第05讲 周期信号的分解——傅里叶级数

n 3,
A3 a3
2 A 2 A Sa n Sa 3 T T 2 n 3 2
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傅里叶级数——指数形式
由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：
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第05 讲
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频 率 分 析
通过变换将时间变量转变为频率变 量、在频域内分析信号和系统特性的方
法。这是基于信号的频率特性来分析信
号与系统响应的方法。
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2
T
t
于是： An an 2 A sin n 2 A Sa n 0
n T T 2
A A f t 2 A 2 A T T

n cosnt Sa 2 n 1

n cosnt Sa 2 n 1
—— 基波分量
n 2, 3, ,
an cos nt bn sinnt
—— n=2 的称为二次谐波，n=3 的称为三次
谐波，以此类推。
也就是说任何周期信号均可表示为由各 次谐波进行叠加而成
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。
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还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一 的余弦谐波或正弦谐波形式，即：
计、示波器测量），应用也非常很多（如通信中的 频分复用、时分复用），所以说频率特性是信号的 非常重要的特性。
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频域分析的重要性
处理信号的需要，比如放大，放大器的带宽 要覆盖信号的频带，就要知道信号的频带，就要 用频域分析； 信号计算的需要，在时域内往往要解微分方 程，而用傅里叶变换到频域（拉普拉斯变换到复 频域）后就变成了代数方程，求解起来很方便；
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本 章 要 求
熟练掌握周期信号与非周期信号的频 率分析
熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及 其傅氏变换的性质
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本章主要内容
4.1 引言 4.2 傅里叶级数
4.3 周期信号的频谱
4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱
f t a0 an cosnt bn sinnt
n 1 n 1
2 T 2 a0 T f t cos nt dt cos nt n 1 T 2 2 T 2 T f t sin nt dt sin nt n 1 T 2
信号幅度为A，持续时间为τ，周期为T，对应的频 率为 F
1 T
，角频率为
2F
系数分别为：
a0 1 T
T 2 T 2
2 T
，于是各次谐波的
f t
A
T
2
f t dt
A A A dt Af T T 2
2 2

2
T
t
2 T 2 A 2A 4A 2 cos nt dt an 2T f t cos nt dt sin n sin n T 2 T 2 n T n0T 2

an An cosn ,
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bn An sinn
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函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系 ⑴ 偶函数：满足 f(-t)= f(t)
信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式
只含有余弦项，即：an≠0 及 bn= 0（n = 0，1，
信号波形某部分向左（或向右）平移半个
周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅 里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项 和正弦项），即：an≠0，bn≠0 （其中 n =1，3， 5，„），又称半波镜像信号。
…
T
o
T
…
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⑷
T 偶谐函数：满足 f t f t 2
f t e jn t dtcos nt j sin nt

T 1 T 1 jn t jn t jn t jn t 2 2 a0 T f t e dte T f t e dte n 1 T T 2 2
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指数形式
1 a0 n 1 T


T 2 T 2
f t e jn t dtcos nt j sin nt 1 T

T 2 T 2
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本章主要内容
4.1 引言
4.2 傅里叶级数
4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
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周期信号的频谱分析 ——傅里叶级数
信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是 “狄里赫利 ”（Dirichlet）条件，即 f(t) 在[t0，t0+T]、[0，
A 2 A 1 sinn cosnt T n1 n T
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周期信号的频谱图
如果以频率（或角频率）为横轴，以An的
幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依
次排列起来画出的谱状线，称为频谱线（或频 谱图），可以分别称为振幅频谱和相位频谱 （如果相位值只有0、π二个值的话，也可以画 一个图）；通过各谱线的端点的连线，称为频
2，„）。
⑵ 奇函数：满足 f(-t)=-f(t)
信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式
只含有正弦项，即：an=0 及 bn≠0 （n = 1，2，
3，„）。
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⑶ 奇谐函数：满足
T f t f t 2
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频率分析的重要性
频率特性是信号的第二个特性。由于频率紧贴
我们日常生活（周期性变化是自然界的普遍规律）， 频率变化的高低（或快慢）我们看的见（如表中秒 针最快，时针最慢，也可以用示波器看到）、听的 出（女生说话的频率高些，声音就尖锐，男生说话
的频率低些，声音就低沉）、量的到（可以用频率
谱包络线。
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三角形式： 周期信号的频谱图
2A 2 A An an sinn Sa n n T T 2
T

f t
A
2

2
T
t
A0 2 A 1 A 2 A f t sin n cos n t 2 n1 n 2 T T
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n 0,
A0 a0
A T
n 1,
n 2,
A1 a1
2 A 2 A Sa n Sa T 2 n1 T 2
A2 a2
2 A 2 A Sa n Sa 2 T T 2 n2 2
f t a0 An cosnt n
n 1
或
f t a0 An sinnt n
n 1
2 n 2 n

bn 式中： An a b , n arctan a n
源自文库
an , n arctan b n
4.7 周期信号的傅里叶变换
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本章主要内容
4.1 引言
4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
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2 bn T
2 T an 2T f t cos nt dt T 2

T 2 T 2
f t sin nt dt
n 1, 2 , 3 ,
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周期信号的谐波分量
n 1 , a1 cost b1 sint
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傅里叶级数——三角形式
若信号f(t)的周期为T，频率为 F
率
2 2F T

1 T
，则其角频
，对应傅里叶级数展开式为：
f t a0 an cos nt bn sinnt 其中n 为正整数
n 1
1 式中： a0 T

T 2 T 2
f t dt —— 周期信号的直流分量

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2 A T
sinn
2 A Sa n 2 A Sa n 2 T 2 n 2
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f t
A
T
2
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由于是偶对称，故有
2 T bn 2T f t sin nt dt 0 T 2
sin x Sa x x
n cosnt Sa 2 n 1
1
Sa x
2 A T
A n an
2 A Sa n T 2 2 T
3 2

o
2
3
x
A T
2

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jn t jn t 2 T e e 2 a0 T f t dt cos nt 2 n 1 T 2
jn t jn t 2 T e e 2T f t dt sin nt 2j T 2
1 n T
信号波形某部分向左（或向右）平移半个
周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶 级数展开式只含有偶次谐波（包括余弦项和正 弦项），即：an≠0，bn≠0（其中n = 0，2， 4，„），又称半波重叠信号。
…
T
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o
…
T
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例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式。
一种非常基础的数学方法，应用面非常广泛。
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在时域中，将信号分解为不同时延、 强度的冲激信号； 在频域中，信号可以分解为不同频率、 相位及振幅的简谐振荡信号。
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T T T] , 或 2 2
区间内，以下条件才可以展开成傅里叶
级数：（T 为信号周期） ： 绝对可积，即 T f t dt
2 T 2
极大值、极小值数目有限 间断点数目有限
通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。
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