高二数学上学期期末复习题4(理科)答案

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高二数学理科上学期期末试题(有答案)

2021年高二数学理科上学期期末试题（有答案）查字典数学网为大家搜集整理了2021年高二数学理科上学期期末试题,供大家参考，希望对大家有所帮助!一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i+i2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设xR，则xe的一个必要不充分条件是A.xB.x1C.xD.x33.若f(x)=2cos -sin x，则f()等于A.-sinB.-cosC.-2sin -cosD.-3cos4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z1，z2不能比较大小;②虚数不能比较大小;③z1，z2是虚数.A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①5.若a=(1，，2)，b=(2，-1,1)，a与b的夹角为60，则的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.16.设F1，F2是椭圆+=1(a5)的两个焦点，且|F1F2|=8，弦AB 过点F1，则△ABF2的周长为A.10B.20C.2D.47.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-2)f(x)0，则必有A.f(-3)+f(3)2f(2)B.f(-3)+f(7)2f(2)C.f(-3)+f(3)2f(2)D.f(-3)+f(7)2f(2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数10的值是.9.用反证法证明命题：若x，y0，且x+y2，则，中至少有一个小于2时，假设的内容应为.10.已知等差数列{an}中，有=成立.类似地，在等比数列{bn}中，有成立.11.曲线y=sin x在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则c的值为 .13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，，记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An+Bn= .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[-4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[-4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=AB=BC=2，PA平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE(2)若H为PD上一点，且AHPD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a+b)1，且f(4)=1，则的取值范围是A.B.(5，+)C.(-，3)D.二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)，且f(0)=6，则k= .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a、mln(b+1)万元(m0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域;(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大?4.(本小题满分13分)已知椭圆C：+=1(a0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x+2)2+y2=r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程;(2)求的最小值，并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP 分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex，xR.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值;(2)设x0，讨论曲线y=与直线y=m(m0)公共点的个数;(3)设函数h满足x2h(x)+2xh(x)=，h(2)=，试比较h(e)与的大小.湖南师大附中2021届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ又∵函数f(x)在[-4,5]上连续.f(x)在(-3,3)上是单调递减函数，在(-4，-3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是-54.(11分)15.解：(1)a1=，a2=，a3=，.猜测an=2-(5分)(2)①由(1)已得当n=1时，命题成立;(7分)②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，(8分)当n=k+1时，a1+a2++ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1，且a1+a2++ak=2k+1-ak2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3，2ak+1=2+2-，ak+1=2-，即当n=k+1时，命题成立.(11分)根据①②得nN+时，an=2-都成立.(12分)16.(1)证明：由AC=AB=BC，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC.又BC∥AD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAAD=A，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.(5分)(2)解：因为AHPD，由(1)知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，此时tanEHA===，在Rt△AOE中，EO=AEsin 30=，AO=AEcos 30=，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AOsin 45=，又SE===，在Rt△ES O中，cosESO===，即所求二面角的余弦值为.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，-1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F，所以=(，0,0)，所以cos〈m，〉===.因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f(x)在(-，0)递减，在(0，+)递增，所以f(2a+b)1即2a+b4，原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得.二、填空题2.-1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.f(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x (x+k)(x+2k)故f(0)=-6k3，又f(0)=6，故k=-1.三、解答题3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10-x)万元，农民得到的总补贴f(x)=(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-+1，(19).(5分)(没有指明x范围的扣1分)(2)f(x)=-==，令y=0，得x=10m-1(8分)1 若10m-11即02 若110m-19即3 若10m-19即m1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x=9时，f(x)有最大值.因此，当0当当m1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a=2，e==，c=，b==1;故椭圆C的方程为+y2=1.(3分)(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，-y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，所以y=1-.(*)(4分)由已知T(-2,0)，则=(x1+2，y1)，=(x1+2，-y1)，=(x1+2，y1)(x1+2，-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos ，sin )，N(2cos ，-sin )，不妨设sin 0，由已知T(-2,0)，则=(2cos +2，sin )(2cos +2，-sin )=(2cos+2)2-sin2=5cos2+8cos +3=52-.(6分)故当cos =-时，取得最小值为-，此时M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=.故圆T的方程为：(x+2)2+y2=.(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y-y0=(x-x0)，令y=0，得xR=，同理：xS=，(10分)故xRxS=(**)(11分)又点M与点P在椭圆上，故x=4(1-y)，x=4(1-y)，(12分) 代入(**)式，得：xRxS===4.所以===4为定值.(13分)方法二：设M(2cos ，sin )，N(2cos ，-sin )，不妨设sin 0，P(2cos ，sin )，其中sin sin .则直线MP的方程为：y-sin =(x-2cos )，令y=0，得xR=，同理：xS=，(12分)故xRxS===4.所以===4为定值.(13分)5.解：(1)f的反函数g(x)=ln x.设直线y=kx+1与g(x)=ln x 相切于点P(x0，y0)，则x0=e2，k=e-2.所以k=e-2.(3分) (2)当x0，m0时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)的公共点个数即方程f(x)=mx2根的个数.由f(x)=mx2m=，令v(x)=v(x)=，则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)(v(2)，+v(x)在(2，+)上单调递增，这时v(x)(v(2)，+).v(2)=.v(2)是y=v(x)的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数，讨论如下：本文由一线教师精心整理/word可编辑当m时，有0个公共点;当m=时，有1个公共点;当m时有2个公共点;(8分)(3)令F(x)=x2h(x)，则F(x)=x2h(x)+2xh=所以h=，故h===令G(x)=ex-2F(x)，则G(x)=ex-2F(x)=ex-2=显然，当0当x2时，G(x)0，G(x)单调递增;所以，在(0，+)范围内，G(x)在x=2处取得最小值G(2)=0. 即x0时，ex-2F(x)0.故在(0，+)内，h(x)0，所以h(x)在(0，+)单调递增，又因为h(2)==，h(2)所以h(e).(14分)2021年高二数学理科上学期期末试题就为大家整理到这儿了，同学们要好好复习。

新人教版高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。

高二数学上期期末复习题(理科)---参考答案

高二数学上期期末复习题(理科)---参考答案1、【答案】D2、【答案】A3、【答案】D4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】D7、【答案】B8、【答案】D9、【答案】C10、【答案】B11、【答案】B12、【答案】C13、【答案】A14、【答案】B15、【答案】C16、【答案】C17、【答案】B18、【答案】D19、【答案】D20、【答案】B21、【答案】A22、【答案】A23、【答案】B24、【答案】C25、【答案】B26、【答案】A27、【答案】C28、【答案】B29、【答案】 C30、【答案】C31、【答案】C32、【答案】B33、【答案】C34、【答案】B35、【答案】D36、【答案】B37、【答案】D38、【答案】C40、【答案】B41、【答案】A42、【答案】C43、【答案】B44、【答案】C45、【答案】C46、【答案】C47、【答案】A48、【答案】C49、【答案】B50、【答案】C51、【答案】D52、【答案】D53、【答案】C54、【答案】B55、【答案】A56、【答案】A57、【答案】B58、【答案】A59、【答案】D60、【答案】B61、【答案】C62、【答案】A63、【答案】A64、【答案】D65、【答案】A66、【答案】B67、【答案】B68、【答案】C69、【答案】C70、【答案】C71、【答案】B72、【答案】C73、【答案】C74、【答案】C75、【答案】B76、【答案】B77、【答案】B78、【答案】B79、【答案】B80、【答案】D81、【答案】B83、【答案】C 84、【答案】C 85、【答案】B 86、【答案】A 87、【答案】B1、【答案】（1）（2）或．试题分析：（1）根据给出的圆的一般方程可化为标准方程，然后求出圆心、半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，可以求出的值；（2）本问考查直线与圆相交问题的弦长公式，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，再求出圆的半径，于是可以根据公式或列出方程，问题就可以得到解决. 试题解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线与圆相切，则有，解得.（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，得，解得或故所求直线方程为或.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线距离；3.直线与圆相交弦长公式. 2、【答案】（1）或；（2）或试题分析：（1）设切线方程为：,根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，根据点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.1y x =1y x =0x y +=20x y +-=y x b =+()10C ，1b 0x y k ++=k试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或3、【答案】(1)；（2）或；（3）. 试题分析：（1）将圆化为标准方程，求得圆心和半径，直线的斜率和切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；（2）由题意得，设，则圆心到直线的距离，由此能求出直线的方程.试题解析：圆的标准方程为所以圆心，半径为. （1）由圆心在直线上，可设，因为与轴相切，与圆外切，所以，于是圆的半径为，从而，解得，因此圆的标准方程为.（2）因为直线，所以直线的斜率为，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离因为，所以，解y x b =+()10C ，11d ==1b +=1b =1b =1y x =1y x =0x y k ++=2C 1C 2d ==0k =2k =-0x y +=20x y +-=()()22611x y -+-=250x y -+=2150x y --=2⎡-+⎣M AM 2OA OA k ==:2l y x b =+M l d =l M ()()226725x y -+-=()6,7M 56x =()06,N y N x M 007y <<N 0y 0075y y -=+01y =N ()()22611x y -+-=//l OA l 40220-=-l 2y x m =+20x y m -+=M l d ==BC OA ==2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()252555m +=+得或，故直线的方程为或.【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、动点的轨迹方程及直线与圆的位置关系，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.4、【答案】（1）（2）试题分析：（1）先根据垂直关系得所求直线斜率，再根据点斜式写直线方程（2）先求出直线与两坐标轴交点，表示出三角形面积，解不等式可得实数的取值范围. 试题解析：解：（1）与直线垂直的直线的斜率为，因为点在该直线上，所以所求直线方程为，故所求的直线方程为.（2）直线与两坐标轴的交点分别为，，则所围成的三角形的面积为.由题意可知，化简得，解得或，所以实数的取值范围是. 5、【答案】（1）；（2）；（3）试题分析：（1）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（2）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数的取值范围；（3）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．试题解析：解：（1）设圆心为，由于圆与直线相切，且半径为5，所以，且，故．圆的方程：（2）将代入圆的方程得，,即，且得． 5m =15m =-l 250x y -+=2150x y --=(),x y ,x y 270x y +-=()(),13,-∞-⋃+∞m l 2-()2,3()322y x -=--270x y +-=l ()22,0m -+()0,1m -12212m m ⨯-+⨯-122142m m ⨯-+⨯->()214m ->3m >1m <-m ()(),13,-∞-⋃+∞22(1)25x y -+=512a >34a =a (,0)()M m m Z ∈43290x y +-=|429|55m -=m Z ∈1m =22(1)25x y -+=50ax y -+=22(1)2(51)10a x a x ++-+=224(51)4(1)0a a ∆=--+>21250a a ->0a >512a >（3）假设存在，由于，则，所以直线方程：．由于垂直平分，故圆心必在上，所以，解得，由于，故存在实数．【考点】直线和圆的方程的应用．【思路点睛】（1）设圆心为．由于圆与直线相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程．（2）把直线代入圆的方程，得，由于直线交圆于两点，故，由此能求出实数的取值范围．（3）设符合条件的实数存在，则直线的斜率为，的方程为，由于垂直平分弦，故圆心必在上，由此推导出存在实数使得过点的直线垂直平分弦．6、【答案】（1）或（2）试题分析：（1）设过M 点的圆的切线方程为，与圆的方程联立消元再令判别式为0即可；（2）直线与圆相交于两点，且弦的长为可化为圆心到直线的距离为1,从而求解.试题解析:（1）由题意知圆心的坐标为，半径为，当过点的直线的斜率不存在时，方程为.由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切当过点的直线的斜率存在时，设方程为a 0a ≠k =1a-240x ay a ++-=l AB (1,0)M l 10240a ++-=34a =35(,)412∈+∞34a =()()0M m m Z ∈，43290x y +-=|429|55m -=50ax y -+=22(1)2(51)10a x a x ++-+=50ax y -+=A B ，224(51)4(1)0a a ∆=--+>a a l 1a-l 240x ay a ++-=l AB (1,0)M l 34a =()24P -，l AB 3x =3450x y --=34a =-13x my =-+（）40ax y -+=A B ，AB ()1,22r =M 3x =()1,23x =312d r =-==M ()13y k x ==-即，解得. ∴方程为，即. 故过点的圆的切线方程为或. （2）∵圆心到直线.∴ 解得. 7、【答案】(1)直线的方程为或;(2)或.试题分析：（Ⅰ）分类讨论：当直线过原点时，a=2；当直线l 不过原点时，a=0，从而求出直线l 的方程．（Ⅱ）由题意知l 在x 轴，y 轴上的截距分别为，，由三角形面积构建方程，求出a 的值．试题解析：（1）由题意知，，即当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时，直线的方程为；当直线不过原点时，即时，由截距相等，得，即，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或.（2）由题意知，，，且在轴，轴上的截距分别为，，130kx y k -+-=2=34k =()3134y x -=-3450x y --=M 3x =3450x y --=40ax y -+=222241a a ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭⎝⎭34a =-由题意知，，即当时，解得当时，解得，综上所述，或.8、【答案】（1）；（2）或．试题分析：（1）由两直线方程联立方程组,解方程组可得交点坐标,（2）先根据题意按点斜式写出直线方程,并确定斜率取值范围,再分别令得点坐标,根据直角三角形面积公式可得方程,解方程解得直线的斜率．试题解析：（1）联立两条直线方程：，解得，所以直线与直线的交点的坐标为．（2）设直线方程为：. 令得，因此；令得，因此．，解得或． 9、【答案】解：（I ）联立直线l ：y=﹣x+3与椭圆C ：mx 2+ny 2=1（n ＞m ＞0），可得（m+n ）x 2﹣6nx+9n ﹣1=0，由题意可得△=36n 2﹣4（m+n ）（9n ﹣1）=0，即为9mn=m+n ，又P 在椭圆上，可得4m+n=1，解方程可得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），()2,112k =-32k =0,0x y ==,B A AB k 10{30x y x y --=+-=2{1x y ==1l 2l P ()2,1()12y k x -=-0x =12y k =-()0,12B k -0y =12x k =-12,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭211002k k k k -≥⇒≥<或()1112242AOB S k k ∆⎛⎫∴=--= ⎪⎝⎭12k =-32k =+联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，x1+x2=，x1x2=，y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，由PA⊥PB，即为？=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1=﹣2？+﹣+5=0，解得b=3或，代入判别式，b=3不成立．则b=．10、【答案】解：（1）∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，且F1A=3，∴F2A⊥F1F2，∵，得x=，∴c=，∵|AF2|2=|AF1|2﹣|F1F2|2=9﹣8=1，∴F2A=1，∴2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，∵a2=b2+c2，∴b=，∴椭圆C的方程为=1．（2）∵A（），∴，假设存在直线l：y=满足条件，由，得，设直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2），则，，且△=2m2﹣4（m2﹣2）＞0，即﹣2＜m＜2，∴=x1x2+（）（）===，∵，∴，解得m=±1．∴存在直线l：y=满足条件．11、【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，由A（0，1），F1（﹣1，0），丨AF1丨=，则直线AF1的斜率k==1，则直线BF2的方程y=x﹣1，，解得：，，由A，B，P（位于x轴同侧）则B（，），丨BF2丨==，∴==3的值3；（Ⅱ）由直线AP经过点（﹣2，0），设直线AP：y=k（x+2），设A（x1，y1），P（x2，y2），由BP⊥y轴，则B（﹣x2，y2），，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则AF1的斜率=，BF2的斜率=，则﹣=+=，由y2（x1+1）+（x2+1）y1=k2（x2+2）（x1+1）+（x2+1）×k1（x1+2）=k[2x1x2+3（x1+x2）+4] =k[2×+3×（﹣）+4]=0，∴=，∴直线AF1与BF2平行．12、【答案】解：（1）由题意可得： =1， =，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．则S△AMN==2≠3，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1？y2=，∴|y1﹣y2|===．则S△AMN==3×=3，解得m=±1．∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．13、【答案】解：（1）∵|BF1|，|F1F2|， |BF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|BF1|+|BF2|=（|BF1|+|BF2|），由椭圆定义得2？2c=？2a，∴c=a；又椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（0，1），∴b=1；∴c2=a2﹣b2=a2﹣1=a2，解得a=2，c=；∴椭圆C的标准方程为+y2=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程，消去y得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0；依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，∴x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①由方程的根与系数关系可得，x1+x2=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k；﹣﹣﹣﹣③由①②③，解得x2=，y2=；由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即？＞0；由=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1），∴？=﹣2x2﹣y2+1＞0；即+﹣1＜0，整理得，20k2﹣4k﹣3＞0，解得：k＜﹣或k＞，∴实数k的取值范围是k＜﹣或k＞．14、【答案】解：（1）由，可知，可得b=1，则椭圆方程为…．（2分）离心率是…．（4分）(2)设C（x1，y1），D（x2，y2）易知…由（k＞0）消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0由△＞0？4k2+m2+1＞0，…（6分）且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．（8分），设CD的中点为H（x0，y0），则…．（10分）直线l的垂直平分线方程为过点（﹣1，0），解得此时直线l的方程为…．（12分）。

山东日照实验高中高二上学期期末数学复习(必修5+选修2-1)理科练习四

山东日照实验高中高二上学期期末数学复习理科练习四一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式一定成立的是（）A ．bc ac >B ．02>-b a c C ．0)(2≥-c b a D ．ba 11< 2.不等式0652≥+--x x 的解集为（）A ．}16|{-≤≥x x x 或 B.}61|{≤≤-x x C ．}16|{≤≤-x x D ．}16|{≥-≤x x x 或 3.A b a ,0,0>>是b a ,的等差中项，G 是b a ,的正的等比中项，则G A ,大小关系是（） A.G A ≥ B.G A ≤ C.G A = D.G A ,大小不能确定4.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 ( ))0000A B C D⎫⎛⎫⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.命题“已知b a ,为实数，若b a >，则b a >”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.46.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 7．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 两侧，则a 的取值范围是( )A ．20≤≤aB ．20<<aC ．20==a a 或D ．20><a a 或8.在等比数列｛a n ｝中,若,20,40654321=++=++a a a a a a 则前9项之和9S 等于（） A ．50B.70C.80D.909.已知ABC ∆满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10．下列命题正确的是（）A.<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C. 224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为2 11.若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12则此椭圆的离心率e ＝（） A.53 B.23 C.13 D.1212.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比2=q , 则33a S = . 14.函数y=x ＋14-x ( x >1)的最小值是 . 15.如图，CD 是一座铁塔，线段AB 和塔底D 在同一水平地面上，在B A ,两点测得塔顶C 的仰角分别为030和045，又测得030,12=∠=ADB m AB 则此铁塔的高度为 m . 16.已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P 是椭圆9y 16x 22+=1上任意一点，则点P 到直线 AB 距离的最大值是 ______________.三、解答题（本大题6小题，共70分。

高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)

高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{14}A x x =<<，{lg(1)}B x y x ==-，则AB =（）A ．{12}x x <<B ．{12}x x ≤<C ．{12}x x -<<D ．{12}x x -≤< 2. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且q ⌝”是真命题3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(2)4x y ++= D. 22(2)4x y -+=5．“3a =”是 “函数()3xf x ax =-有零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是（）A ．①④B ．②④C ．②③ D．①③7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。

莞生一日，长一尺。

蒲生日自半。

莞生日自倍。

问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入3A =，1a =．那么在①处应填（）A ．2?T S >B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S < 8.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4π B.3π[0,)[,π) 24π⋃ C. 3π[,π) 4 D. 3(,]24ππ 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时， ()1x f x e =-，则()()20162017f f +-= ( )(其中e为自然对数的底)A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +10．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则A E E B ⋅等于（） A. 14- B. 9- C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（）A ．1- B．17- C. 13 D ．75-12. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.14．已知α为锐角，向量(cos ,sin )a αα=、(1,1)b =-满足223a b ⋅=，则sin()4πα+= ．15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．16．若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分10分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=,AD ⊥平面CDEF .（1）证明:直线CE ⊥平面ADF ；（2）已知P 为棱BC 上的点，23CP CB =，求二面角P DF A --的大小.21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x x=+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a e≥时， ()x f x e ->.高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13. 56 14．315. 323π 16. 117.解：（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，得*12()1n na a n n n+-=∈+N ， …………3分所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. …………………4分（2）由（1），得22n an n=+，…………………5分所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++，………………7分所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+， 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ 11(1)212(1)n n n =-=++. ……………10分 18.解：(1)∵ sin sinsin sin a A b B c C Ca B +-=，222cos 2a b c C Cab +-∴==…………4分,即tan C =(0,)C π∈3C π∴=.………………6分(2) 由222211()(2)44CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅ 即2222111(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++…………………8分从而22442,3ab a b ab ab -=+≥≤（当且仅当a b ==10分即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=…………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，…………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………………3分=…………………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与的关系．……………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当70X>时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．…………8分当5070X≤≤时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．……………………………9分当50X<时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………………………12分20．证明：（1）//,2,CD EF CD EF CF===∴四边形CDEF为菱形，CE DF∴⊥，………1分又∵AD⊥平面CDEF∴CE AD⊥………2分又,AD DF D⋂=∴直线CE⊥平面ADF.………4分(2) 60DCF∠=，DEF∴∆为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则,GD EF GD CD⊥∴⊥，又AD⊥平面CDEF，∴,,DA DC DG两两垂直，以D为原点，,,DA DC DG所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，………5分2,1CD EF CF AB AD=====，((0,,E F∴-，(1,1,0),(0,2,0)B C………6分由（1）知(0,CE=-是平面ADF的法向量，………7分()()0,1,3,1,1,0DF CB==-，222(,,0)333CP CB==-，(0,2,0)DC=则24(,,0)33DP DC CP=+=，………8分设平面PDF的法向量为(),,n x y z=，∴n DFn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2433yx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令z=3,6y x==-，∴(6,3,n=-………10分∴1cos ,223n CE n CE n CE⋅===-………11分∴二面角P DF A --大小为60.………12分21. 解:（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ；………4分（2）当0k =时， 0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，故0∆>，则,0k R k ∈≠ 设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ，………7分由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ，所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，………8分直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ………10分令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，………11分因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈.22.解：（1）函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x ='-=-.………1分①当0a ≤时， ()0f x '>恒成立， ()f x 递增， ∴函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞ ………2分 ②当0a >时，则()0,x a ∈时，()0,f x '<()f x 递减，(),x a ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(),a +∞.………4分（2）要证明当2a e ≥时， ()x f x e ->，即证明当20,x a e >≥时， ln xa x e x-+>，………5分即ln xx x a xe -+>，令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x ='+，当10x e <<时， ()0h x '<；当1x e>时， ()0h x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时， ()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦.于是，当2a e ≥时， ()11h x a e e≥-+≥.①………8分令()xx xe φ-=，则()()1xx x x exe e x φ---'=-=-.当01x <<时， ()0x ϕ'>；当1x >时， ()0x φ'<. 所以函数()x φ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.当1x =时， ()max1x e φ⎡⎤=⎣⎦.于是，当0x >时， ()1x eφ≤.②………11分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2a e≥时， (f x )xe ->.………12分。

高二数学上期末复习题及答案4

高二数学期末复习练习4一、填空题：1、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取一容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 ▲ ．2、命题“∃x ∈R ，x 2－2x+l ≤0”的否定形式为 ▲ ．3、若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．4、已知)2,2(,-∈y x ，则点)(y x z ，到原点距离满足1≥oz 的概率是 ▲ ．5、设θ是三角形的一个内角，且7sin cos 13θθ+=，则曲线22sin cos 1x y θθ+=表示的曲线为 ▲ ．（注明类型） 6、抛物线y 2=4mx(m ＞0)的焦点到双曲线x 216－y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ▲ ．7、右图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．8、某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为 ▲ ． 9、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ▲ 。

10、在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是______▲________11、已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ▲ .12、已知椭圆2212516x y +=与双曲线22163x y -=在第一象限的交点为P ,则点P 到椭圆左焦点的距离为 ▲ ; (结果要化成最简形式)13、双曲线222008x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21217A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 ▲ ．14、如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O 顺时针旋转300(坐标轴的长度单位不变)构成一个斜坐标系xOy ，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标(x,y)用如下方式定义：过P 作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox 于点M ，Oy 于点N ，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N7 98 4 4 4 6 7 9 1 3 6 第7题图第8题图在Oy 轴上表示的数为y ．在斜坐标系中，若A ，B 两点的坐标分别为(1，2)，(－2，3)，则线段AB 的长为 ▲ ．二、解答题1、设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤60≤y ≤6 表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B ．(1)在区域A 中任取一点(x,y)，求点(x,y)∈B 的概率；(2)若x,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B 中的概率.2、一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球.（1）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？（2）如果摸到的两个球都是红球，那么就中大奖。

高二上学期期末数学试卷（理科）含答案

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解　由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

高二上学期期末理科数学试题及答案

高二期末考试数学参考答案第 3 页共 6 页
(完整)高二上学期期末理科数学试题及答案(word 版可编辑修改)
有
。（填序号,漏填或错填都不得分）
三、解答题。(本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。）
17．（本小题满分 14 分）在锐角△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边，且 a 2c
2
2
2
2
二、填空题。（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、已知向量
a
(5,
3,1)
，
b
(2,
t,
2
)
，若向量
a
与
b
的夹角为锐角，则
t
的取值范围是
5
14、等差数列an 前 9 项的和等于前 4 项的和。若 a1 1, ak a4 0 ,则 k
。
15、抛物线 x2 2 py( p 0) 的焦点为 F，其准线与双曲线 x2 y2 1相交于 A, B 两点，若 ABF 33
值范围．
高二年级理科数学参考答案
一．选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中
二。填 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 空题 :本 CBBADBBCCDDA
大题共 4 个小题,共 20 分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上。
13. (52 , ) 14。 10 15
(1）求证： BE / / 平面 PAD ； (2) 求证:平面 PBC 平面 PBD ;
（3）设 Q 为棱 PC 上一点， PQ PC ,试确定的值,使得二面角 Q BD P 为 45 ．

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+．其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ）求p 的值；（II ）线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形，所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形，所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分（II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分（II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =，所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分（III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

高二数学(理科)上学期期末模拟试卷(4)(含答案)

高二数学（理科）上学期期末模拟试卷（4）一、选择题1．“0(4,2)x ∃∈--，使得20030x x +=”的否定是A ．0(4,2)x ∃∈--，使得20030x x +≠ B ．0(4,2)x ∃∉--，使得20030x x +≠ C ．(4,2)x ∀∈--，230x x +≠ D ．(4,2)x ∀∉--，230x x +≠2．用秦九韶算法计算多项式6532()235678f x x x x x x =+++++在2x =时的值时，2v 的值为 A ．2 B ．19 C ．14 D ．333．已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在x 轴上，若焦距为4，则a =A ．92B ．7C ．212D ．124．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1135，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是 A ．17 B ．1935 C ．1735D ．1 5．《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填A ．20k >B ．21k >C ． 22k >D ．23k > 6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为π3的直线l '与抛物线交于不同的两点A ，B （其中点A 在第一象限）过点A 作AM l ⊥，垂足为M 且||23MF =，则抛物线的方程是 A ．23y x = B ．23y x = C ．2y x = D ．223y x = 7．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是A ．24B ．48C ．56D ．64 8．如图，在边长为2的正方形ABCD 的内部随机取一点E ，则ABE △的面积大于32的概率为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．169．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是x6 810 12y6m32A ．可以预测，当20x时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点(9,4)10．命题p ：“1sin 2α=是π6α=的充分不必要条件”，命题q ：“lg lg a b >是a b >的充分不必要条件”，下列为真命题的是A ．p q ⌝∧⌝B ． p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∨⌝ 11．如图，在三棱锥A BCD -中，三条棱DA 、DB 、DC 两两垂直，且DA DB DC ==，M 、N 分别是棱BC 、AD 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为A ．12B ．64C ．155D ．230 12．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若12F F P ∠=30︒，则椭圆的离心率为A ．3B ．13C ．12D ．2二、填空题13．若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的最大值为___________．14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲组数据的众数与乙组数据的中位数相等，则图中x =________．15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为___________.（保留四位有效数字） 16．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方），若||2AF =，则||BF =___________.三、解答题 17．的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．18．已知数列{}n a 满足2124a a ==，且12n n n a b a +-=，数列{}n b 是公差为1-的等差数列．（1）证明{}-n a n 是等比数列；（2）求使得122200n a a a ++⋯+>成立的最小正整数n 的值．19．在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：CD ⊥平面GAC ；（2）求二面角P AG C --的平面角的正弦值.20．某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的组号分组频数频率第1组 [160165), 5 0.050 第2组 [165170), n 0.350 第3组 [170175), 30 p 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180185],10 0.100 合计1001.000（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留1位小数）；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为，焦距为2，抛物线2:2(0)M y px p =>的准线经过椭圆C 的左焦点F .（1）求椭圆C 与抛物线M 的方程；（2）直线l 经过椭圆C 的上顶点且l 与抛物线M 交于P ，Q 两点，直线FP ，FQ 与抛物线M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值.22．已知抛物线C ：()220y px p =>上一点()m,2到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设抛物线C 的准线与x 轴交于点P ，直线l 过点P 且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在点P ，B 之间），点Q 满足3QA AF =，求ABF 与APQ 的面积之和取得最小值时直线l 的方程．高二理科数学4·参考答案13．1-14．4 15． 3.14916．2317．（本小题满分10分）【答案】（1）1517；（2）2．【解析】（1）()2sin 8sin 2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（5分）（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】依题意，12n n n a a b +=+，当1n =时，2112a a b =+，即144b =+，故10b =，则()()0111n b n n =+-⋅-=-+，故121n n a a n +=-+，故()()()1121122n n n n n n a n a n n a n a n a n a n+-+-+-+-===---，而111a -=，故{}-n a n 是以1为首项，2为公比的等比数列．（6分）（2）由（1）可知，12n n a n --=，故12n n a n -=+，记12n n a a a S +++=，故()()20121112(12)2222212122n n nn n n n n S n -+-+=++++++++=+=+--，因为1121132200S =<，1241732200S =>，而{}n S 是递增数列，故满足122200n a a a +++>的最小正整数n 的值为12．（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .∵AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形， ∴OB AC ⊥，OB CD ∥，∴CD AC ⊥，（2分） ∵PAD △为等边三角形，O 为AD 的中点，∴PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，∵CD ⊂平面ABCD ，∴PO CD ⊥.∵H ，G 分别为OB ，PB 的中点，∴GH PO ∥，∴GH CD ⊥，（4分）又∵GHAC H =，AC ，GH ⊂平面GAC ，∴CD ⊥平面GAC .（5分）（2）取BC 的中点为E ，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 设4AD =，则(0,0,P ，(0,2,0)A -，C ，(0,2,0)D，1,22G -，(0,2,AP =，33(,22AG =.（7分）设平面PAG 的法向量为(,,)x y z =n .由00AP AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩nn 20302y x y ⎧+=⇒++=y x z ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩. 令1z =，则(1,=n .由（1）可知，平面AGC 的一个法向量为(CD =-，（9分）设二面角P AG C --的平面角为θ，则二面角P AG C --的平面角的余弦值为cos |||2|CD CD θ⋅==-=n n故二面角P AG C --.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）由已知得5302010100n ++++=，则35n =，（1分）由0.0500.3500.2000.100 1.000p ++++=，得0.300p =，（2分）中位数为0.11700.10671.7+≈，即中位数的估计值为171.7.（3分）（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法抽取6名学生，故第3、4、5组每组各抽取的学生人数为3、2、1.（6分）（3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为1c ，2c ，3c ，第4组的2名学生为1d ，2d ，第5组的1名学生为1e ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A ，则所有的基本事件有：12(,)c c ，13(,)c c ，11(,)c d ，12(,)c d ，11(,)c e ，23(,)c c ，21(,)c d ，22(,)c d ，21(,)c e ，31(,)c d ，32(,)c d ，31(,)c e ，12(,)d d ，11(,)d e ，21(,)d e ，一共15种，事件A 包含：11(,)c d ，12(,)c d ，21(,)c d ，22(,)c d ，31(,)c d ，32(,)c d ，12(,)d d ，11(,)d e ，21(,)d e ，一共9种，（10分）则93()155P A ==，故第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为35.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，得2a =，22c =，所以a =1c =，所以1b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，（2分）所以(1,0)F -，由于抛物线M 的准线经过点F ，所以12p-=-，所以2p =，故抛物线M 的方程为24y x =. （4分）（2）由题意知，l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2104k y y -+=.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则10k ∆=->，即1k <且0k ≠，124y y k+=，124y y k =.（7分）又直线FP 的方程为11(1)1y y x x =++，由112(1)14y y x x y x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩得2114(1)40x y y y +-+=，所以14D y y =，所以14D y y =，从而D 的坐标为21144(,)y y .同理可得E 的坐标为22244(,)y y ，（10分）所以直线DE 的斜率121212221244144DEy y y y k y y y y -===+-，为定值.（12分） 22．（本小题满分12分）【答案】（1）24y x =（2）y x =+y x =-．【解析】（1）22y px =的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，依题意有422pm =⎧=，解得12m p =⎧⎨=⎩，所以，抛物线C 的标准方程为24y x =．(4分)（2）由（1）知，抛物线C 的标准方程为24y x =，其准线方程为1x =-，所以点()1,0P -易知直线l 的斜率存在，且不为零，其方程为y kx k =+，（6分）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为3QA AF =，即()()1111,31,0Q Q x x y y x y -=---，所以14Q y y =，联立方程24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440ky y k -+=，124y y ，根据题意，作图如下：2ABF APQ PQF PBF APF S S S S S +=+-△△△△△211112222222Q y y y =⨯+⨯-⨯⨯ 21121242Q y y y y y y =+-=+-122y y =+≥==（10分）当且仅当122142y y y y =⎧⎨=⎩，即12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ABF 与APQ的面积之和最小，最小值为1y 时，211142y x ==，12A ⎛ ⎝，直线l的方程为y x =+；1y =时，211142y x ==，1,2A ⎛ ⎝，直线l的方程为33y x =--，所以ABF 与APQ 的面积之和最小值时直线l 的方程为33y x =+或33y x =--．（12分）。

期末备考系列：高二上学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是( )A. (0,1e )B. .(e,+∞)C. (1e ,+∞)D. (1e ,e) 【答案】C 【解析】解：由函数f(x)=3+xlnx 得：f(x)=lnx +1，令f′(x)=lnx +1>0即lnx >−1=ln 1e ，根据e >1得到此对数函数为增函数，所以得到x >1e ，即为函数的单调递增区间．故选：C ．求出f(x)的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2. 函数f(x)=lnx−2x x 的图象在点(1,−2)处的切线方程为( )A. 2x −y −4=0B. 2x +y =0C. x −y −3=0D. x +y +1=0 【答案】C【解析】解：由函数f(x)=lnx−2x x 知f′(x)=1−lnxx 2，把x =1代入得到切线的斜率k =1，则切线方程为：y +2=x −1，即x −y −3=0．故选：C ．求出曲线的导函数，把x =1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可．本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】C 【解析】解：因为A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ═0×(−1)+3×1+3×0=3，并且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√2=12， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60∘ 故选：C ．由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，进而得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4. 已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，则m =( ) A. 2B. 3C. 4D. 9 【答案】B【解析】解：∵椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)， ∴25−m 2=16，∵m >0，∴m =3，故选：B ．利用椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，可得25−m 2=16，即可求出m ．本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5. ∫(10e x +2x)dx 等于( )A. 1B. e−1C. eD. e+1【答案】C【解析】解：∵(e x+x2)′=e x+2x，∴∫(1e x+2x)dx═(e x+x2)|01=(e+1)−(1+0)=e，故选：C．e x+2x)dx=(e x+2x)|01，即可得出．由(e x+x2)′=e x+2x，可得∫(1本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极大值，则c=()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数f(x)=x(x−c)2的导数为f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=(x−c)(3x−c)，由f(x)在x=3处有极大值，即有f′(3)=0，解得c=9或3，若c=9时，f′(x)=0，解得x=9或x=3，由f(x)在x=3处导数左正右负，取得极大值，若c=3，f′(x)=0，可得x=3或1由f(x)在x=3处导数左负右正，取得极小值．综上可得c=9．故选：A．由题意可得f′(3)=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数y=e x(2x−1)的示意图是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数y =e x (2x −1)，当x =0时，可得y =−1，排除A ；D当x =−12时，可得y =0，∴x <12时，y <0．当x 从12→+∞时，y =e x 越来越大，y =2x −1递增，可得函数y =e x (2x −1)的值变大，排除B ；故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8. 若AB 过椭圆 x 225+y 216=1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( ) A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】解：设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，则△F 1AB 面积S =12OF ×|2y|=c|y|．∴当|y|最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，则△F 1AB 面积的最大值为：cb =√25−16×4=12．故选：B ．先设A的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．9.设函数f(x)=13x3−x+m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A. −13B. −1 C. 13D. 1【答案】A【解析】解：∵f(x)=13x3−x+m，∴f′(x)=x2−1，令f′(x)=x2−1=0，解得x=±1，当x>1或x<−1时，f′(x)>0，当−1<x<1时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上是增函数，在(−1,1)上是减函数；故f(x)在x=−1处有极大值f(−1)=−13+1+m=1，解得m=13f(x)在x=1处有极小值f(1)=13−1+13=−13，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. [−12,12] B. [−2,2] C. [−1,1] D. [−4,4]【答案】C【解析】解：∵y2=4x，∴Q(−1,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y=k(x+1)．∵l 与抛物线有公共点，∴方程组{y 2=4x y=k(x+1)有解，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0有解．∴△=(2k 2−4)2−4k 4≥0，即k 2≤1．∴−1≤k ≤1，故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用.涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数f(x)=ax −ln x ，若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)【答案】D 【解析】解：∵f(x)=ax −ln x ，f(x)>1在(1,+∞)内恒成立，∴a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立．设g(x)=1+lnx x ，∴x ∈(1,+∞)时，g′(x)=−lnxx 2<0，即g(x)在(1,+∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)=1，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．故选：D ．化简不等式，得到a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立.设g(x)=1+lnx x ，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点.若60∘<∠AFB <90∘，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (√2,2)C. (1,2)D. (√2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax，x=a2c时，y=±abc，∴A(a2c ,abc)，B(a2c,−abc)，∵60∘<∠AFB<90∘，∴√33<k FB<1，∴√33<abcc−a2c<1，∴√33<ab<1，∴13<a2c−a<1，∴1<e2−1<3，∴√2<e<2．故选：B．确定双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60∘<∠AFB<90∘，可得√33<k FB<1，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x2−y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．【答案】√22【解析】解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，可得顶点为(±1,0)，渐近线方程为y=±x，即有顶点到渐近线的距离为d=√1+1=√22．故答案为：√22．求得双曲线的a=b=1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=______．【答案】6【解析】解：f′(x)=6x +2f′(2)令x =2得f′(2)=−12∴f′(x)=6x −24∴f′(5)=30−24=6故答案为：6将f′(2)看出常数利用导数的运算法则求出f′(x)，令x =2求出f′(2)代入f′(x)，令x =5求出f′(5)．本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−3,6).若DE//平面ABC ，则x 的值是______．【答案】−23【解析】解：∵DE//平面ABC ，∴存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x =m +3n −3=5m +n 6=−2m +2n，解得x =−23．故答案为：−23．由DE//平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点F ，A(−1,1)，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为______．【答案】2【解析】解：∵抛物线方程为y 2=−4x ，∴2p =4，可得焦点为F(−1,0)，准线为x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(−1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点(−1,1)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2．故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x3+x−16．(I)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程；(Ⅱ)直线L为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【答案】解：(I)函数f(x)=x3+x−16的导数为f′(x)=3x2+1，可得曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程为y−(−6)=13(x−2)，即为13x−y−32=0；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1=nm =m3+m−16m，即为2m3+16=0，解得m=−2，n=−8−2−16=−26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为(−2,−26)．【解析】(I)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m的方程，解方程可得m的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=√2AB，E是SA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面SAB；(2)求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．【答案】(1)证明：∵SD ⊥底面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD …(2分)∵AB ⊥AD ，平面SAD ∩平面ABCDAD ，∴AB ⊥平面SAD ，又DE ⊂平面SAD ，∴DE ⊥AB ，…(4分)∵SD =AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ，∵AB ∩SA =A ，DE ⊥AB ，DE ⊥SA ，∴DE ⊥平面SAB ，∵DE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAB.…(6分)(2)解：由题意知SD ，AD ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，不妨设AD =2．则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,√2,0)，C(0,√2,0)，S(0,0，2)，E(1,0，1)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√2,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,2)…(8分)设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BED 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1+√2y 1=0x 1+z 1=0，令x 1=−1，则y 1=√2,z 1=1，∴m ⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)是平面BED 的一个法向量．设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 2=0−√2y 2+2z 2=0，解得x 2=0，令y 2=√2，则z 2=1，∴n ⃗ =(0,√2,1)是平面SBC 的一个法向量.…(10分)∵cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3=√32， ∴平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为π6.…(12分)【解析】(1)证明平面BED ⊥平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明DE ⊥平面SAB 即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点且|AB|=8，M 为抛物线弧AB 上的动点．(1)求抛物线的方程；(2)求S △ABM 的最大值．【答案】解 (1)由条件知l AB ：y =x −p 2，与y 2=2px 联立，消去y ，得x 2−3px +14p 2=0，则x 1+x 2=3p.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p =4p ．又因为|AB|=8，即p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知|AB|=4p ，且l AB ：y =x −p 2，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +m ，代入抛物线方程，得x 2+2(m −p)x +m 2=0．由△=4(m −p)2−4m 2=0，得m =p 2．与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+p2两直线间的距离为d=√22p，故S△ABM的最大值为12×4p×√22p=√2p2=4√2．【解析】(1)根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与y2=2px联立，得x2−3px+14p2=0，由根与系数的关系可得x1+x2=3p，结合抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解可得p的值，即可得抛物线的方程；(2)设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m，代入抛物线方程，得x2+2(m−p)x+m2=0，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若y=f(x)−m−1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ，…(1分)，解得a=−1，当a=−1时，f(x)=−x+xlnx，…(2分)即，令0'/>，解得x>1；…(3分)令，解得0<x<1；…(4分)∴f(x)在x=1处取得极小值，f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)…(6分)(Ⅱ)y=f(x)−m−1在(0,+∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)=m+1在(0,+∞)内有两个不同的根，也可转化为y=f(x)与y=m+1图象上有两个不同的交点，…(7分)由(Ⅰ)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)=−1，…(8分)由题意得，m+1>−1即m>−2①…(10分)当0<x<1时，f(x)=x(−1+lnx)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，显然f(x)→+∞(或者举例：当x=e2，f(e2)=e2>0)；由图象可知，m+1<0，即m<−1②…(11分)由①②可得−2<m<−1…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为f(x)=m +1在(0,+∞)内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆x 23+y 2=1，已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点.问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由{x 2+3y 2−3=0y=kx+2得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0．∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0. ①设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k 1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4．要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0．∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0. ③将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立．综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数f(x)=x −ae x−1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x−1当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 上是增函数；当a >0时，令f′(x)=0得x =1−lna若x <1−lna ，则f′(x)>0，从而f(x)在区间(−∞,1−lna)上是增函数；若x >1−lna ，则f′(x)<0，从而f(x)在区间(1−lna,+∞上是减函数．(2)由(1)可知：当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，且f(1−lna)=1−lna−ae−lna=−lna，令−lna<0得a≥1，故若f(x)≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．(2)这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，求出a的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

2021年高二数学上学期期末联考试题理(IV)

2021年高二数学上学期期末联考试题理(IV)考试时长：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. i 是虚数单位，则复数的虚部是A ．B ．C ．1D ．2. 已知集合,,则A ．B ．C ．D ．3. 若，，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知命题p ：若x ∈N *，则x ∈Z .命题q ：∃x 0∈R ，.则下列命题为真命题的是A ．B ．p ∧qC ．D ． 5．若，则等于A ．B ．C ．D ． 6．用反证法证明命题“若，，则三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为 A ．三个实数中最多有一个不大于零 B ．三个实数中最多有两个小于零 C ．三个实数中至少有两个小于零 D ．三个实数中至少有一个不大于零7.已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59. 对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 016次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．13310. 已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则 A. B. C. D.211. 三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于 A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D ．2 312.已知函数（）．若存在，使得，则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，T 12T 8成等比数列． 14．曲线和曲线围成的图形面积是15. 已知，，则向量与的夹角是16．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.(本小题满分10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． (1)求证：∥；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，短轴长为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．O为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在椭圆C 上，且OP →＝OA →＋OB →，求直线l 的方程；22.(本小题满分12分)已知函数 .(1) 若曲线在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离．（2）若对任意恒成立，求实数的值；（3）当时，对于函数，记在图象上任意两点A 、B 连线的斜率为 ,若恒成立，求的取值范围．高安二中、樟树中学xx届高二上学期期末联考理科数学答卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ____ 14. __15. ____ 16. ___三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分10分)18. (本小题满分12分)19. (本小题满分12分)20. (本小题满分12分)21. (本小题满分12分)22. (本小题满分12分)高安二中、樟树中学xx 届高二上学期期末联考理科数学参考答案1-12. ADADB CCBBA AC 13-16. , ，，217.解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0. ……2分又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3. ……4分若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．………6分(2)因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，于是满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，……9分解得1<a ≤2，故所求a 的取值范围是(1,2]．……10分 18．(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，所以f ′(x )＝2x －2x＝2x －1x ＋1x，……4分则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，所以(0,1)为f (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，(1，＋∞)为f (x )的单调递增区间．……6分(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．……7分(ⅰ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，……9分设φ(x )＝2x－2x 2，因为φ(x )在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0. ……11分(ⅱ)若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．综上，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．……12分19．(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158. ……4分由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．……6分(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．…7分②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，…8分那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k－12k －1＝2k ＋1－12k －1.……10分∴a k ＋1＝2k ＋1－12k，由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n－12n －1都成立．……12分20. (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4),…2分设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．.……5分,因为所以∥；.……6分,(2)取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，……11分得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.……12分21. (1)由2b ＝2 2.得b ＝ 2 ……1分c a ＝33， …3分所以椭圆方程为…………5分（2）椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(ⅰ)当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．…6分C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6，又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6，故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0.① …7分将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得 (2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k2，…9分y 1·y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，因此，当k ＝－2时，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时， l 的方程为2x －y －2＝0. …11分(ⅱ)当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立．综上， l 的方程为2x ±y －2＝0. …12分 22．解：（Ⅰ）,依题意得:a =2; ……………2分曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分两直线间的距离为……………4分（Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x ) +1, ,则当a ≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, ………………5分又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分当a >0时, 当,当时,所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是减函数, ∴h (x )≤因为h (1)＝0,又当a ≠2时, ,与不符.所以a ＝2. ………8分（Ⅲ）当a <0时,由(2)知<0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2,令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数, ∵ (x >0),∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………10分又x >0时, (2x 2－x )min = ………11分∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是…………12分24[Pk{21722 54DA 哚37881 93F9 鏹28504 6F58 潘22169 5699 嚙20998 5206 分28420 6F04 漄{203834F9F 侟25825 64E1 擡。

四川省成都市玉林中学2021-2022学年高二上学期期末模拟考试数学理科试题4

成都市玉林中学2021-2022学年度期末模拟考试（4）数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（） A ．50名学生是总体B ．每个被调查的学生是个体C ．抽取的6名学生的视力是一个样本D ．抽取的6名学生的视力是样本容量2．直线l 0y -=倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是（）A B C ．D ．3．我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图．据统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（）A ．1964年至1982年间人口平均增长率最大B ．1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓C ．具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大D ．男性人数与女性人数的差值逐步减小4．6=化简的结果是（）A ．22197x y -=B ．221259x y -=C ．22197x y -=，3x ≥D ．22197x y -=，3x ≤-5．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，从随机数表第5行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（）附：第5行至第8行的随机数表如下：2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A ．33B ．16C ．38D ．206．执行如图所示的程序框图，若输入518m =，185n =，则输出结果是（） A ．41 B ．37 C ．23 D ．17 7．点(0,1)-到直线(2)(1)(2)0m x m y m ++-++=的距离的最大值为（）A ．1BCD ．28．A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 的车的概率是（） A ．13B ．12C ．59D ．239．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点,,A B C ，若||2BC BF =，且||3AF =，则抛物线的方程为（）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线的右焦点且斜率为a b ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点（M 点在x 轴的上方），且2OM ON=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD 11．已知直线l ：340x y m -+=和圆C ：224210x y x y +--+=，且圆C 上至少存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是（）A ．()17,13-B ．()17,7--C ．()()17,73,13--⋃D ．[][]17,73,13--⋃12．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为C 的左､右焦点，(,)(0,0)P m n m n >>为C 上一点，且12PF F △的内心(,1)I s ，若12PF F △的面积为2b ，则n 的值为（） A ．35B ．43C ．83D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______.14．已知样本数据为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的方差为______.15．在区间[]4,4-上任取一个实数a ，使得方程22123x ya a+=+-表示焦点在x 轴的椭圆的概率为______．16．已知点P 为抛物线C ：2y x =上的动点，过点P 作圆M ：22(2)1x y +-=的一条切线，切点为A ，则P A P M ⋅u u r ur 的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：（1）根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？（2）国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：65>分贝；中度污染：6065—分贝；轻度污染：5560—分贝；较好：5055—分贝；好：50≤分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天）18．已知平面内两点A （﹣1，2），B （1，4）.（1）求过点P （2，﹣3）且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程.19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11315100（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天发芽的种子数分别为a ，b ，求事件A ：25302530a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩的概率；（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请求出y 关于x 的线性回归方程．附：回归方程ˆˆˆybx a =+中， 1122211()()()i nniii ii i n n i i i x x yy x ynx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑$，ˆˆay bx =-，511351i i i x y ==∑20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，且圆心在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，求圆C 的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．21．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．22．已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D . （1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u v u u u v u u u v v ，（O 为原点），求MN 的范围.成都市玉林中学2021-2022学年度期末模拟考试（4）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．C2．D3．D4．C5．D6．B7．B8．A9．B10．B11．A12．由题意可得，12PF F △的内心(,1)I s 到x 轴的距离就是内切圆的半径.又点P 在椭圆C 上，121212122,(22)122PF FPF PF F F a c S a c a c b ∴++=+∴=+⨯=+=V .又(1),2a e c eab +=∴=，2222222(1),2a e a b c a e a +⎡⎤=+∴+=⎢⎥⎣⎦Q ，即222(1)44,5230e e e e ++=∴+-=，解得35e =或1-（舍），34,55c a b a ∴==.又1212133,255PF F S F F n cn a a an ==∴+=V ，解得83n =. 故选：C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．714．因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 这一组数的平均数为5，方差为2，所以1234555x x x x x ++++=，2222212345(5)(5)(5)(5)(5)25x x x x x -+-+-+-+-=.所以1234525x x x x x ++++=，2222212345(5)(5)(5)(5)(5)10x x x x x -+-+-+-+-=.加入一个数5后，平均数为12345530566x x x x x +++++==，方差为22222212345(5)(5)(5)(5)(5)(55)105663x x x x x -+-+-+-+-+-==.故答案为：53.15．51616．由已知得：22||||1PA PM PA PM ⋅==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，设点()2,P x x ，则()42222222333||12133244PM x x x x x ⎛⎫-=+--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭u u u u r ，当232x =时，2||1PA PM PM ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r 取得最小值34．故答案为：34三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．某小区毗邻一条公路，为了解交通噪声，连续25天监测噪声值（单位：分贝），得到频率分布直方图（图1）．发现噪声污染严重，经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后，再连续25天监测噪声值，得到频率分布直方图（图2）．把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：（1）根据上面两个频率分布直方图，估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝？（2）国家“城市区域环境噪声”规定：重度污染：65>分贝；中度污染：6065—分贝；轻度污染：5560—分贝；较好：5055—分贝；好：50≤分贝．把上述两个样本数据的频率视为概率，根据图1估算出该小区噪声治理前一年内（365天）噪声中度污染以上的天数为277天，根据图2估计一年内（365天）噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天？（精确到1天）（1）设治理前、后样本的平均值分别为x 、y ，则2(0.02560.04580.12600.2620.08640.0466)61.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2(0.04540.06560.12580.18600.08620.0264)59.04y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以61.659.04 2.56x y -=-=分贝，所以治理后比治理前的平均噪声值降低了2.56分贝．（2）由题意知样本中度污染以上的噪声值在[60,65]，治理后中度污染以上的频率为0.182(0.020.08)0.382⨯++=，所以0.38365138.7139⨯=≈天，故277139138-=．所以一年内噪声中度污染以上的天数比治理前减少了138天．18．已知平面内两点A （﹣1，2），B （1，4）.（1）求过点P （2，﹣3）且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程. （1）由直线的点斜式方程可得直线l ：y +3()4211-=⨯--（x ﹣2），即直线l 的方程为x ﹣y ﹣5＝0；（2）设B （1，4）关于直线l 的对称点B '（m ，n ），所以41n m -=--1，12（m +1）12-（n +4）﹣5＝0，解得94m n =⎧⎨=-⎩，所以B '（9，﹣4），k B 'A ()423915--==---，由点斜式方程可得y ﹣235=-（x +1），整理可得3x +5y ﹣7＝0，所以反射光线所在的直线方程为3x +5y ﹣7＝0．19．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11315100（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记这两天发芽的种子数分别为a ，b ，求事件A ：25302530a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩的概率；（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请求出y 关于x 的线性回归方程．附：回归方程ˆˆˆybx a =+中，1122211()()()i nniii ii i n n i i i x x yy x ynx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑$，ˆˆay bx =-，511351i i i x y ==∑ （1）a ，b 的取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），基本事件的总数为10，事件A 包括的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）共3个，所以事件A 的概率为3()10P A =．（2）由列表可知11,24x y ==，521615i i x ==∑，511351i i i x y ==∑，设回归方程为515221531, 3.1ˆ105ˆˆi i ii i x yx yybx a b x x==-⋅=+===-∑∑$， 1ˆˆ10.ay bx =-=-，故所求方程为y ＝3.1x －10.1.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，且圆心在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，求圆C 的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．（1）因为241y x y x =-⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()3,2，半径为1，所以圆的方程为：()()22321x y -+-=；（2）设圆心C 坐标为(),24a a -，所以圆C 的方程为()()22421x a y a -++-=，又因为2MA MO =，设(),M x y()2214x y ++=，记()2214x y ++=为圆D ，所以M 在圆C 上也在圆D 上，所以圆C 与圆D 有交点，又圆C 的半径1C r =，圆D 的半径2D r =，则C D C D r r r r -≤≤+，所以13≤，所以1205a ≤≤，所以a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．（1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y轴的距离大1， ||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =；当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =； ∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ，设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，∴124y y m +=，124y y n =-，由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅，∴()()12161222y y =-++，∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>），直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证．22．已知()1,0A ，动点C 在B e ：()2218x y ++=上运动.线段AC 的中垂线与BC 交于D . （1）求D 点的轨迹E 的方程；（2）设M 、N 、P 三点均在曲线E 上，且0OM ON OP ++=u u u u v u u u v u u u v v ，（O 为原点），求MN 的范围. （1）)BD DA BD DC BC AB +=+==QD ∴点轨迹是以A 、B 为焦点椭圆.22a =Q ，21c =，21b ∴=，2212x y ∴+=.（2）当MN 斜率存在时，设:MN y kx m =+2222x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩()222124220k xmkx m +++-=，令两根为1x ，2x .由0OM ON OP ++=u u u u r u u u r u u u r r . ()122412p mk x x x k =-+=+，()()121222212p my y y k x x m k -=-+=-+-=+. 代入2212x y +=，()()222228411212m k m k k +=++，即22412m k =+. 故()()2228126120k m k ∆=+-=+>.12MN x ∴=-===∈.当MN x⊥轴时，易求MNMN ∴范围是.。

高二(上)期末数学试卷4(理科)

高二（上）期末数学试卷4(理科)一、填空题：每小题5分，共70分．1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝a+2i（i为虚数单位），且z1﹣z2为纯虚数，则实数a 的值为．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为．3．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2+4i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝．4．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），4x＞3x，q：∃θ∈R，cosθ﹣sinθ＝，则在命题①p∨q；②p∧q；③（￢p）∨q；④p∧（￢q）中，真命题的个数为．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）到其渐近线的距离为1，则该双曲线的标准方程是．6．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD中，底面边长为2，高为，则此正四棱锥P﹣ABCD 的侧面积为．7．（5分）已知函数f（x）＝（x2+ax+1）e x（其中a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在x＝2处取得极值，则实数a的值为．8．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱CC1上的点，且C1D＝2DC，若四棱锥B﹣AA1DC的体积为4，则正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为．9．（5分）下列结论：①“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分不必要条件；②若p：∃x＞0，x2﹣x+2＜0，则￢p：∀x≤0，x2﹣2x+2≥0；③命题“设a，b∈R，若a+b≠2，则a≠1或b≠1”为真命题；④“a＜3”是“函数f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上单调递增”的充要条件．其中所有正确结论的序号为．10．（5分）设球O与圆锥SO1的体积分别为V1，V2．若圆锥SO1的母线长是其底面半径的2倍，且球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，则的值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣2y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）若函数f（x）＝的图象上有且只有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围是．13．（5分）如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，记四边形A1B1A2B2的面积为S1，四边形A1B1A2B2的内切圆面积为S2，若≥，则椭圆C的离心率的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax2有五个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分15．（14分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC，D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面ADB1；（2）求证：平面ADB1⊥平面BCC1B1．16．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别是A1，A2，右焦点为F，直线l：bx﹣ay+ab＝0与以线段A 1A2为直径的圆相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）设点P（，y 0）（y0＞0）在椭圆C上，且PF＝1，求y0的值．17．（14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km．从海岛A到C，先乘船至海岸公路BC上的登陆点D，船速为25km/h，再乘汽车至C，车速为50km/h，设∠BAD＝θ．（1）用θ表示从海岛A到C所用时间t（θ），并确定θ的取值范围；（2）求当θ为何值时，能使从海岛A到C所用时间最少．18．（16分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知AB⊥平面PAD，PA⊥AD，CD⊥PD，E 为棱PC上的一点，经过A，B，E三点的平面与棱PD相交于点F．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求证：CD∥EF；（3）若平面ABE⊥平面PCD，求证：AF⊥PD．19．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（﹣3，1）．过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当AB＝MN时，求直线l的方程；（3）设P（0，﹣2），求△PAB面积的最大值．20．（16分）记f″（x）＝（f′（x））′，其中f′（x）为函数f（x）的导数．若对于∀x∈D，f″（x）＞0，则称函数y＝f（x）为D上的凸函数．（1）求证：函数g（x）＝e x﹣x3+2x﹣1是定义域上的凸函数；（2）已知函数h（x）＝ax3﹣x2+xlnx，a∈R为（0，+∞）上的凸函数．①求实数a的取值范围；②求函数H（x）＝|﹣2lnx|，x≥1的最小值．附加题：满分为40分，考试时间为30分钟．21．在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ＝4sinθ，直线l的方程为p sin（θ+）＝2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C 的参数方程为（α为参数）．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝，M是棱PD上一点，且＝，0≤λ≤1．（1）当λ＝时，求直线AM与PC所成角的余弦值；（2）当CM⊥BD时，求二面角M﹣AC﹣B的大小．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为H，过点F的直线l与抛物线的交点为A，B，且AB⊥HB．（1）求证：∠AHF＝∠BHF；（2）求AF﹣BF的值．。

2019-2020年高二上学期期末模拟理科数学4 含答案

2019-2020年高二上学期期末模拟理科数学4 含答案一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数的取值范围是A．(0, +∞) B．(0, 2) C．(1, +∞) D．(0, 1)3. 与命题“若，则”等价的命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A．10 B．8 C．6 D．45.如果等差数列中，，那么的值为A．18 B．27 C．36 D．546．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段7. 已知命题p：∀x∈R，x>sin x，则p的否定形式为A．¬p：∃x0∈R，x0≤sin x0 B．¬p：∀x∈R，x≤sin xC．¬p：∃x0∈R，x0<sin x0 D．¬p：∀x∈R，x<sin x8．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是A．(, -) B．．(-, )C．(, -) D．(-, )9．为非零实数，且，则下列命题成立的是A. B. C. D.10．已知数列，则其前是A． B．C． D．11．△ABC中，若cos(2B＋C)＋2sin A sin B＝0，则△ABC一定是A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形12．椭圆的一个焦点为,为椭圆上一点，且,是线段的中点,则为A. 1.5B. 2C. 4D. 8二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13．在中，若，则角的值为14．“”是“”的___________条件．15．若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是16. 已知实数满足约束条件，则的最小值是三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．（本小题满分12分）用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数，方程恰有唯一解．(2)存在实数，使得.18．（本小题满分12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．19．（本小题满分12分）如图，已知的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是的上半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心O分别在PC两侧.（1）若，试将四边形OPDC的面积y表示成的函数；（2）求四边形OPDC面积的最大值.20．（本小题满分12分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台。

高二上学期期末考试数学(理)复习题(带答案)详解+解析点睛_10

高二上学期期末考试数学（理）复习题（带答案）详解+解析点睛姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）第 1 题命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案解析】C【分析】存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案.【详解】命题“，”的否定是，.故选：C【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题.第 2 题准线方程为的抛物线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案解析】C【分析】由准线方程为，可以得到参数以及确定抛物线的标准方程形式为，将代入即可求解.【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y轴负半轴上，且，得，故其标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，根据准线方程可以得到抛物线标准方程的形式，属于基础题.第 3 题已知向量，，若分别是平面，的法向量，且，则( ) A. B. 1 C. D. 2【答案解析】C【分析】根据题意可得，再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解.【详解】由题可知，，则，即.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.第 4 题已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案解析】D【分析】根据渐近线方程得出，再由离心率公式求解即可.【详解】由题可知，则.故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.第 5 题若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（）A. B. C. 2 D. 1【答案解析】A【分析】根据抛物线的定义求解即可.【详解】，解得.故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题.第 6 题已知下列命题:①到两定点，距离之和等于1点的轨迹为椭圆；②，；③已知，，则“为共线向量”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案解析】B【分析】利用椭圆的定义可判断①；取特殊值，可判断②；利用向量共线定理以及充分不必要条件的定义可判断③【详解】对于①，由于两定点，的距离为2，故到两定点，的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.对于②，取，满足，故②正确.当为共线向量时，则存在实数，使得，即，解得，则.当时，不一定为共线向量，故“为共线向量”是“”的充分不必要条件，故③错误.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、特称命题真假判断以及充分不必要条件、向量共线定理，属于基础题.第 7 题已知命题若直线与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线与抛物线C相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.【答案解析】B【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物不相切，可得命题是假命题，当时，，方程表示椭圆命题是真命题，则是真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.第 8 题如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段上一点，且，若，则( )A. B. C. D. 1【答案解析】B【分析】利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.【详解】，所以，，，所以.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题.第 9 题“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（）A. B.C. D.【答案解析】A【分析】根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.【详解】表示双曲线，则，所以故选：A【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.第 10 题已知抛物线的焦点为F直线与抛物线C交于A、B两点，若AB中点的纵坐标为5，则（）A. 8B. 11C. 13D. 16【答案解析】C【分析】设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；【详解】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．第 11 题在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )A. 12πB. 16πC. 32πD. 48π【答案解析】D【分析】由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积.【详解】由题意计算可得，，，.，，，所以平面ABC，故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面ABC的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线的长，半径为.所以该四面体外接球的表面积.故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题.第 12 题已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B.C. D.【答案解析】C【分析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.第 13 题已知向量，，若，则________.【答案解析】【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理，需熟记定理的内容，属于基础题.第 14 题命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.【答案解析】【分析】根据题意可得当时，恒成立，分离参数只需，由函数在上单调递增即可求解.【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立，只需.又函数在上单调递增，所以.故答案：【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.第 15 题在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为______．【答案解析】【分析】建立空间直角坐标系，算出和的坐标，然后即可算出【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，令则，，，故，所以故异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：【点睛】求空间中的线线角、线面角、面面角常采用向量方法.第 16 题双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在C上且，O为坐标原点，则_______．【答案解析】【分析】先根据双曲线的焦点三角形公式，求出三角形面积，然后求，把代入，求得，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.l 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.【答案解析】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联l 所以双曲线E的标准方程为【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.第 18 题已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.（1）若为假命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案解析】（1）（2）【分析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；（2）由必要不充分条件的定义得出，讨论的取值结合包含关系得出的范围.【详解】解：（1）因为为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.当时，不符合题意；当时，则有，则.综上，k的取值范围为.（2）由，得.由（1）知，当为真命题时，则令令因为p是q的必要不充分条件，所以当时，，，解得当时，{{2l (2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.【答案解析】(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OP，可得，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解.【详解】(1)证明:连接OP，因为O，P分别为BD和SD的中点，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.设，则，，，，则，，.设平面PAC的一个法向量为，则，，所以，令，得，所以所以故直线BC与平面PAC的夹角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题.第 20 题如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.(1)证明:平面平面MDC.(2)若，求二面角的余弦值.【答案解析】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据题意由面面垂直的性质可得平面MAD，即可证出，又，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面NAD的一个法向量以及平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1)证明:因为平面平面ABCD，且相交于AD，又，所以平面MAD所以.又，，所以平面MDC.因为平面MAB，所以平面平面MDC.(2)解:以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，，，所以，.设平面NAD的一个法向量，则，令，得.又平面MAD的一个法向量所以.由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、判定定理以及利用空间向量的数量积求二面角，属于基础题.第 21 题已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点(－2,－1).(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.【答案解析】(1)；(2)【分析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为l (2)由题意可知，抛物线C的焦点为.当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.设该切线方程为，代入，可得.由，得.由，整理得，又，解得，即.因此，直线l方程为.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.第 22 题已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.【答案解析】（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.【详解】（1）解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.又离心率，所以，则.故椭圆C的方程为.（2）证明：椭圆，当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，联立，得，即，则.当直线l的斜率存在时，设，联立，得，由，可得.联立，得.设，所以，则.因为原点到直线l的距离，所以.综上所述，的面积为定值.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以与椭圆中弦长的计算及三角形面积公式的应用，属于中档题.。

高二数学上学期期末考试测试试题四(理)(解析版)

高二数学上学期期末考试测试试题四数学（理）试题一、选择题1．已知实数a ，b ，则“ba22>”是“b a 22log log >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：22,a b a b >∴>，22log log ,0a b a b >∴>>．所以“ba22>”是“b a 22log log >”的必要不充分条件．故B 正确．【考点】1充分必要条件；2指数函数，对数函数的单调性．【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和指数函数，对数函数的单调性，难度一般．当底数相同时指数函数和对数函数在各自的定义域内有相同的单调性，如本题中底数大于1，所以指数函数和对数函数在各自的定义域内都单调递增．但指数函数的定义域为R ，对数函数的定义域为()0,+∞，若忽略这一点极易错选答案C ．所以一定要考虑函数的定义域问题． 2．下面关于复数iz +=12的四个命题：2:1=z p ，i z p 2:22=，z p :3的共轭复数为i +1，z p :4在复平面内对应点位于第四象限．其中真命题为（） A ．2p 、3p B ．1p 、4p C ．2p 、4p D ．3p 、4p 【答案】D【解析】试题分析：()()()()22121211111i i z i i i i i--====-++--．z ∴==，1p 为假命题；()2221122z i i i i =-=-+=-，2p 为假命题；1z i =-的共轭复数为1z i =+，3p 为真命题；1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，4p 为真命题．综上可得D 正确．【考点】1复数的运算，复数的模；2命题的真假．3．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（）A ．AB ．BC ．CD ．不确定【答案】A【解析】试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ．故A 正确．【考点】推理．4．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为（）A ．34B ．24C ．38D ．28【答案】D【解析】试题分析：对应的原图为平行四边形OABC ，且,''2,2'42O B O A O A O A O B B ⊥===所以原图的面积为2S =⨯=D 正确．【考点】斜二测画法．5．已知x 与y 之间的一组数据如下表：则y 关于x 的线性回归直线必过（）A ．)2,2(点B ．)0,5,1(点C ．)2,1(点D ．)4,5,1(点【答案】D【解析】试题分析：0123 1.54x +++==，135744y +++==，所以此回归直线必过点()1.5,4．故D 正确．【考点】线性回归直线．【方法点睛】本题主要考查线性回归直线问题，属容易题．由,x y 的数据表可得横坐标x 的平均数x 和纵坐标y 的平均数y ，点(),x y 成为样本点的中心．线性回归直线必过样本中心点(),x y ．6．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点)0,2(，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（）A ．1422=+y x B ．141622=+x y C ．1422=+y x 或141622=+x y D ．1422=+y x 或1422=+x y 【答案】C【解析】试题分析：当()2,0为长轴端点时，2a =，由题意可知1b =，此时椭圆焦点在x 轴，所以椭圆方程为1422=+y x ；当()2,0为短轴端点时，2b =，由题意可知4a =，此时椭圆焦点在y 轴，所以椭圆方程为141622=+x y ．综上可得C 正确．【考点】椭圆的方程，简单几何性质．【易错点睛】本题主要考查椭圆的方程，简单几何性质，难度一般．题意中椭圆经过点)0,2(，有同学可能直接得2a =，只得出一种情况．错误的主要原因是忽略了讨论焦点在哪个轴上．关于圆锥曲线方程的问题一定要注意讨论其焦点在哪个轴上，否则极易出错．7．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（）A ．2B ．1C ．23D ．21【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程1222=+y x 可知222,1a b ==． 1a c ∴===．由题意可得122PF PF a +==2222121244PF PF F F c +===．()222121212122428PF PF PF PF PF PF PF PF ∴+=++=+=，122PF PF ∴=．1212112F PF S PF PF ∆∴==．故B 正确．【考点】椭圆的定义．8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（）A ．]42,30(B ．]56,42(C ．]72,56(D ．)72,30( 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得0212,112S k =+⨯==+=；2226,213S k =+⨯==+=； 62312,314S k =+⨯==+=；122420,415S k =+⨯==+=；202530,516S k =+⨯==+=；302642,617S k =+⨯==+=；422756,718S k =+⨯==+=．此时应跳出循环输出8k =．所以4256m <≤．故B 正确．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“8k =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．9．已知两条不重合的直线n m ,和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若n m ⊥，α⊥m ，则α∥n ；②若α⊥m ，β⊥n ，n m ∥，则βα∥；③若n m ,是两条异面直线，α⊂m ，β⊂n ，α∥n ，则βα∥；④若βα⊥，m =βα ，β⊂n ，m n ⊥，则α⊥n ．其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：①不正确，还可能n α⊂；②正确，,m m n α⊥∥，n α∴⊥，又n β⊥，//αβ∴； ③不正确，,αβ还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B 正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．π)55(+B ．π)54(+C ．π)1010(+D ．π)525(+ 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知此几何体为圆柱中切去一个同底等高的圆锥后所得的几何体．所以此几何体表面积为(2121215ππππ⨯+⨯⨯+=+．故A 正确．【考点】1三视图；2几何体的表面积．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的表面积即可．11．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32 【答案】C【解析】试题分析：正四棱锥的底面面积为1644=，所以此正四棱柱底面边长为2．=，表面积为2424V ππ==．故C 正确．【考点】正棱柱的外接球问题．【思路点睛】本题主要考查正棱柱的外接球问题，难度一般．正四棱柱的外接球的球心即为正四棱柱的中心，所以正四棱柱的体对角线即为球的直径．由球的表面积公式可求得球的表面积．12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（1）111=*，（2）111)1(+*=*+n n ，则1*n 等于（）A ．nB ．1+nC ．1-nD ．2n 【答案】A【解析】试题分析：因为111*=，111)1(+*=*+n n ，()()(1)111112213111n n n n n n ∴+*=*+=-*+=-*+==*+=+1n n ∴*=．故A 正确．【考点】1新概念；2推理．二、填空题13．“设ABC RT ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥BCD A -中三边AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则___________”．【答案】2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++【解析】试题分析：AE BC ⊥与点E ，连接DE ．,,AD AB AD AC AB AC A ⊥⊥=，AD ∴⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，AD BC ∴⊥， ,AE BC AEAD A ⊥=，BC ∴⊥面AED ，DE ⊂面AED ，BC DE ∴⊥．222222111222ABCACDADBSSSAB AC AC AD AD AB ∆∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222221144AD AB AC AD AB AC =++， ()22222144AD AB AC BC AE =++22221144AD BC BC AE =+ ()222221144BC AD AE BC DE =+=2BCD S ∆=即2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++=．【考点】1类比推理；2线线垂直，线面垂直．14．①命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是“不存在02,00>∈x R x ” ②若z 是纯虚数，则02<z ③若3≠+y x ，则2≠x 或1≠y④以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥以上正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】试题分析：①不正确，“存在02,00≤∈x R x ”的否定是“任意,20x x R ∈>”；②正确，(),0z bi b =≠，()220z bi b ∴==-<；③正确，命题若3≠+y x ，则2≠x 或1≠y 的逆否命题为若2x =且1y =，则3x y +=，此命题显然为真，则命题若3≠+y x ，则2≠x 或1≠y 也为真；④不正确，当以斜边为轴旋转时，显然所成几何体不是圆锥．综上可得正确的是②③．【考点】1命题；2几何体．15．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，在正方体1111D C B A ABCD -内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离大于1的概率为________．【答案】148π-【解析】试题分析：所求概率为331418311248P ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=-=-．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度稍大．点P 到点A 的距离等于1时，动点P 的轨迹为以A 点为圆心1为半径的球．正方体内点P 到点A 的距离大于1时点P 所在区域为正方体内切去以以A 点为圆心1为半径的球所剩的几何体的内部．根据几何概型概率公式即可求得其概率．16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为1F ，2F ，椭圆C 上恰有6个不同点P ，使P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______．【答案】)1,21()21,31(【解析】试题分析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，不妨设点P 在第一象限，则12PF PF >，当1122PF F F a ==，21222PF a PF a c =-=-所以222c a c >-，整理可得12c e a =>，又1e <，112e ∴<<．当2122PF F F a==时，12222PF a PF a c=-=-，所以22211232a c c c e c a c a ->⎧⇒<=<⎨>-⎩，综上可得离心率的范围为)1,21()21,31( ．【考点】椭圆的离心率．三、解答题17．m 为何实数时，复数)1(2)1(3)2(2i m i m i z --+-+=是：（1）虚数；（2）若0<z ，求m ．【答案】（1）21≠≠m m 且；（2）1=m ．【解析】试题分析：（1）复数(),,z a bi a b R =+∈为虚数时只需0b ≠．（2）若0z <，则z 为实数，且实部小于0．试题解析：()()222(2)3(1)2(1)23232z i m i m i m m m m i =+-+--=--+-+（1）z 为虚数时，2320m m -+≠解得21≠≠m m 且．（2）由题意可得223202320m m m m ⎧-+=⎪⎨--<⎪⎩，解得1=m ．【考点】复数的概念．18．设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--.082,0622x x x x （1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）)3,2(；（2）]2,1(．【解析】试题分析：（1）解不等式分别求命题p 和命题q 中x 的范围，再将其取交集即为所求．（2）根据原命题和逆否命题同真假由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以命题q 中的解集Q 是命题p 中解集P 的真子集．画数轴分析可得关于a 的不等式．试题解析：解：（1）当1=a 时，{}31:<<x x p ，{}32:≤<x x q ，又q p ∧为真，所以p 真且q 真，由⎩⎨⎧≤<<<3231x x ，得32<<x ．所以实数x 的取值范围为)3,2(．因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，又{}a x a x p 3:<<，，{}32:≤<x x q ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤>3320a a a ，解得21≤<a ，所以实数a 的取值范围为]2,1(．【考点】1命题；2充分必要条件．19．对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中M ，p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间)15,10[内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间)30,25[内的概率．【答案】（1）40,0.10,0.12M p a ===；（2）60；（3）1415．【解析】试题分析：（1）根据公式=频数频率总数先求得总数M ，根据总数可求得m ，再根据=频数频率总数可求得p ．根据频率和为1求n ．频率分布直方图中每个小矩形的面积表示该组的频率，根据频率和为1可求得a 的值．（2）用总数240乘以该组的频率即为该组的频数．（3）从参加社区服务的次数不少于20次的学生共6人从中任选2人将所有情况一一例举，再将至多一人参加社区服务次数在区间)30,25[内的事件一一例举，由古典概型概率公式可求得所求概率．试题解析：解：（1）由分组)15,10[内的频数是10，频率是25.0知，25.010=M，所以40=M ．因为频数之和为40，所以4,4022410==+++m m ．10.0404===M m p ．因为a 是对应分组)20,15[的频率与组距的商，所以12.054024=⨯=a ．因为该校高二学生有240人，分组)15,10[内的频率是25.0，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有62=+m 人，设在区间)25,20[内的人为{}4321,,,a a a a ，在区间)30,25[内的人为{}21,b b ．则任选2人共有),(21a a ，),(31a a ，),(41a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(32a a ，),(42a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(43a a ，),(13b a ，),(23b a ，),(14b a ，),(24b a ，),(21b b 15种情况，而两人都在)30,25[内只能是),(21b b 一种，所以所求概率为15141511=-=P ．（约为93.0）【考点】1频率分布直方图；2古典概型概率．20．对喜欢数学课程是否与性别有关系进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图，如图所示．根据图中相关数据完成以下22⨯列联表，并计算有多大把握认为性别与是否喜欢数学课程有关系？从该班喜欢数学的女生中随机选取2人，参加学校数学兴趣课程班，已知该班女生A 喜欢数学课程，求女生A 被选中的概率．参考数据与公式：由列联表中数据计算)()()()()(22d b c a d c b a bc ad n K +⋅+⋅+⋅+-=，临界值表：【答案】（1）在犯错概率不超过0.15的前提下认为性别与喜欢数学有关系；（2）25．【解析】试题分析：（1）由等高条形图可完成22⨯列联表，根据公式可求得2K ，将2K值与临界值比对，若存在比2K 小的临界值则说明有关，否则无关．（2）该班喜欢数学的女生共5人从中随机选取2人将所有事件一一例举，再将2人中包含女生A 的事件一一例举，由古典概型概率公式可求得所求概率．试题解析：解：（1）据条形图所给数据得22⨯列联表，∵072.2667.23820201525)1051015(4022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，在犯错概率不超过0.15的前提下认为性别与喜欢数学有关系．设该班另外4名喜欢数学的女生分别为B 、C 、D 、E ，从该班喜欢数学的女生中随机选取2人有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种选法，符合条件“女生A 被选中”的情形有4种，故女生A 被选中的概率52104==P ．【考点】1独立性检验；2古典概型概率．21．如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，⊥PA 底面ABCD ，2=PA ，45=∠PDA ，点E 、F 、G 分别为棱AB 、PD 、PC 的中点．（1）求证：∥AF 平面PCE ；（2）求证：平面⊥PCE 平面PCD ；（3）求三棱锥BEP C -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）23．【解析】试题分析：（1）取PC 的中点G ，连接FG 、EG ，易证得四边形AEGF 是平行四边形，可得EG AF ∥，由线面平行的判定定理可证得∥AF 平面PCE ．（2）先证⊥AF 平面PCD ，因为EG AF ∥，所以可证得⊥EG 平面PCD ．由面面垂直的判定定理可证得平面⊥PCE 平面PCD ．（3）根据等体积可先求三棱锥BCE P -的体积，即为所求棱锥的体积．试题解析：解：（1）取PC 的中点G ，连接FG 、EG ， ∴FG 为CDP ∆的中位线，∴CD FG 21=∥，∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴CD AE 21=∥，∴AE FG =∥，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴EG AF ∥，又⊂EG 平面PCE ，⊄AF 平面PCE ，∴∥AF 平面PCE ．∵⊥PA 底面ABCD ，∴AD PA ⊥，CD PA ⊥，又CD AD ⊥，A AD PA = ， ∴⊥CD 平面ADP ，又⊂AF 平面ADP ，∴AF CD ⊥，直角三角形PAD 中，45=∠PDA ，∴PAD ∆为等腰直角三角形，∴2==AD PA ，∵F 是PD 的中点，∴PD AF ⊥，又D PD CD = ，∴⊥AF 平面PCD ， ∵EG AF ∥，∴⊥EG 平面PCD ，又⊂EG 平面PCE ， ∴平面⊥PCE 平面PCD ．三棱锥BEP C -即为三棱锥BCE P -，PA 是三棱锥BCE P -的高， BCE RT ∆中，1=BE ，2=BC ，∴三棱锥BEP C -的体积322212131213131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆PA BC BE PA S V V BCE BCE -P BEP -C 三棱锥三棱锥．【考点】1线面平行；2线面垂直，面面垂直．【方法点晴】本题主要考查的是线线平行、线线垂直、线面垂直，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等；证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线；求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高．常用体积转化法求高．22．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的点P 到左、右两焦点1F ，2F 的距离之和为22，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点：①若y 轴上一点)31,0(M 满足MB MA =，求直线l 斜率k 的值；②是否存在这样的直线l ，使得ABO S ∆的最大值为22（其中O 为坐标原点）？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x ；（2）①1=k 或21=k ；②1=x【解析】试题分析：（1）由椭圆的定义可得2a =c 的值．再根据222a b c =+可求得2b ．（2）设直线的方程为)1(-=x k y ，与椭圆方程联立消去y 整理可得关于x 的一元二次方程．可得两根之积两根之和．可得,A B 的中点． ①因为MB MA =可知M 在线段AB 的中垂线上，由斜率相乘等于1-可得k 的值． ②可将ABO ∆的面积分解为2AF O ∆和2BF O ∆面积的和． 2AF O ∆和2BF O ∆均以2OF 为底，高的和为12y y -．根据ABO S ∆=l ．试题解析：解：（1）22221==+a PF PF ，∴2=a ．∵22==a c e ，∴1222=⨯=c ．∴112222=-=-=c a b ．椭圆的标准方程为1222=+y x ．已知)0,1(2F ，设直线的方程为)1(-=x k y ，),(),,(2211y x B y x A ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，化简得：0224)21(2222=-+-+k x k x k ， ∴222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+，221212122)(k kk x x k y y +-=-+=+， ∴AB 的中点坐标为)21,212(222kkk k G +-+， ①0=k 时，不满足条件；当0≠k 时，∵MB MA =，∴kk k k k k k k k MG 162130212312122222-=---=-+-+-=，整理得01322=+-k k ，解得1=k 或21=k ．②0=k 时，不满足条件；直线方程为1=x ，代入椭圆方程，此时22,22=±=∆ABO S y ， 0≠k 时，22222222221)21(4)1(221224)214(221++⋅=+-⨯-+=-=∆k k k k k k k k y y S ABO ，∵R k ∈，0≠k ，∴1)21(422>+k ，∴22<∆ABO S ，综上，22max =∆ABO S ， ∴满足题意的直线存在，方程为1=x ．【考点】直线与椭圆的位置关系问题．。

高二数学(上)综合复习试卷四答案

高二数学（上）期末综合复习试卷四答案1. 命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是“”，故选C. 2. 已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】故选D 3. 设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则（） A. 1 B. 11 C. 3或11 D. 1或15 【答案】C 【解析】，且或，符合，故或，故选C. 4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵。

∴“”是“”的充分不必要条件。

选A。

5. 如图，在四面体中，分别是的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，故选A.6. 现有下面三个命题常数数列既是等差数列也是等比数列；，；椭圆离心率可能比双曲线的离心率大.下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】常数数列既是等差数列也是等比数列为假命题（常数为零时），为真命题，，为真命题，为假命题；因为椭圆的离心率小于，双曲线的离心率对于，所以为假命题，为真命题，故选C.7. 长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，分别是四边形和正方形的中心，则向量与的夹角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】以为轴建立空间直角坐标系，则，，故选B.8. 已知，则的最小值为（）A. 3B. 2C. 4D. 1 【答案】A 【解析】，当时等号成立，即的最小值为，故选A.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 9. 设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（）A. B.C.D.【答案】D【解析】，相减得由得出，==故选D点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的. 10. 过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】设，分别过作直线的垂线，垂足分别为，，又，解得，故选B.11. 的内角所对的边分别为，已知，若的面积，则的周长为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，两边平方得，由可得，由得又可得再根据余弦定理可得解得，故的周长为故选D12. 设双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的左支于两点，若，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】取的中点，又，则，在中，，在中，，得，，，又，故选B.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义利用勾股定理找出之间的关系，求出离心率．13. 设等差数列的首项为-2，若，则的公差为__________．【答案】2【解析】，，即的公差为，故答案为.14. 在中，角的对边分别为，若，，且，则__________．【答案】3【解析】所以根据正弦定理可得，故答案为.15. 设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则__________．【答案】10【解析】作出约束条件表示可行域，平移直线，由图可知，当直线过点时，取得最大值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.16. 设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】17. 在锐角中，.（1）求角；（2）若，，求的面积.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出由此能求出角A．（2）由，利用余弦定理求出AB=3，由此能求出△ABC的面积．试题解析：（1）因为，所以，则，即，由为锐角三角形得.（2）在中，，即，化简得，解得（负根舍去），所以.18.19. 已知等比数列的前项和为，，为等差数列，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），.（2）.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，即，又，，所以.（2）因为，所以，①，②由①—②得，所以.20. 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且线段被直线平分.（1）求的值；（2）直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）设，，则，由，得，∴可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.试题解析：由题意可知，设，，则.（1）由，得，∴，即.（2）设直线的方程为，代入，得，∵为抛物线的切线，∴，解得，∴.∵到直接的距离，∴所求圆的标准方程为.21.略22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若直线的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（直线斜率不为1）与椭圆交于两点，点在点的上方，若，求直线的斜率.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由的周长为，可得，由直线的斜率为可得，由直线的斜率，得，结合求出从而可得椭圆的标准方程；（2）先求出，由可得，直线的方程为，则，联立，所以，根据韦达定理列出关于的方程求解即可.试题解析：（1）因为的周长为，所以，即，由直线的斜率，得，因为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可得直线方程为，联立得，解得，所以，因为，即，所以，当直线的斜率为时，不符合题意，故设直线的方程为，由点在点的上方，则，联立，所以，所以，消去得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线的斜率为.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.。