金融风险管理--相关系数和Copula函数(PPT 34页)

【注】计算协方差和方
差的方法必须保持一致
，否则
正定性不满足
1 0 0.9
w(1,1,1)T;
0
1 0.9
0.9 0.9 1
10.10
10 .2.3 协方差的一致性条件
协方差矩阵：
var
( z1 ), cov(
z1 ,
z 2 ), , cov(
z1, zn )
用于对不服从正态分布的变量生成相关结构
假设我们想对变量V1、 V2定义一个相关结构，但 V1、 V2不服从正态分布
我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布 的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的
一一映射
变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2 上 变量U1、 U2服从二元正态分布
【特殊情形 1；】 -1；0
协方差
Cov(V1,V2)=E(V1V2)−E(V1)E(V2)
10.3
独立性
如果两个变量V1、 V2，其中任意一个变量的
信息不会影响另一个变量的分布，那么这 两个变量就是独立的，即
f(V2V1x)f(V2)
其中， f(.)代表变量的概率密度函数
在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正 态分布的随机样本
间接构造随机数
12
(1)一元标准正态分布随机 数： Ri 6, Ri ~ [0,1] i 1
(2) 二元标准正态分布： 1 z1及 2 z1 z2 1 2
其中
z1
1
2
V2
|V1v1
~

N2

2
v1 1 1
,
2
1 2
2
10.12
多元正态分布
处理上相对简便 方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差
和相关系数 为了满足内部一致性的条件，方差-协方
差矩阵必须是半正定的
10.13
基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样
故： VaR ( Z ) ( w1 , w2 , , wn ) ( w1 , w2 , , wn )T 0 【注】计算协方差和方 差的方法必须保持一致 ，否则
正定性不满足
1 0 0.9
w(1,1,1)T; 0 1 0.9
0.9 0.9 1
10.11
10.3 多元正态分布
,
z
是相互独立的标准正态
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分布
(3)多元标准正态分布：
i
i aik zk ; k 1
i
i
其中 aik 2 1, aik a jk ij
k 1
k 1
以上被称为 Cholesky 分解法
10.14
因子模型
如果有N 个变量 Vi (i = 1, 2,..N), 那么在一个 多元正态分布中有N(N−1)/2 个相关系数

1

其中 为 Copula 相关系数
10.30
观察违约概率： (1)当F增加时，以上概率减小 (2)当F服从标准正态，则F<N-1(Y)的概率是Y此时违
约概率率大于
的概率为Y
10.31
贷款违约模型
10.32
10.33
作业题
10.1 10.5 10.6 10.14
10.34
我们能够通过估计因子模型的方法来减少 相关系数参数的数量
10.15
因子模型
单因子模型：
若{Ui ,i=1,2,…N}满足标准正态分布，则
Ui aiF 1ai2Zi
共同因子F和特殊因子Zi服从标准正态分布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
M个因子模型
10.16
10 .2 .3 协方差的一致性条件
Z w 1 z1 w 2 z 2 w n z n ( w 1 , w 2 , , w n ) z1 , z 2 , z n T
故： VaR ( Z ) ( w 1 , w 2 , , w n ) ( w 1 , w 2 , , w n ) T 0 正定性
违约相关系数对于某些信贷衍生品的估值 也是大有用处的
10.28
10.5 将Copula函数应用于贷款组合
我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量 Ui ，并且假设
Ui aiF 1ai2Zi
其中 F 和Zi 服从正态分布，并且相互独立
定义 Qi 为Ti的累积概率分布
Prob(Ui<U) = Prob(Ti<T) when N(U) = Qi(T)
随机变量 (V1,V2)服从二元正态分N(布1, 2,1,2, )，即密度为
f (x, y)
1
e 1 2(12
)

(x1)2 12
2
(x1)(x2 12
)
(x2 22
)2

2 12 12
Cov(V1,V2)

2
1
12
10.4.4 多元Copula函数
类似的，我们可以定义多个变量V1, V2,…Vn
之间的相关结构
在分位数与分位数对应映射的条件下，把
变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布的 变量Ui上
变量Ui服从多元正态分布
10.26
10.4.5 因子Copula函数
多元Copula模型中，市场分析员常常假定 变量Ui, 单因子模型中
10.18
10.19
10.20
计算联合累积分布的例子
变量V1、 V2同时小于0.2的概率同变量U1 <
−0.84且U2 < −1.41的概率相同 当 Copula 相关系数等于0.5 时，也就是
M( −0.84, −1.41, 0.5) = 0.043
其中，M为二元正态分布的累计分布函数
Ui aiF 1ai2Zi
共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分 布且相互独立
变量Ui 和Uj 的相关系数是aiaj
F和Zi也可以假设服从其他分布
10.27
信贷违约相关系数
两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡 量这两个公司同时违约的倾向
在风险管理上，违约相关系数对于分析信 贷风险多样化是非常重要的
10.21
10.22
10.23
10.24
二元学生t-分布比二元正态分布尾部价值更高
(1)5000个抽样，相关系数均为0.5，学生t-分布自由度为4 (2)正态分布价值大于2.33或小于-2.33的抽样值定义为尾部价值 (3)学生t-分布价值大于3.75或小于-3.75的抽样定义为尾部价值
10.25
10.29
贷款组合模型
Prob
(U i
U
F)
N

U

aiF

1

a
2 i

因此
Prob
(Ti

T
F
)

N

N

1 Q i (T
1
)
a
2 i
aiF

假设 Q ' s 和 a ' s 对于所有的公司都相同
N 1 Q (T ) F
Prob (Ti T F ) N
10.4
独立性不等同于不相关
假设 V1 = –1, 0, 或者 +1 (等可能性的)
如果V1 = -1 或者 V1 = +1 那么 V2 = 1 如果V1 = 0 那么 V2 = 0
显然V2 的值取决于V1 (反之亦然) 但是这两个 变量的相关系数却为0
下面的图10-1描述相关关系



cov( cov(
z2, zn,
z1 ), z1 ),
var( cov(
z 2 ), , cov( z 2 , z n , z 2 ), , var(
zn )
z n )
性质：协方差矩阵的正 定性
Z w1 z1 w2 z 2 wn z n ( w1 , w2 , , wn ) z1 , z 2 , z n T
10.5
扫描 10-1
10.6
10.7
10.2.1 采用EWMA模型
第9章：用EWMA模型预测方差 本节：用EWMA模型预测协方差
cn o c vn o 1 (1 v )x n 1 y n 1
. .
10.8
10.9
10.2.2 GARCH(1,1) 模型： cov n x n 1 y n 1 cov n 1
10.4 Copula函数
已知联合分布可以确定边缘分布。
当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计 他的联合分布？
Copula函数方法提供了一个估计联合分布的方法
基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上， 通过随机变量的替换反推出未知联合分布。
10.17
高斯Copula 函数模型:
金融风险管理
第十章 相关系数和Copula函数
10.1
本章主要内容
相关系数定义 相关系数估计 多元正态分布 Copula函数 Copula函数应用于贷款组合
10.2
相关系数和协方差
变量V1和V2的相关系数定义为：
E(V1V2)E(V1)E(V2)
SD(V1)SD(V2)