数字信号处理DSP第三章3.2 DFT定义
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⎛ 2π j⎜ ⎝ N ⎞ ⎟k ⎠
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区 间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
−2 WN −1 WN 0 WN k ＝0 − ( N −2 ) WN
X (ejω)
X (k )
o
Re[z] o π
W
− ( N −3) N
ω
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解
nk 0 X (k ) = ∑ δ (n)WN = WN =1 n=0 N −1
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周 期序列的离散傅里叶级数表示，给出有限长序列的离散 频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。
一、预备知识 1、余数运算表达式 如果n=n1+mN， m为整数；则有
((n))N=n1, 0≤n1≤N-1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数，或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，(n mod N) 。
周期延拓
长度为M的有限长序列x(n)的N点DFT，是有限长序
~
x(n)
N
~ x (n)
DFS
DFS[ ~ x (n) ]
~ X (k )
% (k ) R (k ) 取主值 X N
DFT[x(n)]N
注：以上定义中N长度没有限制！
有限长序列x(n)的N点DFT—即DFT正变换公式
X (k ) = DFT[ x(n)]N = ∑ xN (n)W ， 0 ≤ k ≤ N − 1
( n ) = x
只有N≥M时，
r =−∞
∑ x(n + rN )
∞
(n) ？ x = x((n)) N
~ 4、频域周期序列 X ( k ) 与有限长序列X(k)的关系
~ X (k ) = X (( k )) N ~ X (k ) = X (k ) RN ( k )
~ 周期序列 X ( k ) 是有限长序X(k)的周期延拓 ~ 有限长序列X(k)是周期序列 X ( k ) 的主值序列。
5、从DFS到DFT
DFS 变换对
2π N −1 − j kn ⎧ N X ( k ) DFS[ x ( n )]= x ( n ) e = ∑ ⎪ ⎪ n =0 ⎨ 2π N −1 j kn 1 (k )]= ∑ X ( k )e N ⎪x (n) = IDFS[X N k =0 ⎪ ⎩
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散）
2π N −1 −j kn ⎧ N X ( k ) = DFS[ x ( n)]= ∑ x ( n)e ⎪ n =0 DFS变换对 ⎪ ⎨ 2π N −1 j kn 1 N ( k )]= ∑ X ( k )e ⎪x ( n) = IDFS[X N k =0 ⎪ ⎩
x = [ x(0) x(1) L x( N − 2) x( N − 1)]T
1 1 ⎡1 2 ⎢1 W 1 WN N ⎢ 2 4 DN = ⎢1 WN WN ⎢M M M ⎢ N −1 2( N −1) 1 W W ⎢ N N ⎣ 1 L ⎤ N −1 ⎥ WN L ⎥ 2( N −1) L WN ⎥ ⎥ O M ( N −1)( N −1) ⎥ L WN ⎥ ⎦
例：N=9
((25 ))9
n = 25 , N = 9 n = 25 = 2 × 9 + 7 = 2 N + n 1 = 7
n = −4, N = 9 n = −4 = −1× 9 + 5 = − N + 5
(( − 4 ))
9
= 5
2、有限长序列和周期序列之间的关系
周期序列 有限长序列
(n) 可看作长度等于N的 任何周期为N的周期序列 x 有限长序列 x(n)的周期延拓。
－N
0 主值区间
N －1
n
主值序列=原序列 以等于序列长度为周期进行周期延拓
~ x (n)
( n ) = x ( n mod N ) = x (( n )) N x
由主值序列可取出原序列 以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零 思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓呢？
x(n)=R5(n)
由Matlab计算序列的DFT 函数形式： Xk= fft (xn,N) Xn: 序列的幅度向量 N： DFT变换区间长度。当N大于xn的长度时，fft函 数自动在xn后面补零 IDFT：xn=ifft (Xk, N)
DFT的矩阵乘法实现
X = DN x
X = [ X (0) X (1) L X ( N − 2) X ( N − 1)]T
kn X ( k ) = ∑ x ( n )W16 = ∑e n=0 n =0 15 3 −j 2π kn 8
=e
−j
3 kπ 16
sin( k ) 4 , k = 0,1, ⋅⋅⋅,15 π sin( k ) 16
π
对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间［0, 2π］上对 X ( e jω )的采样间隔和采样点数就不 同， DFT的变换结果也不同。
周期延拓
周期序列
取主值
主值序列
？=
假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： 只有延拓周期N≥M时， x ( n ) 主值序列
( n ) R N ( n ) =x
取出原序列 ！
否则其主值序列不等于原有限长序列x(n)
x (n )
0
N －1
n
~ x ( n)
( n ) = x ( n mod N ) = x (( n )) N x
N<M时，IDFT[X(k)]N≠x(n)，IDFT[X(k)]N= x ( n ) RN(n)
~
与DTFT及z变换的关系？ 显然
X (k ) = X (e ) ω = 2π k = X ( z ) z =e j2Nπ k
N
jω
0≤k≤N-1
x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在[0，2π]上的N点等间 隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。或是其z变换在单位 圆上的N点等间隔采样，采样点为 z = W − k = e k N
从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1, k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。
二、 离散傅里叶变换(DFT)定义 N点DFT的定义
列x(n)以N为周期进行周期延拓得到的周期序列 ~ x (n) 的 离散傅里叶级数 X (k ) 的主值序列。
例 3 有限长序列x(n)为
⎧ ⎪1 x(n) = ⎨ ⎪ ⎩0
0≤n≤4 其余n
2π nk 5
求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。
X ( k ) = ∑ x ( n )e
n =0
5−1
−j
k=0, 1, 2, 3, 4
=
1− e 1− e
− j 2 πk 2π k 5
−j
⎧ ⎪5 =⎨ ⎪ ⎩0
k=0 k=0, 1, 2, 3, 4
x (n )
(a )
0 ~ x ( n)
4
n
… (b ) 0
… n
~ X (k )
5 (c ) |X (ejω)|
－1
0 1 O X (k ) 5
2
3
4
5 2π
6
7
8
9
10 4π
11
k ω
(d )
0
1
2
3
4
k
x (n ) 1
(a )
0 ~ x ( n) 1
4
DFT变换矩阵
IDFT的矩阵乘法实现
x=D X
−1 N
D
−1 N
1 * = DN N
D
−1 N
1 1 ⎡1 −2 ⎢1 W −1 W N N 1⎢ −2 −4 = ⎢1 WN WN N⎢ M M M ⎢ − ( N −1) −2( N −1) WN ⎢ ⎣1 WN
L 1 ⎤ − ( N −1) ⎥ L WN ⎥ −2( N −1) L WN ⎥ ⎥ O M − ( N −1)( N −1) ⎥ L WN ⎥ ⎦
n
(b )
－10 5
0 |X (k )| 3.24 1.24
4
10
n
3.24 1 1.24 10 k
(c ) －10 0
x(n)=R5(n)
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
| X(k) |
5
1
1 1 3 k
0 1 2
例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。 解： 当N=8， 则
X ( k ) = ∑ x ( n )W8kn = ∑ e
n =0 N =0
7
3
−j
2π kn 8
=e
3 − j kπ 8
sin( k ) 2 , k = 0,1, ⋅⋅⋅,7 π sin( k ) 8
π
当N=16， 则
DFT反变换矩阵
n =0 nk N
N −1
其中，xN (n)= ∑ x(n + rN )RN (n)
r =−∞
∞
N点IDFT反变换公式
1 x N ( n ) = IDFT[ X ( k )] N = N
式中
∑
N −1 k =0
X ( k )W N− nk， 0 ≤ n ≤ N −1
WN = e
2π −j N
N≥M时，由 xN(n)可取出x(n)，否则变换不可逆。
定义说明： 1、 xN(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地 确定另一个 序列。这是因为xN(n)与X(k)都是点数为N的 序列，都有N个独立值(可以是复数)，所以信息等量。 2、在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 即离散傅 里叶变换隐含着周期性。 3、注意DFT的点数N对恢复原序列x(n)(长度M)的影响。 N≥M时， IDFT[X(k)]N= xN(n) =x(n)。 x N( n )
(n) = x
而x(n) 是 x (n) 的一个周期
r =−∞
∑ x(n + rN )
∞
x(n) = x ( n ) RN ( n )
主值区间: 周期序列 主值序列: 主值区间上的序列。
(n)中从n=0 到n=N-1的第一个周期。 x
有限长序列
周期序列
有限长序列和周期(延拓)序列的关系
有限长序列
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
周期为4的周期序列
由主值序列取不出原序列
3、x((n))N的含义
(1) 若x((n))N= x(n mod N)= x(n1)，表示先取模值后进行 函数运算; (2) 用x((n))N表示将有限长序列x(n)以N为周期进行周期 延拓得到的周期延拓序列，即
易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区 间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。
jIm(z)
−2 WN −1 WN 0 WN k ＝0 − ( N −2 ) WN
X (ejω)
X (k )
o
Re[z] o π
W
− ( N −3) N
ω
DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
例1 已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 解
nk 0 X (k ) = ∑ δ (n)WN = WN =1 n=0 N −1
k=0, 1, …, N-1
对序列δ(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。
本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周 期序列的离散傅里叶级数表示，给出有限长序列的离散 频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。
一、预备知识 1、余数运算表达式 如果n=n1+mN， m为整数；则有
((n))N=n1, 0≤n1≤N-1
运算符(( ))N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是((n))N的解, 或称作取余数，或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，(n mod N) 。
周期延拓
长度为M的有限长序列x(n)的N点DFT，是有限长序
~
x(n)
N
~ x (n)
DFS
DFS[ ~ x (n) ]
~ X (k )
% (k ) R (k ) 取主值 X N
DFT[x(n)]N
注：以上定义中N长度没有限制！
有限长序列x(n)的N点DFT—即DFT正变换公式
X (k ) = DFT[ x(n)]N = ∑ xN (n)W ， 0 ≤ k ≤ N − 1
( n ) = x
只有N≥M时，
r =−∞
∑ x(n + rN )
∞
(n) ？ x = x((n)) N
~ 4、频域周期序列 X ( k ) 与有限长序列X(k)的关系
~ X (k ) = X (( k )) N ~ X (k ) = X (k ) RN ( k )
~ 周期序列 X ( k ) 是有限长序X(k)的周期延拓 ~ 有限长序列X(k)是周期序列 X ( k ) 的主值序列。
5、从DFS到DFT
DFS 变换对
2π N −1 − j kn ⎧ N X ( k ) DFS[ x ( n )]= x ( n ) e = ∑ ⎪ ⎪ n =0 ⎨ 2π N −1 j kn 1 (k )]= ∑ X ( k )e N ⎪x (n) = IDFS[X N k =0 ⎪ ⎩
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散）
2π N −1 −j kn ⎧ N X ( k ) = DFS[ x ( n)]= ∑ x ( n)e ⎪ n =0 DFS变换对 ⎪ ⎨ 2π N −1 j kn 1 N ( k )]= ∑ X ( k )e ⎪x ( n) = IDFS[X N k =0 ⎪ ⎩
x = [ x(0) x(1) L x( N − 2) x( N − 1)]T
1 1 ⎡1 2 ⎢1 W 1 WN N ⎢ 2 4 DN = ⎢1 WN WN ⎢M M M ⎢ N −1 2( N −1) 1 W W ⎢ N N ⎣ 1 L ⎤ N −1 ⎥ WN L ⎥ 2( N −1) L WN ⎥ ⎥ O M ( N −1)( N −1) ⎥ L WN ⎥ ⎦
例：N=9
((25 ))9
n = 25 , N = 9 n = 25 = 2 × 9 + 7 = 2 N + n 1 = 7
n = −4, N = 9 n = −4 = −1× 9 + 5 = − N + 5
(( − 4 ))
9
= 5
2、有限长序列和周期序列之间的关系
周期序列 有限长序列
(n) 可看作长度等于N的 任何周期为N的周期序列 x 有限长序列 x(n)的周期延拓。
－N
0 主值区间
N －1
n
主值序列=原序列 以等于序列长度为周期进行周期延拓
~ x (n)
( n ) = x ( n mod N ) = x (( n )) N x
由主值序列可取出原序列 以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零 思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓呢？
x(n)=R5(n)
由Matlab计算序列的DFT 函数形式： Xk= fft (xn,N) Xn: 序列的幅度向量 N： DFT变换区间长度。当N大于xn的长度时，fft函 数自动在xn后面补零 IDFT：xn=ifft (Xk, N)
DFT的矩阵乘法实现
X = DN x
X = [ X (0) X (1) L X ( N − 2) X ( N − 1)]T
kn X ( k ) = ∑ x ( n )W16 = ∑e n=0 n =0 15 3 −j 2π kn 8
=e
−j
3 kπ 16
sin( k ) 4 , k = 0,1, ⋅⋅⋅,15 π sin( k ) 16
π
对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间［0, 2π］上对 X ( e jω )的采样间隔和采样点数就不 同， DFT的变换结果也不同。
周期延拓
周期序列
取主值
主值序列
？=
假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： 只有延拓周期N≥M时， x ( n ) 主值序列
( n ) R N ( n ) =x
取出原序列 ！
否则其主值序列不等于原有限长序列x(n)
x (n )
0
N －1
n
~ x ( n)
( n ) = x ( n mod N ) = x (( n )) N x
N<M时，IDFT[X(k)]N≠x(n)，IDFT[X(k)]N= x ( n ) RN(n)
~
与DTFT及z变换的关系？ 显然
X (k ) = X (e ) ω = 2π k = X ( z ) z =e j2Nπ k
N
jω
0≤k≤N-1
x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在[0，2π]上的N点等间 隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。或是其z变换在单位 圆上的N点等间隔采样，采样点为 z = W − k = e k N
从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1, k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。
二、 离散傅里叶变换(DFT)定义 N点DFT的定义
列x(n)以N为周期进行周期延拓得到的周期序列 ~ x (n) 的 离散傅里叶级数 X (k ) 的主值序列。
例 3 有限长序列x(n)为
⎧ ⎪1 x(n) = ⎨ ⎪ ⎩0
0≤n≤4 其余n
2π nk 5
求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。
X ( k ) = ∑ x ( n )e
n =0
5−1
−j
k=0, 1, 2, 3, 4
=
1− e 1− e
− j 2 πk 2π k 5
−j
⎧ ⎪5 =⎨ ⎪ ⎩0
k=0 k=0, 1, 2, 3, 4
x (n )
(a )
0 ~ x ( n)
4
n
… (b ) 0
… n
~ X (k )
5 (c ) |X (ejω)|
－1
0 1 O X (k ) 5
2
3
4
5 2π
6
7
8
9
10 4π
11
k ω
(d )
0
1
2
3
4
k
x (n ) 1
(a )
0 ~ x ( n) 1
4
DFT变换矩阵
IDFT的矩阵乘法实现
x=D X
−1 N
D
−1 N
1 * = DN N
D
−1 N
1 1 ⎡1 −2 ⎢1 W −1 W N N 1⎢ −2 −4 = ⎢1 WN WN N⎢ M M M ⎢ − ( N −1) −2( N −1) WN ⎢ ⎣1 WN
L 1 ⎤ − ( N −1) ⎥ L WN ⎥ −2( N −1) L WN ⎥ ⎥ O M − ( N −1)( N −1) ⎥ L WN ⎥ ⎦
n
(b )
－10 5
0 |X (k )| 3.24 1.24
4
10
n
3.24 1 1.24 10 k
(c ) －10 0
x(n)=R5(n)
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
| X(k) |
5
1
1 1 3 k
0 1 2
例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。 解： 当N=8， 则
X ( k ) = ∑ x ( n )W8kn = ∑ e
n =0 N =0
7
3
−j
2π kn 8
=e
3 − j kπ 8
sin( k ) 2 , k = 0,1, ⋅⋅⋅,7 π sin( k ) 8
π
当N=16， 则
DFT反变换矩阵
n =0 nk N
N −1
其中，xN (n)= ∑ x(n + rN )RN (n)
r =−∞
∞
N点IDFT反变换公式
1 x N ( n ) = IDFT[ X ( k )] N = N
式中
∑
N −1 k =0
X ( k )W N− nk， 0 ≤ n ≤ N −1
WN = e
2π −j N
N≥M时，由 xN(n)可取出x(n)，否则变换不可逆。
定义说明： 1、 xN(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地 确定另一个 序列。这是因为xN(n)与X(k)都是点数为N的 序列，都有N个独立值(可以是复数)，所以信息等量。 2、在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 即离散傅 里叶变换隐含着周期性。 3、注意DFT的点数N对恢复原序列x(n)(长度M)的影响。 N≥M时， IDFT[X(k)]N= xN(n) =x(n)。 x N( n )
(n) = x
而x(n) 是 x (n) 的一个周期
r =−∞
∑ x(n + rN )
∞
x(n) = x ( n ) RN ( n )
主值区间: 周期序列 主值序列: 主值区间上的序列。
(n)中从n=0 到n=N-1的第一个周期。 x
有限长序列
周期序列
有限长序列和周期(延拓)序列的关系
有限长序列
% (n) = x
r =−∞
∑ R (n + 4r)
5
∞
周期为4的周期序列
由主值序列取不出原序列
3、x((n))N的含义
(1) 若x((n))N= x(n mod N)= x(n1)，表示先取模值后进行 函数运算; (2) 用x((n))N表示将有限长序列x(n)以N为周期进行周期 延拓得到的周期延拓序列，即