《导学教程》2013数学专题复习课件：专题三第1讲

数学(理科)
【规律总结】
自
方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用
名
主 学
等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、
师 押
习 导
d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以
题 高
引
考
求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数
列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然
数学(理科)
考点三：等差、等比数列的性质及应用
【例3】(1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为
自 主
100，则a7·a14的最大值是
名 师
学 习
A．25
B．50
C．100
D．不存在
押 题
导
高
引
(2)(2012·株洲模拟)设等比数列{an}各项均为正数，且 考
a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝
自得
名
主
师
学 习
a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
押 题
导
高
引
由 S4＝3a4＋2，得 a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
考
由②－①得 a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q＞0，∴q＝32.
高 频 考 点
答案
3 2
课 时 训 练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
课 时 训
点
练
突 破
为等差数列，并求出 Sn 的表达式，然后求出数列{an}的通
提 能
项公式，并判断其是否为等差数列．
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
[规范解答] 因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以由 an－2SnSn－1＝0，
自 主
可得 Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，
练 提
破
能
那么这个数列一定不是等比数列．
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
【变式训练】
3．(2012·西安模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝
自 主
2an＋2.
名 师
学 习
(1)求证：数列{an＋2}是等比数列(要求指出首项与公
押 题
导 引
比)；
高 考
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
自
名
主 学
(1)等差数列与等比数列有很多性质很类似，但又有区
师 押
习 导
别，学习时需对比记忆，灵活应用．
题 高
引
考
(2)等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题
考
即 S2n－3Sn＝a111－－qqn(qn－2)＜0.
∵a111－－qqn＞0，∴qn－2＜0 恒成立，
高 频
∴0＜q＜1，故 q∈(0,1]．
课 时
考
训
点 突
答案 A
练 提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
考点二：等差、等比数列的判定与证明
【例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：an
自 主
真题感悟
名 师
学
押
习 导
1．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n
题 高
引 项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
考
解析 利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解．
解法一 S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，
自
∴a5a6＝9，
名
主 学
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
师 押
习 导
＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
题 高
引
答案 (1)A (2)B
考
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
【规律总结】
等差、等比数列性质的应用技巧
师 押
习 导
数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较
题 高
引
考
为复杂，增大运算量．
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
【变式训练】
自
1．(2012·安徽师大附中模拟)等差数列{an}的前n项和 名
主 学
为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是
习
导 引
∴a7＋a14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1＋a20＝10.
∵a7＞0，a14＞0，
∴a7·a14≤a7＋2 a142＝25，
高 频
当且仅当 a7＝a14＝5 时，等号成立．
考
点
突
破
菜单
数学(理科)
名 师 押 题 高 考
课 时 训 练 提 能
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
(2)∵a5a6＝a4·a7，a5a6＋a4a7＝18，
名 师 押 题
导
高
引
∴qa31＝＝－1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
考
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
高
课
频 考
答案 D
时 训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
考题分析
自
名
主
师
学
押
习
题
导
高
引
等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查 考
的热点，突出了通性通法．三种题型都有可能出现，有较容
训 练 提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
[审题导引] (1)利用所给的条件式求出a1与q，可求an；
自
(2)把数列{bn}分解为一个等差数列与一个等比数列，分 名
主 学
组求和．
习 导
[规范解答]
引
(1)∵a1＋a2＝2a11＋a12＝2×a1a＋1aa2 2，
师 押 题 高 考
2．(2012·青岛模拟)设等比数列{an}的各项均为正数，公
比为 q，前 n 项和为 Sn.若对∀n∈N＋，有 S2n＜3Sn，则 q 的
自 取值范围是
名
主 学
A．(0,1] B．(0,2) C．[1,2) D．(0， 2)
师 押
习 导
解析 当 q＝1 时，显然有 S2n＜3Sn，
题 高
引
当 q≠1 时，∵S2n＜3Sn，
自
名
主 学 习 导
－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋，Sn≠0)，a1＝12，判断S1n与{an}
师 押 题 高
引
考
是否为等差数列，并说明你的理由．
[审题导引] 因为已知关系式中包含 an，Sn，Sn－1，
所以应根据 an 与 Sn 的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知
高 频 考
条件转化为关于 Sn 与 Sn－1 之间的关系，从而判断S1n是否
2．(2012·课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，
自 a5a6＝－8，则a1＋a10＝
名
主 学
A．7
B．5
C．－5
D．－7
师 押
习
题
导
解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解．
高
引
考
由题意得aa45＋ a6＝a7＝ a1qa41×q3＋ a1qa51＝q6＝ a21q29，＝－8，
a3＋a4＝32a13＋a14＝32×a3a＋3aa4 4，
数列{an}各项均为正数，∴a1a2＝2，a3a4＝32，
高 频 考 点
∴q4＝aa31aa42＝16，∴q＝2，
课 时 训 练
突 破
又 a1a2＝a1·a1q＝2，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
提 能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
高 频 考 点
∴qa31＝＝－1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
课 时 训 练
突
提
破
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
解法二 利用等比数列的性质求解．
自 主 学 习
由aa45＋ a6＝a7＝ a4a27，＝－8， 解得aa47＝＝－4 2， 或aa47＝＝4－，2.
自
(2)由(1)知 an＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
主
学 习
所以 an＝2n＋1－2，
导 引
所以 Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n
＝2211－－22n－2n＝2n＋2－2n－4.
高 频 考 点 突 破
菜单
数学(理科)
名 师 押 题 高 考
课 时 训 练 提 能
第一部 专题三 数列、推理与证明
后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方
程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
[易错提示] 等差(比)数列的基本运算中，容易出现的
自 问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与 名
主 学
公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)
数学(理科)
(2)∵bn＝a2n＋log2an，∴bn＝4n－1＋(n－1)，
自 主
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
名 师
学
押
习 导
＝(40＋41＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)
题 高
引
考
＝4n－3 1＋nn－ 2 1.
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
所以 an＋1＝2n－n＋1 1，
自 主 学
而 an＋1－an＝2n－n＋1 1－2n－n－1 1
名 师 押
习
题
导 引
＝－2n1n＋1 1－n－1 1＝nn－11n＋1.
高 考
所以当 n≥2 时，an＋1－an 的值不是一个与 n 无关的 常数，
师 押
习 导
A．24
B．36
C．48
D．72
题 高
引
解析 ∵S3＝3a2＝6，∴a2＝2，
考
又a5＝8，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2.
∴S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a9
＝3[a5＋(9－5)d]＝48.
高 频
答案 C
课 时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压轴题．
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
网络构建
自 主 学 习 导 引
高 频 考 点 突 破
菜单
数学(理科)
名 师 押 题 高 考
课 时 训 练 提 能
第一部 专题三 数列、推理与证明
高频考点突破
数学(理科)
自 主
考点一：等差、等比数列的基本运算
高
将 a3＝a2q，a4＝a2q2 代入得，
课
频
时
考 点
3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得 2q2－q－3＝0，
训 练
突
提
破
解得 q＝32(q＝－1 不合题意，舍去)．
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
解法二 设等比数列{an}的首项为 a1，由 S2＝3a2＋2，
名 师
学 习 导
所以Sn1－1－S1n＝2(n≥2)，又因为 S1＝a1＝12，
押 题 高
引
所以S1n是以 2 为首项，2 为公差的等差数列．
考
所以S1n＝2＋(n－1)×2＝2n，故 Sn＝21n.
高
所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21n－2n1－1
课
频 考 点 突
＝2n－n－1 1，
时 训 练 提
高
故数列{an}不是一个等差数列．
课
频
时
考 点 突
综上，S1n是等差数列，{an}不是等差数列．
训 练 提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
【规律总结】
自
判断数列是否为等差(比)数列的方法
名
主 学
在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据
师 押
习
题
导 引
已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立 an＋1 与
名 师
学 习
【例 1】(2012·盘锦模拟)已知数列{an}是各项均为
导
押 题 高
引 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 a1 ＋ a2 ＝ 2 a11＋a12 ， a3 ＋ a4 ＝
考
32a13＋a14.
高 频
(1)求数列{an}的通项公式；
课 时
考 点 突
(2)设 bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
高 频
[审题导引]
(1)求出a1＋a20，利用a1＋a20＝a7＋a14与
课 时
考 基本不等式求解；
点
训 练
突 破
(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题．
提 能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
[规范解答] (1)∵{an}为等差数列，
自 主 学
∴S20＝12×20×(a1＋a20)＝100，
高 考
an 的关系式或递推关系式，表示出 an＋1－an或aan＋n 1，然
后验证其是否为一个与 n 无关的常数．另外，常数列{an}
高 的通项公式 an＝a，它是一个首项 a1＝a，公差 d＝0 的
课
频 考
等差数列，若 a≠0，则该数列也是一个首项 a1＝a，公
时 训
点 突
比 q＝1 的等比数列．如果一个数列中包含有 0 的项，
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
自
名
主
师
学
押
习
题
导
高
引 专题三 数列、推理与证明
考
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
数学(理科)
自
名
主
师
学
押
习
题
导
高
引
考
第1讲 等差数列、等比数列
高
课
频
时
考
训
点
练
突
提
破
能
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明
自主学习导引
数学(理科)
解析 (1)证明 由 an＋1＝2an＋2，得 an＋1＋2＝2an＋4，
高
即 an＋1＋2＝2(an＋2)，即aan＋n＋1＋22＝2(n∈N＋)，
频
课 时
考 点
又由 a1＝2 得 a1＋2＝4，
训 练
突 破
所以数列{an＋2}是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数
提 能
列．
菜单
第一部 专题三 数列、推理与证明