) 若已知在积分路径上电场 E 的分布函数，
由定义：
E dl
P
范围：能用高斯定理求场强的场。
2) 利用点电荷电势
q 4 0r
及电势叠加原理
dq
4 0r
、
i
qi
4 0ri
条件：有限大带电体，选无限远处电势为零。
5.4 电势
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为R 的细圆环上。求圆环 轴线上距环心为 x 处点 P 的电势。
真空中，有一带电为Q，半径为R的带电球壳.
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点
间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳
内任意点的电势.
解
r r
R，E1 R，E2
0 q
4π 0r 2
er
（1） a b
rb ra
E2
dr
+
+ +
R
o
Q+ +
++
+
+er+
+
静电场力做功与路径无关静电场力是保守力(精)
国际单位制(SI制)单位为：焦耳/库仑 记作: J C1 也称为: 伏特 (Volt,V) 1J C1 1V
二、点电荷的电场的电势 ～用场强分布和电势的定义直接积分。
p E
E
q
4 0r 2
rˆ
r
q
V
v v E dl
r
p
电场所做的功为：
A r rA r
r
L
q0
r E
r
qg
rr '
dl
dr
r
rB
B
W
B
dW
A
rB rA
q0q dr
40r 2
q0q
4 0
1 ( rA
1 rB
)
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
vv v
v
由场强叠加原理: E E1 E2 L En
q
4 0 r
2
dr
q
4 0 r
•电势的正负与源电荷q正负有关
①正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电 势越低。
②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电 势越高。
•场强总是从电势高处指向电势低处。
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V地球 0
2. 叠加法
①将带电体划分为电荷元 dq
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
非匀强电场静电力做功与路径无关证明
非匀强电场静电力做功与路径无关证明引言静电力是指由于电荷之间的相互作用而产生的力。
当存在一个非匀强电场时，电荷在其中运动时会受到电场力的作用。
我们知道力是做功的，而功与路径有关是常见的物理现象。
然而，在非匀强电场中，静电力做功却与路径无关。
本文将详细探讨这一现象，并给出证明。
非匀强电场静电力的定义在非匀强电场中，电荷受到的静电力可以通过以下公式计算：其中，F表示静电力，q表示电荷量，E表示电场强度。
根据该公式，我们可以看出静电力与电荷量和电场强度成正比。
静电力做功的定义静电力对电荷做功的定义为：其中，W表示做功，F表示力，d表示位移。
根据该公式，我们知道功与力和位移的乘积成正比。
证明非匀强电场静电力做功与路径无关证明思路我们希望证明在非匀强电场中，电荷受到的静电力做功与路径无关。
为了证明这一点，我们可以选择两条不同的路径，并将它们所做的功进行比较。
选择两条路径为了便于分析，我们选择一维的情况来证明。
设电荷的起始位置为A，终止位置为B。
我们选择两条路径，一条是直接从A到B，另一条是先从A到C，再从C到B。
这样，我们就可以比较这两条路径所做的功。
对路径AB的功的计算首先，我们来计算路径AB所做的功。
沿路径AB，电荷受到的静电力始终与路径垂直。
根据题设，我们知道电场是非匀强的，即电场强度在空间中是变化的。
假设在路径AB上任意一点的电场强度为E。
由于静电力始终与路径垂直，我们可以将路径AB分割成许多小段，每一段的长度为δx。
电荷受到的静电力F可以表示为：其中，q为电荷量，E为电场强度。
由于静电力始终与路径垂直，所以静电力在路径上的投影对做功没有贡献。
因此，路径AB所做的功可以表示为：其中，dx为路径AB上每段小长度δx的加和。
对路径ACB的功的计算接下来，我们来计算路径ACB所做的功。
沿路径ACB，电荷受到的静电力的大小始终与电场强度E成正比。
我们将路径ACB分割成两段，AC和CB，其中AC的长度为x，CB的长度为l-x，x为[0, l]上的任意位置。
单个点电荷产生的电场
qq0 1 1 ( − ) 4πε0 ra rb
与路径无关
任意带电体系产生的电场 在电荷系q 的电场中， 在电荷系 1、q2、…的电场中，移动 0，静电力所作功为 的电场中 移动q 静电力所作功为: •b v b v b v v
Aab = ∫ F ⋅ dl = ∫
a( L)
b
a( L)
q0E ⋅ dl
qi ua = ∑ i=1 4πε 0r i
n
dq 对连续分布的带电体： 对连续分布的带电体： ua = ∫ Q 4πε r 0
结论 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独 单独存 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 电势叠加原理。 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
=∫
a( L)
v v q0 (∑Ei ) ⋅ dl
n i=1
q0 q0 a•
L
=∫
b
a( L)
n
v v v v q0 (E1 + E2 + ⋅ ⋅ ⋅ + En ) ⋅ dl
b
q1 qi
q2
qn−1 qn
v v qq 1 1 = ∑∫ q0Ei ⋅ dl＝ ∑ i 0 ( − ) a( L) rbi i=1 i 4πε 0 r i a
v q 1 v0 v v E= r dl = dr r 0 4πε0 r2
1 q ua = ⋅ 4πε0 r
• 点电荷系的电势
q1 q2
r 1 r2
P
v ∞ v v ∞ v v uP = ∫P E ⋅ dl = (E1 + E2 ) ⋅ dl ∫P
于电场力做功具有与路径无关
于电场力做功具有与路径无关，而仅与始末位置的电势差有关的特点，所以计算电场力做功可用多种方法。
1. 根据功的定义，用计算。
此法仅适用于匀强电场中电场力做功的计算。
例1. 两带电小球，电荷量分别为和，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图1所示。
若此杆绕过O点，垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中电场力做的功为多少？图1解析：因在电场中任意两点移动电荷时，电场力对电荷做的功，与移动电荷的路径无关，可设想两电荷均沿绝缘杆移动到相应位置，则。
2. 用计算。
此法适用于任何电场。
运算时q、U可只取绝对值，对于功W的正负，可依据提供的物理模型，或根据题设条件构想物理模型，利用相关知识判定。
例2. 在电场中有A、B两点，它们的电势分别是为。
把电荷量的电荷从A点移动到B点，是电场力做功，还是克服电场力做功？做了多少功？解析：根据A点电势低于B点电势，可知始、终两点间的电场线的方向是由B至A，画出表示电场线方向的矢量线E；根据负电荷所受的电场力方向与电场线方向相反，再画出表示电场力方向的矢量线F；最后画出表示电荷移动方向（A →B）的矢量线s。
由图2可以看出F与s方向相同，所以是电场力做功，电场力所做功的大小为：图23. 利用结论“电场力做的功等于电荷电势能增量的负值”（或等于电势能的变化）计算。
这个方法在已知电荷电势能的值时比较方便，此法利用了功能关系，适用于任何电场。
例3. 如图3所示，在同一条电场线上，有A、B、C三点，三点的电势分别是，，将电荷量的点电荷从A移到B电场力做功多少？电势能变化了多少？若将该电荷从B移到C，电场力做功多少？电势能变化了多少？图3解析：电荷在A、B、C三点的电势能分别为故因此电势能增加了因此电势能减少了。
4. 利用动能定理计算，在知道电荷动能的改变量，以及知道除电场力以外其它力做功多少时，使用动能定理较方便。
物理静电学3
r dr dr E
1 .点电荷的场中电场力做的功： q q
r
q0
b
dW q0E dr q0Edr q0 40r2 dr
W
b
dW
a
b a
q0q
4 0 r
2
dr
q
q0q ( 1 1 )
rb
ra
a
q0
dr
4 0 ra rb
做功与路径无关
2. 任意静电场中电场力做的功：
b
b
Wab a q0E dl q0 a (E1 E2 En ) dl
2、利用电势定义
电势零点
V
E dl
任一位置
3、利用电场力做功（电势差）
U ab
Wab q0
例：已知某空间的电势函数V=x2+2xy，求(1)电场强度 函数；(2)坐标(2,2,3)点的电势及其与原点的电势差。
Ex
V x
2(x y)
Ey
V y
2x
E Exi Ey j 2(x y)i 2xj
若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线
p 为 r0的 p0 点为电势零点，则距带电直线为r 的 点的电势：
p'
p0
p0
V E dl E dl 0
dr
p
p'
p' 20r
rp
20 ln r 20 ln r0 20 ln r C
即 V (x, y, z) C的空间曲面称为等势面。
等势面的性质：
除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。
证明： dWMN E dl Edl cos 0
一、静电场力做功：与路径无关～静电场力是保守力用库仑定律和叠加原理证明§86静电场的环路定理电势能
1
4 0
dq r
•电荷体密度为 的
带电体产生的电势：
V 1
dV
4 0 V r
•电荷面密度为 的
带电体产生的电势：
V
1
4 0
S
dS r
•电荷线密度为 的
带电体产生的电势：
V
1
dl
4 0 l r
四、电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求） ①确定 E 分布
②选零势点和便于计算的积分路径
E pA q0
E dl
A
EpA
E dl
q0
A
～与场中试验电荷 q0无关，描述了静电场中A
点的性质的物理量。
•定义：
场点A的电势为：将单位正电荷从A点沿任意路径移 到电势为零的点时，静电力所做的功。
•当电荷只分布在有限区域时，
零点通常选在无穷远处。
VA
E dl
A
•注意：
①电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。
线积分等于零～称为静电场的环路
E dl 0
L
定理或环流定理。
静电场为保守场
•运动电荷的场不是保守场，而是 非保守场，将在磁场部分讨论。
B
三、电势能
静到电B力点将静电电荷场q力0 做从正电功场时中，A静点电移
场的电势能减少。
rB
q0
q
rA A
B
WAB EpA EpB Ep q0
E dl
P37 例1 如图，正电荷q均匀地分布在半径为R的细圆环上，计算在环的轴线上与环心O相距为x处点P的电势。
无关。 在圆环上取点电荷 ,
作用在电偶极子上的合力为 ②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电势越高。 ②选零势点，写出 在场点的电势
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三、电场叠加原理、电势叠加原理 1．.电场叠加原理 电场叠加原理是指点电荷在空间任一点所激发的总电场强度等于各个点电荷单独存在 时在该点各自所激发的电场强度的矢量和，即
说明：电场叠加原理的得出是根据力叠加的结果，一般利用该原理来求某点的总场强，
异号电荷相吸，数学形式可表示为
式中，真空介电常数为
2．高斯定理 高斯定理是指在静电场中，通过任一闭合曲面的 E 通量，等于该曲面内电荷量的代数
和除以 0 ，即
说明：当电荷分布具有某些特殊的对称性，从而使相应的电场的分布也具有一定的对 称性时，就有可能应用高斯定理来计算电场强度。
有介质时静电场的高斯定理：在有介质存在的静电场中，通过任意闭合曲面 S 的电位 移通量（D 通量）等于该曲面包围的自由电荷的代数和，即
高斯定理的微分形式 （1）真空中静电场
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台
gE qi
0
（2）介质中
gD 0
3．静电场中环路定理 静电场环路定理是在静电场中，静电场力做功与路径无关，场强沿任一闭合路径的线 积分恒等于零，即
微分形式为
E 0
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台
①若源电荷为有限大小的电荷，一般规定无限远处的电势为零，这样，正电荷产生的
电场中各点的电势均为正值，负电荷产生的电场均为负值；
②若对于无限扩展的源电荷（如无限长直导线等），不能将电势零点选在无限远处，只
能选择在有限区域内的任一点（直导线外的任一点）；
1.4 电位的梯度
l l cos θ ) − ( r − cos θ ) q l cos θ 2 2 = l l 4πε 0 r 2 − ( l cos θ ) 2 ( r − cos θ )( r + cos θ ) 2 2 2
1.4.3 电位叠加原理 电位叠加原理
U =
∫
∞ P
r r E ⋅ dl =
∫
R r
Edr + ∫ Edr = 0 +
R
∞
q 4πε 0
∫
∞ R
dr 1 q = r 2 4πε 0 R
1.4.2 电位差与电位
由此可见，在球壳外的电位分布与点电荷情形一样，在球壳内电位到处与球壳表面 的值一样，是个常数。由图可见，U 和 E不同，它的数值没有跃变。 U 上面两个例题都是由已知的场强分布求电位的分布，我们也可以由已知的电位分布 来计算电场力的功。将式（1.22）改写为 （1.22）
点电荷q0从P到Q点，电场所做的功为：
A PQ = r r F ⋅ dl =
q 4πε 0 r
2
dr
∫
Q P
∫
rQ rP
q0q q 0 Edr = 4 πε 0
∫
rQ rP
dr r2
1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
即
APQ = q0q 1 1 ( − ) 4 π ε 0 rP rQ
上式表明， 只和路径 的起点 、终点 到 的距离 、 有关。由此可见，单个 单个 A PQ 点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关， 点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关， rP rQ L P Q O 的大小成正比。 此外它还与试探电荷 的大小成正比。 （2）任意带电体系产生的电场 q0 在一般情况下，电场并非由单个点电荷产生，但是我们总可以把产生电场的带电体划 分为许多带电元每一带电元可以看作是一个点电荷，这样就可以把任何带电体系视为点 电荷组。总场强Ｅ是各点电荷 、 、…、 单独产生的场强 、 、…、 的矢量和： r r r q q qk 从而当试探电荷 由 点沿任意路径 到达 点时，电场力所做的功为 E k E1 E 2 r 1r 2 r r
4电位及梯度
U P UQ U P UQ
太原理工大学物理系
五、电势的计算
1 点电荷的电势
E
4
q
π 0r 2
r
0
dl
dr
E
qr
令U 0
UP
PE
dl
r0
dl
dl
cos
dr
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
q 0, U 0 q 0, U 0
q1 q2
4 π0R1 4 π0R2
太原理工大学物理系
（2）R1 r R2
场点在内球面外部，外球面的内部
U
U1(r)
U2 (R2 )
4q1π 0 rq24 π0R2
（3） r R2
场点在两个球面的外部
U U1(r) U2 (r)
q1 q2
4 π0r 4 π0r
π 0r
4
1
π 0
V
dV
r
太原理工大学物理系
求解电势的两种方法
1)
利用U P
dq
4 π0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r ，
这一结果已选无限远处为电势零点，带电
体必须为有限大。） 2) 若已知在积分路径上E 的函数表达
式，
U 0点
则 UP E dl
Q
UP
E dl
P
意义：电场中A点的电势，就是把单位正电荷从点A
移到零电势位置时，静电场力所作的功.
如何证明静电场力是保守力
如何证明静电场力是保守力静电场力是一种保守力，这意味着无论沿着任何闭合路径进行线积分，其结果都会等于零。
这个性质可以用来解释静电场中的一些重要现象。
我们需要了解什么是保守力。
在物理学中，保守力是指该力所做的功只取决于起点和终点，而与路径无关。
换句话说，如果我们在同一起点和终点之间沿不同路径移动，所做的功是一样的。
这与非保守力不同，非保守力的功与路径有关。
对于静电场力来说，它是由电荷之间的相互作用引起的。
根据库伦定律，两个电荷之间的静电力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
这意味着当我们沿着一条闭合路径进行线积分时，静电场力的大小和方向会随着路径的变化而变化。
由于静电场力是保守力，线积分的结果总是等于零。
这是因为静电场力是由一个势能函数所导出的。
在静电场中，我们可以定义一个电势能函数，它表示单位正电荷在静电场中的势能。
根据这个定义，沿着任何闭合路径进行的线积分就等于起点和终点之间电势能的差值。
无论我们选择哪条路径，只要起点和终点相同，线积分的结果都会是相同的。
这意味着静电场力不会产生任何环路的功，也就是说，它不会在回路上做功。
因此，静电场力对环路的总功为零。
这个性质在电场中有很多实际应用。
例如，在电容器中，我们可以利用静电场力来存储电荷。
电容器由两个带电板之间的介质组成，当我们在电容器上施加电压时，电荷会在两个板之间移动，但总功为零。
这意味着我们可以以零的能量损失来存储电荷。
静电场力是一种保守力，它沿着任何闭合路径的线积分等于零。
这个性质使得静电场力在电学中有很多重要应用，如电容器的工作原理。
这也说明了静电场力与路径无关，只与起点和终点有关。
我们可以通过以下步骤来证明这一点：1.定义静电场力：在电场中，一个带电粒子受到的力可以表示为F = qE，其中q是粒子的电荷量，E是粒子所在位置的电场强度。
2.计算线积分：对于任意一条闭合路径C，我们可以计算静电场力沿着这条路径的线积分。
线积分的定义是∫L F·dl，其中L是路径的长度，F·dl是力向量和路径上一小段向量的点积。
(化学)§14 电势及其梯度
dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点沿任意 路径移至电势能零点处的 过程中电场力所做的功
电势也是相对的，其值与电势的零 点选择有关。
第五章 静电场
13
物理学
第三版
电势零点的选取：
1-4 电势及其梯度
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
5
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
6
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
B
C
q0( E dl E dl ) 0
ABC
CDA
DE
ห้องสมุดไป่ตู้
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周， 静电场力是保守力
W qq0 rB dr
4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rA rB
1-4 电势及其梯度
B
rB
dr
dl
E
r
结论: W仅与q0的始末
er
q0
位置有关，与路径无关. q rA A
第五章 静电场
2
物理学
第三版
点电荷系
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
3
物理学
WAB
q0
AB E dl (VB VA )
q0 B
令 VB 0
零点
VA A E dl
VA
静电场的保守性和环路定理
q i U ( p ) E d l i i p 4 r 0 ip q U(p) i 0r i 4 i
q1
q2
r1 r2
p
q3
ri
r3
qi
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元 组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电 势的叠加就是总的电势。可写为：
集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
q
q
2 电势梯度 电势分别为 U和U 的邻近等势面，其电力线 U 与二等势面分别相交于P、Q，两点间的垂直距离 为 PQ n ，又等势面法向指向电势升高的方向。
U U d l P Q E
Q P
E
U
E n E n U n
l 方向，在两个
考 方虑 向任 一
l
P
n
Q
n
n l cos U U n 于是可求出电势在 l 方向的变化率：
U U cos E cos E l n
n l
l
n l
结论：
U沿 n 方向的微商最大。
P
电势差与电势的零点选 取无关。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中， 电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称 为伏特（Volt,V），即1V＝1J/C
因此，当已知电势分布时，可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
二、举例： 例一、点电荷产生的电场中的电势分布 用场强分布和电势的定义直接积分。
电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
等势面的性质： 除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l 电场力做功为零，而路径不为零 dl0 E
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r
r
1
4 0
Q r2
dr
1
4 0
Q r
P
r
Q
R
o
6.3.2 静电场的环路定律
Q
Q
q0
P E dl q0
E
L1
q0
Q E dl
P
Q P
E
dl
0
P
( L1 )
( L2 )
Q L2
Q P
P E dl Q E dl 0
( L1 )
( L2 )
E dl 0
L
静电场的环路定理：在静电场中，场强
6.3 电势
6.3.1 静电场力所做的功与路径无关 6.3.2 静电场的环路定律 6.3.3 电势能 电势 6.3.4 电势的叠加原理 6.3.5 电荷连续分布带电体的电势
6.3.1 静电场力所做的功与路径无关
1.单个点电荷产生的电场
b
dW F dl q0E dl
q0E cos dl
UP
E dl
P
P（ E1
E2
En）
dl
P E1 dl P E2 dl P En dl
n
U1P U2P UnP UiP
i 1
电势的叠加原理：点电荷系产生的电场中
任意一点的电势是各个点电荷单独存在时的电
场在该点的电势的代数和．
6.3.5 电荷连续分布带电体的电势
+
dq +
+
+ +
r +
++
R +
+
R2 x2
+
+
o +
+
+
+
x
+ +
+
Px
+ +
+ ++
U dU 1
2R dl
1
2R
dl
4 0 0 r 4 0 r 0
1 2R 1
q
4 0 R2 x2 4 0 R2 x2
例3 求均匀带电球面内外的电势分布，设球面
电量为 解当r
Q，半径为
时R ，
E E1 E2
W F dl q0 E dl
q0 (E1 E2 ) dl
q0 E1 dl q0 E2 dl
当试验电荷在任何静电场中移动时，电 场力所做的功只与试验电荷的电量以及起点 和终点的位置有关，而与路径无关．这表明 静电场力是保守力，静电场是保守力场．
E
R． 1；
4 0
Q r2
r r
当 r 时R， E 0
P
r
Q
R
orP
（1）球面内任一点 P的电势
（r ）R
UP
E dl
P
E
dr
r
R
E
dr
r
E
dr
R
E
dr
R
1
R 4
0
Q r2
dr
1
4 0
Q R
（2）球面外任一点 P的电势 （r ）R
UP
E dl
P
E
dr
1.电势定义法：U p
E dl
p
2.电势叠加原理：
求电势步骤
（１）dq dl ,dS , dV
（２）dU 1 dq
4 0 r
（３）U
dU
1
4 0
dq r
例2 求均匀带电细圆环轴线上任一点上的电势 分布．已知环的半径为 R，总电量为 ．q
解 dU 1 dq
4 0 r 1 dl
4 0 r
沿任意闭合回路的线积分等于零．
6.3.3 电势能 电势
1.电势能
P q0
E dl
P
电势能在量值上等于把电荷从该点经任意 路径移到无穷远处电场力所做的功．
2.电势
U P
P
q0
E dl
P
电场中某点的电势在量值上等于单位正电 荷放在该点时的电势能，或者说，等于单位正 电荷从该点沿任意路径移到无限远处电场力所 做的功 ．
E dl
q（0 U P
UQ）
例1 求单个点电荷 q产生的电场中各点的电势．
解 点电荷 q的场强为
E
1
4
0
q r2
r r
q r P
UP
E dl
P
UP
E dl
P
E
dr
r
q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
6.3.4 电势的叠加原理
E E1 E2 En
E
1
4 0
q r2
cos dl dr
q o
r
r
dr
dr
dl
c
E
a
W
b
dW
a
rb 1
ra 4 0
qq0 r2
dr
qq0
4 0
1 ra
1 rb
在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功，只与试验电荷所带电量以及起点和终 点位置有关，而与所经历的路径无关．
2.任何带电体系产生的电场
电势的单位是伏特，符号为 V ．
3.电势差
UPQ UP UQ
P E dl Q E dl
Q
P E dl
静电场中任意两点 P 和 Q 之间的电势差在 量值上等于把单位正电荷从 P点经任意路径移 到 Q 点时，电场力所做的功 ．
电场力所做的功可用电势差表示为
WPQ q0
Q P