概率论与数理统计阶段性作业31

中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院

概率论与数理统计 课程作业3（共 4 次作业）

学习层次：专升本 涉及章节：第4章

1．若随机变量X 的概率分布为

求E （X ）和D （X ）。

2．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击30次，求击中目标次数X 的期望和方差。

3. 设离散型随机变量X 仅取两个可能的值2121x x x x <，而且和, X 取1x 的概率为0.6, 又已知,2

4.0)(,4.1)(1==X D X E , 则X 的分布律为（ ）。

.

0.40.6 (D) ,0.40.61 (C) ,0.40.621 (B) ,4.06.010 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a

n n A ）（

4.对于任意两个随机变量()()()X Y E XY E X E Y =、，若，则（ ）。

() ()()(). () ()()(). () . () .

A D XY D X D Y

B D X Y D X D Y

C X Y

D X Y =+=+与独立与不独立

5．若随机变量X 的分布律为

求E （X ）、E （X 2）、E （3X 2＋

5）。

6．盒中有3个白球和两个黑球，从中任取两球，求取到的白球数X 的期望。

7．设随机变量X 的分布密度为⎩⎨⎧≤>=-.

0,,0;

0,)(x x Axe x f x （1）求系数A ；（2）求

随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）求随机变量X 的分布函数；（4）求随机变量X 的数学期望与方差。

8．设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,010 ,10

1 ,1)(x x x x x f ，求)(),(X D X E 。

9．若随机变量X 服从参数为θ

1

的指数分布，求E （X ）和D （X ）．

10．设市场对某商品的需求量X (单位：吨)是一个服从[2，4]上的均匀分布的随机变量，每销售一吨商品可赚3万元，但若销售不出去，每吨浪费1万元，问应组织多少货源，才能取得最大收益？

参考答案

1．若随机变量X 的概率分布为

求E （X ）和D （X ）。

解：5

1()(2)0.2(1)0.100.110.420.20.3k k k E X x p ==

=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑；

因为：5

2

2222221

()(2)0.2(1)0.100.110.420.2 2.1k k k E X x p ===-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，

所以由方差公式可得：

()2

22()()() 2.10.3 2.10.09 2.01D X E X E X =-=-=-=。

2．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击30次，求击中目标次数X 的期望和方差。

解：随机变量X 满足n ＝30，p =0.8的二项分布：

k

n k k n k q p C k X P p -===}{，k =0，1，2， (30)

所以由期望与方差的公式可知：

()300.8E X n p =⨯=⨯=，

()

(1)300.80D X n p p =⨯

⨯-=⨯⨯=。

3. 设离散型随机变量X 仅取两个可能的值2121x x x x <，而且和, X 取1x 的概率为0.6, 又已知,2

4.0)(,4.1)(1==X D X E , 则X 的分布律为（ ）。

.

0.40.6 (D) ,0.40.61 (C) ,0.40.621 (B) ,4.06.010 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a

n n A ）（

解：由期望与方差的定义，应满足：12()E X x p x p =⋅⋅12+=0.4，

针对四种情况：A) ()00610.4A E X =⨯⋅⨯+=0.4；B) ()10620.4B E X =⨯⋅⨯+=0.4；

C) ()061)0.4C E X n =⨯⋅⨯≠+(n+=n+0.40.4；D) ()060.4B E X a b =⨯⋅⨯≠+0.4；

故只有A ，B 种情况满足期望定义；

再由方差定义：22212()E X x p x p =⋅⋅12+，22()()()0.24D X E X E X =-=，

A) 222()00610.4A E X =⨯⋅⨯+=0.4，222()()()0.4 1.40D X E X E X =-=-<， B) 222()10620.4B E X =⨯⋅⨯+=2.2，222()()() 2.2 1.40.24D X E X E X =-=-=所以选答案B 。

4.对于任意两个随机变量()()()X Y E XY E X E Y =、，若，则（ ）。

() ()()(). () ()()(). () . () .

A D XY D X D Y

B D X Y D X D Y

C X Y

D X Y =+=+与独立与不独立

解：由期望与方差的性质可知：若()()()E XY E X E Y =，

则协方差cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，

所以 ()()()2cov(,)()()D X Y D X D X X Y D X D X +=++=+ 所以选答案B 。

5．若随机变量X 的分布律为

求E （X ）、E （X 2）、E （3X 2＋5）。

解：3

1()(2)0.400.320.30.2k k k E X x p ==

=-⨯+⨯+⨯=-∑；

3

2

22221

()(2)0.400.320.3 1.6 1.2 2.8k k k E X x p ===-⨯+⨯+⨯=+=∑；

由期望公式的性质可得

222(35)(3)(5)3()53 2.858.4513.4E X E X E E X +=+=+=⨯+=+=。

6．盒中有3个白球和两个黑球，从中任取两球，求取到的白球数X 的期望。